experimentos fatoriais · em geral, os experimentos fatoriais s~ao mais e cientes para este tipo de...
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Esquema Fatorial
Experimentos Fatoriais
Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha
12 marco de 2020
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Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Introducao
Nos experimentos mais simples comparamos nıveis (tratamen-tos) de apenas um fator;
Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devemser estudados simultaneamente para que possam nos conduzira resultados de interesse;
Em geral, os experimentos fatoriais sao mais eficientes paraeste tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, osefeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou maisnıveis.
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Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Introducao
Nos experimentos mais simples comparamos nıveis (tratamen-tos) de apenas um fator;
Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devemser estudados simultaneamente para que possam nos conduzira resultados de interesse;
Em geral, os experimentos fatoriais sao mais eficientes paraeste tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, osefeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou maisnıveis.
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Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Introducao
Nos experimentos mais simples comparamos nıveis (tratamen-tos) de apenas um fator;
Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devemser estudados simultaneamente para que possam nos conduzira resultados de interesse;
Em geral, os experimentos fatoriais sao mais eficientes paraeste tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, osefeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou maisnıveis.
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Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
O fatorial e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneirasde organizar os tratamentos e nao um tipo de delineamento;
Os experimentos fatoriais sao montados segundo um tipo dedelineamento experimental;
Nos experimentos fatoriais, os tratamentos sao obtidos pelascombinacoes dos nıveis dos fatores.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
O fatorial e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneirasde organizar os tratamentos e nao um tipo de delineamento;
Os experimentos fatoriais sao montados segundo um tipo dedelineamento experimental;
Nos experimentos fatoriais, os tratamentos sao obtidos pelascombinacoes dos nıveis dos fatores.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
O fatorial e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneirasde organizar os tratamentos e nao um tipo de delineamento;
Os experimentos fatoriais sao montados segundo um tipo dedelineamento experimental;
Nos experimentos fatoriais, os tratamentos sao obtidos pelascombinacoes dos nıveis dos fatores.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Exemplo 1
Num experimento fatorial pode-se combinar 2 doses de um an-tibiotico com 2 diferentes nıveis de vitamina B12.
Neste caso tem-se um fatorial 2 × 2, com os fatores Antibioticos(A) e Vitamina (V ), que ocorrem em 2 nıveis (A1 e A2) e 2 nıveis(V1,V2), respectivamente, e os 2× 2 = 4 tratamentos seriam:
A1V1 A1V2 A2V1 A2V2.
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Exemplo 2
Num experimento fatorial pode-se combinar 3 doses de uma drogacom 2 idades distintas.
Neste caso tem-se um fatorial 3 × 2 pode-se combinar 3 Doses deuma droga (D1, D2 e D3), 2 Idades (I1 e I2) e tem-se 3 × 2 = 6tratamentos, que seriam:
D1I1 D1I2
D2I1 D2I2
D3I1 D3I2
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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Tipos de efeitos avaliados
Efeito Principal: e o efeito de cada fator, independente doefeito dos outros fatores;
Efeito de Interacao: e o efeito simultaneo dos fatores sobrea variavel em estudo. Dizemos que ocorre interacao entre osfatores quando os efeitos dos nıveis de um fator sao modificadospelos nıveis do outro fator.
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Tipos de efeitos avaliados
Efeito Principal: e o efeito de cada fator, independente doefeito dos outros fatores;
Efeito de Interacao: e o efeito simultaneo dos fatores sobrea variavel em estudo. Dizemos que ocorre interacao entre osfatores quando os efeitos dos nıveis de um fator sao modificadospelos nıveis do outro fator.
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Exemplo 1
Consideremos um experimento fatorial 2 × 2, com os fatores, An-tibiotico (H) e Vitamina B12 (V) nos nıveis:
H1 (sem antibiotico) e H2 (com antibiotico);
V1 (sem vitamina B12) e V2 (com vitamina B12),
adicionados a uma dieta basica. Suponha os seguintes resultados deganho de peso (kg), para os 2 × 2 = 4 tratamentos, nas seguintessituacoes:
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Nao ha interacao entre os fatores
Fator H Fator B – Vitamina B12Totais
Dose do antibiotico V1 V2
H1 20 40 50
H2 30 52 92
Totais 60 82 142
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Ha interacao entre os fatores
Fator H Fator B – Vitamina B12Totais
Dose do antibiotico V1 V2
H1 20 50 70
H2 40 10 50
Totais 60 60 120
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Vantagens
As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relacaoaos experimentos simples sao:
1 Pode-se estudar dois ou mais fatores num unico experimento.
2 Pode-se, por meio dos efeitos das interacoes, verificar se umfator e independente ou dependente do(s) outro(s).
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Desvantagens
As principais desvantagens dos experimentos fatoriais sao:
1 O numero de tratamentos ou combinacoes de nıveis de fatorescresce, rapidamente, com o aumento do numero de nıveis, emcada fator, ou mesmo com o aumento do numero de fatores.
