equações diferenciais parciais elípticas multivalentes...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁSINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATISTICA

MARCOS LEANDRO MENDES CARVALHO

Equações Diferenciais Parciais ElípticasMultivalentes: Crescimento Crítico,

Métodos Variacionais

Goiânia2013

MARCOS LEANDRO MENDES CARVALHO

Equações Diferenciais Parciais ElípticasMultivalentes: Crescimento Crítico,

Métodos Variacionais

Tese apresentada ao Programa de Pós–Graduação do Insti-tuto de Matemática e Estatistica da Universidade Federalde Goiás, como requisito parcial para obtenção do título deDoutor em Matemática.Área de concentração: Análise - Equações DiferenciasParciais.Orientador: José Valdo Abreu Gonçalves

Goiânia2013

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

GPT/BC/UFG C331e

Carvalho, Marcos Leandro Mendes.

Equações Diferencias Parciais Elípticas Multivalentes [manuscrito] : Crescimento Crítico, Métodos Variacionais / Marcos Leandro Mendes Carvalho. - 2013.

135 f. Orientador: Prof. Dr. José Valdo Abreu Gonçalves. Tese (Doutorado) – Universidade Federal de Goiás,

Instituto de Matemática e Estatística, 2013. Bibliografia. Apêndices. 1. Minimização (Matemática). 2. Convexidade. 3. Orlicz – Espaços de. 4. Sobolev – Espaços de. I. Título. CDU: 517.956.2

Marcos Leandro Mendes Carvalho

Graduou–se em Matemática na UFG - Universidade Federal de Goiás. Du-rante sua graduação, foi Bolsista de inicição científica no departamento deMatemática da UFG. Durante o Mestrado, na UFG - Universidade Federal deGoiás, foi bolsista da CAPES e atuou na área de Sistemas Dinâmicos. Atual-mente é professor no Instituto de Matemática da UFG e desenvolve pesquisaem Equações Diferenciais Parciais Elípticas.

À minha avó Waldemira e ao meu pai Jeowal (in memorian), escolhas de Deuspara minha origem, que eu reverencio, e que me deram a maior lição: do amor. Tambémao Marquixo (in memorian), pelos exemplos de fé, persistencia e desejo de viver.

Agradecimentos

A Deus, meu criador, fonte de minha paz, meu guia, minhas verdadeiras forças.Que eu saiba Senhor sempre amar-Te e seguir-Te. Obrigado pelo teu filho Jesus, porMaria, pelo Teu plano para minha vida, enfim, por tudo.

Ao meu orientador Prof. José Valdo Abreu Gonçalves pela amizade, confiança,orientação, calma e conselhos que foram dados a mim em momentos fundamentais destecurso. Saiba que estes servirão para mim não somente agora mais sim por toda minhavida.

Aos professores e funcionários do IME/UFG pela apoio, confiança, seriedade,respeito e motivação.

A minha esposa Cláudia de Jesus Silva Carvalho pelo amor, apoio, compreensão,força e confiança, que foram fundamentais para a conclusão deste trabalho.

A minha mãe Maria das Dores Mendes pelo amor e compreensão, que foram degrande importância no decorrer do curso e de minha vida.

Aos meus tios Telminton Rodrigues Sales e Jeomar Alves de Carvalho Sales peloamor, amizade, compreensão e apoio desde o início da minha vida estudantil.

Aos demais membros da minha família e amigos que torceram e ajudaram narealização deste sonho.

A todos, obrigado por tudo, inclusive pela paciência em minhas ausências. Quea luz do Espírito Santo nos ilumine.

Nossos agradecimentos a CAPES/CNPq - Brasil pelo apoio financeiro.

Não digas no teu coração: a minha força e o vigor de meu braçoadquiriram-me todos esses bens. Lembra-te de que é o Senhor, teu Deus,quem te dá a força para adquiri-los, a fim de confirmar, como o faz hoje, aaliança que jurou a teus pais.

Bíblia Sagrada,Deuteronômio 8, 17–18.

Resumo

Carvalho, Marcos Leandro Mendes. Equações Diferenciais Parciais ElípticasMultivalentes: Crescimento Crítico, Métodos Variacionais. Goiânia, 2013.135p. Tese de Doutorado . Instituto de Matemática e Estatistica, UniversidadeFederal de Goiás.

Neste trabalho desenvolvemos argumentos sobre a teoria de pontos críticos para funcio-nais Localmente Lipschitz em Espaços de Orlicz-Sobolev, juntamente com técnicas deconvexidade, minimização e compacidade para investigar a existencia de solução daequação multivalente

!!"u " # j(.,u)+$h em %,

onde % # RN é um domínio limitado com fronteira #% regular, " : R $ [0,&) é umaN-função apropriada, !" é o correspondente "!Laplaciano, $ > 0 é um parâmetro,h : % $ R é uma função mensurável e # j(.,u) é o gradiente generalizado de Clarke dafunção u %$ j(x,u), q.t.p. x " %, associada com o crescimento crítico. A regularidade desolução também será investigada.

Palavras–chave

Minimização, convexidade, Espaços de Orlicz-Sobolev.

Abstract

Carvalho, Marcos Leandro Mendes. Multivalued Elliptic Partial DifferentialEquations: Critical Growth, Variational Methods. Goiânia, 2013. 135p. PhD.Thesis . Instituto de Matemática e Estatistica, Universidade Federal de Goiás.

In this work we develop arguments on the critical point theory for locally Lipschitz func-tionals on Orlicz-Sobolev spaces, along with convexity, minimization and compactnesstechniques to investigate existence of solution of the multivalued equation

!!"u " # j(.,u)+$h in %,

where % # RN is a bounded domain with boundary smooth #%, " : R $ [0,&) isa suitable N-function, !" is the corresponding "!Laplacian, $ > 0 is a parameter,h : % $ R is a measurable and # j(.,u) is a Clarke’s Generalized Gradient of a functionu %$ j(x,u), a.e. x " %, associated with critical growth. Regularity of the solutions isinvestigated, as well.

Keywords

Minimization, convexity, Orlicz-Sobolev Spaces.

Sumário

1 Introdução 11

2 Espaços de Orlicz e Orlicz-Sobolev: Uma Revisão 212.1 N-função 212.2 Espaços de Orlicz 232.3 Espaços de Orlicz-Sobolev 262.4 Consequências das Hipóteses ('1)! ('3). 282.5 Consequências das Hipóteses ('1)& ! ('4)& 35

3 Funcionais Localmente Lipschitzianos:Uma Revisão 413.1 O Gradiente de Clarke 413.2 Mais Sobre Cálculo Subdiferencial 433.3 O Teorema de Aubin-Clarke em Espaços de Orlicz 44

4 O Problema de Dirichlet Para !":Resultados Básicos 484.1 Minimização do Funcional Energia de (4!1) 484.2 Existência de Solução de (4!1) via Minimização 504.3 Existência de Solução de (4!1) via Browder-Minty 524.4 Unicidade de Solução de (4!1) 594.5 O Operador Solução Associado a (4!1) 604.6 Regularidade da Solução de (4!1) 66

5 Equações Multivalentes em Domínios Limitados via Minimização em Espaçosde Orlicz-Sobolev:Minimização Global 705.1 Observações e Resultados Preliminares 705.2 Preliminares as Demonstrações dos Teoremas Principais 755.3 Provas dos Teoremas 1.0.1 e 1.0.2. 775.4 Demonstrações dos Teoremas 1.0.3 e 1.0.4 83

6 Problemas Quaselineares Multivalentes com Crescimento Crítico em um Domí-nio Limitado: Princípio Variacional de Ekeland e Concentração-Compacidade 866.1 Estrutura Variacional Associada a (1!26) 876.2 Limitação Local de I: Sequência de Ekeland 896.3 Algumas Propriedades da Sequência de Ekeland 916.4 Convergência da Sequência de Ekeland em Compactos 936.5 Demonstração do Teorema 1.0.5 99

6.6 Demonstração do Teorema 1.0.6 1056.7 Demonstrações dos Teoremas 1.0.7, 1.0.8 e 1.0.9 115

A Alguns Funcionais em Espaços de Orlicz-Sobolev 119

B Medidas e Concentração-Compacidade 123

C Sobre Regularidade de Soluções de Equações Quasilineares 130

Referências Bibliográficas 132

CAPÍTULO 1Introdução

Neste trabalho estudamos existência e regularidade de soluções da equaçãoquasilinear elíptica multivalente

!!"u " # j(x,u)+$h(x,u) em % (1-1)

onde % # RN é um domínio limitado com fronteira #% regular, !" é o operador "-Laplaciano, isto é

!"u = div('(|(u|)(u) =N

!'(|(u|) #u

onde ' : (0,&)$ (0,&) é uma função contínua e satisfaz:

('1) (i) lims$0

s'(s) = 0, (ii) lims$&

s'(s) = &,

('2) s %$ s'(s) é não-decrescente em (0,&),

" : R $ R é a função par dada por

"(t) :=! t

0s'(s)ds, t ' 0,

j : % ( R $ R é uma função Carathéodory tal que a função t %$ j(x, t) é localmenteLipschitz q.t.p. em %, $ > 0 é um parâmetro, h : %(R $ R é uma função Carathéodorye # j(x, t) é a derivada generalizada de Clarke, isto é,

# j(x, t) := {µ " R | j0(x, t;r)' µr, r " R}, q.t.p. x " %,

onde j0(x, t;r) denota a derivada direcional generalizada de s %$ j(x,s) em s na direção rdada por

j0(x, t;r) := limsupy$t;$)0

j(x,y+$r)! j(x,y)$

Em nossa primeira classe de resultados, exploramos funcionais energia coercivospara obter solução da equação

!!"u " # j(.,u)+h em %, (1-2)

via minimização (cf. Capítulo 5). Na equação (1!2), h : % $ R , é uma função mensu-rável (consideramos h(x,u) = h(x) em (1!1)), e j : %(R $ R tem crescimento crítico(num sentido que definiremos abaixo), satisfazendo a seguinte condição adicional:

existem números A ' 0, !> 0 e uma função não negativa B " L1(%) tais que

j(x,s)* A|s|!+B(x), s " R, a.e. x " %. (1-3)

Segue que a função

A&(x) := limsup|s|$&

j(x,s)|s|!

satisfazA&(x)* A, q.t.p. x " %. (1-4)

Quando a função ' satisfaz ('1)! ('2), " é uma N-função (cf. Capítulo 2). Afunção complementar de " (que também é uma N-função) é definida por

#"(t) = maxs'0

{st !"(s)}. (1-5)

Para introduzir a função crescimento crítico "+ precisamos que ' satisfaça

('3) existem !,m " (1,N) tais que !* t2'(t)"(t)

* m, t > 0.

A propósito, "+ é definida como sendo a inversa de

t " (0,&) %$! t

"!1(s)

Nds. (1-6)

Estendemos "+ a R por "+(t) = "+(!t) para t * 0, e observemos que de acordo com acondição ('3) a função "+ é uma N-função (cf. Capítulo 2).

Devido a natureza do operador !" utilizaremos espaços de Orlicz L"(%) ede Orlicz-Sobolev W 1,"

0 (%) (cf. Capítulo 2 para definições e propriedades) e graças acondição ('3) ambos os espaços são reflexivos.

A propósito, a definição de solução fraca de (1!2) é:

Definição 1.0.1 Dizemos que u "W 1,"0 (%) é solução fraca de (1!2) se existe * = *u "

L"+(%)& = L#"+(%) tal que

*(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " %, (1-7)!

%'(|(u|)(u(vdx =

%*vdx+

%hvdx, v "W 1,"

0 (%). (1-8)

Nosso primeiro teorema, enunciado a seguir, é motivado por resultados deMawhin, Ward e Willem (cf. [39, Teo. 1]) e Gonçalves (cf. [27, Teo. 1]).

Teorema 1.0.1 Seja " satisfazendo ('1)! ('3). Suponha que existam c1,c2 ' 0 e umafunção não negativa b " L"+(%)& tal que

|+|* c1#"!1+ ,"+(c2s)+b(x), s " R q.t.p. x " %, + " # j(x,s). (1-9)

Suponha também que j satisfaça (1!3) e

infv"W 1,"

0 (%), -v-"=1

%"(|(v|)dx!

{v.=0}A&(x)|v(x)|!dx

%> 0. (1-10)

Então para todo h " L"(%)&, o problema (1!2) possui pelo menos uma solução fracaem W 1,"

0 (%).

Observação 1.0.1 1. A condição (1!10) é motivada pelas condições (5)! (6) emBrézis e Oswald [11], e condição (5) em Gonçalves [27].

2. Se 1 < p < N e '(t) = pt p!2, então

"(t) = t p.

"!1+ (t) =

"!1(s)

0s1/p!1/N!1ds =

t1/p+, t > 0

obtendo "+(t) = (p+)p+t p+ , onde p+ = N pN!p . A função "+ desempenha o papel do

expoente crítico de Sobolev no caso de espaços de Sobolev.3. Quando 1 < p < N e '(t) = pt p!2 temos que

(i) W 1,"0 (%) =W 1,p

0 (%) e na condição ('3) temos != m = p;(ii) supondo que s %$ j(x,s) é diferenciável e f (x,s) := # j(x,s)

#s q.t.p. x " %, aequação (1!2) e as condições (1!9) e (1!10) tornam-se respectivamente

!!pu = f (x,u)+h, em %, u = 0 em #%, (1-11)

| f (x,s)|* a|s|p+!1 +b(x) q.t.p. x " %, s " R, (1-12)

infv"W 1,p

0 (%), -v-p=1

%|(v|pdx!

{v.=0}A&(x)|v(x)|pdx

%> 0; (1-13)

(iii) O problema (1!11) sob as condições (1!3), onde ! = m = p = 2, (1!12)e (1!13) foi resolvido por Gonçalves (cf. [27]).

4. Para outros comentários e observações confira Capítulo 5.

Nosso segundo teorema, enunciado abaixo, trata sobre regularidade de soluçãofraca da equação (1!2) obtida no Teorema 1.0.1.

Neste sentido, sejam a > 0 e f : %(R $ R uma função satisfazendo:

f (x, .) " C(R!{a}),f (x,a!0)< f (x,a+0), x " %,

(1-14)

ondef (x, t !0) := lim

,$t!f (x,,) e f (x, t +0) := lim

,$t+f (x,,).

Definaj(x,s) :=

0f (x, t)dt.

Se u é solução de (1!2), dada pelo Teorema 1.0.1, considere o conjunto de nível

-a(u) = {x " % | u(x) = a}. (1-15)

Teorema 1.0.2 Sejam " satisfazendo ('1)! ('3) e f : %(R !$ R uma função nãodecrescente na segunda variável satisfazendo (1!3), (1!10), (1!14) e

| f (x,s)|* c1#"!1+ ,"+(c2s)+b(x), (1-16)

onde c1,c2 > 0 e b " L"+(%)&. Então (1!2) admite solução satisfazendo

|-a(u)|= 0,!!"u(x) = f (x,u)+h(x) q.t.p. x " %.

(1-17)

Observação 1.0.2 Uma explicação para a equação (1!17) é da no Capítulo 5.

Nosso próximo resultado é uma aplicação do Teorema 1.0.1 no caso em que ooperador !" da equação (1!2) é dado por:

!".u = div&

1+ |(u|2 !1).!1'

1+ |(u|2(u

(, (1-18)

onde 1 < . < &. Neste caso a correspondente função ' : (0,&)$ (0,&) é dada por

'.(t) = .(/

1+ t2 !1).!1/

1+ t2t ' 0.

Observação 1.0.3 O operador !". , com . > 1, aparece em problemas de elasticidade(cf. Fukagai & Narukawa [24]). Por outro lado, o caso . = 1 é tratado por Dacoronha[17, Teo. 5.28].

Nosso terceiro resultado é:

Teorema 1.0.3 Suponha que 1 < . < N2 , que

|+|* )a|s|."!1 +b(x), s " R q.t.p. x " %, + " # j(x, t), (1-19)

onde )a ' 0 é uma constante, b " L.+(%) é não negativa, ." = N./(N ! .), e

j(x,s)* A|s|. +B(x), s " R q.t.p. x " %, (1-20)

para alguma constante A ' 0 e alguma função não negativa B " L1(%). Se além disso,

infv"W 1,.

0 , |v|L.=1

!*1+ |(v|2 !1

{v .=0}A&(x)|v(x)|.dx

%> 0, (1-21)

então para cada h " L.

.!1 (%) existe u "W 1,.0 (%) satisfazendo

!!". " # j(.,u)+h em %, (1-22)

no sentido fraco.

Para formular nosso quarto resultado vamos supor a seguinte condição de cres-cimento

| f (x,s)|* )a|s|.+!1 +b(x), t " R, q.t.p. x " % (1-23)

onde )a ' 0 é uma constante, b " L.+ é não negativa, .+ = N./(N ! .).

Observamos que a Condição (1!23) é um caso particular de (1!16).

Teorema 1.0.4 Suponha 1 < . < N2 . Suponha também (1!14), (1!20), (1!21) e

(1!23). Então, para cada h " L.

.!1 (%), o problema (1!22) admite uma solução fracau "W 1,.

0 (%) satisfazendo (1!17).

Observação 1.0.4 Sejam a > 0 e h " L"+(%)&, h ' 0 e h .0 0. Considere o problema defronteira livre em %:

!!"u = 1+h se u > a;!!"u = h se u * a.

(1-24)

O problema (1!24) pode ser escrito como

!!"u = /u>a +h q.t.p. em %. (1-25)

No Capítulo 5 mostraremos o seguinte resultado:

Proposição 1.0.1 A equação (1!25) admite uma solução fraca u "W 1,"0 (%).

Os resultados acima serão demonstrados no Capítulo 5.Em nossa segunda classe de resultados, exploramos a limitação local de funcio-

nais energia para obter solução da equação

!!"u " # j(.,u)+$h in %, (1-26)

via princípio variacional de Ekeland (cf. Capítulo 6). Na equacão (1!26), $ > 0 é umparâmetro, h : % $ R é uma função mensurável e j : %(R $ R é dada por

j(x, t) = 0(x)["+(t)!"+(a)] /{t>a}(t), (1-27)

onde 0 " L&(%), 0 > 0, e a > 0 é um número. A propósito, o funcional energia associadoa equação (1!26) é dado por

I(u) =!

%"(|(u|)dx!

%j(x,u)dx!$

%hudx, u "W 1,"

0 (%). (1-28)

Uma solução da equação (1!26) é entendida no seguinte sentido:

Definição 1.0.2 Seja h " L"+(%)&. Uma fução u "W 1,"0 (%) é uma solução do problema

(1!26) se existe um elemento * := *u " L"+(%)& tal que

*(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " %, (1-29)!

%'(|(u|)(u(vdx =

%*vdx+$

%hvdx, v "W 1,"

0 (%). (1-30)

A seguir, enunciamos os principais resultados do Capítulo 6.Esses resultados, bem como as técnicas de demonstração, são motivados por

Alves & Gonçalves [5], Alves, Bertone & Gonçalves [4], Alves & Bertone [3], Santos[45], Alves, Gonçalves & Santos [7] e Alves, Gonçalves & Santos [6].

Teorema 1.0.5 Seja a> 0 e suponha que !+>m. Suponha também que ' : (0,&)$ (0,&)

é contínua e satisfaz ('1)! ('3). Seja h " L"+(%)& não negativa e não nula. Então existe$+ > 0 tal que para cada $ " (0,$+) o problema (1!26) possui pelo menos uma soluçãonão-negativa, digamos u = u$ "W 1,"

0 (%). Além disso,

!!"u = *+$h q.t.p. em %. (1-31)

Observação 1.0.5 No Teorema acima !+ = N!N!! . Além disso, * que aparece em (1!31)

é o * que aparece na Definição 1.0.2.

Antes de enunciarmos nosso próximo resultado, introduziremos algumas nota-ções.

Em primeiro lugar, lembramos que (cf. [23, 43])

"+(t) =! t

0'+(s)ds,

onde '+ : [0,&)$ [0,&) satisfaz

('+)1 '+(0) = 0, '+(s)> 0 for s > 0, lims$&

'+(s) = &,

('+)2 '+ é contínua, não-decrescente,

('+)3 !+ * t'+(t)"+(t)

* m+ for t > 0,

onde p+ := N p/(N ! p) para p " (1,N).Observamos que a função j(x, t) se escreve da seguinte forma

j(x, t) =! t

00(x) /{1>a}(1) '+(1)d1, t " R. (1-32)

As condições adicionais abaixo são necessárias para formular o nosso próximoresultado que trata sobre regularidade da solução obtida no teorema anterior:

('1)& ' " C1(0,&) uma função não-negativa e monótona;('2)& Se ' é não-decrescente, então lim

t$0'(t) = 0 e lim

t$&'(t) = &.

('3)& 0 < a1 := infs>0

('(s)s)&

'(s)* ('(t)t)&

'(t)* sup

('(s)s)&

'(s)=: a2 < N !1, t > 0;

('4)& ('+(t)t)& é não-decrescente para t ' 0, ou em outros termos '+(t)t é convexa.

Observação 1.0.6 Mostraremos no Seção 6.6 que as condições ('1)& e ('3)& implicam('1)! ('3).

Teorema 1.0.6 Sejam a > 0. Suponha que !+ > m, ' : (0,&) $ (0,&) satisfaça ('1)& !('4)& e h " L"+(%)& é não negativa e não nula. Então existe $+ > 0 tal que para cada$ " (0,$+) a solução u "W 1,"

0 (%) obtida no pelo Teorema 1.0.5 satisfaz:

(i) I(u)< 0;(ii) |-a(u)|= 0;(iii) |{x " % | u(x)> a}|> 0;

Além disso,!!"u = 0 '+(u) /{u>a}+$h q.t.p. em %. (1-33)

Observação 1.0.7 Uma consequência do Teorema 1.0.6, item (iii), é que a soluçãou "W 1,"

0 (%) do problema (1!26) não é solução do problema

!!"u = h em %.

Observação 1.0.8 Sejam a > 0 e h " L"+(%)&, h ' 0 e h .0 0. Considere o problema defronteira livre:

!!"u = $h em {u < a}!!"u = '+(u)+$h em {u > a}

u = 0 em #{u < a}u ' 0 em %.

(1-34)

O problema (1!34) pode ser escrito na forma (1!33).

Ainda no Capítulo 6 examinamos vários exemplos de funções ' em que ocorrespondente operador !" aparece em aplicações.

Em primeiro lugar considere a função

'(t) = 2.(1+ t2).!1, t > 0, (1-35)

onde . "&

1, NN!2

(. Neste caso, !" aparece em problemas de elasticidade não linear, (cf.

[25] e suas referências).Mostraremos no Capítulo 6 que a função expoente crítico de " é "+(t) = t(2.)+ ,

onde (2.)+ = 2.NN!2. .

Neste caso,j(x, t) = 0(x)[t(2.)+ !a(2.)+] /{t>a}(t). (1-36)

O resultado abaixo é baseado no Teorema 1.0.5 e inclui argumentos adicionaisde regularidade.

Teorema 1.0.7 Suponha que N ' 4 e 1 < . < NN!2 . Sejam a > 0 e h " L(2.)+(%)& é

não negativa e não nula. Então existe $+ > 0 tal que para cada $ " (0,$+) a equação(1!26), onde ' é dada por (1!35), admite pelo menos uma solução não negativau = u$ "W 1,2.

0 (%)!{0}.

Observação 1.0.9 O operador !", onde ' é definida em (1!35), aparece em problemasde elasticidade não linear (cf. [25]).

Em segundo lugar considere a função

'(t) = pt p!2(1+ t) ln(1+ t)+ t p!1

1+ t, t > 0, (1-37)

onde 1 < !1+/

1+4N2 < p < N ! 1, N ' 3. Neste caso, !" aparece em problemas de

plasticidade, (cf. [25] e suas referências).O resultado abaixo é baseado no Teorema 1.0.5.

Teorema 1.0.8 Suponha que N ' 3 e !1+/

1+4N2 < p < N!1. Sejam a > 0 e h " L"+(%)&

é não negativa e não nula. Então existe $+ > 0 tal que para cada $ " (0,$+), a equação(1!26), onde ' é definida por (1!37), possui pelo menos uma solução não negativa enão nula.

Observação 1.0.10 O operador !", onde ' é definida em (1!37), aparece em proble-mas de plasticidade (cf. [25]).

Observação 1.0.11 Diferentemente do Teorema 1.0.7, o espaço de Orlicz-SobolevW 1,"

0 (%) considerado no Teorema 1.0.8 não coincide com nenhum espaço de Sobolev.Provaremos isto na Observação 6.7.1.

Por fim, considere a função

'(t) = p0t p0!2 + p1t p1!2, t ' 0, (1-38)

onde 2 < p0 < p1 < N e p1 " (p0, p+0).Mostraremos no Capítulo 6 que a função expoente crítico de ", onde ' é definida

por (1!38), é "+(t) = t p+1p+1

, onde p+1 =p1N

Neste casoj(x, t) :=

0(x)p+1

[t p+1 !ap+1]/{t>a}(t). (1-39)

O teorema a seguir é uma aplicação do Teorema 1.0.6.

Teorema 1.0.9 Suponha que 2 < p0 < p1 < N e p1 " (p0, p+0). Sejam a > 0 e h "Lp+1(%)& é não negativa e não nula. Então existe $+ > 0 tal que para cada $ " (0,$+),a equação (1!26), onde ' é definida por (1!38), possui pelo menos uma soluçãou0 "W 1,p1

0 (%)!{0} não negativa satisfazendo

!!"u = 0up+1!1/u>a +$h q.t.p. em %.

Observação 1.0.12 O operador !", onde ' é definida em (1!38), aparece em proble-mas de Biofísica e Física de Plasmas (cf. [30]).

No Capítulo 2 introduzimos notações e resultados básicos sobre Espaços deOrlicz e Orlicz-Sobolev.

No Capítulo 3 apresentamos notações, observações sobre funcionais LocalmenteLipschitzianos, Gradiente Generalizado de Clarke e pontos críticos de funcionais Liploc.

No Capítulo 4 estudamos o problema

!!"u = h em %, u = 0 em #%,

incluindo existência, regularidade e unicidade de solução, estudo do operador solução epropriedades de monotonicidade.

