estabilidade de sistemas de controle digital. o conceito de estabilidade de sistemas já foi...

Estabilidade de Sistemas de Controle Digital

Estabilidade de Sistemas de Controle Digital

O conceito de estabilidade de sistemas já foi introduzido no curso de controle linear, portanto, agora iremos directamente às ferramentas matemáticas úteis para a determinação da estabilidade de Sistemas de Controle Digital.

Definição: Um sistema possui a propriedade de estabilidade externa se toda sequência de entrada limitada produz uma sequência de saída limitada.

Esta é a estabilidade BIBO (“Bounded Input – Bounded Output”)

Critério BIBO

Um sistema linear, discreto e invariante no tempo, com resposta impulsiva g(k) é BIBO – estável se e somente se:

Exemplo

Determine se o sistema é ou não estável:

Para determinar g(k), utilizaremos a divisão longa:

Logo, a resposta impulsiva g(k) é dada por:

Tem-se: Portanto, o sistema é instável.

Relações entre o Plano – S e o Plano – Z

Na primeira classe de sistemas discretos foi demonstrado que a transformada Z de um sinal amostrado é a transformada de Laplace de uma seqüência discreta, com a substituição da variável

STeZIsto implica que todos os pontos no plano – S tem seu ponto correspondente no plano – Z.

Um ponto genérico no plano – S é dado

Através do mapeamento no plano – Z teremos o seguinte ponto:

Logo,

NO plano SNO plano Z

0 Si jS

eixo imaginário

TjZ 1Z

o360 0 o

0 SiNO plano S

j S

parte esquerda do eixo imaginário

NO plano Z

dentro do circulo de radio unidade

0 SiNO plano S

j S

parte direita do eixo imaginário

NO plano Z

fora do circulo de radio unidade

Resumindo

Um sistema é estável se asraízes da equação característicaestão na metade esquerda do plano S

Um sistema é estável se as raízes da equação característica estão dentro do círculo de rádio unidade no plano Z

Um sistema linear, discreto e invariante no tempo, com funçãode transferência G(z) é BIBO – estável se e somente se os pólosde G(z) têm modulo menor do que 1.

Teorema:

Determine se o sistema abaixo é estável. Exemplo

Os pólos de G(z) são as raízes do denominador, ou seja:

Logo

Portanto, as raízes têm módulo menor que 1, logo o sistema é BIBO – estável.

(as raízes estão dentro do circulo unitário)

Critério de Jury

A aplicação do teorema anterior em sistemas que possuem ordem maior que 2 torna-se difícil, uma vez que será necessário utilizar métodos computacionais para se determinar todas as raízes.

O critério de Jury estuda a estabilidade de sistemas discretos sem a necessidade de determinar os pólos.

1º Passo: Para uma função de transferência

o polinómio característico é D(z). Genericamente teremos:

Construa a seguinte tabela

A linha 1 é formada pelos coeficientes de D(z).

As linhas pares são formadas pela inversão dos coeficientes da linha anterior

As linhas impares são determinadas fazendo:

2º Passo: Aplique o critério de Jury:

O sistema é estável se e somente se

Se a tabela termina ou se ocorre divisão por zero, em

o sistema é instável

Determine se a função de transferência abaixo representa um sistema estável ou instável.

Exemplo