2 A interpretacao dos resultados se torna mais difıcil a medida queaumentamos o numero de nıveis e de fatores no experimento.
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Tabulacao com dois fatores
Seja yijk a resposta observada para o i-esimo nıvel (i = 1, 2, . . . , a) do fator
A e j-esimo nıvel (j = 1, 2, . . . , b) do fator B, para a k-esima repeticao
(k = 1, 2, . . . , n). Em geral, os dados serao apresentados na forma da
Tabela 1.
Tabela 1: Arranjo geral para um experimento fatorial.
Fator B
1 2 . . . b
1 y111, y112, . . . , y11n y121, y122, . . . , y12n . . . y1b1, y1b2, . . . , y1bn
2 y211, y212, . . . , y21n y221, y222, . . . , y22n . . . y2b1, y2b2, . . . , y2bn
Fator A
......
......
...
a ya11, ya12, . . . , ya1n ya21, ya22, . . . , ya2n . . . yab1, yab2, . . . , yabn
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Modelo estatıstico
As observacoes podem ser descritas pelo modelo estatıstico li-near:
yijk = µ+ τi + βj + (τβ)ij + εijk
{i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , n
em que
µ e o efeito da media geral;
τi e o efeito do i-esimo nıvel do fator A;
βj e o efeito do j-esimo nıvel do fator B;
(τβ)ij e o efeito da interacao entre τi e βj ;
εijk e o componente de erro aleatorio.
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No experimento fatorial, em geral, deseja-se testar primeiramente asignificancia da interacao entre os fatores. Isto e:
H0 : (τβ)ij = 0 para todo i , j
H1 : Pelo menos um (τβ)ij 6= 0
Caso a interacao nao seja significativa, testa-se os efeitos principais:
H0 : τ1 = τ2 = . . . τa = 0
H1 : Pelo menos um τi 6= 0
H0 : β1 = β2 = . . . βb = 0
H1 : Pelo menos um βj 6= 0
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Do modelo estatıstico
yijk = µ+ τi + βj + (τβ)ij + εijk
{i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , n
Tem-se que os estimadores de mınimos quadrados para µ, τi ,βj e (τβ)ij sao
µ = y ;τi = yi − y , i = 1, 2, . . . , a;
βj = yj − y , j = 1, 2, . . . , b;
ˆ(τβ)ij = yij − yi − yj − y ,i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , b
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ANAVA
Tabela 2: Analise de variancia para um experimento fatorial com 2fatores.
C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcal
A a− 1 SQA QMA = SQA
a−1 Fcal = QMA
QMRes
B b − 1 SQB QMB = SQA
b−1 Fcal = QMB
QMRes
A× B (a− 1)(b − 1) SQA×B QMA×B = SQA×B(a−1)(b−1) Fcal = QMA×B
QMRes
Resıduo ab(n − 1) SQRes QMRes = SQRes
ab(n−1)
Total abn − 1 SQTotal
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Soma de quadrados
Assim, tem-se:
SQTotal = SQA + SQB + SQA×B︸ ︷︷ ︸+SQRes ,
de forma que a soma de quadrados total e dada por:
SQTotal =a∑
i=1
b∑j=1
n∑k=1
y2ijk −
(∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 yijk
)2
abn
As somas de quadrados para os efeitos principais sao:
SQA =a∑
i=1
T 2Ai
bn−
(∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 yijk
)2
abn
SQB =b∑
j=1
T 2Bj
an−
(∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 yijk
)2
abn
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Para o calculo da soma de quadrados da interacao, SQAxB , deve-se, ini-cialmente, calcular a soma de quadrados do efeito conjunto de A e B,denotada por SQA,B . Logo,
SQA,B =a∑
i=1
b∑j=1
T 2AiBj
n−
(∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 yijk
)2
abn
Esta soma de quadrados contem SQA e SQB . Portanto, a soma de qua-drados da interacao e:
SQAxB = SQA,B − SQA − SQB ,
e, a soma de quadrados de resıduos, obtem pela diferenca:
SQRes = SQTotal − SQA − SQB − SQAxB .