Finalmente, reunimos em um apêndice vários resultados técnicos a que nosreferimos ao longo deste trabalho.

CAPÍTULO 2Espaços de Orlicz e Orlicz-Sobolev: UmaRevisão

Neste capítulo revisaremos conceitos básicos sobre espaços de Orlicz e apre-sentaremos refenrências específicas para cada resultado e observação. Como referênciasbásicas citamos [1, 31, 32, 43, 44].

2.1 N-função

Definição 2.1.1 Dizemos que " é uma N-função (ou função Young) se

"(t) =! t

02(s)ds, t ' 0,

onde 2 : [0,&[!$ R tal que

1. 2(0) = 0;2. 2(s)> 0 para s > 0;3. 2 é contínua à direita em qualquer ponto s ' 0;4. 2 é não decrescente em ]0,&[;5. lims$& 2(s) = &.

Observação 2.1.1 Estendemos " a R fazendo "(!t) = "(t), t ' 0, isto é, " : R $ R épar.

Exemplo 2.1.1 Incluímos a seguir alguns exemplos de N-funções:

1. "1(t) = |t|p, onde p " (1,+&) e t " R;2. "2(t) = (

/1+ t2 !1)., onde . " (1,+&) e t " R;

3. "3(t) = t p ln(1+ |t|), onde p " (0,+&) e t " R.

Definição 2.1.2 (Função complementar de ") Seja " uma N-função. A função definidapor

#"(t) = maxs'0

{st !"(s)}

2.1 N-função 22

é chamada a função complementar de ".

Observação 2.1.2 (cf. [32]) #" é uma N-função.

Apresentaremos no lema a seguir várias propriedades de N-funções.

Lema 2.1.1 (cf. [1, 23, 32]) Uma N-função " é contínua, não negativa, estritamentecrescente e convexa em [0,&). Além disso, vale:

1. limt$0

= 0 e limt$&

2. a função t %$ "(t)t é crescente em (0,+&);

3. "(3t)* 3"(t), 3 " [0,1] e t ' 0;4. "(4t)' 4"(t), 4 > 1 e t ' 0;5. (Desigualdade de Young) Dados s, t " R, então

st * "(s)+ #"(t),

a igualdade vale se, e somente se, s = #2(t) ou t = 2(s), onde 2 e #2 satisfazem

"(s) =! s

02(r)dr e #"(t) =

0#2(r)dr.

6. Se 2 é contínua e crescente, então

#"(t) =! t

02!1(s)ds;

7. #"(2(t))* "(2t), para t ' 0;8. #"

(* "(t), para t > 0.

Definição 2.1.3 Seja " uma N-função. Dizemos que " satisfaz a condição !2 (" " !2),se existe K > 0 tal que

"(2t)* K"(t), t ' 0.

Dizemos que " satisfaz a condição !2 no infinito (" " !2(&)), se existem T ' 0 e K > 0tais que

"(2t)* K"(t), t ' T.

Observação 2.1.3 (cf. [1]) Uma N-função " satisfaz a condição !2 no infinito se, esomente se, existe t0 ' 0 tal que

t2(t)"(t)

* m, t ' t0,

para alguma constante m > 1. No caso em que " " !2 teremos que t0 = 0.

2.2 Espaços de Orlicz 23

Todas as N-funções do exemplo 2.1.1 satisfazem a condição !2. Já a N-função

"4(t) = [et ! t !1] ." !2.

De fato,t2'(t)"(t)

=tet ! t

et ! t !1= t +

et ! t !1t$&!$ &,

e pela Observação 2.1.3 "4 ." !2.

2.2 Espaços de Orlicz

Definição 2.2.1 Sejam % # RN um domínio e " uma N-função. O espaço de Orlicz édefinido por

L"(%) :=$

u : % $ R mensurável+++!

%"(3u)dx < &, para algum 3 > 0

Observação 2.2.1 (cf. [32, 43])

(i) A expressão

-u-" := inf$

$ > 0 |!

%"!|u(x)|

"dx * 1

define uma norma em L"(%), chamada norma de Luxemburg;(ii) (L"(%),-.-") é um espaço de Banach;(iii) (Desigualdade Integral de Young) Dados u " L"(%), v " L#"(%), então

uv " L1(%) e!

%uvdx *

%"(u)dx+

%#"(u)dx.

Lema 2.2.1 (cf. [1, 32]) Sejam % # RN um domínio limitado e " uma N-função tal que" " !2. Então:

1. L"(%) é separável;2. L"(%) = C&

0 (%)-.-";

3. L#"(%) = L"(%)& e L"(%) = L#"(%)&;4. L"(%) é reflexivo se, e somente se, ", #" " !2;5. (Teorema da Representação de Riesz) Seja F " L"(%)&, então existe um único

v " L#"(%) tal que

F(u) =!

%uvdx, u " L"(%).

Teorema 2.2.1 (Desigualdade de Hölder) (cf. [1]) Dados u " L"(%), v " L#"(%), então

%uvdx * 2-u-"-v-#".

Observação 2.2.2 (cf. [43]) Se "(1)+ #"(1) = 1, então!

%uvdx * -u-"-v-#".

Formularemos abaixo um resultado técnico que será útil em aplicações envol-vendo o Teorema de Lebesgue, no contexto de Espaços de Orlicz.

Lema 2.2.2 Sejam % # RN um domínio limitado, " uma N-função satisfazendo !2 e(un)1 L"(%) uma sequência tal que un $ u em L"(%). Então existem uma subsequência(unk)1 (un) e h " L"(%) tais que

1. unk(x)$ u(x) q.t.p. x " %;2. |unk(x)|* h(x) q.t.p. x " %.

Demonstração: Como |%|<&, segue por [1] que L"(%) #$ L1(%). Assim, considerandouma subsequência se necessário, temos que

un(x)$ u(x) q.t.p. x " %.

Além disso, como un $ u em L"(%), temos!

%"(un !u)dx $ 0, quando n $ &,

donde"(un !u)dx $ 0, quando n $ &,

em L1(%). Assim, existe #h " L1(%) tal que

"(un(x)!u(x))* #h(x), q.t.p. x " %.

Como " é convexa, crescente e satisfaz a condição !2, temos

"(|un|) * K"!|un !u|+ |u|

* K2["(|un !u|)+"(|u|)]

* K2[#h+"(|u|)], q.t.p. x " %,

donde|un|* "!1

!K2(#h+"(|u|))

Defina h = "!1&

K2 (#h+"(|u|))

(e note que h " L"(%). De fato, #h " L1(%),

"(|u|) " L1(%) e

%"(h)dx =

K2(#h+"(|u|))

!K2(#h+"(|u|))

Agora, basta aplicar o Teorema de Lebesgue.Enunciaremos a seguir uma variante, para o caso de Espaços de Orlicz, do Lema

de Brézis-Lieb (cf. [9]) que será bastante utilizado no Capítulos 6.

Lema 2.2.3 (Brézis-Lieb) Sejam " : R $ R uma N-função, (un)1 L"(%) e u " L"(%)

tal que un $ u q.t.p. em %. Então!

%|"(un)!"(un !u)!"(u)|dx $ 0.

Lema 2.2.4 (cf. [29]) Sejam " uma N-função tal que ", #""!2 e (un)1 L"(%) limitada.Suponha que un $ u q.t.p. em %. Então u " L"(%) e un $ u.

Definição 2.2.2 Uma sequência (un)1 L"(%) converge em média para u " L"(%) se!

%"(|un !u|)dx n$&!$ 0. (2-1)

Observação 2.2.3 (cf. [32])

(i) Se (un)1 L"(%) converge para u em L"(%), então (un) converge em média para u .(ii) Se " " !2, então as duas convergências, referidas em (i), são equivalentes.

Definição 2.2.3 Sejam "1 e "2 N-funções. Se existem duas constantes positivas c e Ttais que

"1(t)* "2(ct), t ' T

denotaremos por"1 2 "2.

Dizemos que "1 é equivalente a "2 se

"1 2 "2 e "2 2 "1.

2.3 Espaços de Orlicz-Sobolev 26

Teorema 2.2.2 (cf. [32]) Sejam "1 e "2 N-funções. Então

L"1(%) #$ L"2(%)

se, e somente se, "2 2 "1.

Definição 2.2.4 Sejam "1 e "2 N-funções. Dizemos que "1 cresce essencialmente maislentamente que "2, denotamos "1 22 "2, se para qualquer k > 0

limt$&

"1(t)"2(kt)

Lema 2.2.5 (cf. [1]) Sejam % # RN um conjunto limitado e "1,"2 N-funções tais que"1 " !2 e "1 cresce essencialmente mais lentamente que "2. Então

L"2(%) #$ L"1(%).

2.3 Espaços de Orlicz-Sobolev

Se % # RN é um domínio e " uma N-função,

W 1,"(%) := {u " L"(%) | #iu " L"(%), i = 1, ...,N}

é chamado espaço de Orlicz-Sobolev.

Observação 2.3.1 (cf. [1]) A expressão

-u-1," := -u-" +N

-#iu-"

define uma norma em W 1,"(%) e (W 1,"(%),-.-1,") é um espaço de Banach.

Observação 2.3.2 (cf. [8, 29]) Se ", #" " !2, então

a) O espaço W 1,"(%) é homeomorfo ao conjunto

,(w0,w1, ...,wN) " 5L"(%) | wi = #iu " L"(%), i = 0,1, ...,N

onde #0u := u;

b) W 1,"(%)f ech1 5L"(%);

c) W 1,"(%) é fechado na topologia fraca de 5L"(%);

2.3 Espaços de Orlicz-Sobolev 27

DefinimosW 1,"

0 (%) := C&0 (%)

-.-1,".

Observação 2.3.3 (cf. [29]) Se ", #" " !2, então

a) W 1,"0 (%) é o kernel do operador traço.

b) (Desigualde de Poincaré) Se d = |%|< &, então!

%"(u)dx *

%"(2d|(u|)dx e -u-" * 2d-(u-".

c) Usando a desigualdade de Poincaré,

-u- := -(u-"

define uma norma em W 1,"0 (%) que é equivalente à norma -.-1,".

Teorema 2.3.1 (cf. [1])

1. W 1,"(%) é separável se " " !2;2. W 1,"(%) é reflexivo se, e somente se, ", #" " !2;3. Dado L "W 1,"(%)& :=W!1,#"(%), existem v0, ...,vN " L#"(%) tais que

L(u) =!

%uv0dx+

vidx, u "W 1,"(%);

4. W 1,"(%) = C&(%)3W 1,"(%)-.-1,";

5. Se % satisfaz propriedade do seguimento, então W 1,"(%) = C&(%)-.-1,"

Seja " uma N-função e defina

g"(t) :="!1(t)

t1+ 1N

, t > 0. (2-2)

Observação 2.3.4 (cf. [32]) Dada uma N-função " existe uma N-função "1, equivalentea ", satisfazendo ! 1

0g"1(t)dt < &. (2-3)

Definição 2.3.1 Seja " uma N-função satisfazendo (2!3) e que

1g"(t)dt = &. (2-4)

A função "+ definida como sendo a inversa da função

("+)!1(t) =

1g"(s)ds

2.4 Consequências das Hipóteses ('1)! ('3). 28

é chamada a conjugada de Sobolev de ".

Teorema 2.3.2 (cf. [32]) Sejam % # RN um domínio limitado regular e " satisfazendo(2!3). Então

1. se 6 22 "+ e (2!4) vale, tem-se

W 1,"(%)cont#$ L"+(%) e W 1,"(%)

comp#$ L6(%),

2. Se (2!4) não vale, tem-se

W 1,"(%)comp#$ C(%)3L&(%);

Corolário 2.3.1 (cf. [26]) Sejam % # RN um domínio limitado regular e " satisfazendo(2!3) e (2!4). Então

W 1,"0

comp#$ L"(%).

Demonstração: Afirmamos que " 22 "+. Com efeito, conforme [1, pg. 265] istoequivale a mostrar que

limt$&

"!1+ (t)

"!1(t)= 0.

Por outro lado, para t ' t0

"!1+ (t) = "!1

+ (t0)+! t

"!1(s)s1+1/N ds

assim, integrando por partes e dividindo por "!1(t), encontramos

"!1+ (t)

"!1(t)=

"!1(t0)"!1(t)

!Nt!1/N +N

"!1(t)

t0("!1)&(s)s!1/Nds.

Usando a regra de L’Hospital deduzimos

limt$&

"!1+ (t)

"!1(t)= lim

t$&("!1)&(t)t!1/N

("!1)&(t)= 0,

mostrando a afirmação. A conclusão do Corolário segue do Teorema 2.3.2.

2.4 Consequências das Hipóteses ('1)! ('3).

Seja ' : (0,&)$ (0,&) uma função contínua satisfazendo ('1)! ('3). Estendaa função s %$ s'(s) a R como ímpar e defina " por

"(t) :=! t

0s'(s)ds, t " R.

Afirmamos que " é uma N-função. Com efeito, defina

2(t) =

.t'(t) , t > 00 , t = 0

Claramente 2(t) > 0 para t > 0, por ('1) concluímos que 2 é contínua em [0,+&), quelimt$& 2(t) = & e por ('2) é não-decrescente em (0,+&).

Lema 2.4.1 (cf. [25]) Seja ' satisfazendo ('1)! ('3). Defina 70(t) = min{t!, tm} e71(t) = max{t!, tm}, t ' 0, Então

70(*)"(t)* "(*t)* 71(*)"(t), *, t > 0 e (2-5)

70(-u-")*!

%"(u)dx * 71(-u-"), para u " L"(%). (2-6)

Demonstração: Dado * > 0, considere os seguintes casos:

Caso 1: s ' 1Como

(ln"(*s)) ='(*s)*s2

"(*s).

De ('3)!

ds(ln"(*s))* m

donde!! t

(ln"(*s))ds * m! t

assimt! * "(*t)

"(*)* tm, t ' 1,

e portanto"(*)t! * "(*t)* "(*)tm, t ' 1, * > 0

Caso 2: 0 < s * 1Neste caso

(ln"(*s))ds * m! 1

assimln t! ' ln

!"(*s)"(*)

"' ln tm,

consequentemente

"(*)tm * "(*t)* "(*)t!, 0 < t * 1, * > 0.

De ambos os casos

70(*)"(t)* "(*t)* 71(*)"(t), *, t > 0.

Agora dado u " L"(%) faça

* =|u|

-u-"e t = -u-".

em (2!5). Assim,

|u|-u-"

"70(-u-")* "(|u|)* "

"71(-u-").

Integrando em % e usando que

!|u(x)|-u-"

"dx = 1,

obtemos (2!6), como queríamos demonstrar.

Corolário 2.4.1 (cf. [38]) Seja ' satisfazendo ('1)! ('3). Então

-u-" * max

%"(u)dx

" 1m/, u " L"(%).

Corolário 2.4.2 Seja ' satisfazendo ('1)! ('3). Então

Lm(%)cont#$ L"(%)

cont#$ L!(%).

Demonstração: Seja u " L"(%) tal que -u-" = 1, então pelo Lema 2.4.1

1 = -u-" =!

%"(u)dx ' "(1)

|u|*1|u|mdx+"(1)

|u|>1|u|!dx,

assim !

|u|>1|u|!dx * 1

consequentemente

|u|!! =!

%|u|!dx =

|u|>1|u|!dx+

|u|*1|u|!dx * 1

"(1)+ |%|

donde L"(%) #$ L!(%). De maneira análoga mostra-se que Lm(%) #$ L"(%).

Lema 2.4.2 (cf. [25]) Seja ' satisfazendo ('1)! ('3). Defina 72(t) = min{t!

!!1 , tm

m!1} e73(t) = max{t

!!!1 , t

mm!1}, t ' 0, Então

* t #"&(t)#"(t)

!!1(2-7)

72(*)#"(t)* #"(*t)* 73(*)#"(t), *, t > 0 e (2-8)

72(-u-#")*!

%#"(u)dx * 73(-u-#"), para u " L#"(%). (2-9)

Demonstração: ([45]) Como a função 2 é crescente e contínua, temos que

+(s)'(+(s)) = s, s ' 0,

onde + é a função inversa da função t %$ t'(t). Fazendo t = +(s) em ('3) obtemos

!"(+(s))* s+(s)* m"(+(s)), s > 0.

Pela desigualdade de Young temos que "(+(s)) = s+(s)! #"(s), então

!(s+(s)! #"(s))* s+(s)* m(s+(s)! #"(s)), s > 0

dondem

m!1* s+(s)

#"(s)* !

!!1, s > 0.

Procedendo como no Lema 2.4.1, concluímos a demonstração.

!!1 (%)cont#$ L#"(%)

cont#$ L

mm!1 (%).

Observação 2.4.1 Pelos Lemas 2.4.1 e 2.4.2 e a Observação 2.1.3 segue que ", #" " !2.Recorrendo ao Lema 2.2.1, concluímos que L#"(%) é reflexivo.

Lema 2.4.3 Suponha que " satisfaça ('1)! ('3). Então "+ é uma N-função.

Demonstração: Basta mostrarmos (2!3) e (2!4), e conforme Donaldson & Trudinger[20] teremos que "+ é uma N-função. Para tal, afirmamos que

1"(1)1/! s1/!,

1"(1)1/m s1/m

%*"!1(s)*max

"(1)1/! s1/!,1

"(1)1/m s1/m%, s' 0.

(2-10)

De fato, no Lema 2.4.1 fazendo * = "!1(s) e t = 1 encontramos

"(1)min{"!1(s)!,"!1(s)m}* s.

Se 0 * "!1(s)* 1, então

"!1(s)* 1"(1)1/m s1/m

e se "!1(s)> 1 então

"!1(s)* 1"(1)1/! s1/!.

Assim,

"!1(s)* max$

1"(1)1/! s1/!,

1"(1)1/m s1/m

%, s ' 0.

De igual forma obtemos que

1"(1)1/! s1/!,

1"(1)1/m s1/m

%* "!1(s).

Como consequência de (2!10) temos

1"(1)1/! s1/!+!1,

1"(1)1/m s1/m+!1

%* "!1(s)

s1+1/N *max$

1"(1)1/! s1/!+!1,

1"(1)1/m s1/m+!1

para s ' 0, onde !+ = N!N!! e m+ = Nm

N!m . Lembrando que !,m " (0,N) e integrando em sobtemos que

"(1)1/! s1/!+,m+

"(1)1/m s1/m+%*

"!1(s)s1+1/N ds*max

"(1)1/! s1/!+,m+

"(1)1/m s1/m+%

consequentemente

"!1(s)s1+1/N ds < & e

"!1(s)s1+1/N ds = &,

como queríamos demonstrar.

Observação 2.4.2 De acordo com o Lema 2.4.3 "+ é uma N-função, assim pela definiçãode N-função

"+(t) =! t

0'+(s)ds,

onde '+ : [0,&)$ [0,&) satisfazendo

('+)1 '+(0) = 0, '+(s)> 0 para s > 0, lims$&

'+(s) = &,

('+)2 '+ é contínua e não decrescente.

onde ('+)2 é provada via Teorema da Função Implícita.

Lema 2.4.4 Suponha ('1)! ('3). Sejam

74(t) = min{t!+, tm+} e 75(t) = max{t!

+, tm+}, t ' 0.

Então!+ * t"&

+(t)"+(t)

* m+, (2-11)

74(*)"+(t)* "+(*t)* 75(*)"+(t), *, t > 0, (2-12)

74(-u-"+)*!

%"+(u)dx * 75(-u-"+), u " L"+(%). (2-13)

Demonstração: ([45]) Inicialmente provaremos (2!12). Com efeito, dados 1,0, tomet,00,01 > 0 tais que

1 = "(t) e 0 = 70(*0) = 71(*1).

De (2!5) temos

70(*0)"(t)* "(*0t) e "(*1t)* 71*1"(t),

consequentemente

"(7!11 (0)"!1(1))* 01 * "(7!1

0 (0)"!1(1)),

donde7!1

1 (0)"!1(1)* "!1(01)* 7!10 (0)"!1(1), 1 > 0,

e portanto7!1

1 (0)"!1(1)(01)1+1/N * "!1(01)

(01)1+1/N *7!1

0 (0)"!1(1)(01)1+1/N , 0,1 > 0.

Integrando de 0 à t com relação a variável 1, temos

7!11 (0)

01+1/N

"!1(1)11+1/N d1 *

"!1(01)(01)1+1/N d1 *

7!10 (0)

01+1/N

"!1(1)11+1/N d1, t,0 > 0.

Por mudança de variável obtemos

7!11 (0)01/N "!1

+ (t)*! 0t

"!1(1)11+1/N d1 *

7!10 (0)01/N "!1

+ (t), t,0 > 0. (2-14)

como7!1

0 (0)01/N = 74(0) e

7!11 (0)01/N = 75(0)

se (2!14) obtemos

74(0)"!1+ (t)* "!1

+ (0t)* 75(0)"!1+ (t), t,0 > 0. (2-15)

Fixe s,r1,r2 > 0 e t,0 > 0 tais que

t = "+(s) e 0 = 74(r1) = 75(r2).

Segue de (2!15)

r2s * "!1+ ("+(s)75(r2)) e "!1

+ ("+(s)74(r2))* r1s,

portanto"+(r2s)* "+(s)75(r2) e 74(r1)"+(s)* "+(r1s),

donde a relação (2!12) vale. De maneira análoga ao que foi feito no Lema 2.4.1 prova-sea relação (2!13).

Para verificar (2!11), observe que

74(1)"+(t) = "+(t) = 75(1)"+(t).

Isto junto com (2!12) obtemos

74(*)!74(1)*!1

"+(t)*t("+(t*)!"+(t))

t(*!1)* 75(*)!75(1)

*!1"+(t), * > 1, t > 0.

Passando ao limite quando * $ 1+, obtemos que

!+"+(t) = 74+(1)"+(t)* t"&+(t)* 75+(1)"+(t) = m+"+(t),

donde a relação (2!11).

Lm+(%)

cont#$ L"+(%)

cont#$ L!+(%).

Lema 2.4.5 Suponha ('1)! ('3). Sejam

76(t) = min{t!+

!+!1 , tm+

m+!1} e 77(t) = max{t!+

!+!1 , tm+

m+!1}, t ' 0.

Entãom+

m+ !1* t #"&

+(t)#"(t)

!+ !1,

2.5 Consequências das Hipóteses ('1)& ! ('4)& 35

76(*)#"+(t)* #"+(*t)* 77(*)#"+(t), *, t > 0,

76(-u-#"+)*

%#"+(u)dx * 77(-u-#"+

), u " L#"+(%).

!+!1 (%)cont#$ L"(%)

cont#$ L

m+m+!1 (%).

Demonstração: A demonstração deste é análoga à feita no Corolário 2.4.2.

2.5 Consequências das Hipóteses ('1)& ! ('4)&

Iniciaremos observando algumas situações em que as hipóteses ('1)& ! ('4)&,introduzidas no Capítulo 1, são satisfeitas.

Observação 2.5.1 Se '(t) = t p!2, 1 < p < N, então as condições ('1)& ! ('4)& sãoválidas.

Observação 2.5.2 Se " é uma N-função equivalente a "p(t)= t p, para algum p" (1,N),então "+(t) = t p+ é uma conjugada de Sobolev de ". Neste caso, a condição ('4)& éválida. Por exemplo, a N-função "(t) = (1+ t2). ! 1 é equivalente a "2.(t) = t2. (cf.demonstração do Teorema 1.0.7).

Lema 2.5.1 (Cf. [47]) Suponha que ' satisfaça ('3)&. Então

(i) ta2!1'(u)* '(tu)* ta1!1'(u), u " R, se 0 < t * 1;(ii) ta1!1'(u)* '(tu)* ta2!1'(u), u " R, se 1 * t < &.

Demonstração: Basta observar que

a1 !1 * sdds

[ln'(*s)] ='&(*s)*s

'(*s)* a2 !1

e proceder como na demonstração do Lema 2.4.1.

Proposição 2.5.1 Suponha que ' satisfaça ('1)& e ('3)&, então ' também satisfaz ('1)!('3).

Demonstração: Pelo Lema 2.5.1 temos que

limt$0

t'(t)* limt$0

ta1'(1) = 0

e também& = lim

t$&ta1'(1)* lim

t$&t'(t).

Portanto, vale ('1). Agora, pela condição ('3)&

0 < a1 *(t'(t))&

'(t)4 (t'(t))& > 0,

ou seja, t %$ t'(t) é crescente para t > 0. Por fim, segue de ('3)& que

a1'(t)t * t('(t)t)& * a2'(t)t,

via integração, obtemos

(a1 +1)"(t)* '(t)t2 * (a2 +1)"(t).

Basta fazer ! := a1 +1 e m := a2 +1.

Observação 2.5.3 ' é não-decrescente (não-crescente) em (0,&) se, e somente se, a1 ' 1(a2 * 1). Com efeito, se ' é não-decrescente (não-crescente) então

a1 = infs>0

('(s)s)&

'(s)= inf

'&(s)s'(s)

concluindo que 1 * a1 (1 ' a2). Por outro lado, se a1 ' 1 (a2 * 1)

('(t)t)&

'&(t)t'(t)

+1 ' a1 ' 1 (* a2 * 1) 4 '&(t)' 0 ('&(t)* 0),

ou seja, ' é não-decrescente (não-crescente). Além disso, a1 = a2 se, e somente se,'(t) = ta1!1 (isto independe de ' ser não-crescente ou não-decrescente).

Observação 2.5.4 Se a1 > 1, então vale a condição ('2)&. De fato, pelo Lema 2.5.1

limt$0+

'(t)* limt$0+

ta1!1'(1) = 0.

Por outro lado,& = lim

t$&ta1!1'(1)* lim

t$&'(t).

Observação 2.5.5 Segue da hipótese ('1)& e do Teorema da Função Inversa que '+ é declasse C1(R).

Observação 2.5.6 Se ('+(t)t)&, t " R, é não decrescente, então '+(t)t é convexa. De fato,

[('+(t)t)& ! ('+(s)s)&][t ! s] = ['&+(t)t !'&+(s)s][t ! s]+ ['+(t)!'+(s)][t ! s]' 0.

A seguir alguns resultados técnicos.

Proposição 2.5.2 Suponha ('3). Então existe C > 0 tal que

'(a+b)*C['(a)+'(b)],

onde a,b ' 0 e a+b .= 0.

Demonstração: Sejam a,b ' 0. Como " é convexa, " " !2

"(a+b) = "02a+b

conv* 1

2"(2a)+ 12"(2b)

2!a2'(a)+ K2!b2'(b)

* K2!(a+b)2['(a)+'(b)],

onde a penúltima desigualdade usamos ('3). Por outro lado,

1m(a+b)2'(a+b)* "(a+b),

donde'(a+b)* mK

2!['(a)+'(b)].

Isso conclui a demonstração.

Proposição 2.5.3 Suponha que ' é não-decrescente e satisfaz ('1)& ! ('3)&. Então

"1(t) :=! t

0'(s)ds

é uma N-função, "1 " !2 e L"(%) #$ L"1(%), sempre que % # RN for limitado.

Demonstração: É fácil ver que "1 é uma N-função. Para mostrarmos que "1 " !2,provaremos inicialmente que t"1(t)' "(t). De fato, "&

1(t) = '(t). Assim,

"&(t) = t'(t) = t"&1(t),

consequentemente

"(t) =! t

1(s)ds = t"1(s)!! t

0"1(s)ds * t"1(t), t ' 0.

Agora,t2'(t)* m"(t)* mt"1(t),

ou seja,t'(t)* m"1(t), t ' 0.

Segue da Observação 2.1.3 que "1 " !2.Por fim, segue de ('3)&

"1(t) =! t

0'(s)ds * t'(t)* t2'(t)* m"(t), t ' 1.

Assim, pelo Teorema 2.2.2 L"(%) #$ L"1(%), o que prova o Lema 2.5.3.

A seguir estudaremos algumas condições de elipticidade de !".Notação: ai(+) = '(|+|)+i, i = 1, ...,N, onde + = (+1, ...,+N) " RN .

Proposição 2.5.4 Suponha que " satisfaça ('1)& ! ('3)&, então existe -1 > 0 tal que

)i, j=1

#+ j(+)8i8 j ' -1'(|+|)|8|2, +,8 " RN , + .= 0. (2-16)

Demonstração: Dados +,8 " RN, + .= 0 temos

#+ j(+) = '&(|+|)

|+| +'(|+|),i, j,

Se '&(|+|)' 0, então

)i, j=1

#+ j(+)8i8 j = '&(|+|) |5+,86|

|+| +'(|+|)|8|2 ' '(|+|)|8|2.

Por outro lado, se '&(|+|)* 0 então '&(|+|)|5+,86|2 ' '&(|+|)|+|2|8|2. Segue de ('3)&

)i, j=1

#+ j(+)8i8 j ' '(|+|)|8|2 +(a1 !1)'(|+|)|8|2 = a1'(|+|)|8|2.

Considerando -1 = min{1,a1}, concluímos a demonstração.

Proposição 2.5.5 Suponha que ' seja diferenciável satisfazendo ('3)&, então existe -2 >

0 tal que +++++

)i, j=1

#+ j(+)

+++++* -2'(|+|), + " RN !{0}. (2-17)

Demonstração: Com efeito, dados +,8 " RN, + .= 0 segue de

)i, j=1

++++#a j

#+i(+)

++++ *N

)i, j=1

$|'&(|+|)|

|+i+ j||+| +'(|+|),i, j

* '(|+|)N

)i, j=1

max{|a1 !1|, |a2 !1|}|+i+ j||+|2 +,i, j

* '(|+|)N

)i, j=1

max{|a1 !1|, |a2 !1|}+,i, j

= -2'(|+|)

provando a Proposição.A seguir, enunciaremos e demonstraremos um Lema devido a Tan & Fang [47].

Lema 2.5.2 Se ' é não-crescente para t > 0, então existe d > 0 tal que

|'(|+|)+!'(|8|)8|* d'(|+!8|)|+!8|, +,8 " RN .

Demonstração: Suponha, sem perda de generalidade, que |8|> |+|.

|'(|+|)+!'(|8|)8| =

++++! 1

ddt['(|8+ t(+!8)|)(8+ t(+!8))]dt

++++! 1

0'&(|8+ t(+!8)|)(8+ t(+!8),+!8)

|8+ t(+!8)| (8+ t(+!8))dt

0'(|8+ t(+!8)|)(+!8)dt

* |+!8|! 1

0['&(|8+ t(+!8)|)|8+ t(+!8)|+'(|8+ t(+!8)|)]dt

* |+!8|! 1

0[|a2 !1|'(|8+ t(+!8)|)+'&(|8+ t(+!8)|)]dt

= (|a2 !1|+1)|+!8|! 1

0'(|8+ t(+!8)|)dx.

(2-18)Afirmamos que ! 1

0'(|8+ t(+!8)|)dt *C'(|+|+ |8|). (2-19)

De fato, se |+!8|* |8|2 , usando que |8|> |+|

|8+ t(+!8)|' |8|! |+!8|' |8|2

' |8|+ |+|4

junto com Lema 2.5.1 temos

0'(|8+ t(+!8)|)dt * '

!|8|+ |+|

"a1!1'(|+|+ |8|),

ou seja, (2!19) é válida.Se |+!8|> |8|

2 > 0, temos que t0 := |8||+!8| " (0,2) e também

|8+ t(+!8)| ' ||8|! t|+!8||= |t ! t0||+!8|' |t ! t0| |8|2

= |t ! t0|&|8|4 + |8|

' |t ! t0|&|8|+|+|

(2-20)

Como t0 " (0,2) e ' é não-crescente

0'(|8+ t(+!8)|)dt *

0'!|t ! t0|

4(|+|+ |8|)

!|t ! t0|

"a1!1'(|+|+ |8|)dt

* '(|+|+ |8|)!

Assim, vale (2!19), onde c =01

21a1!1, provando a afirmação.

Por fim, como |+!8|* |+|+ |8| e ' é não-crescente segue de (2!18) e (2!19)que

|'(|+|)+!'(|8|)8|* d'(|+!8|)|+!8|,

o que prova o Lema 2.5.2.

CAPÍTULO 3Funcionais Localmente Lipschitzianos:Uma Revisão

Neste capítulo reuniremos alguns conceitos e resultados da teoria de pontoscríticos para funcionais localmente Lipschitz desenvolvida por Chang [13] e Clarke [14].Em particular, apresentaremos uma versão para espaços de Orlicz, devida a Le et al. [34],do Teorema de Aubin-Clarke desenvolvida originalmente para espaços Lp(%), 1< p<&.

Neste capítulo X é um espaço de Banach real munido da norma -.-. O espaçodual de X é denotado por X & e 5., .6 significa o par de dualidade entre X & e X .

3.1 O Gradiente de Clarke

A seguir, introduziremos algumas definições e resultados básicos.

Definição 3.1.1 Um funcional f : X $ R é dito localmente Lipschitz ( f " Liploc(X ;R))se para cada x " X existe uma vizinhança V de x e uma constante K = Kx > 0 tal que

| f (y)! f (z)|* K-y! z-, y,z "V.

Exemplo 3.1.1 A função f : R $ R definida por f (t) = |t| é uma função localmenteLipschitz (cf. [14]).

Definição 3.1.2 Sejam f " Liploc(X ;R) e u,v " X. A derivada direcional generalizadade f em u na direção v é definida por:

f 0(u;v) = limsupx$u, t)0

f (x+ tv)! f (x)t

Observação 3.1.1 Como f " Liploc(X ;R), dados u,v " X existem uma vizinhança V deu e uma constante K > 0 tal que

| f (x+ tv)! f (x)|* K-tv-, x "V, t " (0,1).

3.1 O Gradiente de Clarke 42

Proposição 3.1.1 (Cf. [14]) Se f " Liploc(X ;R), então:

i) dado u " X, o funcional f 0(u, .) : X $ R é subaditivo, positivamente homogêneo,convexo e satisfaz a desigualdade

| f 0(u;v)|* K-v-, v " X .

ii) f 0(u;v) = (! f )0(u;!v), u,v " X;iii) A função (u,v) " X (X %$ f 0(u,v) " R é semicontínua superiormente.

Definição 3.1.3 O gradiente generalizado de Clarke de um funcional localmente Lips-chitz f " Liploc(X ;R) em um ponto u " X é o subconjunto de X & definido por

# f (u) = {8 " X & | f 0(x;v)' 58,v6, 7v " X}.

Observação 3.1.2 Mostra-se, usando o Teorema de Hahn-Banach (cf. [8]), que # f (u) .=/0.

A seguir estabelecemos várias propriedades do gradiente generalizado.

Proposição 3.1.2 (Cf. [13, 14]) Sejam f " Liploc(X ;R) e u " X então:

i) Se f for convexa e contínua, então # f (u) = #( f 0(u; .))(0);ii) # f (u)# X & é convexo, fraco+-compacto e

-8-X & * K, 8 " # f (u);

iii) f 0(u,v) = max{58,v6 | 8 " # f (u)}, v " X;iv) inf{-8-X & | 8 " # f (u)}= min{-8-X & | 8 " # f (u)};v) # f (u)# X & é fraco+-compacta, em particular fraco+-fechada;vi) a multifunção u %$ # f (u) é fraco+-fechada, no seguinte sentido:

se (un,8n)1 X (X & é uma sequência satisfazendo

8n " # f (un), unX!$ u e 8n

então 8 " # f (u).

Proposição 3.1.3 (cf. [13]) Seja f : % ( R $ R uma função Baire mensurável, nãodecrescente na segunda variável. Então a função

j(x, t) =! t

0f (x,s)ds

3.2 Mais Sobre Cálculo Subdiferencial 43

é localmente Lipschitz e

#t f (x, t) = [ f (x, t), f (x, t)] q.t.p. x " %, para todo t " R,

f (x, t) := min{ f (x, t !0), f (x, t +0)} e f (x, t) := max{ f (x, t !0), f (x, t +0)}

e f (x, t ±0) := lim,$0+ f (x, t ±,).

3.2 Mais Sobre Cálculo Subdiferencial

Nesta seção enunciaremos resultados relativos ao gradiente generelizado, comopor exemplo a regra da cadeia e o Teorema do Valor Médio de Lebourg (cf. [12]).

Definição 3.2.1 Um elemento u " X é dito um ponto crítico de um funcional f "Liploc(X ;R) se

0 " # f (u).

Definição 3.2.2 Um número real c é um valor crítico de f se existe um ponto crítico u0

de f tal que f (u0) = c.

Apresentamos a seguir algumas propriedades sobre o gradiente generalizado queserão usadas no decorrer deste trabalho.

Proposição 3.2.1 Sejam f ,g " Liploc(X ;R), $ " R e u " X, então:

(P1) Se f " C1(X ;R), então # f (u)={f’(u)};(P2) #($ f )(u) = $# f (u), em particular #(! f )(u) =!# f (u);(P3) Se f " C1(X ;R), então #( f +g)(u) = # f (u)+#g(u);(P4) Se u " X é ponto de mínimo ou de máximo local de f , então u é ponto crítico.

Apresentamos abaixo uma generalização do Teorema do Valor Médio parafuncionais f " Liploc(X ;R). Por completicidade, incluiremos abaixo uma demonstração(cf. [12]).

Teorema 3.2.1 (Lebourg) Sejam f " Liploc(X ;R) e x,y " X. Então existem u nosegmento (x,y) e 8 " # f (u) tais que

f (y)! f (x) = 58,y! x6.

3.3 O Teorema de Aubin-Clarke em Espaços de Orlicz 44

Demonstração: Considere a função 9 : [0,1]$ R definida por

9(t) = f (x+ t(y! x))+ t( f (x)! f (y)), t " [0,1].

Note que 9 é contínua e que 9(0) = 9(1) = f (x), então existe t0 " (0,1) tal que 9 realizao mínimo ou o máximo. Pela Proposição 3.2.1 e [14, lema 2.3.7]) concluímos que

0 " #9(t0)1 5# f (x+ t0(y! x)),y! x6+[ f (x)! f (y)],

provando o Teorema.A seguir enunciaremos uma versão não diferenciável da Regra da Cadeia.

Teorema 3.2.2 (Cf. [12]) Seja F " C1(X ;Y ), onde X ,Y são espaços de Banach e g "Liploc(Y ;R). Então g,F " Liploc(X ;R) e

#(g,F)(u)1 #g(F(u)),F &(u), u " X

no sentido de que dado qualquer elemento z " #(g,F)(u) pode ser escrito como

z = F &(u)"8, para algum 8 " #g(F(u)),

onde F &(u)" denota o operador adjunto associado com a deferencial de Fréchet de F emu.

Corolário 3.2.1 Se existe uma aplicação linear contínua i : X $ Y , onde X ,Y sãoespaços de Banach, então dado g " Liploc(Y ;R) temos

#(g, i)(u)1 i"#g(i(u)), u " X .

Além disso, se i(X)1 Y é denso, então

#(g, i)(u) = i"#g(i(u)), u " X .

3.3 O Teorema de Aubin-Clarke em Espaços de Orlicz

Nesta seção apresentaremos um demonstração do Teorema de Aubin-Clarke emEspaços de Orlicz reflexivo. Esse resultado foi demonstrado originalmente em Lp(%),1 < p < &, cf. [12, 14].

Teorema 3.3.1 (Cf. [34]) Sejam % # RN um domínio limitado, " uma N-função ej : %(R $ R uma função Carathéodory tal que j(x, .) " Liploc(R;R) q.t.p. x " % ej(x,0) " L1(%) satisfazendo a seguinte condição:

existem h " L#"(%), h ' 0, e constantes c1,c2 > 0 tais que

|+(x)|* h(x)+ c1#"!1 ,"(c2t), x " %, t " R, + " # j(x, t). (3-1)

Então o funcional J : L"(%)$ R definido por

J(u) :=!

%j(x,u)dx

é localmente Lipschitz e seu gradiente generalizado satisfaz

#J(u)1 {w " L"(%)& | w(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " %}. (3-2)

Demonstração: Inicialmente mostraremos que o funcional J é bem definido. De fato,pelo Teorema do Valor Médio de Lebourg dado t " R existem 1 " (0, t), ou 1 " (t,0) casot < 0, e + " # j(x,1) tal que

j(x, t)! j(x,0) = +t

e como #"!1 ," é crescente, segue da condição (3!1) que

| j(x, t)| * | j(x,0)|+ |+||t|* | j(x,0)|+[|h(x)|+ c1#"!1 ,"(c21)]|t|* | j(x,0)|+[|h(x)|+ c1#"!1 ,"(c2t)]|t|,

q.t.p. x " % e para todo t " R. Por outro lado, para u " L"(%), temos que c2u " L"(%) eentão !

%#"[#"!1 ,"(c2u)]dx =

%"(c2u)dx < &, (3-4)

donde #"!1 ,"(c2u) " L#"(%). Isso implica que j(.,u) " L1(%) e que J(u) é bem definidaem L"(%).

Agora verificaremos que J " Liploc(L"(%),R). Com efeito, seja w " L"(%) edenote por B:(w) a bola fechada em L"(%) centrada em w e de raio : > 0. Note que oconjunto

W := {c2(|u|+ |v|) | u,v " B:(w)}# B2c2:(2c2|w|).

Escolhendo : suficiente pequeno, teremos que diam(W )* 1/2. Afirmamos que

%"(u)dx | u "W

%é limitado em R. (3-5)

Para este fim, vemos que para qualquer u "W segue da convexidade " que

%"(2(u!w))dx * -2(u!w)-#"

2(u!w)-2(u!w)-#"

"dx * -2(u!w)-#" * 1

haja visto que -u!w-#" * 1/2. Portanto

%"(u)dx * 1

%"(2w)dx+

%"(2(u!w))dx * 1

%"(2w)dx+

12< &, 7u "W,

provando a afirmação.Para provar que J " Liploc(L"(%);R), considere u,v " B:(w). Graças ao Teo-

rema 3.2.1, existe 9(x) " (0,1) e +(x) " # j(x,9(x)u(x)+ [1!9(x)]v(x)) tal que

| j(x,v(x))! j(x,u(x))| = |+(x)||v(x)!u(x)|* [|h(x)|+ c1#"!1 ,"(c2(9(x)u(x)+ [1!9(x)]v(x)))]

|v(x)!u(x)|* [|h(x)|+ c1#"!1 ,"(c2(|u(x)|+ |v(x)|)]|v(x)!u(x)|

q.t.p. x " %, onde usamos a condição (3!1) e que #"!1 , " é crescente. Como em(3!1) e usando (3!5) obtemos que {#"!1 ,"(c2(|u(x)|+ |v(x)|) | u,v " B:(w)} é umsubconjunto limitado em L#"(%). Assim, aplicando a desigualdade de Hölder obtemos

|J(u)! J(v)|*!

%| j(x,v(x))! j(x,u(x))|dx *C-v!u-#", u,v " B:(w),

onde C = -h-#" + c1 supu,v"B:(w)

-#"!1 ,"(c2(|u(x)|+ |v(x)|)-#" < &.

Por fim, mostraremos a inclusão (3!2). Para este fim, observemos que aaplicação x %$ j0(x,u(x);v(x)) é mensurável em % (cf. [14, Teo 2.7.2]). De fato, comoj(x, .) é contínua, podemos representar j0(x,u(x);v(x)) como o limite superior de

j(x,y+$v(x))! j(x,y)$

quando $ ) 0 por valores racionais e y $ u(x) por valores em um subconjunto contáveldenso em RN . Assim, j0(x,u(x);v(x)) é mensurável pois é igual ao "limsup"de funçõesmensuráveis em x.

Afirmamos que

J0(u;v)*!

%j0(x,u(x);v(x))dx, v " L"(%). (3-6)

A saber, dado $ " (0,1), segue do pelo Teorema 3.2.1 que

j(x,y+$v(x))! j(x,y)$

= 8xv(x)

para algum 8x " # j(x,u+(x)) e algum u+(x) " [u(x),u(x)+$v(x)]. Assim, pela condição(3!1)++++

j(x,y+$v(x))! j(x,y)$

++++= |8x||v(x)|* [|h(x)|+ c1#"!1 ,"(c2(|u(x)|+ |v(x)|))]|v(x)|,

que pertence a L1(%) haja visto a desigualdade de Hölder. Portanto, pelo Lema de Fatoua afirmação (3!6) está verificada. Agora, pelo que vimos em (3!6), dado w " #J(u)temos

%w(x)v(x)dx =: 5w,v6 * J0(u;v)*

%j0(x,u(x);v(x))dx, v " L"(%). (3-7)

Em particular, como a aplicação r %$ j(x,u(x);r) é positivamente homogênea, segue de(3!7) que !

%[w(x)! j(x,u(x);1)]v(x)dx * 0, 7v " C&

0 (%), v ' 0

donde w(x)r * j(x,u(x);r), quando r " R e r ' 0. Por outro lado,!

%[!w(x)! j(x,u(x);!1)]|v(x)|dx * 0, 7v " C&

0 (%), v * 0

donde w(x)(!r) * j(x,u(x);!r), r " R e r > 0. Isso mostra que z(x) " # j(x,u(x)) q.t.p.x " %, concluindo a demonstração do Teorema 3.3.1.

CAPÍTULO 4O Problema de Dirichlet Para !":Resultados Básicos

Neste capítulo estudaremos existência, unicidade e regularidade de solução parao problema de contorno

!!"u = h em %, u = 0 em #% (4-1)

lembrando que !"u := div ('(|(u|)(u) é o operador "-Laplaciano, com " no contextodas condições ('1)! ('3) e h "W 1,"

0 (%)&.

4.1 Minimização do Funcional Energia de (4!1)

Nesta seção desenvolveremos argumentos de convexidade e minimização defuncionais em espaços de Orlicz-Sobolev para investigar exitência e unicidade de soluçãodo problema (4!1). Considere o funcional energia I : W 1,"

0 (%)$ R definido por

I(u) =!

%"(|(u|)dx!5h,u6, u "W 1,"

0 (%), (4-2)

onde 5., .6 designa o par de dualidade entre W 1,"0 (%)& e W 1,"

0 (%).

Proposição 4.1.1 Suponha ('1)! ('3). Então o funcional I é limitado inferiormente.

Demonstração: Seja u " W 1,"0 (%). Conforme [28, Lema 3.14] existe M > 0 de tal

maneira que se -(u-" > M teremos!

%"(|(u|)dx

-(u-"> 2-h-,

4.1 Minimização do Funcional Energia de (4!1) 49

dondeI(u) '

%"(|(u|)dx!-h--(u-"

' K-h-.

Por outro lado, segue do Lema A.0.3 que o funcional

E(z) =!

%"(|(z|)dx, z "W 1,"

é fracamente sequencialmente semicontínuo inferiormente (fssci). Assim,

I(u) * liminfn

%"(|(un|)dx! lim

n$&5h,un6

* liminfn I(un)

ou seja, I é fssci. Além disso, BM(0) = {u " W 1,"0 (%) | -u-" * M} é fracamente

compacta, portanto o funcional I possui mínimo em BM(0), digamos em u0. Donde,

I(u)' min{I(u0),K-h-},

concluindo que I é limitado inferiormente.

Proposição 4.1.2 Suponha que ' satisfaça ('1)! ('3). Então existe u "W 1,"0 (%) tal que

I(u) = infv"W 1,"

0 (%)I(v) := I&.

Demonstração: Pela Proposição 4.1.1 I é limitada inferiormente. Seja (un) 1 W 1,"0 (%)

uma sequência minimizante para I. Afirmamos que (un) é limitada em W 1,"0 (%). Com

efeito, existe n0 > 0 tal que para todo n > n0

I& +1 ' I(un) ' I&

e como o funcional I é coercivo (cf. Lema 3.14, [28]), temos que (un) é limitada.Podemos supor, sem perda de generalidade, que

un $ u, em W 1,"0 (%).

4.2 Existência de Solução de (4!1) via Minimização 50

Lembrando que I é fssci, então existe u "W 1,"0 (%) tal que

I(u) = minv"W 1,"

0 (%)I(v),

concluindo a demonstração.

4.2 Existência de Solução de (4!1) via Minimização

Teorema 4.2.1 Suponha ('1)! ('3). Então o mínimo u "W 1,"0 (%) de I é solução fraca

de (4!1), isto é, !

%'(|(u|)(u(vdx = 5h,v6, v "W 1,"

0 (%).

Demonstração: Sejam u " W 1,"0 (%), garantido pela Proposição 4.1.2, 0 < t < 1 e

v "W 1,"0 qualquer. Então

I(u+ tv)! I(u)t

isto é !

"(|(u+ t(v|)!"(|(u|)t

dx ' 5h,v6. (4-3)

Afirmamos que

limt$0+

"(|(u+ t(v|)!"(|(u|)t

%'(|(u|)(u(vdx.

De fato, pelo Teorema do Valor Médio

"(|(u+ t(v|)!"(|(u|) = '(9t)9t [|(u+ t(v|! |(u|] , (4-4)

onde!|(u|! |(v| * min{|(u+ t(v|, |(u|}

* max{|(u+ t(v|, |(u|}

* |(u|+ |(v| q.t.p. em %.

De (4!5) temos que 9t(x) $ |(u(x)| q.t.p. x " %, quando t $ 0+. Disto e de (4!4)concluímos que

limt$0+

"(|(u+ t(v|)!"(|(u|)t

= '(|(u|)(u(v q.t.p. x " %. (4-6)

4.2 Existência de Solução de (4!1) via Minimização 51

Agora note que

"(|(u+ t(v|)!"(|(u|)t

= '(9t)9t

2|(u+ t(v|! |(u|

* '(9t)9t

2|(u|+ t|(v|! |(u|

= '(9t)9t |(v|

* '(|(u|+ |(v|)(|(u|+ |(v|)|(v|,

onde a última desigualdade segue de t'(t)' 0, t'(t) é crescente para t ' 0 e (4!5). Poroutro lado,

"(|(u+ t(v|)!"(|(u|)t

' '(9t)9t

2|(u|! t|(v|! |(u|

= !'(9t)9t |(v|

' !'(|(u|+ |(v|)(|(u|+ |(v|)|(v|.

Concluímos de (4!7) e (4!8) que++++"(|(u+ t(v|)!"(|(u|)

++++* '(|(u|+ |(v|)(|(u|+ |(v|)|(v|. (4-9)

Além disso, como #"(t'(t))* "(2t) para todo t " R, temos que

'(|(u|+ |(v|)(|(u|+ |(v|) " L#"(%).

Pela Desigualdade de Hölder

'(|(u|+ |(v|)(|(u|+ |(v|)|(v| " L1(%). (4-10)

Segue de (4!6), (4!9) e do Teorema de Lebesgue

limt$0+

"(|(u+ t(v|)!"(|(u|)t

%'(|(u|)(u(vdx.

Portanto, passando ao limite em (4!3) com t $ 0 e observando que a inequaçãoé válida para todo v "W 1,"

0 (%), concluímos a demonstração.

4.3 Existência de Solução de (4!1) via Browder-Minty 52

4.3 Existência de Solução de (4!1) via Browder-Minty

Apresentamos a seguir alguns conceitos para enunciar o Teorema de Browder-Minty.

Definição 4.3.1 Sejam X um espaço de Banach reflexivo e A : X $ X & um operador.Dizemos que A é:

(i) monotônico se 5Au!Av,u! v6 ' 0 para todos u,v " X;(ii) coercivo se

lim-u-X$&

5Au,u6-u-X

A seguir uma versão simplificada do Teorema de Browder-Minty.

Teorema 4.3.1 (cf. [8]) Sejam E um espaço de Banach reflexivo,

A : E !$ E &

um operador contínuo, monotônico e coercivo. Então para cada f " E & o problema

Au = f

possui uma solução u " E.

Dado u "W 1,"0 (%) considere

5Lu,v6=!

%'(|(u|)(u(vdx, v "W 1,"

0 (%).

Segue pela desigualdade de Hölder que

|5Lu,v6|* 2-'(|(u|)|(u|-#"-(v-".

Fica definido L : W 1,"0 (%)!$W 1,"

0 (%)& e vale

-Lu-w1,"0 (%)&

* 2-'(|(u|)|(u|-#".

A seguir formularemos e demonstraremos vários resultados sobre propriedadesde L.

Lema 4.3.1 O operador L é contínuo.