Obs.: Nos experimentos fatoriais com 2 fatores, a soma de quadrados do
efeito conjunto e sempre igual a soma de quadrados de tratamentos.
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Exemplo 1Consideremos um experimento para avaliar tres tipos de silagens e dois tipos de manejo a variacao do ganho diariode peso para bovinos em confinamento. Para tanto, utilizou-se um esquema fatorial duplo, em um delineamentointeiramente casualizado, com tres repeticoes. Os dados encontram-se abaixo:
Tipos de SilagemTipos de Manejo
Milho Sorgo Polpa
890 750 700A 870 760 730
1000 780 720
870 740 730B 890 760 740
850 780 710
Ao nıvel de 1% de significancia, pede-se no R:a) Ha efeito da interacao entre os fatores Manejo e Silagem no ganho medio de peso diario dos bovinos.b) Ha efeito do fator principal Tipos de Silagem? Se sim, ha um melhor tipo para o ganho medio do peso dosbovinos?
c) Ha efeito do fator principal Tipos de Manejo? Se sim, ha um melhor tipo de manejo para o ganho medio do peso
dos bovinos?
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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Interacao Significativa
Quando a hipotese H0 para a interacao entre os fatores e re-jeitada, entao dizemos que a interacao e significativa.
Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de formadependente, ou seja, o efeito de um fator depende do nıvel dooutro fator.
Assim, nao e recomendado realizar o teste F para cada fatorisoladamente tal como foi apresentado para o caso da interacaonao significativa.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Interacao Significativa
Quando a hipotese H0 para a interacao entre os fatores e re-jeitada, entao dizemos que a interacao e significativa.
Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de formadependente, ou seja, o efeito de um fator depende do nıvel dooutro fator.
Assim, nao e recomendado realizar o teste F para cada fatorisoladamente tal como foi apresentado para o caso da interacaonao significativa.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Interacao Significativa
Quando a hipotese H0 para a interacao entre os fatores e re-jeitada, entao dizemos que a interacao e significativa.
Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de formadependente, ou seja, o efeito de um fator depende do nıvel dooutro fator.
Assim, nao e recomendado realizar o teste F para cada fatorisoladamente tal como foi apresentado para o caso da interacaonao significativa.
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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
O procedimento recomendado e realizar o desdobramento doefeito da interacao.
Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova analisede variancia em que os nıveis de um fator sao comparados den-tro de cada nıvel do outro fator.
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O procedimento recomendado e realizar o desdobramento doefeito da interacao.
Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova analisede variancia em que os nıveis de um fator sao comparados den-tro de cada nıvel do outro fator.
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Desdobramento dos nıveis de A dentro de cada nıvelde B, ou seja, estudar A/B
Tabela 3: Analise de variancia para o desdobramento do fator A dentrode cada nıvel de B.
C.V. G.L. S.Q Q.M. Fcal
B b − 1 SQB QMB =SQBb−1
Fcalc =QMBQMRes
A|B1 a − 1 SQA|B1QMA|B1
=SQA|B1a−1
Fcal =QMA|B1QMRes
A|B2 a − 1 SQA|B2QMA|B2
=SQA|B2a−1
Fcal =QMA|B2QMRes
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A|Bj a − 1 SQA|Bj QMA|Bj =SQA|Bja−1
Fcal =QMA|BjQMRes
Resıduo ab(n − 1) SQRes QMRes =SQResab(n−1)
-
Total SQTotal abn − 1 - -
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Desdobramento dos nıveis de B dentro de cada nıvelde A, ou seja, estudar B/A
Tabela 4: Analise de variancia para o desdobramento do fator B dentrode cada nıvel de A.
C.V. G.L. S.Q Q.M. Fcal
A a − 1 SQA QMA =SQAa−1
Fcalc =QMAQMRes
B|A1 b − 1 SQB|A1QMB|A1
=SQB|A1b−1
Fcal =QMB|A1QMRes
B|A2 b − 1 SQB|A2QMB|A2
=SQB|A2b−1
Fcal =QMB|A2QMRes
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B|Aj b − 1 SQB|Aj QMB|Aj =SQB|Ajb−1
Fcal =QMB|AjQMRes
Resıduo ab(n − 1) SQRes QMRes =SQResab(n−1)
-
Total SQTotal abn − 1 - -
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