Demonstração: Seja (un)1W 1,"0 (%) tal que

un !$ u, em W 1,"0 (%).

Note que

-Lun !Lu-W 1,"0 (%)&

= sup-(v-"*1

|5Lun !Lu,v6|

= sup-(v-"*1

%('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(v)dx

* sup-(v-"*1

%|'(|(un|)(un !'(|(u|)(u||(v|dx

* 2-'(|(un|)(un !'(|(u|)(u-#".

Portanto, mostrando que!

%#"(|'(|(un|)(un !'(|(u|)(u|)dx !$ 0,

teremos-Lun !Lu-W 1,"

0 (%)&!$ 0.

Para tal, observe que!

%"(|(un !(u|)dx !$ 0,

e pelo Lema 2.2.2, considerando uma subsequência se necesssário, teremos que

1. (un(x)!$ (u(x) q.t.p. x " % e2. Existe 9 " L"(%) tal que

|(un(x)|* 9(x) q.t.p. x " %.

Graças a continuidade da função x %$ '(|x|)x, x " RN , temos

|'(|(un|)(un !'(|(u|)(u|!$ 0 q.t.p. x " %,

e pela continuidade de #" teremos que

#"(|'(|(un|)(un !'(|(u|)(u|)!$ 0 q.t.p. x " %.

Note também que

#"(|'(|(un|)(un !'(|(u|)(u|) * #"('(|(un|)|(un|+'(|(u|)|(u|)

* #"('(9)9+'(|(u|)|(u|).

Como #"('(9)9+'(|(u|)|(u|) " L1(%), o resultado segue do Teorema da ConvergênciaDominada.

Lema 4.3.2 L é coercivo.

Demonstração: Seja u "W 1,"0 (%). Pela condição ('3) junto com o Lema 2.4.1 temos

5Lu,u6-(u-"

%'(|(u|)|(u|2dx

%"(|(u|)dx

' !min4-(u-!!1

" ,-(u-m!1"

quando -(u-" $ &.

Lema 4.3.3 L é monotônico.

Para demonstrar o Lema 4.3.3 utilizaremos o seguinte resultado.

Lema 4.3.4 Seja ' : (0,&)$ (0,&) uma função contínua satisfazendo ('1) e ('2). Então

('(-x-)x!'(-y-)y,x! y)' 0, 7 x,y " Rn. (4-11)

Demonstração: Sejam x,y " RN . Se x = y a relação é trivialmente verificada. Suponhaque x .= y. Temos as seguintes possibilidades:

1. -x-= -y- (Claramente não nulos)Neste caso,

'(-x-) = '(-y-).

Então('(-x-)x!'(-y-)y,x! y) = '(-x-)-x! y-2 > 0

2. -x-< -y-

('(-x-)x!'(-y-)y,x! y) ' '(-x-)-x-(-x-!-y-)+'(-y-)-y-(-y-!-x-)

= ('(-x-)-x-!'(-y-)-y-)(-x-!-y-)

' 0,(4-12)

haja visto que t'(t) é não decrescente.

Demonstração do Lema 4.3.3: Sejam u,v "W 1,"0 (%). Pelo Lema 4.3.4 temos que

('(|(u|)(u!'(|(v|)(v)((u!(v)' 0 q.t.p. em %.

Portanto,

5Lu!Lv,u! v6=!

%('(|(u|)(u!'(|(v|)(v)((u!(v)dx ' 0,

provando o Lema 4.3.3.

Observação 4.3.1 Segue pelo Teorema de 4.3.1 (Browder-Minty) que: dado f "W 1,"

0 (%)& existe u "W 1,"0 (%) tal que Lu = f , isto é,

%'((u)(u(vdx =

%f vdx, v "W 1,"

0 (%).

Neste trabalho utilizaremos algumas propriedades adcionais de L as quais sãodemonstradas a seguir.

Definição 4.3.2 Sejam E um espaço de Banach real reflexivo e

A : E !$ E &

um operador. Dizemos que A é:

(i) do tipo (S+) se para toda sequência (un)1 E tal que

1. un $ u em E,2. limsup

n5Aun,un !u6 * 0,

tem-seun !$ u em E;

(ii) pseudomonotônico se para toda sequência (un)1 E tal que

1. un $ u em E,

2. limsupn

5Aun,un !u6 * 0,

tem-seAun $ Au e 5Aun,un6 $ 5Au,u6.

Lema 4.3.5 L é pseudomonotônico.

Demonstração: De fato, pelo Lema 4.3.1 L é contínua, em particular hemicontínua.Além disso, pelo Lema 4.3.3 L é monotônica, então pelo Lema 2.98 (cf. [12]) L épseumonotônico.

Lema 4.3.6 L é um operador do tipo (S+).

A seguir, alguns conceitos e resultados que serão utilizados na demonstração doLema 4.3.6.

Definição 4.3.3 Sejam % # RN e função 4 : % $ RN. Dizemos que 4 é estritamentemonotônica se

(4(x)!4(y),x! y)> 0, x,y " %, x .= y.

Apresentaremos a seguir uma versão simplificada de um resultado devido a DalMaso & Murat em [18].

Lema 4.3.7 Seja 4 : RN !$ RN estritamente monotônica e (vn)1 RN tal que

(4(vn)!4(v),vn ! v) n$&!$ 0, em R.

Entãovn

n$&!$ v, em RN .

Demonstração: Suponha, por contradição, que vn não converge para v, então, conside-rando uma subsequência se necessário, existe , > 0 tal que

|vn ! v|' ,, para todo n.

Sejamtn := ,|vn ! v|!1 e un := tnvn +(1! tn)v.

Como|un ! v|= tn|vn ! v|= ,,

a sequência (un) é limitada, donde, considerando uma subsequência se necessário, (un)

converge para algum u com |v!u|= ,. É possível provar que

limn$&

(4(un)!4(v),un ! v) = 0.

Por outro lado, temos que un $ u, então

limn$&

(4(un)!4(v),un ! v) = (4(u)!4(v),u! v),

donde(4(u)!4(v),u! v) = 0

o que é uma contradição pois |u! v|= , > 0 e 4 é estritamente monotônica.

Observação 4.3.2 Em várias ocasiões exigiremos no lugar ('2) a seguinte condição maisforte:

('&2) t %$ t'(t) é estritamente crescente.

Assim, concluímos da relação (4!12) que

('(|x|)x!'(|y|)y,x! y)> 0, x,y " RN , x .= y,

ou seja, a função x %$ '(|x|)x, x " RN, é estritamente monotônica.

Demonstração do Lema 4.3.6: Seja (un)1W 1,"0 (%) tal que

1. un $ u em W 1,"0 (%) e

2. limsupn

5Lun,un !u6 * 0.

Pelo Lema 4.3.4 o operador L é monotônico, isto é

5Lun !Lu,un !u6=!

%('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u)dx ' 0,

consequentemente5Lu,un !u6 * 5Lun,un !u6

assim0 = lim

n$&5Lu,un !u6

* liminfn$&

5Lun,un !u6

* limsupn$&

5Lun,un !u6

Dondelimn$&

5Lun,un !u6= 0,

o que implica5Lun !Lu,un !u6 n$&!$ 0.

isto é,('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u) n$&!$ 0, em L1(%),

daí('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u) n$&!$ 0 q.t.p. em %.

Pela condição ('&2) e o Lema 4.3.7 obtemos que

(un(x)n$&!$ (u(x) q.t.p. x " %

e pela continuidade de "

"(|(un(x)!(u(x)|)$ 0 q.t.p. em x " %. (4-13)

Afirmamos queun !$ u, em W 1,"

0 (%).

Para tal usaremos o Teorema da Convergência Dominada Generalizado. Nesta direção,graças a (4!13) temos

fn := "(|(un !(u|) n$&!$ 0 q.t.p. x " %.

Além disso,fn * m

26'(|(un|)|(un|2 +"(|(u|)

:= gn.

Claramentegn

n$&!$ g q.t.p. x " %,

ondeg :=

m26'(|(u|)|(u|2 +"(|(u|)

%g(x)dx < &.

Para mostrar que

limn$&

%gn(x)dx =

%g(x)dx,

4.4 Unicidade de Solução de (4!1) 59

basta verificar que!

%'(|(un|)|(un|2dx !$

%'(|(u|)|(u|2dx. (4-14)

Pelo lema 4.3.5 L é pseudomonotônico, daí

limn$&

%'(|(un|)|(un|2dx = lim

n$&5Lun,un6

= 5Lu,u6

%'(|(u|)|(u|2dx.

(4-15)

Portanto, pelo Teorema da Convergência Dominada Generalizado concluímosque !

%"(|(un !(u|)dx !$ 0,

concluindo a demonstração.

4.4 Unicidade de Solução de (4!1)

A seguir mostraremos que o problema (4!1) possui uma única solução. Paraisto, mostraremos que o operador L, substituindo a condição ('2) por ('&2), é estritamentemonotônico, ou seja,

5Lu!Lv,u! v6> 0, u,v "W 1,"0 (%), u .= v.

Lema 4.4.1 L é estritamente monotônico.

Demonstração: Pelo Lema 4.3.3 segue que L é monotônico. Agora, sejam u,v"W 1,"0 (%)

com u .= v. Então existe %0 # % de medida positiva tal que u .= v e pelo Lema 4.3.4 temos

('(|(u|)(u!'(|(v|)(v)((u!(v)> 0 q.t.p. em %0.

Portanto,

5Lu!Lv,u! v6 '!

%0('(|(u|)(u!'(|(v|)(v)((u!(v)dx > 0,

o que prova o Lema 4.4.1.

Proposição 4.4.1 Suponha ('1),('&2) e ('3). Então para cada h "W 1,"0 (%)& o problema

(4!1) tem no máximo uma solução.

4.5 O Operador Solução Associado a (4!1) 60

Demonstração: Sejam u1,u2 "W 1,"0 (%) soluções de (4!1), isto é,

%('(|(ui|)(ui(vdx = 5h,v6, v "W 1,"

0 (%) e i = 1,2.

5Lu1 !Lu2,v6=!

%('(|(u1|)(u1 !'(|(u2|)(u2,(v)dx = 0, v "W 1,"

0 (%).

Fazendo v = u1 !u2 obtemos

5Lu1!Lu2,u1!u26=!

%('(|(u1|)(u1!'(|(u2|)(u2)((u1!(u2)dx= 0, v"W 1,"

0 (%).

Mas pelo Lema 4.4.1 L é estritamente monotônica, donde u1 = u2.

Observação 4.4.1 Pelo Teorema 4.3.1 (Browder-Minty) e o Lema 4.4.1 o problema

Lu = f

tem uma única solução.

4.5 O Operador Solução Associado a (4!1)

De acordo com Teorema 4.2.1 e o Lema 4.4.1 fica definido o operador (solução)

S : W 1,"0 (%)& !$ W 1,"

h %!$ Sh := u,(4-16)

onde u é a única solução de (4!1).

Observação 4.5.1 O operador S é bijetor e L!1 = S. Basta mostrarmos que L!1 = S.Com efeito, dado h "W 1,"

0 (%)& segue do Teorema 4.2.1 que existe um único u "W 1,"0 (%)

tal que Sh = u, isto éL(Sh) = h.

Por outro lado, dado u "W 1,"0 (%), fica definido

h := Lu,

de modo que Sh = u e aplicando S obtemos

S(Lu) = Sh = u.

A seguir, formularos e demonstraremos várias propriedades sobre S.

Lema 4.5.1 O operador S é contínuo.

Demonstração: Sejam (hn)1W 1,"0 (%)& tal que

hn !$ h, em W 1,"0 (%)&,

un := Shn e u := Sh, isto é

5hn,v6=!

%'(|(un|)(un(vdx e

5h,v6=!

%'(|(u|)(u(vdx,

v "W 1,"0 (%).

Afirmamos que (-(un-") é limitada. Suponha, por contradição, que não sejalimitada. Então existe uma subsequência (un j)1 (un) tal que

-(un j-" $ & e un j .= 0.

Então da relação t2'(t) = "(t)+ #"(t'(t)) obtemos!

%"(|(un j |)dx * 5hn j ,un j6

* -hn j--(un j-",

donde !

%"(|(un j |)dx

-(un j-"* -hn j-,

o que contradiz [28, Lema 3.14], haja visto que (hn j) é convergente.Observe também que

%('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u)

= 5hn !h,un !u6

* -hn !h--(un !(u-" $ 0.

Dondean := ('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u)$ 0, em L1(%),

dondean(x)$ 0 q.t.p. x " %

e considerando 4(v) := '(|v|)v, v " RN , no Lema 4.3.7 obtemos que

(un(x)$ (u(x) q.t.p. x " %.

Por fim mostraremos que

un !$ u, em W 1,"0 (%),

o que equivale a mostrar que!

%"(|(un !(u|)dx !$ 0,

haja visto que " " !2. Para tal utilizaremos o Teorema da Convergência DominadaGeneralizado de Lebesgue.

1. Inicialmente"(|(un(x)!(u(x)|)!$ 0 q.t.p. x " %,

haja visto que(un(x)!$ (u(x) q.t.p. x " %.

2. Como " é crescente, satisfaz !2 e é convexa temos

"(|(un !(u|) * "!

2|(un|+ |(u|

* K2("(|(un|)+"(|(u|))

e como "(t)* '(t)t2, t ' 0,

"(|(un !(u|) * K20'(|(un|)|(un|2 +"(|(u|)

3. Da continuidade de t2'(t)

limn$&

K20'(|(un|)|(un|2 +"(|(u|)

K20'(|(u|)|(u|2 +"(|(u|)

1:= g,

q.t.p. em %.

4. Observando que !

%g(x)dx < &

e quehn $ h, un $ u, quando n $ &,

assim5hn,un6 =

%'(|(un|)|(un|2dx

= 5hn !h,un6+ 5h,un6

$ 5h,u6

%'(|(u|)|(u|2dx,

dondelimn$&

%gn(x)dx =

%g(x)dx

Dos Itens 1-4 e do Teorema da Convergência Dominada Generalizado obtemosque !

%"(|(un !(u|)dx !$ 0,

isto éun !$ u, em W 1,"

0 (%),

como queríamos demonstrar.

Corolário 4.5.1 O operador S é um homeomorfismo.

Demonstração: Segue diretamente da Observação 4.5.1 e dos Lemas 4.3.1 e 4.5.1.

No que se segue, verificaremos propriedades de monotonicidade do operador S.

Lema 4.5.2 O operador S é monotônico, isto é,

5h1 !h2,Sh1 !Sh26 ' 0, h1,h2 "W 1,"0 (%)&.

Demonstração: Sejam h1,h2 "W 1,"0 (%)&. Então

5hi,v6=!

%'(|((Shi)|)((Shi)(vdx, v "W 1,"

0 (%), i = 1,2.

Faça ui := Shi, i = 1,2, e considerando v = u1 !u2 obtemos

5h1 !h2,u1 !u26=!

%('(|(u1|)(u1 !'(|(u2|)(u2,(u1 !(u2)dx. (4-17)

De (4!17) e do Lema 4.3.4 obtemos que

5h1 !h2,Sh1 !Sh26 ' 0,

Observação 4.5.2 Se no lugar da condição ('2) considerarmos a condição ('&2) prova-se, de maneira análoga ao Lema 4.4.1, que S é estritamente monotônico.

Lema 4.5.3 O operador S é coercivo.

Demonstração: Mostraremos que dado h "W 1,"0 (%)& e considerando u = Sh

1) -h- * 2-'(|(u|)|(u|-#";

%"(|(u|)dx * 5h,u6;

%"(|(u|)dx

-'(|(u|)|(u|-#"$ &, quando -h-$ &.

Prova de 1) Como W 1,"0 (%) é reflexivo, então existe wh "W 1,"

0 (%) tal que -(wh-" * 1e pela Desigualdade Triangular para RN teremos e para Espaços de Orlicz

-h- = 5h,wh6

%'(|(u|)(u(whdx

%'(|(u|)|(u||(wh|dx

* 2-'(|(u|)|(u|-#"-(wh-"

* 2-'(|(u|)|(u|-#".

Prova de 2) Observe quet2'(t) = "(t)+ #"(t'(t)). (4-18)

Donde5h,Sh6 = 5h,u6

%'(|(u|)|(u|2dx

%"(|(u|)dx

Prova de 3) Como " " !2, então existe K ' 2 tal que

#"('(s)s)* K"(s), s ' 0,

donde1K

%#"('(|(u|)|(u|)dx *

%"(|(u|)dx (4-19)

De (4!19) e do Lema 2.4.2, fazendo v= '(|(u|)|(u|, obtemos que existe C > 0tal que

C min$-'(|(u|)|(u|-

!!!1#"

,-'(|(u|)|(u|-m

%#"('(|(u|)|(u|)dx.

Agora recorrendo a 1), 2) e usando que #"(t'(t))* "(2t)* K"(t)

min4-h-

1m!1 ,-h-

%#"('(|(u|)|(u|)dx

%"(|(u|)dx

* C25h,u6-h-

= C25h,Sh6-h- ,

para algumas constantes C1,C2 > 0. Donde

5h,Sh6-h- $ &, quando -h-$ &,

Lema 4.5.4 O operador S é Pseudomonotônico.

Demonstração: Análoga a demonstração do Lema 4.3.5.

Lema 4.5.5 Suponha que ' satisfaça ('1), ('&2) e ('3), então S é um operador do tipo(S+).

Demonstração: Seja (hn)1W 1,"0 (%)& tal que

1. hn $ h em W 1,"0 (%)& e

4.6 Regularidade da Solução de (4!1) 66

2. limsupn

5hn !h,Shn6 * 0.

Pelo Lema 4.5.2 S é monotônica. Então, de maneira análoga ao que foi feito noLema 4.3.6 mostra-se que

limn$&

5hn !h,Shn !Sh6= 0,

que(un(x)

n$&!$ (u(x) q.t.p. x " %,

onde un := Shn e u := Sh, e que

un !$ u, em W 1,"0 (%).

Mas, pelo Lema 4.3.1 o operador L é contínuo, donde

hn = Lun !$ Lu = h, quando n !$ &,

concluindo a demonstração do lema 4.5.5.

4.6 Regularidade da Solução de (4!1)

Nesta seção, discorreremos sobre a regularidade da solução do problema (4!1).Para tal, vamos supor que % # RN é um domínio limitado com fronteira #% regular eh " L&(%). Casos mais gerais que o problema (4!1) são tratados em [22] e [35].

O principal resultado desta seção é um caso particular de um resultado devidoa Lieberman (cf. Apêndice C). Antes de enunciar o nosso resultado precisamos dasseguintes hipóteses:suponha que ' : (0,&)$ (0,&) é de classe C1(0,&) e sejam a j : RN $ R, j = 1, ...,N,definidas por

a j(+) =

.'(|+|)+ j , + = (+1, ...,+N ) " RN !{0}

0 , + = (0, ...,0).

com j = 1, ...,N. Além disso, suponha que existam -1,-2 > 0 tais que

)i, j=1

#+i(+)8i8 j ' -1'(|+|)|8|2;

)i, j=1

#+i(+)

+++++* -2'(|+|).

Observação 4.6.1 Tomando + = (t,0, ...,0) e 8 = (1,0, ...,0) em ('4) e ('5), obtemos

-1t'(t)* t(t'(t))& * -2t'(t), (4-20)

e integrando

! := 1+-1 *t2'(t)"(t)

* 1+-2 =: m (4-21)

que é a condição ('3).

Teorema 4.6.1 Suponha que ' " C 1(0,&) e satifaz ('1), ('&2), ('4) e ('5). Suponha queh " L&(%), então o problema (4!1) possui uma única solução u " C 1,3(%), para algum3 > 0.

A demonstração do Teorema 4.6.1 depende do Lema a seguir e será feita no finaldesta seção.

Lema 4.6.1 Suponha que ' satisfaz ('1)! ('3) e que h " L&(%). Seja u uma solução de(4!1), então u " L&(%).

Para demonstrar o Lema 4.6.1 usaremos o seguinte resultado (cf. [33, lemma 5.1,pg. 71]).

Lema 4.6.2 Sejam k0 > 0,. > 0,: > 0 e 3 " [0,1+ :]. Suponha que u " L1(%) satisfa aestimativa !

(u! k)dx * .k3|Ak|1+:,

para todo k ' k0 onde Ak := {x " % | u(x)> k}. Então

onde C =C(.,:,3,k0,-u-L1(Ak0)) é uma constante positiva.

Demonstração do Lema 4.6.1: Verificaremos as hipóteses do Lema 4.6.2. Considerandok0 = 1, mostraremos que

'(|(u|)|(u|2dx * const(N,-h-&, |%|,")|Ak|, k > 1. (4-22)

De fato, considere 2 := max{u! k,0} " W 1,"0 (%) = W 1,1

0 (%)3W 1L"(%) (cf. Fuchs &Gongbao [22]), obtemos assim que

'(|(u|)|(u|2dx =!

h(u! k)dx. (4-23)

O lado direito de (4!23) é estimado usando a desigualdade de Hölder, como se segue

h(u! k)dx * -h-&|Ak|1N

|u! k|N

N!1 dx"N!1

* c(N)-h-&|Ak|1N

|(u|dx

2c(N)-h-&|Ak|1N

!12|(u|

2c(N)-h-&|Ak|1N

(|Ak|+

"(|(u|)dx

2c(N)-h-&|Ak|1N

(|Ak|+

'(|(u|)|(u|2dx,

provando assim a estimativa (4!22).Agora mostraremos que

|(u|dx * const(N,-h-&, |%|,")|Ak|, k ' 1 (4-24)

Com efeito,!

|(u|dx =!

Ak3{|(u|*1}|(u|dx+

Ak3{|(u|>1}|(u|dx

* |Ak|+1

'(|(u|)|(u|2dx

e (4!24) segue de (4!22).Por fim, observemos que da desigualdade de Hölder e de (4!24)

(u! k)dx * |Ak|1N

|u! k|N

N!1 dx"N!1

* c(N)|Ak|1N

|(u|dx

* const(N,-h-&, |%|,")|Ak|1+1N , k > 1.

Aplicando o Lema 4.6.2, concluímos que

u * const(N,-h-&, |%|,",-u-L1(A1)).

De maneira análoga mostra-se que

u ' const(N,-h-&, |%|,",-u-L1(A1)),

donde u " L&(%).Prova do Teorema 4.6.1: Verificaremos que as hipóteses do Teorema C.0.4 (cf. ApêndiceC) são válidas.

Inicialmente, pelo Lema 4.6.1 u " L&(%), neste caso M0 = -u-& e portanto|u|* M0 q.t.p. em %.

No Teorema C.0.4 faça

A(x,z, p) = '(|p|)p, B(x,z, p) = h(x), x " %, z " R, p " RN !{0}.

As condição ('3) e ('4) são, respecitvamente, casos particulares dos itens (i) e(ii) da condição (C!2) do Apêndice C.

Lembrando (cf.C ) que g(t) = "&(t) = t'(t), t " R, o item (iii) é válido pois,

|A(x,z, p)!A(y,w, p)|= |'(|p|)p!'(|p|)p|= 0 * ;1(1+g(|p|))[|x! y|3 + |z!w|3],

para todos x,y " %, z,w " [!M0,M0] p " RN !{0}, e quaisquer constantes 0 < 3 * 1 e;1 ' 0.

Por fim, o item (iv) é facilmente verificado, pois

|B(x,z, p)|= |h(x)|* |h|& * |h|&!

1+g(|p|)|p|

p " RN !{0}.

CAPÍTULO 5Equações Multivalentes em Domínios Limitadosvia Minimização em Espaços de Orlicz-Sobolev:Minimização Global

Neste capítulo desenvolveremos argumentos de minimização sobre funcionais localmenteLipschitz definidos em espaços de Orlicz-Sobolev junto com técnicas de convexidadepara investigar a existência de solução da equação multivalente (1!2). A regularidadeda solução também será discutida.

5.1 Observações e Resultados Preliminares

Em primeiro lugar, lembramos que a definição de solução fraca de (1!2) é aseguinte:

Definição 5.1.1 Dizemos que u "W 1,"0 (%) é solução fraca de (1!2) se existe * = *u "

L"+(%)& = L#"+(%) tal que

*(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " %, (5-1)!

%'(|(u|)(u(vdx =

%*vdx+

%hv, v "W 1,"

0 (%). (5-2)

Consideraremos o problema de autovalor.

!!"u = $'(u)u em %u = 0 em #%.

García-Huidobro et al. [26] e Mustonen & Tienari [42], sob hipóteses mais geraisque ('1)! ('3), consideram o problema de minimização

$1,r := inf$!

%"(|(u|)dx : u "W 1,"

0 (%) e!

%"(u)dx = r

%, (5-4)

5.1 Observações e Resultados Preliminares 71

para cada r > 0. Eles provam que existe ur "W 1,"0 (%) não-negativa tal que ur é solução

do problema (5!4). Além disso, ur é solução fraca da correspondente equação de Euler-Lagrange (5!3), ou seja,

%'(|(ur|)(ur(2dx = $

%'(ur)ur2dx, 2 "W 1,"

0 (%), (5-5)

para algum $ > 0, como pode ser visto no teorema a seguir:

Teorema 5.1.1 (Cf. [26, 42]) Seja " uma N-função. Então existe $ > 0 tal que oproblema (5!3) possui uma solução fraca. Se " satisfaz ('1)! ('3), então ur é nãonegativa.

Quando r = 1 denotaremos $1 = $1,1. A proposição a seguir compara os valores$1 com $.

Proposição 5.1.1 Suponha que ' : (0,&)$ (0,&) é contínua e satisfaz ('1)!('3). Então

m$1 * $ * m

Demonstração: Considerando 2 = u1 em (5!5), usando ('3) e"

% "(u1) = 1 obtemos

%'(|(u1|)|(u1|2dx!

%'(u1)u2

1dx* m

%"(|(u1|)dx =

Por outro lado,

%'(|(u1|)|(u1|2dx!

%'(u1)u2

1dx' !

%"(|(u1|)dx =

o que prova a Proposição.

Observação 5.1.1 No caso '(t) = t p!2, 1 < p < &, temos que ! = m = p e portanto$1 = $.

A proposição abaixo relaciona a condição (1!10) com o autovalor $1 dooperador !". Relembramos algumas notações. Por Clement et al. [15, lema D2]

L"(%)cont#$ L!(%) (5-6)

e denotando por C! > 0 a melhor constante tal que

C!|u|!! * -u-!", u " L"(%). (5-7)

Proposição 5.1.2 Suponha ('1)! ('3). Então (1!10) vale se existem um função 3 "L&(%) e um subconjunto %0 de % com |%0|> 0 tal que

A& *C! 3 q.t.p. em %, 3 * $1 q.t.p. em %, 3 < $1 q.t.p. em %0. (5-8)

Demonstração: Caso 1: Tome v " W 1,"0 (%) tal que -v-" = 1 e $1 =

%"(|(v|)dx.

Então!

%"(|(v|)dx!

v.=0C!3(x)|v|!dx = $1 !

v(x).=0C!3(x)"(v)dx

= $1 !!!

"C!3(x)|v|!dx

> $1 !$1

%0C!|v|!dx!

%!%0C!3(x)|v|!dx

' $1 !$1-v-!"

Caso 2: Seja v "W 1,"0 (%) tal que -v-" = 1 e $1 <

%"(|(v|)dx. Então

%"(|(v|)dx!

v.=0C!3(x)|v|!dx > $1 !

v(x) .=0C!3(x)|v|!dx

' $1 !$1-v-"

Dos Casos 1 e 2, concluímos que!

%"(|(v|)dx!

v(x) .=0C!3(x)|v|!dx > 0, v "W 1,"

0 (%), -v-" = 1.

Agora sejam

i(C!3) = infv"W 1,"

0 , -v-"=1

%"(|(v|)dx!

v(x).=0C!3(x)|v|!dx

e (vn)1W 1,"0 (%) uma sequência minimizante para i(3), isto é

%"(|(vn|)dx!

vn(x) .=0C!3(x)|vn|!dx !$ i(C!3), -vn-" = 1.

Mostraremos que (-(vn-") é limitada. Com efeito, dado : > 0

i(C!3)*!

%"(|(vn|)dx!

vn(x) .=0C!3(x)|vn|!dx * i(C!3)+ : (5-9)

para n suficientemente grande. Como 3(x)* $1 e -vn-" = 1 obtemos!

%"(|(vn|)dx * i(3)+ :+

vn(x).=0C!3(x)|vn|!dx

* i(3)+ :+$1.

(5-10)

Se, por contradição, -(vn-" $ &, teremos que -(vn-" ' 1 e portanto

-(vn-!" *!

%"(|(vn|)dx * i(3)+ :+$1,

o que é um absurdo, donde (-(vn-") é limitada. Considerando uma subsequência senecessário, existe v "W 1,"

0 (%) tal que

1. vn $ v e!

%"(|(v|)dx * liminf

%"(|(vn|)dx;

2. vn $ v em L"(%) e portanto -v-" = 1;3. vn(x)$ v(x) q.t.p. x " %;4. Existe 91 " L"(%) tal que

|vn(x)|* 91(x) q.t.p. x " %.

Logo pelo Teorema de Lebesgue

%"(|(v|)dx!

v(x) .=0C!3(x)|v|!dx

* liminfn

%"(|(vn|)dx!

vn(x).=0C!3(x)|vn|!dx

* i(C!3)+ :,

donde0 <

%"(|(v|)dx!

v(x) .=0C!3(x)|v|!dx * i(C!3)

junto com (5!9), teremos que

%"(|(v|)dx!

v(x).=03(x)|v|!dx = i(C!3).

É fácil ver que i(A&)' i(C!3)> 0, concluindo a demonstração.

A observação abaixo é importante para entender o significado de equações dotipo

!!"u = f (x,u) q.t.p. em %.

Observação 5.1.2 (Cf. [3]) A equação (1!17) é entendida como se segue. Defina

5!!"u,v6 :=!

%'(|(u|)(u(vdx, u,v "W 1,"

0 (%).

Por [23, p. 263], !

%#"('(|(u|)|(u|)dx *

%"(2|(u|)dx < &,

que nos dá '(|(u|)|(u| " L#"(%). Se u " W 1,"0 (%) é uma solução do problema (1!2),

então!!"u = J1 + J2 em W 1,"

0 (%)&

onde J1,J2 : W 1,"0 (%)$ R são funcionais lineares limitados:

J1(v) = $!

%hvdx e J2(v) =

%*vdx.

Note que J1,J2 " L"+(%)& # W 1,"0 (%)&. Assim, pelo Teorema de Riesz para espaços de

Orlicz, J1,J2 " L#"+(%). Donde !"u " L#"+

Demonstração da Proposição 1.0.1: Sejam

f (x, t) := /{t>a}(t) e j(u) :=!

%f (x, t)dt = (u!a)+.

Consideraremos o problema multivalente:

!!"u " # j(u)+h. (5-11)

Afirmamos que (5!11) possui solução. Para este fim, verificaremos que ashipóteses do Teorema 1.0.2 são válidas.

Com efeito,(u!a)+ * |u|!+(1+a),

e também| f (x,u)|* 1 * c1#"!1

+ ,"+(c2u)+1.

Além disso,

A&(x) = limsup|s|$&

(s!a)+

|s|!= 0,

5.2 Preliminares as Demonstrações dos Teoremas Principais 75

dondeinf

v"W 1,"0 (%), -v-"=1

%"(|(v|)dx!

{v.=0}A&(x)|v(x)|!dx

Comolim

t$a!/t>a(t) = 0 < 1 = lim

t$a+/t>a(t).

segue do Teorema 1.0.2 que existe u " W 1,"0 (%) tal que |-a(u)| = 0 e é solução de

(1!25).Logo u é solução de (1!25). Concluindo a demonstração da Proposição 1.0.1.

5.2 Preliminares as Demonstrações dos Teoremas Princi-pais

Para demonstrarmos os Teoremas 1.0.1 e 1.0.2 precisamos de alguns resultadospreliminares que provaremos a seguir.

O funcional energia associado ao problema (1!2) é

I(u) =!

%"(|(u|)dx!

%j(x,u)dx!

%hudx, u "W 1,"

0 (%). (5-12)

Verificaremos no Apêndice A que I está bem definido.Fazendo

Q(u) =!

%"(|(u|)dx!

%uhdx e J(u) =

%j(x,u)dx, (5-13)

temosI(u) = Q(u)! J(u).

Pelo Lema A.0.2 temos

Q " C1(W 1,"0 (%),R) e 5Q&(u),v6=

%'(|(u|)(u(vdx!

%hvdx. (5-14)

O resultado a seguir é um corolário do Teorema de Aubin-Clarke (cf. Teorema3.3.1).

Corolário 5.2.1 Sobre as hipóteses do Teorema 3.3.1, temos que

J " Liploc(W1,"0 (%);R) e

#J(u)1 {w " L#"+(%) | w(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " %}. (5-15)

5.2 Preliminares as Demonstrações dos Teoremas Principais 76

Demonstração: Pelo Lema A.0.1 J(u) está definido para todo u " L"+(%). Além disso,

como C&0 (%) 1 W 1,"

0 (%) #$ L"+(%), segue que W 1,"0 (%)

L"+= L"+(%). Pelo Teorema

de Aubin-Clarke (cf. Teorema 3.3.1) J " Liploc(L"+(%),R) e satisfaz a relação (3!2),então por [13, Teo. 2.2] concluímos que J é localmente Lipschitz em W 1,"

0 (%) e satisfaz

#J(u)1 {w " L#"+(%) | w(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " %}

para u "W 1,"0 (%), provando o Corolário.

Assim, pelo Corolário 5.2.1 e a Proposição 3.2.1

I " Liploc(W1,"0 (%),R) e #I(u) = Q&(u)!#J(u). (5-16)

Portanto, u é um ponto crítico de I se 0 " #I(u), isto é, existe algum * " L#"+(%) tal que

5Q&(u),v6!5*,v6= 0, for v "W 1,"0 (%).

Observação 5.2.1 Nos argumentos abaixo, C denotará uma constante positiva (cumula-tiva).

Abaixo estabeleceremos e provaremos alguns resultados técnicos.

Lema 5.2.1 Suponha ('1)! ('3) e (1!3). Então I é fracamente sequencialmente semi-contínua inferiormente (fssci).

Demonstração: Em primeiro lugar, segue do Lema A.0.3 (cf. Apêndice A) que ofuncional

%"(|(u|)dx, u "W 1,"

é fssci.Agora, seja (un) 1 W 1,"

0 (%) tal que un $ u em W 1,"0 (%). Então un $ u em

L"(%) e, considerando uma subsequência se necessário, un $ u q.t.p. em % e existe92 " L!(%) tal que |un|* 92 q.t.p. em %. Por (1!3) temos

j(x,un)* A|un|!+B(x)* A|92|!+B(x).

Como s %$ j(x,s) é uma função localmente Lipschtz, em particular contínua, temos que jé uma função Carathéodory e portanto

j(x,un(x))!$ j(x,u(x)) q.t.p. x " %.

Pelo Lema de Fatou,limsup

%j(x,un)dx *

%j(x,u)dx.

5.3 Provas dos Teoremas 1.0.1 e 1.0.2. 77

Assim,

I(u) * liminf!

%"(|(un|)dx! limsup

%j(x,un)dx! lim

%hundx

* liminf$!

%"(|(un|)dx!

%j(x,un)dx!

%hundx

= liminf I(un)

mostrando que I é fssci.

5.3 Provas dos Teoremas 1.0.1 e 1.0.2.

O objetivo desta seção é demonstrar o Teorema 1.0.1 e 1.0.2. Começaremos peloTeorema 1.0.1.

Demonstração do Teorema 1.0.1 Inicialmente mostraremos que I é coercivo. De fato,suponha por contradição que exista (un)1W 1,"

0 (%) tal que

-(un-" $ & e I(un)*C.

Usando (1!3) e a desigualdade de Hölder temos!

%"(|(un|)dx *

%j(x,un)dx+

%hundx+C

%|un|!dx+2-h-#"-un-" +C

(5-17)

Afirmamos que!

%|un|!dx $ &. De fato, suponha o contrário, que

%|un|!dx *C.

Pela imersão W 1,"0 (%) #$ L"(%) #$ L!(%), (5!17) e a Desigualdade de Poincaré (cf.

[28]) temos !

%"(|(un|)dx *C(1+-(un-"),

o que é impossível, pois conforme [28, lemma 3.14]!

%"(|(un|)dx

-(un-"$ &,

mostrando que!

%|un|!dx $ &. Observando que L"(%)

cont#$ L!(%) concluímos também

que -un-" $ &.

Por (5!17), Lema 2.4.1 e a imersão L"(%)cont#$ L!(%) temos

-(un-!" *!

%"(|(un|)dx *C-un-!" +2-h-#"-un-" +C. (5-18)

Dividindo (5!18) por -un-!" chegamos a

-(vn-!" *C+2-h-#"-un-!!1

C-un-!"

onde vn =un

-un-". Donde (-(vn-") é limitada. Passando a uma subsequência se necessá-

rio, temos

vn $ v in W 1,"0 (%) e

%"(|(v|)dx * liminf

%"(|(vn|)dx,

vn $ v in L"(%) e existe 93 " L!(%) tal que |vn|* 93 q.t.p. em %,

v .= 0, pois W 1,"0 (%)

comp#$ L"(%) e portanto -v-" = 1.

Afirmamos que

limsup!

j(x,-un-"vn)

-un-!"dx *

{v.=0}A&(x)|v(x)|!dx. (5-19)

Com efeito, usando (1!3) estimamos

j(x,un(x))-un-!"

=j(x,-un-"vn(x))

-un-!"

* 1-un-!'

&A(-un-"vn(x))!+B(x)

* A9!3(x)+B(x).

(5-20)

Além disso,

limsupj(x,-un-"vn)

-un-!"* limsup

j(x,-un-"vn)

-un-!"|vn(x)|!|vn(x)|!/{vn .=0}

dondelimsup

j(x,-un-"vn)

(-un-"vn(x))!|vn(x)|!/{vn .=0} * A&(x)|v(x)|!, v(x) .= 0. (5-21)

Por (5!20), (5!21) e o Lema de Fatou, concluímos (5!19) . Usando o fato que " é

convexa e contínua, o Lema 2.4.1, I(un)*C e (5!19) segue que!

%"(|(v|)dx * liminf

%"(|(vn|)dx

* liminf1

- un-!"

%"(|(un|)dx

* liminf

8j(x,-un-"vn)

-un-!"+

2-h-#"-un-!!1

C-un-!"

* limsup!

j(x,-un-"vn)

-un-!"dx

{v.=0}A&(x)|v(x)|!dx,

que contradiz (1!10). Portanto, I é coercivo. Pelo Lema 5.2.1, existe u " W 1,"0 (%) tal

queI(u) = min

v"W 1,"0 (%)

consequentemente u é um ponto crítico, isto é, 0 " #I(u). Donde, existe * " #J(u) tal que!

%'(|(u|)(u(vdx =

%*vdx+

%hvdx, v "W 1,"

e pelo Corolário 5.2.1*(x) " # j(x,u(x)) a.e. x " %,

ou seja, u é uma solução para o problema (1!2).

Para demonstrarmos o Teorema 1.0.2 precisamos de alguns resultados técnicos,os quais serão apresentados a seguir. Iniciamos relembrando uma proposição cuja de-monstração encontra-se em Chang [13] (cf. também a Proposição 3.1.3).

Proposição 5.3.1 Seja f : %(R !$ R uma função Baire mensurável tal que s %$ f (x,s)seja não decrescente q.t.p. x " % e satisfaça (1!16). Então a função

j(x, t) :=! t

0f (x,s)ds, (5-22)

é localmente Lipschitz q.t.p. x " % e

# j(x, t) = [ f (x, t !0), f (x, t +0)]. (5-23)

Demonstração: Mostraremos que a função t %$ j(x, t) é localmente Lipschtz, q.t.p. x"%.De fato, sejam t " R e : > 0. Considere s1,s2 " (t ! :, t + :) e suponha, sem perda degeneralidade, que s1 < s2, segue de (1!16) e de #"!1

+ ,"+ ser crescente

| j(x,s2)! j(x,s1)| *! s2

s1| f (x,s)|ds

:c1#"!1

+ ,"+(c2s)+b(x);

*:c1#"!1

+ ,"+(c2(t + :))+b(x);|s2 ! s1|

= C(x)|s2 ! s1|,

(5-24)

onde C(x) :=:c1#"!1

+ ,"+(c2(t + :))+b(x);, donde j(x, .) " Liploc(R,R). Da desigual-

dade (5!24) vemos que j é localmente Lipschitziana. A demonstração da relação(5!23) é encontrada em Chang [13].

O seguinte resultado é baseado no Teorema 2.3 (cf. [13]) o qual determinacondições para que se tenha a igualdade na relação (5!15).

Corolário 5.3.1 Sejam " satisfazendo ('1)!('3) e f : %(R!$R é uma função Baire-mensurável, não decrescente na segunda variável satisfazendo (1!16). Então a funçãoJ é convexa e

#J(u)(x) = [ f (x,u(x)!0), f (x,u(x)+0)]

para todo u " L"+(%) ou u "W 1,"0 (%).

Demonstração: Para verificar que J é convexa, basta mostrarmos que a função s %$ j(x,s)é convexa, para isto, observemos que esta é não decrescente e também localmenteLipschitz, portanto contínua, e proceder como no Lema 3.2.2 (cf. [32]).

Como f é Baire mensurável, segue da Proposição 5.3.1 que

# j(x, t) = [ f (x, t !0), f (x, t +0)], t " R q.t.p. x " %.

Recorrendo ao Teorema 3.3.1 e ao Corolário 5.2.1 obtemos que

#J(u)(x)1 [ f (x,u(x)!0), f (x,u(x)+0] q.t.p. x " %

sempre que u " L"+(%) ou u "W 1,"0 (%).

Por outro lado, seja w" L"+(%) tal que w(x)" [ f (x,u(x)!0), f (x,u(x)+0] q.t.p.x " %. Então (basta avaliar graficamente)

w(x)(v(x)!u(x)) *! v(x)

u(x)f (x, t)dt

!! v(x)

0!! u(x)

"f (x, t)dt

= j(x,v(x))! j(x,u(x)).

Integrando

(w,v!u) =!

%w(x)(v(x)!u(x))dx *

%j(x,v(x))dx!

%j(x,u(x))dx * J(v)! J(u),

e lembrando que#J(u) = {w " L#"+

| (w,v!u)* J(v)! J(u)}

concluimos que w " #J(u), sempre que u " L"+(%). Pelo Corolário 5.2.1 o mesmo valeem W 1,"

0 (%).

A seguir provaremos o Teorema 1.0.2, que é baseado no Teorema 4 de Corrêa &Gonçalves em [16], o qual trata sobre a medida do conjunto de nível -a(u).Prova do Teorema 1.0.2: Afirmamos que f é Baire mensurável. De fato, defina

f1(x, t) =

.f (x, t) , t < a

f (x,a!0) , t ' a

f2(x, t) =

.f (x, t) , t > a

f (x,a!0) , t * a

que são Baire mensuráveis, pois são contínuas na segunda variável. Como os conjuntos(!&,a) e [a,&) são Baire mensuráveis então

f (x, t) = /(!&,a)(t). f1(x, t)+/[a,&)(t). f2(x, t)

é Baire mensuável, provando a afirmação.Agora, como f (x, t) é não decrescente em t, segue do Corolário 5.3.1 que

#J(v)(x) = # j(x,v(x)) = [ f (x,v(x)!0), f (x,v(x)+0)], v "W 1,"0 (%) q.t.p. x " %.

Seja u "W 1,"0 (%) uma solução de (1!2) que minimiza o funcional energia I, então

!!"u(x) " # j(x,u(x))+h(x) q.t.p. x " %

eI(u)* I(u+ :2), : > 0 e 2 "W 1,"

0 (%),

donde!

j(x,u+ :2)! j(x,u):

"(|((u+ :2)|)!"(|(u|):

%h2dx. (5-25)

Consideremos os seguintes casos:Caso 1: Considere 2 ' 0 e 2 " C&

0 (%). Pelo Teorema do Valor Médio de Lebourg existe*: tal que

j(x,u+ :2)! j(x,u):

ondeu < *: < u+ :2 e 8: " # j(x,*:) = [ f (x,*: !0), f (x,*: +0)].

Usando isto e a condição (1!16) obtemos

|8:| * | f (x,*: !0)|+ | f (x,*: +0)* 2c1#"!1

+ ,"+(c2*:)+2b(x).

Além disso, como |*:|* |u|+ |2| obtemos++++

j(x,u+ :2)! j(x,u):

++++ = |8:|2

* [2c1#"!1+ ,"+(c2*:)+2b(x)]2

* [2c1#"!1+ ,"+(c2|u|+ c2|2|)+2b(x)]2 " L1(%).

Por outro lado, é fácil ver que

lim:$0+

j(x,u+ :2)! j(x,u):

= f (x,u(x)+0)2(x) q.t.p. x " %.

Aplicando o Teorema de Lebesgue em (5!25) obtemos!

%f (x,u(x)+0)2(x)dx *

%'(|(u|)(u(2dx!

assim,!!"u ' f (x,u(x)+0)+h(x) q.t.p. x " %,

portanto,!!"u = f (x,u(x)+0)+h(x) q.t.p. x " %. (5-26)

Caso 2: Considere 2 * 0 e 2 " C&0 (%). De maneira análoga ao que foi feito no Caso 1

5.4 Demonstrações dos Teoremas 1.0.3 e 1.0.4 83

mostra-se que!!"u = f (x,u(x)!0)+h(x) q.t.p. x " %. (5-27)

Suponha, por contradição, que |-a(u)| .= 0. Por (5!26) e (5!27) obtemos que

f (x,a!0) = f (x,a+0) q.t.p. x " -a(u),

o que contradiz (1!14). Donde |-a(u)|= 0.Como u é solução de (1!2) existe * " #J(u) tal que

%[!!"u!*!h]2dx = 0, 2 "W 1,"

0 (%).

Donde!!"u(x) = *(x)+h(x) q.t.p. x " %

e como f " C(R!{a}) e |-a(u)|= 0 concluímos que

!!"u(x) = f (x,u(x))+h(x) q.t.p. x " %.

5.4 Demonstrações dos Teoremas 1.0.3 e 1.0.4

Para demonstrarmos o Teorema 1.0.3 precisamos de alguns resultados prelimi-nares. Seja

'.(t) = .(/

1+ t2 !1).!1/

1+ t2t ' 0.

Lema 5.4.1 A função " satisfaz ('1)! ('2), e

. * t2'(t)"(t)

* 2., t > 0. (5-28)

Além disso, quando 1 < . < N,

L"(%) = L.(%),

|u|" * |u|., u " L"(%), (5-29)

eW 1,"

0 (%) =W 1,.0 (%).

Demonstração: Naturalmente ' "C(0,&). Por cálculos diretos mostra-se que

limt$0

t'(t) = 0, limt$&

t'(t) = &, (t'(t))& > 0 e . * t2'(t)"(t)

mostrando ('1) e ('2). Agora observemos que

t2'(t)"(t)

/1+ t2 !1).!1

/1+ t2(

/1+ t2 !1).

/1+ t2(

/1+ t2 !1)

de onde prova-se facilmente (5!28). Para provar que L"(%) = L.(%), basta observarque

"(t)* t., t ' 0 e "(t)' 12. t., t ' 2

e usar [32, thm. 3.17.3]. Como consequência, W 1,"0 (%) =W 1,.

0 (%),

Para provar (5!29), considere u " L.(%) e k > 0 e note que

|u(x)|.

k. = 1 se, e somete se, k = |u|..

Como "(t)* t. para t ' 0 temos

|u|..k. .

Fazendo k = |u|. segue da definição de -u-" a relação (5!29). Isto prova o Lema 5.4.1.

Proposição 5.4.1 Suponha (1!21). Então (1!10) vale.

Demonstração: Por (1!21) e W 1,"0 (%) =W 1,.

0 (%),

infu"W 1,"

0 (%), |u|L.=1

1+ |(u|2 !1).dx!!

{u .=0}A&(x)|u(x)|.dx

Seja u " W 1,"0 (%) tal que -u-" = 1. Recordando que "(t) = (

/1+ t2 ! 1). e fazendo

v = u|u|. existe , > 0 tal que

%"!|(u||u|.

"dx! 1

{u.=0}A&(x)|u(x)|.dx.

Usando a desigualdade 1 = -u-" * |u|. dada pelo Lema 5.4.1 e aplicando o Lema 2.4.1temos

, * max

.1|u|..

|u|2..

%"(|(u|)dx! 1

{u.=0}A&(x)|u(x)|.dx

* 1|u|..

%"(|(u|)dx!

{u.=0}A&(x)|u(x)|.dx

%"(|(u|)dx!

{u.=0}A&(x)|u(x)|.dx

Isto prova a Proposição 5.4.1.

Proposição 5.4.2 Suponha que 1 < . < N2 e (1!19). Então (1!9) vale.

Demonstração: Seja "(t) = t.. Pelo Lema 2.4.4,

"+(1) t.+ * "+(t), t ' 1.

Usando a desigualdade acima e (1!19) temos que (1!9). Isto prova a Proposição 5.4.2.

Prova do Teorema 1.0.3 Basta aplicarmos o Lema 5.4.1, as Proposições 5.4.1 e 5.4.2 eo Teorema 1.0.1.

Prova do Teorema 1.0.4 Basta observarmos que a condição (1!23) é equivalente acondição (1!16) do Teorema 1.0.2, pois L"+(%) = L.+(%). Por fim, basta aplicar oTeorema 1.0.2.

CAPÍTULO 6Problemas Quaselineares Multivalentes comCrescimento Crítico em um Domínio Limitado:Princípio Variacional de Ekeland eConcentração-Compacidade

Neste capítulo utilizaremos o Princípio Variacional de Ekeland e argumentosda teoria de pontos críticos para funcionais Localmente Lipschitzianos em espaços deOrlicz-Sobolev, juntamente com convexidade e técnicas de compacidade para investigara existência de solução da equação multivalente (1!26), isto é,

!!"u " # j(.,u)+$h in %,

onde %#RN é um domínio limitado regular, " : R!$ [0,&) é uma N-função apropriada,!" é o correspondente "!Laplaciano, $ > 0 é um parâmetro, h : % $ R é uma funçãomensurável,

j(x, t) = 0(x)["+(t)!"+(a)] /{t>a}(t)

e # j(.,u) é o subdiferencial de uma função j associada com o crescimento crítico.

Observamos que nossos resultados funcionam (acompanhe as demonstraçõesabaixo) para funções j(x, t) mais gerais, por exemplo

j(x, t) =k

0i(x)["+(t)!"+(ai)]/{t>ai}(t),

onde 0i " L&(%), 0i > 0, i = 1,2, ...,k, e 0 < a1 < a2 < ... < ak.

6.1 Estrutura Variacional Associada a (1!26) 87

6.1 Estrutura Variacional Associada a (1!26)

O funcional Energia associado a (1!26) é I := I$,a definido em (1!28), isto é,

I(u) =!

%"(|(u|)dx!

%j(x,u)dx!$

%hudx, u "W 1,"

0 (%).

Exploraremos abaixo algumas propriedades de I. Em primeiro lugar escrevemos

I(u) = Q$(u)! J(u),

ondeQ$(u) =

%"(|(u|)dx!$

eJ(u) =

%j(x,u)dx.

Mostra-se que (cf. Lema A.0.2 no Apêndice A)

Q$ "C1(W 1,"0 (%),R) e 5Q&

$(u),v6=!

%'(|(u|)(u(vdx!$

%hvdx.

No resultado abaixo, usamos o Teorema de Aubin-Clarke (cf. Teorema 3.3.1)para obter uma expressão para # j(x, t), (x, t) " %(R.

Lema 6.1.1 Seja j como em (1!27). Então

# j(x, t) =

0, t < a,[0,0(x)'+(a)] , t = a,0(x)'+(t), t > a,

e o funcionalJ(u) :=

%j(x,u(x))dx, u "W 1,"

satisfaz

J " Liploc(W1,"0 (%),R) e #J(u)1

4*" L@"+

(%) | *(x)" # j(x,u(x)) q.t.p. x"%5. (6-1)

Observação 6.1.1 Notemos que J(u) está definido para u " L"+(%). Para isto, bastaobservar que

j(x, t) := 0(x)["+(t)!"+(a)] /{t>a}(t), (x, t) " %(R

6.1 Estrutura Variacional Associada a (1!26) 88

satisfaz a condição (1!9). De fato, pelo Lema 2.1.1 item 7 temos

'+(t)* #"!1+ ,"+(2t).

Pelo Lema 6.1.1 obtemos

0 * * * |0|&'+(t)* |0|&#"!1+ ,"+(2t), * " # j(x, t).

Portanto, pelo Lema A.0.1 concluímos que J(u) está definido para u " L"+(%).

Demonstração do Lema 6.1.1: Pela definição de j, j(x, .) é diferenciável para cada t .= ae

# j(x, t) = { j&(x, t)}= {0(x)'+(t)/{t>a}}.

Por outro lado, como j " L&loc(%(R) temos por [41, Prop. 1.7] que

# j(x,a) =2

limt$a!

/{t>a}0(x)'+(t), limt$a+

/{t>a} 0(x)'+(t)3= [0,0(x)'+(a)].

Seja * = *(x) " # j(x, t), t ' 0. Usando a relação (2!11) temos

0 * t* * 0(x)t'+(t)* m+0(x)"+(t) a.e. x " %.

Na realidade, se t > a, então

!+0(x)"+(t)* t* * m+0(x)"+(t) q.t.p. x " %. (6-2)

Note que se * := *(x) " # j(x, t) então

0 * * * 0(x)'+(t)* |0|&'+(t).

Lembrando que #"+('+(t))* "+(2t), (cf. [23, p. 263]) temos

0 * * * |0|&#"!1+ ,"+(2t),

que é a condição (3!1) do Teorema de Aubin-Clarke (cf. Teorema 3.3.1). Daí J "Liploc(L"+(%),R) e J satisfaz a condição (3!2). Por fim, por [13, Teo. 2.2] obtemosa condição (6!1). Isto prova o Lema 6.1.1.

Com base em (6!1) e o Lema A.0.2, concluímos que

I " Liploc(W1,"0 (%),R) e #I(u) = Q&

$(u)!#J(u).

Relembramos que u é um ponto crítico de I se 0 " #I(u) isto é, existe algum * " #J(u) tal

6.2 Limitação Local de I: Sequência de Ekeland 89

que5Q&

$(u),v6!5*,v6= 0 para v "W 1,"0 (%).

Por conseguinte, se u é um ponto crítico de I então u é solução da equação (1!26) nosentido da definição 1.0.2.

6.2 Limitação Local de I: Sequência de Ekeland

O lema seguinte tem o objetivo de verificar que o funcional I, restrito a uma bolade centro na origem, satisfaz as hipóteses do Princípio variacional de Ekeland.

Lema 6.2.1 Existem $0,r > 0 tais que para cada $ " (0,$0) e a > 0

(i) inf#Br(0)

I(v)> 0;

(ii) !& < c := infBr(0)

I < 0.

Observação 6.2.1 Graças a imersão W 1,"0 (%)

cont#$ L"+(%) denotaremos por S a melhor

constante positiva tal que

S = infu"W 1,"

0 (%),u.=0

-u-!"+

. (6-3)

Demonstração do Lema 6.2.1 Inicialmente mostraremos (i). De fato, usando o Lema2.4.1 e a desigualdade de Hölder temos

I(u)' min{-u-!,-u-m}!!

%j(x,u)dx!2$-h-#"+

-u-"+ (6-4)

Segue da definição de j que j(x, t) * |0|&"+(t), (x, t) " % ( R. Pelo Lema 2.4.2 e aObservação 6.2.1 temos

%j(x,u)dx+2$-h-#"+

-u-"+ * |0|&!

%"+(u)dx+2$-h-#"+

-u-"+ *

|0|& max{-u-!+"+,-u-m+

"+}+2$-h-#"+

-u-"+ *

|0|& max$

S!+!-u-!+, 1

Sm+!-u-m+

S1!-h-#"+

Juntando (6!4) e (6!5) encontramos

I(u)' min{-u-!,-u-m}! |0|& max$

-u-!+, 1

-u-m+%! 2$

-h-#"+-u-.

6.2 Limitação Local de I: Sequência de Ekeland 90

Fazendo 0 < -u- * 1 segue da desigualdade acima que

I(u)' -u-m&

1!4-u-!+!m !3$-u-1!m(,

onde 3 := 2/S1! -h-#"+

e 4 := |0|&/S!+! . Seja P(s) := 1! 4s!

+!m, s > 0. Como !+ > m

segue que P(s)' 1/2 se, e somente se, s * s0 :=&

(1/!+!m. Além disso,

P(s0)!$3s1!m0 ' 1

4portando $ * $0 :=

sm!10 .

Escolhendo r := min{1,s0} segue que

I(u)' rm

4> 0 para u "W 1,"

0 (%) com -u-= r.

Isto mostra (i). Agora mostraremos (ii). Usando o Lema 2.4.1, a imersão contínuaW 1,"

0 (%) #$ L"+(%) e a desigualdade de Hölder obtemos que

I(u)'!|0|& max{ 1

rm+}! 2$S

-h-#"r >!&, -u- * r.

Por outro lado, dados 2 " C1(%)3W 1,"0 (%) positiva em % e t " (0,1) temos que

I(t2) * max{t!, tm}!

%"(|(2|)dx! t$

%h2dx < 0

para t > 0 suficientemente pequeno, mostrando (ii).

Observação 6.2.2 Pelo que foi visto acima o funcional energia I dado em (1!28)satisfaz

(i) I " Liploc(W1,"0 (%);R);

(ii) I : Br(0)$ R é limitado inferiormente.

Pelo Princípio Variacional de Ekeland (cf. Apêndice A, Teorema A.0.1), dado: > 0 existe u: " Br(0) tal que

I(u:)< infBr

I + :, (6-6)

I(u:)< I(u)+ :-u!u:-, u .= u:. (6-7)

Segue que existe uma sequência (un)1 Br(0) tal que

I(un)< infBr(0)

I$,a +1n

e (6-8)

6.3 Algumas Propriedades da Sequência de Ekeland 91

I(un)< I(u)+1n-u!un-, u .= un. (6-9)

Observação 6.2.3 A sequência (un) é chamada Sequência de Ekeland.

6.3 Algumas Propriedades da Sequência de Ekeland

Lema 6.3.1 A sequência de Ekeland (un)1 Br(0) satisfaz

I(un)n!$ c e m(un) := min

w"#I(un)-w-W!1,#"

n!$ 0. (6-10)

Demonstração: Pelo Lema A.0.2 temos que Q$ " C1(W 1,"0 (%),R) e pelo Lema 6.1.1

concluímos que J " Liploc(W1,"0 (%),R), então I é contínua, em particular semicontínuo

inferiormente (na topologia da norma).Pelo Lema 6.2.1 temos que inf

#BrI > 0 e considerando um inteiro positivo n suficientemente

grande de modo que (cf. Lema 6.2.1)

1n< inf

#BrI ! inf

Isto junto com (6!8) nos dá

I(un)<1n+ inf

I < inf#Br

mostrando que un " Br. Tomemos . > 0 e v " W 1,"0 (%) tais que u. = un + .v " Br. Por

(6!9),

I(un + .v)! I(un)+ .1n-v- ' 0,

implicando em

!1n-v- * limsup

I(un + .v)! I(un)

* I0(un,v).

Pela Proposição 3.1.2 iii) concluímos que

I0(u;v) = maxµ"#I(u)

5µ,v6, u,v "W 1,"0 (%).

Para v "W 1,"0 (%) obtemos

!1n-v- * I0(un,v) = max

µ"#I(un)5µ,v6, v "W 1,"

6.3 Algumas Propriedades da Sequência de Ekeland 92

e por isso, para v "W 1,"0 (%) obtemos

!1n-v- * I0(un;!v)

= maxµ"#I(un)

5µ,!v6

= ! minµ"#I(un)

5µ,v6.

Assim,min

µ"#I(un)5µ,v6 * 1

n-v-, v "W 1,"

que nos dá

sup-v-*1

minµ"#I(un)

5µ,v6 * 1n. (6-11)

A seguir, aplicaremos o Teorema de Minimax de Ky Fan (cf. Teorema A.0.2) à aplicaçãoK : #I(un)(B1(0)$ R definida por:

K(µ,v) := 5µ,v6, (µ,v) " #I(un)(B1(0).

As condições (A!5)! (A!6) são facilmente verificadas.Para verificar a condição (A!7), considere v " B1(0), c " R e

Mv := {µ " #I(un)|5µ,v6 * c}1W!1,#"(%).

É fácil ver que para cada v " B1(0), Mv é convexo e fortemente fechado. Como con-sequência Mv é fracamente fechado (cf. [8, Teo. 3.7]). Segue que o funcional µ %$ K(µ,v)é fracamente semicontínuo inferiormente.

Para verificar a condição (A!8), considere µ " #I(un) e observe que a funçãov %$ !K(µ,v) =!5µ,v6 é contínua, e portanto semicontínua inferiormente.

Por fim, considere #v = 0 " B1(0) e $ = 1. Pela Proposição 3.1.2 o conjunto

{µ " #I(un)|5µ,06 * 1}= #I(un)

é fracamente compacto, verificando a condição (A!9).Pelo Teorema A.0.2 e (6!11) temos

sup-v-*1

minµ"#I(un)

5µ,v6 = minµ"#I(un)

sup-v-*1

5µ,v6

= minµ"#I(un)

-µ-W!1,#"

6.4 Convergência da Sequência de Ekeland em Compactos 93

Segue de (6!8) que existe uma sequência (un)1 Br tal que

I(un)!$ c e minµ"#I(un)

-µ-W!1,#" !$ 0.

Isto prova o Lema 6.3.1.

Observação 6.3.1 A sequência de Ekeland (un) 1 W 1,"0 (%) satisfaz (6!10). Na reali-

dade, existe wn " #I(un) tal que

-wn-W!1,#" = minw"#I(un)

-w-W!1,#"

(cf. Proposição 3.1.2 iv)) e assim existe *n " #J(un) tal que wn = Q&$(un)!*n. Por isso,

5wn,v6 $ 0, v "W 1,"0 (%)

de modo que

%'(|(un|)(un(vdx = $

%hvdx+

%*nvdx+on(1). (6-12)

Observação 6.3.2 Como (un)1 Br(0)1W 1,"0 (%), existe u " Br(0) tal que

un $ u em W 1,"0 (%).

6.4 Convergência da Sequência de Ekeland em Compac-tos

O objetivo desta seção é provar o seguinte resultado:

Lema 6.4.1 Seja (un) 1 W 1,"0 (%) a sequência obtida em (6!10). Estenda un a RN

definindo un = 0 em RN\%. Então existem x1, · · · ,xr " RN tais que

unL"+(K)!$ u (6-13)

para cada conjunto compacto K # RN\{x1, · · · ,xr}.

A demonstração do Lema 6.4.1 usa uma variante, devido a Fukagai, Ito &Narukawa [23] (cf. também o Apêndice A), das Técnicas de Concentração-Compacidadede Lions [36].

Inicialmente introduziremos algumas notações e observações (cf. Willem [49] eo Apêndice A). Dado v "C&

0 (%) nós a estenderemos a RN definindo v(x) = 0 caso x " %c

e ainda denotaremos tal estensão por v. Então v "C&0 (RN) e supp(v)# %. Além disso,

-v-W 1,"(RN) = -v-W 1,"(%)

eW 1,"

0 (%) = {v "C&0 (RN) | supp(v)# %}W 1,"(RN)

Desta forma, se v " W 1,"0 (%) então v " W 1,"(RN). Notações similares serão admitidas

em L#"+(%).

Seguindo Willem [49], introduzimos dois espaços vetoriais normados:

(i) C0 = {u "C(RN) | supp(u)cpt1 RN}

|·|&,

com norma|u|& = sup

x"RN|u(x)|,

(ii) M = M (RN) = o espaço das medidas finitas em RN

munido da norma

-µ-M = sup$!

RNudµ | u "C0, |u|& = 1

Considere µn,<n : C0 $ R definidas por

5µn,v6=!

RN"(|(un|)vdx e 5<n,v6=

RN"+(|un|)vdx, v "C0.

Então existe uma constante C > 0 tal que

|5µn,v6|*C|v|& e |5<n,v6|*C|v|&

isto é (µn),(<n)1 M são limitadas. Segue que

"(|(un|)$ µ, "+(|un|)$ < em M . (6-14)

Sejam J, {x j} j"J 1 RN , {< j} j"J e {µ j} j"J dados pelo Lema B.0.5. Ainda peloLema B.0.5 temos

< = "+(u)+ )j"J

< j,x j

eµ ' "(|(u|)+ )

j"Jµ j,x j .

Lema 6.4.2 O conjunto #J = { j " J | < j > 0} é finito.

Demonstração: Afirmamos que {x j} j" #J 1 %. Caso contrário, se x j " %c para algumj " #J, existe : > 0 tal que B:(x j)1 %c. Considere 2: "C&

0 (RN) tal que

supp(2:)# B:(x j), 2::$0!$ /{x j} q.t.p. RN .

Agora, estendamos un a RN definindo un(x) = 0 para x " RN ! %. Usando (6!14),obtemos

RN"(|(un|)2:dx n!$

RN2:dµ,

e passando ao limite com : $ 0 deduzimos

RN2:dµ =

B:(x j)2:dµ $

{x j}dµ = µ j.

Donde, µ j = 0 e pelo Lema B.0.5 inferimos que < j = 0, o que é um absurdo, pois j " #J,provando a afirmação .

Agora, considere = " C&0 (RN) tal que 0 * = * 1, =(x) = 1 se |x| * 1 e

=(x) = 0 se |x|' 2. Escolha x j com j " #J, : > 0 e defina

=:(x) := =!

x! x j

", x " RN .

Note que (=:un)1W 1,"0 (%) é limitada. De acordo com a Observação 6.3.1

wn = Q&$(un)!*n para algum *n " #J(un). (6-15)

e por (6!12)!

%'(|(un|)(un((=:un) = $

%hun=:dx+

%*nun=:dx+on(1). (6-16)

Além disso, pelo Lema 6.1.1, *n " L#"+(%) e *n(x)" # j(x,un(x)) para x"%. Por (6!16),

Lema 6.1.1 e (6!2)

%'(|(un|)(un((=:un) =

{un<a}+!

{un'a}

"*nun=:dx+$

%hun=:dx+on(1)

{un'a}*nun=:dx+$

%hun=:dx+on(1)

{un'a}0(x)"+(un)=:dx+$

%hun=:dx+on(1)

* m+|0|&!

%"+(un)=:dx+$

%hun=:dx+on(1)

(6-17)Por outro lado, usando o fato que t2'(t)' "(t) temos,

%'(|(un|)(un((=:un)dx =

%un'(|(un|)(un(=:dx+

%=:'(|(un|)|(un|2dx

%un'(|(un|)(un(=:dx+

%=:"(|(un|)dx

(6-18)Afirmamos que

('(|(un|)|(un|) é limitada em L#"(%).

De fato, como #"('(t)t)* "(2t), t " R, e " " !2

%#"('(|(un|)|(un|)dx *

%"(2|(un|)dx * K

%"(|(un|)dx < &.

provando a afirmação. Consequentemente, ('(|(un|)#un/#xi) também é limitada emL#"(%) e portanto

'(|(un|)#un

#xi$ wi em L#"(%), i = 1, ...,N. (6-19)

Definindo w = (w1, ...,wN), afirmamos que!

%(un'(|(un|)(un(=: !u w.(=:)dx = on(1). (6-20)

De fato, somando e subtraindo um termo conveniente, usando a desigualdade de Hölder eaplicando (6!19) na função teste #=:

#xiu, temos

%'(|(un|)

#=:#xi

un !wi#=:#xi

udx+++ *

+++'(|(un|)#un

#=:#xi

(un !u)+++dx+

%'(|(un|)

#=:#xi

u!wi#=:#xi

udx+++ *

2AAAA'(|(un|)

#=:#xi

AAAA#"-un !u-" +on(1)

Como W 1,"0 (%)

comp#$ L"(%) obtemos que -un !u-" $ 0, e assim deduzimos

%'(|(un|)

#=:#xi

undx n!$!

#=:#xi

udx, i = 1, ...,N,

o que leva a (6!20), provando a afirmação. Substituindo (6!20) em (6!18) chegamosa

%=:"(|(un|)dx+

%uw.(=:dx *

%'(|(un|)(un((=:un)+on(1). (6-21)

Segue de (6!17) e (6!21) que!

%=:"(|(un|)dx+

%uw.(=:dx * m+|0|&

%"+(un)=:dx+$

%hun=:dx+on(1).

Passando ao limite na desigualdade acima com n $ &, recordando que!

%"(|(un|)=:dx n$&!$

%=:dµ,

%"+(un)=:dx n$&!$

%=:d<,

e que !

%unh=:dx n$&!$

%uh=:dx,

chegamos a!

%=:dµ+

%uw.(=:dx * m+|0|&

%=:d<+$

%hu=:dx. (6-22)

Afirmamos que (*n) é limitada em L#"+(%). De fato, usando o Lema 6.1.1 inferimos que

%#"+(*n)dx *

%#"+(0(x)'+(un))dx *

%#"+(|0|&'+(un))dx

* C|0|&

%#"+('+(un))dx *C|0|&

%"+(2un)dx *C,

provando a afirmação. Assim, existe * " L#"+(%) tal que

*n $ * in L#"+(%). (6-23)

Seja v "W 1,"0 (%). Passando ao limite na expressão

5wn,v6=!

%('(|(un|)(un(v!$hv!*nv)dx,

e usando (6!19) chegamos a!

%(w.(v!$hv!*v)dx = 0. (6-24)

Considerando v = u=: em (6!24) obtemos!

%uw.(=:dx =

%($hu+*u!w.(u)=:dx.

Mas|($hu+*u!w.(u)=:|* |$hu|+ |*u|+ |w.(u| " L1(%)

e($hu+*u!w.(u)=:

:$0!$ 0 q.t.p. em %.

Assim, pelo Teorema de Lebesgue!

%uw.(=:dx :$0!$ 0 e

%hu=:dx :$0!$ 0.

Notando que

=::$0!$ /{x j} q.t.p. em RN e =:(x)* /B1(x j)(x) para x " RN e : > 0 pequeno

chegamos a!

RN=:dµ :$0!$

{x j}dµ = µ({x j}) = µ j e

RN=:d< :$0!$

{x j}d< = <({x j}) = < j.

Passando ao limite em (6!22) com : $ 0+ concluimos que

µ j * m+|0|&< j, j " #J. (6-25)

Pelo Lema B.0.5 chegamos a µ j * c1µ3j , onde 1 < 3 * max{!+/!,m+/!,!+/m,m+/m}.

Portanto, µ j ' c2 para alguma constante positiva c2. Daí e de (6!25) concluímos que< j ' c3, para j " #J e para alguma constante positiva c3. Neste ponto, se supormos que

6.5 Demonstração do Teorema 1.0.5 99

#( #J) = &, então

)j" #J

< j ' )j" #J

c3 = &,

o que é impossível, pois < é uma medida finita e

< = "+(u)+ )j" #J

< j,x j .

Isto prova o Lema 6.4.2.Encerraremos esta seção demonstrando o Lema 6-13.

Demonstração do Lema 6.4.1: Como #J é um conjunto finito, é possível escolher , > 0tal que B,(x j)3B,(x j) = /0 para i .= j com i, j " #J. Agora considere K, # RN\8 j" #J B,(x j)

e / "C&0 tais que

0 * / * 1, / = 1 em K,, supp(/)3&8 j" #JB ,

2(x j)

(= /0.

Note que"+(un !u)$ < = "+(0)+ )

j" #J< j,x j em M .

Por outro lado,0 *

K,"+(un !u)dx *

RN"+(un !u)/dx,

RN"+(un !u)/dx $

RN/d<,

RN/d< = )

j" #J< j/(x j) = 0.

Donde !

K,"+(un !u)dx $ 0.

Como os argumentos acima valem para todo , > 0 concluímos que (6!13) vale paracada conjunto compacto K # RN !{x j} j" #J .

6.5 Demonstração do Teorema 1.0.5

A seguir demonstraremos alguns lemas técnicos, porém fundamentais para de-monstrarmos o Teorema 1.0.5.

Em primeiro lugar, seja * " L#"+(%) definido em (6!23).

Lema 6.5.1 *n(x)!$ *(x) e *(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " %.

Demonstração: Inicialmente provaremos que

*(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " %.

De fato, seja K # RN\{x j} j" #J um conjunto compacto e considere 2 " L"+(K). Defina2(x) = 0 para x " %!K. Lembremos que

*n " #J(un), *n $ * em L#"+(%) e *(x) = *n(x) = 0 para x " K !%.

Daí, !

K(*n !*)2dx =

%(*n !*)2|%dx $ 0, quando n $ &.

Donde,*n $ * em L#"+

e como L#"+(K) é reflexivo, a condição acima equivale a

*n+$ *, em L#"+

Por outro lado, pelo Lema 6.4.1,

unL"+(K)!$ u

e pelo item vi) da Proposição 3.1.2, * " #J(u). Pelo Lema 6.1.1 acima,

* " L#"+(K) e *(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " K.

RN !{x j} j" #J =&#

<=1K<, (6-26)

onde {K<}&<=1 é uma familia de conjuntos compactos, segue que *(x) " # j(x,u(x)) q.t.p.

x " %.Por fim, mostraremos que

*n(x)!$ *(x) q.t.p. x " %.

Com efeito, pelo Lema 6.4.1

un !$ u em L"+(K),

onde K #RN !{x j} j" #J é um conjunto compacto. Então, considerando uma subsequência

se necessário, pelo Lema 2.2.2

un !$ u q.t.p. em K

e existe h " L"+(K) tal que|un|* h q.t.p. em K.

Pelo Lema 6.1.1

0 * *n(x)* 0(x)'+(|un|)* 0(x)'+(h(x)) q.t.p. x " %. (6-27)

Assim, existe *0 = *0(x) tal que

*n(x)!$ *0(x)

e por (6!27) temos que *0 " L"+(K). Pelo Lema 2.2.4

*n $ *0 em L"+(K)

e graças a unicidade do limite *0 = * q.t.p. em K, ou seja,

*n $ * q.t.p. em K,

para cada compacto K # RN !{x j} j" #J . Disso e (6!26) temos

*nn$&!$ * q.t.p. em RN .

Como *n = 0 em RN !%, segue que

*nn$&!$ * q.t.p. em %.

Isto finaliza a demonstração do Lema 6.5.1.A demonstração do próximo lema é baseada no [23, Lema 4.5].

Lema 6.5.2 (un(x)n$ (u(x) q.t.p. x " %.

Demonstração: Seja {K<}&<=1 uma família de conjuntos compactos tal que (6!26) vale.

Escolha um inteiro < ' 1 e uma função / " C&0 (RN) tais que 0 * / * 1, / = 1 em K< e

supp(/)3{x j} j" #J .= /0. Como " é convexa,

('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u)' 0, em RN .

Assim,

K<('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u)dx

RN('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u)/dx

RN('(|(un|)(un,(un !(u)/dx!

RN('(|(u|)(u,(un !(u)/dx

(6-28)

Seja vn = /(un!u). Segue que vn é limitada em W 1,"0 (RN) e como 5wn,vn6 $ 0

(cf. Observação 6.3.1) obtemos!

RN'(|(un|)(un(vndx!$

RNhvndx!

RN*nvndx = on(1), (6-29)

ou seja,!

RN'(|(un|)(un((un !(u)/dx+

RN(un !u)'(|(un|)(un(/dx

RNhvndx+

RN*nvndx+on(1).

(6-30)

Note que!

RN|'(|(un|)(un(/(un!u)|dx*-'(|(un|)|(un|-L#"(R

N)|(/|&-(un!u)-L"(RN) = on(1),

RNhvndx = on(1),

e como (*n) é limitada em L#"+(%), segue do Lema 6-13

RN|*nvn|dx * -*n-L#"+(supp/)|/|&-(un !u)-L"+(supp/) = on(1),

mostrando, via (6!30), que!

RN'(|(un|)(un((un !(u)/dx n$ 0. (6-31)

Agora, mostraremos que!

RN'(|(u|)(u((un !(u)/dx $ 0. (6-32)

De fato, sabemos que un $ u em W 1,"0 (%) e /'(|(u|)|(u| " L#"(%). Assim, definindo

un = u = 0 em RN !% temos (6!32).Por fim, de (6!31)! (6!32) segue que

K<('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u)dx n$&!$ 0,

ou seja,('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u) n$&$ 0 em L1(K<)

e, considerando uma subsequência se necessário

('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u) n$&$ 0 q.t.p. em K<.

Daí e de (6!26) chegamos a

('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(un !(u) n$&$ 0 q.t.p. em RN .

Pelo Lema 4.3.7(un $ (u q.t.p. em RN .

Recordando que un(x) = 0 para x " RN\%, concluímos

(un $ (u q.t.p. em %,

finalizando a demonstração do Lema 6.5.2.

Lema 6.5.3 '(|(un|)(un $ '(|(u|)(u em 5L#"(%).

Demonstração: Pelo Lema 6.5.2,

(un $ (u q.t.p. em %.

Como + %$ '(|+|)+, + " RN , é contínua,

'(|(un|)(un !$ '(|(u|)(u q.t.p. %.

Além disso,#"('(|(un|)|(un|)* "(2|(un|)

provando que ('(|(un|)|(un|) é limitada em 5L#"(%). Aplicando o Lema 2.2.4, finaliza-mos a demonstração do Lema 6.5.3.

Finalmente demonstraremos o Teorema 1.0.5.

Prova do Teorema 1.0.5: Pelo Lema 6.5.3,!

%'(|(un|)(un(vdx !$

%'(|(u|)(u(vdx, v "W 1,"

0 (%).

Por outro lado, (cf. demonstração do Lema 6.4.2)!

%*nvdx !$

%*vdx, v "W 1,"

0 (%),

e de acordo com o Lema 6.5.1

* " L#"+(%) e *(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " %.

Passando ao limite em (6!12) chegamos a!

%'(|(u|)(u(vdx!$

%hvdx!

%*vdx = 0, v "W 1,"

0 (%).

Portanto u " W 1,"0 (%) é uma solução de (1!26), no sentido da definição 1.0.2 e como

h .= 0, concluímos que u .0 0.Afirmação. u ' 0. De fato, note que

un = u+n !u!n , (un = (u+n !(u!n e |(un|2 = |(u+n |2 + |(u!n |2.

Como " é crescente!

%"(|(u!n |)dx *

%"([|(u!n |2 + |(u+n |2]

12 )dx

%"(|(un|)dx

donde (u!n ) é limitada em W 1,"0 (%). Notando que 5wn,!u!n 6= on(1) temos

on(1) = !!

%'(|(un|)(un(u!n dx+$

%hu!n dx+

%*nu!n dx

%'(|(u!n |)|(u!n |2dx+$

%hu!n dx+

%*nu!n dx

%"(|(u!n |)dx.

Portanto, !

%"(|(u!n |)dx $ 0,

e como u!n $ 0 em W 1,"0 (%), temos que u ' 0.

Prova de (1!31): Como u é uma solução de (1!26), existe * := *u " L#"+(%) tal que

*(x) " # j(x,u(x)) q.t.p. x " % (cf. Lema 6.5.1) e!

%'(|(u|)(u(vdx =

%*vdx+$

%hvdx, v "C&

0 (%).

Pela Observação 5.1.2, !"u " L#"+(% ). Como h " L#"+

(% ) segue que

%[!!"u !*!$h]vdx = 0, v "C&

0 (%).

Donde,!!"u = *+$h q.t.p. em %,

encerrando a demonstração do Teorema 1.0.5.

6.6 Demonstração do Teorema 1.0.6

Nesta seção, demonstraremos o Teorema 1.0.6. Para tal, consideraremos ashipóteses ('1)& ! ('4)&. Essas hipóteses são necessárias para demonstrarmos uma versãopara N-funções do Lema 3 de Alves [2] (!p com p ' 2) e do Lema 3.1 de Mercuri &Willem [40] (!p com 1 < p < 2).

O lema a seguir generaliza [2, Lema 3] devido a Alves e [40, Lema 3.1] deMercuri & Willem e usa argumentos em Brézis & Lieb [9].

Lema 6.6.1 Suponha que ('1)&!('3)&. Seja +n : %$RN com +n " L"(%)( ...(L"(%),+n(x)

n$&!$ 0 q.t.p. x " % e a(y) := '(|y|)y, y " RN. Se -+n-" *C para todo n " N, então!

%#"(|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|)dx = on(1),

para todo w " L"(%)( ...(L"(%).

Demonstração: Dividiremos a demonstração em dois casos:Caso I: Suponha que ' é não-decrescente. Dado w " L"(%)( ...( L"(%) segue daProposição 2.5.3 que |w|, |+n| " L"1(%). Observemos também que

ddt(ai(+n + tw)) =

#+ j(+n + tw)w j,

onde ai(x) = '(|x|)xi, x = (x1, ...,xN) " R, i = 1, ...N. Pela Proposição 2.5.5, ('1)& e a

Proposição 2.5.2

|ai(+n +w)!ai(+n)| =

++++! 1

ddt(ai(+n + tw))dt

++++ *! 1

++++#ai

#+ j(+n + tw)

++++ |w j|dt

* |w|! 1

++++#ai

#+ j(+n + tw)

++++dt * -|w|! 1

0'(|+n + tw|)dt

* -|w|'(|+n|+ |w|) * C[|w|'(|w|)+ |w|'(|+n|)].

Assim, considerando : > 0 suficientemente pequeno, segue da desigualdade de Young econvexidade junto com condição !2 de "1

C|w|'(|+n|) = kC: |w|

0 :k '(|+n|)

Young* "1

0 kC: |w|

1+ #"1

0 :k '(|+n|)

conv* C(:)"1 (|w|)+ :

k#"1 ('(|+n|))

#"1('(t))*"1(2t)* C(:)"1 (|w|)+ :

k "1 (2|+n|)"1"!2* C(:)"1 (|w|)+ :"1 (|+n|)

"1(t)*'(t)t* C(:)'(|w|) |w|+ :'(|+n|) |+n|,

onde k é tal que "1(2t)* k"1(t), t ' 0. Portanto,

|a(+n+w)!a(+n)|*C[|w|'(|w|)+ |w|'(|+n|)*C1(:)|w|'(|w|)+:'(|+n|) |+n|. (6-33)

Fixado :, defina

G:,n(x) := max{|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|(x)! :|+n|'(|+n|),0}.

ClaramenteG:,n(x)

n$&!$ 0 q.t.p. x " %.

Além disso, considerando x " % tal que G:,n(x)> 0, segue de (6!33)

G:,n(x) * |a(+n +w)!a(+n)|(x)+ |a(w)|(x)! :|+n|'(|+n|)* C1(:)|w|'(|w|)+ :'(|+n|) |+n|+ |a(w)|(x)! :|+n|'(|+n|)* [C1(:)+1]|w|'(|w|) " L#"(%),

e quando x " % é tal que G:,n(x) = 0 a desigualdade acima é trivialmente satisfeita.

Portanto,0 * G:,n * [C1(:)+1]|w|'(|w|) q.t.p. em %.

Por Lebesgue !

%#"(G:,n(x))dx n$&!$ 0.

Por outro lado, dado x " % tal que G:,n(x) = 0 temos que

|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|(x)! :|+n|'(|+n|)* 0,

o que equivale a

|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|(x)* :|+n(x)|'(|+n(x)|) = :|+n(x)|'(|+n(x)|)+G:,n(x).

Além disso, se x " % tal que G:,n(x)> 0 então

0 < G:,n(x) = |a(+n +w)!a(+n)!a(w)|(x)! :|+n(x)|'(|+n(x)|)

o que equivale a

|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|(x) = G:,n(x)+ :|+n(x)|'(|+n(x)|).

De ambos os casos

|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|* G:,n(x)+ :|+n|'(|+n|) q.t.p. em %.

Assim, segue da convexidade de ", da condição !2 e de #"(t'(t))* "(2t)

#"(|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|) * #"(G:,n + :|+n|'(|+n|))conv e #""!2

* C1[:#"(|+n|'(|+n|))+ #"(G:,n)]#"(t'(t))*"(2t)

* C1[:"(2|+n|)+C1#"(G:,n)]""!2* C2[:"(|+n|)+ #"(G:,n)],

Como!!

%"(|+n|)dx

"é limitada, segue que

limsupn

%#"(|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|)dx

* :C2 limsupn

%"(|+n|)dx+C2 limsup

%#"(G:,n)dx * :C3,

para todo : > 0 suficientemente pequeno. Donde

limsupn

%#"(|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|)dx = 0.

Caso II: Suponha que ' é não-crescente. Como #" é crescente e convexa, considerandoC > 0 uma constante cumulativa,

#"(|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|) * #"(|a(+n +w)!a(+n)|+ |a(w)|)* C[#"(|a(+n +w)!a(+n)|)+ #"(|a(w)|)].

Aplicando o Lema 2.5.2 e observando que #" " !2 e #"(t'(t))* "(2t) obtemos

#"(|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|) * C[#"(d|a(w)|)+ #"(|a(w)|)]* C[#"(|a(w)|)+ #"(|a(w)|)]= C#"('(|w|)|w|)= C"(2|w|) " L1(%).

Assim, pelo Teorema de Lebesgue!

%#"(|a(+n +w)!a(+n)!a(w)|)dx = on(1)

concluindo a demonstração.A seguir, trataremos sobre a convergência forte da sequência (un) para a solução

u do problema (1!26).

Lema 6.6.2 Suponha ('1)& ! ('4)& e $ > 0 suficientemente pequeno. Então a sequênciade Ekeland (un) satisfaz

un !$ u, W 1,"0 (%).

Demonstração: Suponha, por contradição, que un .$ u em W 1,"0 (%). Seja vn := un ! u.

Assim, existem Ki > 0, i = 1,2,3, tais que:

%'(|(vn|)|(vn|2dx n$&!$ K1;

%"(|(vn|)dx n$&!$ K2;

3. -vn-n$&!$ K3.

Como !"(t)* t2'(t)* m"(t) então

!K2 * K1 * mK2. (6-34)

Além disso, temos que

min{-vn-!,-vn-m}*!

%"(|(vn|)* max{-vn-!,-vn-m},

dondemin{K!

3,Km3 }* K2 * max{K!

3,Km3 }

o que implicaK3 * max{K1/!

2 ,K1/m2 }. (6-35)

Como (vn) é limitada em W 1,"0 (%)

5wn,vn6=!

%'(|(un|)(un(vndx!$

%hvndx!5*n,vn6= on(1). (6-36)

Afirmamos que!

%('(|(un|)(un !'(|(vn|)(vn !'(|(u|)(u)(vndx = on(1). (6-37)

De fato, segue da desigualdade de Hölder e do Lema 6.6.1

%('(|(un|)(un !'(|(vn|)(vn !'(|(u|)(u)(vndx

* 2-'(|(un|)(un !'(|(vn|)(vn !'(|(u|)(u-#"-vn-= on(1).

o que prova a afirmação. Assim, substituindo (6!37) em (6!36) obtemos que

5wn,vn6=!

%'(|(vn|)|(vn|2dx+

%'(|(u|)(u(vndx!$

%hvndx!5*n,vn6= on(1),

e passando ao limite concluímos que limn$&

5*n,vn6= K1.

Recorde que j " L&loc(%(R), então

5*n,vn6 * 1|0|&

%0(x)'+(un)vn+dx+

%0(!vn!)dx

%0(x)'+(un)vn+dx

un>u0(x)'+(un)(un !u)dx

un>u'+(un)(un !u)dx

%'+(un)undx!

un*u'+(un)undx!

%'+(un)udx+

un*u'+(un)udx.

(6-38)Sabemos que W 1,"

0 (%)comp#$ L1(%). Assim, considerando uma subsequência se

necessário, un(x) $ u(x) q.t.p. x " % e de acordo com a Observação 2.5.6 temos que

'+(t)t, t " R, é convexa, então usando o Lema de Brézis-Lieb em (6!38) (devido a('4)&) obtemos

5*n,vn6 *!

%'+(vn)vndx+

%['+(u)!'+(un)]udx+

un*u'+(un)(u!un)dx+on(1).

(6-39)

Mas, '+(un(x))$ '+(u(x)) q.t.p. x " % e L#"+(%), então pelo Lema 2.2.4 '+(un)$ '+(u)

em L#"+(%), assim !

%['+(u)!'+(un)]udx n$&!$ 0.

Além disso, como '+ é crescente

un*u'+(un)(u!un)dx *

un*u'+(u)(u!un)dx *

%'+(u)(u!un)dx

++++= on(1).

Assim, por (6!39)

5*n,vn6 *!

%'+(vn)vndx+on(1)

%"+(vn)dx+on(1)

* m+max$

1S!+/!

-vn-!+,

1Sm+/!

-vn-m+%+on(1)

* m+max$

1S!+/!

4-vn-!

+,-vn-m+

5+on(1),

e passando ao limite quando n $ &, segue de (6!38)

|0|&* K1

|0|&* m+max

S!+/!,

1Sm+/!

%max{K!+

3 ,Km+3 },

donde,

|0|&m+max4

1S!+/!

, 1Sm+/!

5 * max

* max4

K!+/!!12 ,K!+/m!1

2 ,Km+/!!12 ,Km+/m!1

Mas,!+

m!1 * !+

!!1 * m+

m!1 * m+

assim, se K2 * 1, então

|0|&m+max4

1S!+/!

, 1Sm+/!

e se K2 > 1, então B

|0|&m+max4

1S!+/!

, 1Sm+/!

consequentemente,

C0 :=min

|0|&m+max4

1S!+/!

, 1Sm+/!

|0|&m+max4

1S!+/!

, 1Sm+/!

=H*K2,

ou seja, K2 'C0 =C(N,!,m, |0|&,S)> 0.

Por outro lado, como (un(x) $ (u(x) q.t.p. x " %, segue do Lema de Brézis-Lieb

I(un)!1!+5wn,un6 '

%"(|(un|)dx!$

%hundx+on(1)

1! m!+

%["(|(vn|)+"(|(u|)]dx!$

%hudx+on(1)

Passando ao limite obtemos

0 > c '&

1! m!+

%"(|(u|)dx!$

1! m!+

(min{-u-!,-u-m}!2$

"-u-"-h-#"+

1! m!+

(min{-u-!,-u-m}!$C1-u-.

Mas g$(t) = Amin{t!, tm}!$C1t, t ' 0, onde A := 1! m!+ , satisfaz

g$(s)' min

.A!$C1,$

" !!!1

(1! !),$m

" mm!1

/:= f$.

Assim, para $ suficientemente pequeno

0 > c ' AC0 +g$(-u-)' 0,

o que é uma contradição. Portanto un $ u em W 1,"0 (%).

Observação 6.6.1 A demonstração do Lema 6.6.2 vale para todo c " (!&,AC0 + f$).

Prova do Teorema 1.0.6: Prova de i) Pelo Lema 6.6.2 un $ u em W 1,"0 (%). Como I é

contínua I(un)$ I(u), donde I(u) = c < 0.Prova de ii) Sabemos que u é um mínimo local. Então

!!"u(x) " # j(x,u(x))+$h(x) q.t.p. x " %.

Tome 2 " C&0 (%). Escolhendo : > 0 suficientemente pequeno temos

I(u)* I(u+ :2),

donde!

j(x,u+ :2)! j(x,u):

"(|((u+ :2)|)!"(|(u|):

%h2dx. (6-40)

Consideremos os seguintes casos:Caso 1: Considere 2 ' 0 e 2 " C&

0 (%). Pelo Teorema do Valor Médio de Lebourg (cf.Teorema 3.2.1) existem *:, com u < *: < u+ :2, e

8:(x) " # j(x,*:(x)) = [ f (x,*:(x)!0), f (x,*:(x)+0)] =

0, *:(x)< a,[0,0(x)'+(a)] , *:(x) = a,0(x)'+(*:(x)), *:(x)> a,

tais quej(x,u+ :2)! j(x,u)

:= 8:2

Como '+ é crescente

0 * 8: * 0(x)'+(*:)

* 0(x)'+(u+ :2)* 0(x)'+(u+2)

Consequentemente,++++

j(x,u+ :2)! j(x,u):

++++ = 8:2 * 0(x)'+(u+2)2 " L1(%).

Por outro lado, é fácil ver que (pois j " L&loc(%(R))

lim:$0+

j(x,u+ :2)! j(x,u):

= f (x,u(x)+0)2(x) q.t.p. x " %,

onde f (x, t) := 0(x) /{t>a} '+(t). Aplicando Lebesgue em (6!40) obtemos

%f (x,u(x)+0)2(x)dx *

%'(|(u|)(u(2dx!$

e de acordo com a Observação 5.1.2

%[!!"u!$h! f (x,u(x)+0)]2dx, 2 " C&

0 (%), 2 * 0.

Donde!!"u(x)' f (x,u(x)+0)+$h(x) q.t.p. x " %,

e como

!!"u(x) " [ f (x,u(x)+0)!$h(x), f (x,u(x)+0)+$h(x)] q.t.p. x " %,

concluímos que

!!"u(x) = f (x,u(x)+0)+$h(x) q.t.p. x " %. (6-41)

Caso 2: Considere 2 * 0 e 2 " C&0 (%). De maneira análoga ao que foi feito no Caso 1

mostra-se que!!"u(x) = f (x,u(x)!0)+$h(x) q.t.p. x " %. (6-42)

Porém, para x " -a(u) temos que

f (x,u(x)!0) = 0 e f (x,u(x)+0) = 0(x)'+(a) .= 0.

Se |-a(u)|> 0, então por (6!41) e (6!42) teremos que

0(x)'+(a) = 0 q.t.p. x " -(u),

o que é um absurdo. Portanto, |-a(u)|= 0.Prova de iii) Suponha, por absurdo, que u * a q.t.p. em %. Pelo Lema 6.1.1,

* := *u(x) " # j(x,a)# [0,0(x)'+(a)] q.t.p. em %.

Além disso, como |-a(u)| = 0 segue que *(x) = 0 q.t.p. x " % e por (1!31) a soluçãou = ua de (1!26) satisfaz

!!"u = $h em %, u = 0 em #%. (6-43)

Como h é não nula, a única solução u do problema (6!43) é não nula e não depende de

a. Usando ('3), que é consequência de ('3)& como vimos acima, temos que

%"(|(u|)dx *

%'(|(u|)|(u|2dx = $

%hudx * $|h|1a.

Fazendo a $ 0+ chegamos a uma contradição.Por fim, segue do item ii) que |-a(u)| = 0 e neste caso * = 0'+(u)/{u>a} q.t.p.

em %. Pelo Teorema 1.0.5 temos

!!"u = 0'+(u)/{u>a}+$h q.t.p. em %,

o que encerra a demonstração do Teorema 1.0.6.

Observação 6.6.2 Se '(|(u|)|(u| "W1, m+

m+!1loc (%) e h > 0 q.t.p. em %, então |-a(u)|= 0,

para qualquer ponto crítico de I (cf. [37]). De fato, temos que |(('(|(u|)|(u|) | "

m+!1loc (%). Assim,

'(|(u|)|(u|:+'(|(u|)|(u|

(('(|(u|)|(u|)[:+'(|(u|)|(u|]!(('(|(u|)|(u|)'(|(u|)|(u|[:+'(|(u|)|(u|]2

=:(('(|(u|)|(u|)[:+'(|(u|)|(u|]2

(('(|(u|)|(u|),

provando a afirmação. Façamos f (x) := *(x)+$h(x), então para todo 2 " C&0 (%) temos

'(|(u|)|(u|:+'(|(u|)|(u|2 f dx =

%'(|(u|)(u(

!'(|(u|)|(u|

:+'(|(u|)|(u|2"

%'(|(u|) '(|(u|)|(u|

:+'(|(u|)|(u|(u(2dx

%'(|(u|)2 :

[:+'(|(u|)|(u|]2 (('(|(u|)|(u|)(udx

(6-44)Mas

6.7 Demonstrações dos Teoremas 1.0.7, 1.0.8 e 1.0.9 115

++++'(|(u|)2 :[:+'(|(u|)|(u|]2 (('(|(u|)|(u|)(u

* |2|'(|(u|)|(u| :[:+'(|(u|)|(u|]2 |(('(|(u|)|(u|)|

* |2|:2 +('(|(u|)|(u|)2

2[:+'(|(u|)|(u|]2 |(('(|(u|)|(u|)|

* 12|2(('(|(u|)|(u|)| " L1(%).

Aplicando o Teorema de Lebesgue em (6!44) obtemos

%/{(u.=0}f 2dx =

%/{(u.=0}'(|(u|)(u(2dx

%'(|(u|)(u(2dx

%f 2dx.

Portanto, f (x) = 0 q.t.p. em {x " % | (u = 0}. Por outro lado, f (x) > 0 q.t.p. x " %.Donde,

|{x " % | (u = 0}|= 0.

Agora observe que pelo Teorema de Morey-Stampacchia (u = 0 em -a(u) :={x " % | u(x) = a}. Assim,

-a(u)1 {x " % | (u = 0}

concluindo que |-a(u)|= 0.

6.7 Demonstrações dos Teoremas 1.0.7, 1.0.8 e 1.0.9

Nesta seção apresentamos as demonstrações dos Teoremas 1.0.7, 1.0.8 e 1.0.9.Demonstração do Teorema 1.0.7: Em primeiro lugar, afirmamos que ' satisfaz

('1)! ('2) e 2 * t2'(t)"(t)

* 2., t > 0. (6-45)

De fato, ' "C(0,&) elimt$0

t'(t) = 0 e limt$&

t'(t) = &.

Observando que

"(t) =! t

0s'(s)ds = (1+ t2). !1,

obtemost2'(t)"(t)

=2.t2(1+ t2).!1

(1+ t2). !1, t > 0.

Faça z = 1+ t2 e defina

f (z) =2.(z!1)z.!1

z. !1, z > 1.

Note que f é crescente para z > 1, pois,

f &(z) =2.z.!2(z. ! .z+ .!1)

(z. !1)2 > 0, z > 1.

Agora, pela regra de L’Hospital

limz$1+

f (z) = 2 e limz$&

f (z) = 2.,

donde2 * f (z)* 2., z > 1,

ou seja,

2 * t2'(t)"(t)

* 2., t > 0.

Em segundo lugar, afirmamos que

2. < 2+, L"(%) = L2.(%) e W 1,"0 (%) =W 1,2.

0 (%). (6-46)

De fato, para mostrar que L"(%) = L2.(%), observe que

"(t)* (1+ t2). * 2.t2. e "(t)' 12

t2. para t ' 1.

Por [43, pg. 156], L"(%) = L2.(%). Consequentemente, W 1,"0 (%) =W 1,2.

0 (%).Por fim, note que a condição . < N

N!2 é equivalente a 2. < 2+.Como " é equivalente a t2., t ' 0, temos que uma função expoente crítico de

" é "+(t) = t(2.)+. Portanto, j é dada pela relação (1!36). Assim, pelo Teorema 1.0.5 aequação (1!26) possui pelo menos uma solução não negativa e não nula.

Demonstração do Teorema 1.0.8: Inicialmente, afirmamos que ' definida por (1!37)satisfaz ('1)! ('2) e

p * t2'(t)"(t)

* p+1.

De fato, ' " C(0,&) elimt$0

t'(t) = 0 e limt$&

t'(t) = &,

ou seja, ('1) é valida.É fácil ver que

t'(t) = pt p!1 ln(1+ t)+t p

1+ t, t > 0,

é crescente, isto é, vale ('2).Agora, observe que

"(t) :=! t

0s'(s)ds = t p ln(1+ t).

Assim,t2'(t)"(t)

(1+ t) ln(1+ t), t > 0

e comof (t) =

t(1+ t) ln(1+ t)

, t > 0

é decrescente

p * t2'(t)"(t)

* p+ limt$0+

f (t) = p+1. (6-47)

Note também que !1+/

1+4N2 < p é equivalente a p+1 < p+.

Além disso, por (6!47) temos que "+ é definido. Assim, podemos definir

j(x, t) := 0(x)["+(t)!"+(a)] /{t>a}(t).

Por fim, basta aplicarmos o Teorema 1.0.5.

Observação 6.7.1 Um fato peculiar da última aplicação com relação a primeira é queL"(%) .= Lr(%) para todo r ' 1 e consequentemente W 1,"

0 (%) .= W 1,r0 (%). Com efeito,

suponha, por absurdo, que L"(%)= Lr(%) para algum r ' 1. Então existem C1,C2,T > 0,(cf. Teorema 3.17.5 em [32]), tais que

C1tr * t p ln(1+ t)*C2tr, t ' T

e dividindo-a por t p obtemos

C1tr!p * ln(1+ t)*C2tr!p, t ' T.

Da desigualdadeln(1+ t)*C2tr!p, t ' T

concluímos que r > p. Por outro lado, temos a desigualdade

C1 *ln(1+ t)

tr!p , t ' T,

o que é uma absurdo.

Demonstração do Teorema 1.0.9: Afirmamos que ' satisfaz ('1)& !('4)&. De fato, comop0 > 2 vale ('1)&.

É fácil ver que'(0) = 0 e lim

t$&'(t) = &.

Para verificar ('3)&, observe que p0 !1 < p1 !1 e assim

(t'(t))&

(p0 !1)p0t p0!2 +(p1 !1)p1t p1!2

p0t p0!2 + p1t p1!2

=(p0 !1)p0 +(p1 !1)p1t p1!p0

p0 + p1t p1!p0

* (p1 !1)p0 + p1t p1!p0

p0 + p1t p1!p0

= p1 !1

(6-48)

De igual forma mostra-se que(t'(t))&

'(t)' p0 !1 (6-49)

De (6!48)! (6!49) obtemos

p0 !1 * ('(t)t)&

'(t)* p1 !1

Observando que

t p1 * t p0 + t p1 * 2t p1 , t ' 1,

concluímos que " é equivalente a 6(t) = t p1 . Assim, uma função expoente crítico de "é "+(t) = t p+1

p+1. Donde,

t'&+(t) = (p+1 !1)t p+1!1, t ' 0,

é crescente, provando ('4)&.Por fim, como p1 < p+0 e h " L"+(%) = Lp+1(%) o Teorema 1.0.9 segue do

Teorema 1.0.6.

APÊNDICE AAlguns Funcionais em Espaços deOrlicz-Sobolev

Este Apêndice tem o objetivo de provar algumas propriedades relativas a fun-cionais usados neste trabalho.

A seguir, examinaremos algumas propriedades do funcional

I(u) =!

%"(|(u|)dx!

%j(x,u)dx!

%hudx, u "W 1,"

0 (%), (A-1)

onde j : %(R $ R é mensurável, j(x, .) " Liploc(R,R) q.t.p. x " %, j(.,0) " L1(%) esatisfaça (1!9), e é usado no Capítulo 5.

Lema A.0.1 Suponha que j : %(R $ R seja mensurável, j(x, .) " Liploc(R,R) q.t.p.x " %, j(.,0) " L1(%) e satisfaça (1!9), então funcional

J(u) =!

%j(x,u)dx, u " L"+(%)

é bem definido.

Demonstração: De fato, pelo Teorema do Valor Médio de Lebourg (Teorema 3.2.1)existem 1 " (0, t) e +1(x) " # j(x,1) tal que j(x, t)! j(x,0) = +1(x)t q.t.p. x " %.

Como s %$ #"!1+ ,"+(c2s) é crescente, segue de (1!9) que

| j(x, t)| = | j(x,0)++1(x)t|* | j(x,0)|+[c1#"!1

+ ,"+(c21)+b(x)]|t|* | j(x,0)|+[c1#"!1

+ ,"+(c2t)+b(x)]|t|.

Assim, segue da desigualdade de Hölder que++++!

%j(x,u)dx

++++*!

%| j(x,0)|dx+2-c1#"!1

+ ,"+(c2|u|)+b(x)-#"+-u-"+ < &.

Isto prova o Lema A.0.1.

Apêndice A 120

Lema A.0.2 O funcional

E(u) =!

%"(|(u|)dx, u "W 1,"

satisfaz:

E " C1(W 1,"0 (%),R) e 5E &(u),v6=

%'(|(u|)(u(vdx, v "W 1,"

0 (%). (A-2)

Demonstração: Na demonstração o Teorema 4.2.1 provamos que o funcional E é Gate-aux diferenciável e que sua derivada de Gateaux

dGE : W 1,"0 (%)$ L(W 1,"

0 (%),R),

onde L(W 1,"0 (%),R) é o espaço de todos os funcionais lineares contínuos de W 1,"

0 (%) emR, é dada por

5dGE(u),v6=!

%'(|(u|)(u(vdx, u,v "W 1,"

0 (%).

A seguir, mostraremos que dGE : W 1,"0 (%) $ L(W 1,"

0 (%),R) é contínua. Defato, sejam u "W 1,"

0 (%) e (un)1W 1,"0 (%) tal que un $ u. Afirmamos que

%#"(|'(|(un|)(un !'(|(u|)(u|)dx $ 0, quando n $ &. (A-3)

Com efeito, considerando uma subsequencia se necessário (cf. Lema 2.2.2),

(un $ (u, q.t.p. %,

e como t %$ t'(t) e s %$ #"(|s|) são contínuas, temos

#"(|'(|(un|)(un !'(|(u|)(u|)$ 0, q.t.p. %.

Além disso, existe h " L"(%) tal que |(un|* h (cf. Lema 2.2.2) e como #" é crescente

#"(|'(|(un|)(un !'(|(u|)(u|)* #"('(h)h+ |'(|(u|)(u|).

Aplicando o Teorema de Lebesgue, a afirmação está provada. Como #" " !2, a condição(A!3) equivale a

-'(|(un|)(un !'(|(u|)(u-#" $ 0.

Apêndice A 121

Por fim, considere v "W 1,"0 (%) tal que -(v-" = 1. Assim,

|5dGE(un)!dGE(u),v6| =

%('(|(un|)(un !'(|(u|)(u,(v)dx

* 2-'(|(un|)(un !'(|(u|)(u-#"-(v-"

= 2-'(|(un|)(un !'(|(u|)(u-#".

Daí,-dGE(un)!dGE(u)- = sup-(v-"=1 |5dGE(un)!dGE(u),v6|

* 2-'(|(un|)(un !'(|(u|)(u-#" $ 0,

quando n $ &. Pela Proposição 1.3 (cf. Willem [49]) E é Fréchet diferenciável emu "W 1,"

0 (%). Isto prova o Lema A.0.2.

O lema abaixo é crucial.

Lema A.0.3 O funcional

E(u) =!

%"(|(u|)dx, u "W 1,"

é fssci.

Demonstração: Pelo Lema A.0.2, E é Fréchet diferenciável. Além disso, como t %$"(|t|), t " R, é convexa então E é convexa.

Sejam un $ u em W 1,"0 (%) e E &(u) " W!1,"(%) a derivada de Fréchet de E

aplicada em u. Como E é convexa, temos

E(un)' E(u)+ 5E &(u),un !u6

e passando ao limite inferior quando n $ & obtemos que

liminfE(un) ' liminf{E(u)+ 5E &(u),un !u6}' E(u)+ liminf5E &(u),un !u6= E(u).

Isto prova o Lema A.0.3.

Observação A.0.2 O funcional

H(u) =!

%hudx, u "W 1,"

0 (%),

Apêndice A 122

satisfaz: e

H " C1(W 1,"0 (%),R) e 5H &(u),v6=

%hvdx, u,v "W 1,"

0 (%).

De fato, segue da desigualdade de Hölder (cf. Teorema 2.2.1) e da imersão W 1,"0 (%) #$

L"+(%) ++++!

++++*C-u--h-#"+,

onde C > 0. Como H é linear e contínua, a afirmação segue.

Observação A.0.3 Segue dos resultados e obeservação acima que o funcional Q$(u) =E(u)!$H(u), u "W 1,"

0 (%), é de classe C1 e

5Q&$(u),v6=

%'(|(u|)(u(vdx!$

%hvdx, u,v "W 1,"

0 (%). (A-4)

A seguir, enunciamos casos particulares do Princípio Variacional de Ekeland edo Teorema de Minimax de Ky Fan (cf. Brézis et al. [10, Prop. 1]) que utilizamos nestetrabalho.

Teorema A.0.1 (Ekeland) Sejam r > 0, B = Br(0) 1 W 1,"0 (%) a bola fechada de raio

r e centro na origem, e I : B $ R um funcional semicontínuo inferiormente e limitadoinferiormente. Sejam c = infB I, : > 0 e u " B tais que I(u) * c+ :. Então, dado $ > 0existe v " B tal que

I(v)* I(u)d(v,u)* $I(v)* I(w)+(:/$)d(v,w), w .= v.

Teorema A.0.2 (Ky Fan) Sejam X um espaço de Banach, A # X &, onde X & é munido datopologia fraca+, e B # X conjuntos convexos. Se K : A(B $ R satisfaz:

{v " B : !K(u,v)< c} é convexo para todo u " A e c " R; (A-5)

{u " A : K(u,v)< c} é convexo para todo v " B e c " R; (A-6)

K(.,v) é semicontínua inferiormente em A, para todo v " B; (A-7)

!K(u, .) é semicontínua inferiormente em B3Xn

para todo u " A, onde Xn # X e dimXn < &;(A-8)

Existem #v " B e $ > supA infB K(u,v) tal que {u " A|K(u,#v)* $} é fraco+-compacto.(A-9)

Entãosup

K(u,v) = infA

K(u,v).

APÊNDICE BMedidas e Concentração-Compacidade

Em primeiro lugar, lembramos alguns conceitos sobre medidas.

Definição B.0.1 Seja (X ,1) um espaço topológico.(a) A 0-álgebra gerada pelos abertos de X é dita 0-álgebra de Borel e será denotada porB(X ,1).(b) A 0-álgebra tal que toda função f : X $ R contínua é mensurável é dita 0-álgebrade Baire e será denotada por Ba(X ,1).

A demonstração do Teorema a seguir é encontrada em Dudley [21, pg. 223].

Teorema B.0.3 Se X é um espaço métrico, então Ba(X ,1) = B(X ,1).

Com base em Lions [36] e Fukagai, Ito & Narukawa [23], introduzimos a seguirvárias notações e resultados sobre Concentração-Compacidade no contexto de espaços deOrlicz-Sobolev.

Lembramos que

(i) C0 = {u "C(RN) | supp(u)cpt1 RN}

|·|&,

com norma|u|& = sup

x"RN|u(x)|,

(ii) M (RN) = o espaço das medidas finitas em RN

com a norma-µ-M = sup

RNudµ | u "C0, |u|& = 1

Seja " uma N-função satisfazendo !2, o espaço D1,"(RN) é definido como sendo ocompletamento do espaço de C&

0 (RN) com relação a norma

-u-D1,"(RN) = -u-"+ +-(u-".

Apêndice B 124

É imediato verificar queD1,"(RN)

cont#$ L"+(RN).

Observação B.0.4 Recordemos algumas notações e resultados:

(i) M =C+0 e 5µ,u6=

"udµ,

(ii) Denotaremos µnM$ µ sempre que

"udµn

n$&!$"

udµ, u "C0,

(iii) Se (µn)1 M limitada então µnM$ µ, considerando uma subsequencia se necessário.

Seja (un)1D1,"(RN) uma sequencia limitada. Consequentemente

un $ u em L"+(RN), (B-1)

(un $ (u em L"(RN), (B-2)

"+(|un|)$ < em M (RN), (B-3)

"(|(un|)$ µ em M (RN). (B-4)

Devido a imersão W 1,"(%)comp#$ L"(%) concluímos que

un $ u em L"(%), (B-5)

para qualquer domínio limitado % 1 RN e consequentemente

un $ u q.t.p. em RN . (B-6)

Lema B.0.4 (Cf. [23]) Suponha que u 0 0 em (B!1)! (B!6). Então!

RN"(|((2un)|)dx =

RN"(|2(un|)dx+on(1) quando n $ & (B-7)

para qualquer 2 " C&0 (RN).

Demonstração: Pela desigualdade de Hölder temos que

RN"(|2(un +un(2|)dx!

RN"(2|(un|)dx

Apêndice B 125

"(|2(un + tun(2|)dtdx

0'(|2(un + tun(2|)(2(un + tun(2).(un(2)dtdx

RN'(|2(un|+ |un(2|)(|2(un|+ |un(2|)|un(2|dx

* 2-'(|2(un|+ |un(2|)(|2(un|+ |un(2|)-#"-un(2-"

pois #"('(t)t)* "(2t). Devido a imersão W 1,"0 (%)

comp#$ L"(%) temos que -un(2-" $ 0

quando n $ &. Portanto, por (B!8) chegamos a (B!7).

Lema B.0.5 (Cf. [23]) Existem um conjunto enumerável J, uma família {x j} j"J 1 RN

com xi .= x j e uma família de números positivos {< j} j"J e {µ j} j"J tais que

< = "+(u)+ )j"J

< j,x j (B-9)

eµ ' "(|(u|)+ )

j"Jµ j,x j , (B-10)

onde ,x j é a medida de Dirac com massa 1 concentrada em x j. Além disso,

0 < < j * max$

S!!+! µ

!+!j ,S!

m+! µ

j ,S!!+! µ

!+mj ,S!

m+! µ

%, j " J. (B-11)

Demonstração: Sejam {x j} j"J # RN as singularidades da medida µ e faça

µ = µ f ree + )j"J

µ j,x j (B-12)

onde µ f ree " M (RN) é livre de singularidades. Como µ ' 0 temos que µ f ree ' 0 eµ j = µ({x j})> 0. Além disso,

µ(RN)* limsupn$&

RN"(|(un|)dx < &,

donde J é um conjunto contável.

Apêndice B 126

Suponha que u = 0. Seja 2 " C&0 (RN). Assim, pelo Lema 2.4.4, (6!3), Lema

2.4.1 e (B!7) temos

RN"+(2|un|)dx * 75(-2un-"+) * 75

S1/!-((2un)-"

S1/!7!10

RN"(|((2un)|)dx

S1/!7!10

RN"(2|(un|)dx+on(1)

(B-13)

Pelo Lema 2.4.1!

RN"(2|(un|)dx *

RN71(2)"(|(un|)dx *

RN2!"(|(un|)dx (B-14)

e pelo Lema 2.4.4!

RN"+(2|un|)dx '

RN74(2)"+(|un|)dx =

"+(|un|)dx. (B-15)

Combinando (B!13)! (B!15), temos que

"+(|un|)dx * 75

S1/!7!10

RN"(2|(un|)dx+on(1)

"". (B-16)

Passando ao limite n $ & e usando (B!3)! (B!4) chegamos a

d< * 75

S1/!7!10

RN2!dµ

Por aproximação,

<(A)* 75

S1/!7!10 (µ(A))

", para qualquer conjunto de Borel A # RN . (B-17)

Assim, < é absolutamente contínua com relação a µ e

<(A) =!

ADµ<dµ (B-18)

ondeDµ<(x) = lim

<(B:(x))µ(B:(x))

para µ!q.t.p. x " RN

Apêndice B 127

e B:(x) é uma bola com raio : e centro x. Por (B!17)

<(B:(x))µ(B:(x))

S1/! 7!10 (µ(B:(x)))

µ(B:(x)),

desde que µ(B:(x)) .= 0. Como 7!10 (t) = max{t1/!, t1/m} e 75(t) = max{t!

+, tm+} obtemos

S1/!7!10 (t)

"= max

S!+/!t!

Sm+/!tm+/!,

1S!+/!

t!+/m,

1Sm+/!

tm+/m%,

assim,

limt$0+

S1/! 7!10 (t)

dondeDµ<(x) = 0 para µ!q.t.p. x " RN !{x j} j"J. (B-19)

Faça < j = Dµ<(x j)µ j. Então, por (B!18), (B!19) e (B!12)

< = )j"J

< j,x j e µ ' )j"J

µ j,x j .

Além disso, por (B!17),

<(B:(x j))* 75

S1/!7!10 (µ(B:(x)))

Passando ao limite quando : $ 0+, concluímos

0 * < j * 75

S1/!7!10 (µ j)

"= max

S!+/!µ!

+/!j ,

1Sm+/!

µm+/!j ,

1S!+/!

µ!+/m

Sm+/!µm+/m

Finalmente, excluindo os índices j tais que < j = 0 do conjunto de índices J, o Lema estáprovado para o caso u = 0.

Agora consideraremos o caso u .= 0. Seja vn = un !u "D1,"(RN). Então

• vn $ 0 fracamente em L"+(RN);• |(vn|$ 0 fracamente em L"(RN);• vn $ 0 em L"(%) para qualquer % # RN ;• vn $ 0 q.t.p. em RN

quando n $ &. Como

-(vn-" * -(un-" +-(u-" e -vn-"+ * -un-"+ +-u-"+,

Apêndice B 128

as sequencias {-(vn-"} e {-vn-"+} são limitadas, segue dos Lemas 2.4.1 e 2.4.4 queas sequencias {

"RN "(|(vn|)dx} e {

"RN "+(|vn|)dx} também o são. Passando a uma

subsequencia se necessário, podemos assumir que existem medidas de Radon )<,)µ "M (RN) tais que

"+(vn)$ )< fracamente em M (RN) (B-20)

"(|(vn|)$ )µ fracamente em M (RN) (B-21)

quando n $ &. Pelo caso acima em que u = 0, exitem um conjunto contável J, umafamília {x j} j"J de pontos distintos em RN e pesos positivos {< j} j"J , {µ j} j"J tais que

)< = )j"J

< j,x j e )µ ' )j"J

µ j,x j .

Como "+(t), "(t) são funções convexas e un $ u q.t.p., segue do Lema de Brézis-Liebque !

RN{"+(un)!"+(un !u)!"+(u)}2dx $ 0

para 2 " C0(RN), 2 ' 0. Assim, por (B!3), (B!4), (B!20) e (B!21) temos!

RN2d< =

RN2d)<+

RN"+(|u|)2dx,

para qualquer 2 = 2+!2! " C0(RN). Isto prova (B!9). Para qualquer 2 " C0(RN),

RN["(|(un|)!"(|(vn|)]2dx =

0'(|(un ! t(u|)((un ! t(u).(u2dtdx.

Pelos Lemas 2.1.1 e 2.4.1, e os fatos de " ser estritamente crescente e convexa temos!

RN#"('(|(un ! t(u|)|(un ! t(u|)dx * 71(2)

RN"(|(un ! t(u|)dx

* 71(2)2

RN"(|(un|)dx+

RN(|(u|)dx

para qualquer 0 < t < 1. Portanto, {" 1

0 '(|(un! t(u|)((un! t(u).(u2dt} é limitada emL#"(R

N ,RN), e existe uma subsequencia que converge para algum w em L#"(RN ,RN).

Passando ao limite, chegamos a!

RN2dµ!

RN2d)µ =

RNw.(u2dx

Apêndice B 129

para qualquer 2 " C0(RN). Assim, as singularidades de µ coincidem com as singularida-des de )µ. Pela semicontinuidade inferior fraca, chegamos a

µ f ree ' "(|(u|).

Donde (B!10) vale, concluindo a demonstração do Lema.

APÊNDICE CSobre Regularidade de Soluções de EquaçõesQuasilineares

A seguir, apresentaremos um resultado sobre regularidade de soluções da equa-ção

divA(x,u,(u)+B(x,u,(u) = 0 (C-1)

onde % é um domínio regular, A : %(R(RN $ RN e B : %(R(RN $ R são tais queA " C1(%(R( (RN !{0}))3C0(%(R(RN) e B é Carathéodory.

Os principais resultados abaixo são devidos a Liberman [35]. Para resultadosadicionais confira DiBenedetto [19], Serrin & Zou [46] e Tolksdorf [48].

Seja " uma N-função.

Definição C.0.2 Uma solução fraca de (C!1) é uma função u "W 1,"(%) tal que!

%A(x,u,(u)(2dx+

%B(x,u,(u)2dx = 0, 2 "W 1,"

0 (%).

Suponha que " é duas vezes diferenciável e que existam ,,g0 > 0 tais que

, * tg&(t)g(t)

* g0, t > 0,

onde g(t) := "&(t), t " R. Além disso, suponha que para todos x,y " %, z,w " R ep " RN/{0}

)i, j=1

#p j(x,z, p)8i8 j '

g(|p|)|p| |8|2, 8 " RN ;

)i, j=1

#p j(x,z, p)

+++++* ;g(|p|)|p| ;

(iii) |A(x,z, p)!A(y,w, p)|* ;1(1+g(|p|))[|x! y|3 + |z!w|3];

(iv) |B(x,z, p)|* ;1

g(|p|)|p|

Apêndice C 131

onde ;,;1 ' 0.

Teorema C.0.4 Suponha que as condições (C!2) sejam válidas para algumas constan-tes positivas 3 * 1, ;, ;1 sempre que x,y " %, z,w " [!M0,M0], para alguma constantepositiva M0, e p " RN/{0}. Então qualquer solução u "W 1,"(%) de

divA(x,u(x),(u(x))+B(x,u(x),(u(x)) = 0 em %,

com |u| * M0 em %, pertence a C1,4(%) para alguma constante positiva 4 dependendode 3, ;, ,, g0, N, e

|u|1+4;%& *C(3,;,,,g0,N,g(1),dist(%&,#%),M0),

onde %& ## % é um conjunto aberto.

Referências Bibliográficas

[1] ADAMS, R. Sobolev Spaces. Academic Press, New York, 1975.

[2] ALVES, C. O. Existence of positive solutions for a problem with lack of com-

pactness involving the p-Laplacian. Nonlinear Analysis, 51(7):1187–1206, 2002.

[3] ALVES, C. O.; BERTONE, A. M. A discontinuous problem involving the p-

Laplacian operator and critical exponent in Rn. Electron. J. Differential Equations,

42(1):(eletronic), 2003.

[4] ALVES, C. O.; BERTONE, A. M.; GONÇALVES, J. V. A variational approach to

discontinuous problems with critical Sobolev exponents. J. Math. Anal. Appl.,

265(1):103–127, 2002.

[5] ALVES, C. O.; GONÇALVES, J. V. Existence of positive solutions for m-Laplacian

equations in Rn involving critical Sobolev exponents. Nonlinear Anal., Theory,

Methods & Applications, 32(1):53–70, 1998.

[6] ALVES, C. O.; GONÇALVES, J. V.; SANTOS, C. A. Existence and asymptotic

behavior of ground states for quasilinear singular equations involving Hardy-

Sobolev exponents. J. Math. Anal. Appl., 322(1):298–315, 2006.

[7] ALVES, C. O.; GONÇALVES, J. V.; SANTOS, J. A. Strongly nonlinear multivalued

elliptic equations on a bounded domain. J. Glob. Optimization, 1(1):1–29, 2013.

[8] BREZIS, H. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equati-

ons. Springer, New York, 2011.

[9] BRÉZIS, H.; LIEB, E. A relation between pointwise convergence of functions and

convergence of functionals. Proceedings of the American Mathematical Society,

88(3):486–490, 1983.

[10] BRÉZIS, H.; NIRENBERG, L.; STAMPACCHIA, G. A remark on Ky Fan’s minmax

theorem. Boll. U. M. I., 6(4):293–300, 1972.

Apêndice C 133

[11] BRÉZIS, H.; OSWALD, L. Remarks on sublinear elliptic equations. Nonlinear Anal.,

10(1):55–64, 1986.

[12] CARL, S.; LE, V. K.; MOTREANU, D. Nonsmooth variational problems and their

inequalities - Comparison principles and applications. Springer, New York, 2007.

[13] CHANG, K. C. Variational methods for nondifferentiable functionals and their

applications to partial differential equations. J. Math. Anal. Appl., 80(1):102–129,

[14] CLARKE, F. Optimization and Nonsmooth Analysis. SIAM, Philadelphia, 1990.

[15] CLEMENT, P.; DE PAGTER, B.; SWEERS, G.; DE THÉLIN, F. Existence of solutions

to a semilinear elliptic system through Orlicz-Sobolev spaces. Mediterr. J. Math.,

1(3):241–267, 2004.

[16] CORRÊA, F. J. S. A.; GONÇALVES, J. V. Sublinear elliptic systems with disconti-

nuous nonlinearities. Appl. Anal., 44(1–2):37–50, 1992.

[17] DACOROGNA, B. Introduction to the Calculus of Variations. ICP, London, 2004.

[18] DAL MASO, G.; MURAT, F. Almost everywhere convergence of gradients of

solutions to nonlinear elliptic systems. Nonlinear Anal., 31(3–4):405–412, 1998.

[19] DIBENEDETTO, E. C1+3 local regularity of weak solutions of degenerate elliptic

equations. Nonlinear Anal., 7(8):827–850, 1983.

[20] DONALDSON, T. K.; TRUDINGER, N. S. Orlicz-Sobolev spaces and imbedding

theorems. J. Functional Analysis, 8, 1971.

[21] DUDLEY, R. M. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press,

Massachusetts, 2002.

[22] FUCHS, M.; GONGBAO, L. L&-bounds for elliptic equations on Orlicz-Sobolev

spaces. Arch. Math. (Basel), 72(4):293–297, 1999.

[23] FUKAGAI, N.; ITO, M.; NARUKAWA, K. Positive solutions of quasilinearelliptic

equations with critical Orlicz-Sobolev nonlinearity on Rn. Funkcialaj Ekvacioj,

49(2):235–267, 2006.

[24] FUKAGAI, N.; NARUKAWA, K. Nonlinear eigenvalue problem for a model equation

of an elastic surface. Hiroshima Math. J., 25(1):19–41, 1995.

Apêndice C 134

[25] FUKAGAI, N.; NARUKAWA, K. On the existence of multiple positive solutions

of quasilinear elliptic eigenvalue problems. Ann. Mat. Pura Appl., 4(3):539–564,

[26] GARCIA-HUIDOBRO, M.; LE, V. K.; MANASÉVICH, R.; SCHIMITT, K. On principal

eigenvalues for quasilinear elliptic differential operators: An Orlicz-Sobolev

spaces setting. Nonl. Diff. Eq. Appl., 6(2):207–225, 1999.

[27] GONÇALVES, J. V. On nonresonant sublinear elliptic problems. Nonlinear Anal.,

15(10):915–920, 1990.

[28] GOSSEZ, J. P. Nonlinear elliptic boundary value problems for equations with

raplidy (or slowly) incressing coefficients. Trans. Amer. Math. Soc., 190(1):163–

205, 1974.

[29] GOSSEZ, J. P. Orlicz-Sobolev spaces and nonlinear elliptic boundary value

problems. Nonlinear analysis, function spaces and applications, 1(1):59–94, 1979.

[30] HE, C.; LI, G. The existence of a nontrivial solution to the p&q-Laplacian

problem with nonlinearity asymptotic to up!1 at infinity in RN . Nonlinear Anal.,

68(1):1100–1119, 2008.

[31] KRASNOSELS’KII, M. A.; RUTICKII, Y. A. Convex functions and Orlicz spaces.

Noordhoff, Groningen, 1961.

[32] KUFNER, A.; JOHN, O.; FUCIC, S. Function spaces. Noordhoff, Leyden, 1977.

[33] LADYZHENSKAYA, O.; URAL’TSEVA, N. Linear and quasilinear elliptic equations.

Academic Press, New York, 1968.

[34] LE, V. K.; MOTREANU, D.; MOTREANU, V. V. On a non-smooth eigenvalue problem

in Orlicz-Sobolev spaces. Appl. Anal., 89(2):229–242, 2010.

[35] LIEBERMAN, G. M. The natural generalization of the natural conditions of

Ladyzhenskaya and Ural’tseva. Comm. Partial Differential Equations, 16(2–3):311–

361, 1991.

[36] LIONS, P. L. The concentration-compactness principle in the calculus of varia-

tions. The limit case. I. Rev. Mat. Iberoamericana, 1(1):145–201, 1985.

[37] LOU, H. On singular sets of local solutions to p-Laplace equations. Chin. Ann.

Math. B, 29(5):521–530, 2008.

[38] MARTÍNEZ, S.; WOLANSKI, N. A minimum problem with free boundary in Orlicz

spaces. Adv. Math., 218(6):1914–1971, 2008.

Apêndice C 135

[39] MAWHIN, J.; WARD, J.; WILLEM, M. Variational methods and semilinear elliptic

equations. Arch. Rat. Mech. Anal., 95(3):269–277, 1986.

[40] MERCURI, C.; WILLEM, M. A global compactness result for the p-Laplacian

involving critical nonlinearities. Discrete Contin. Dyn. Syst., 28(2):469–493, 2010.

[41] MOTREANU, D.; PANAGIOTOPOULOS, P. D. Minimax theorems and qualitative

properties of the solutions of hemivariational inequalities. Kluwer Academic

Publishers, Dordrecht, 1999.

[42] MUSTONEN, V.; TIENARI, M. An eigenvalue problem for generalized Laplacian in

Orlicz-Sobolev spaces. Proc. R. Soc. Edinb. A, 129(1):153–163, 1999.

[43] RAO, M. M.; REN, Z. D. Theory of Orlicz spaces. In: Taft, E. J.; Nashed, Z., editors,

Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker, 1995.

[44] RAO, M. M.; REN, Z. D. Applications of Orlicz spaces. In: Taft, E. J.; Nashed, Z.,

editors, Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker, 2002.

[45] SANTOS, J. A. Equações Quasilineares Multivalentes. PhD thesis, Departamento

de Matemática, UnB, 2011.

[46] SERRIN, J.; ZOU, H. Cauchy-Liouville and universal boundedness theorems for

quasilinear elliptic equations and inequalities. Acta Math., 189(1):79–142, 2002.

[47] TAN, Z.; FANG, F. Orlicz-Sobolev versus Hölder local minimizer and multiplicity

results for quasilinear elliptic equations. J. Math. Anal. Appl., 402(1):348–370,

[48] TOLKSDORF, P. Regularity for a more general class of quasilinear elliptic

equations. J. Differential Equations, 51(1):126–150, 1984.

[49] WILLEM, M. Minimax theorem. Birkhauser, Boston, 1996.

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