ecv5219 - análise estrutural i
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8/12/2019 ECV5219 - Anlise Estrutural I
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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro TecnolgicoDepartamento de Engenharia Civil
Apostila de
Anlise Estrutural IAgosto de 2013
Grupo de Experimentao em Estruturas GRUPEX
Programa de Educao Tutorial PET
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8/12/2019 ECV5219 - Anlise Estrutural I
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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro TecnolgicoDepartamento de Engenharia Civil
Apostila de
Anlise Estrutural I
ngela do Valle
Henriette Lebre La Rovere
Nora Maria De Patta Pillar
Colaborao dos Bolsistas PET: Alex Willian Buttchevitz
Alexandre Garghetti
Andr Ricardo Hadlich
Helen Berwanger
Stephanie Thiesen
Talita Campos Kumm
Valmir Cominara Jnior
Vanessa PflegerAndrei Nardelli
Brunela Francine da Cunha
Colaborao dos Monitores: Artur Dal Pr (2006-1)
Willian Pescador (2007-1)
Gabriel Ferreira (2013-1)
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8/12/2019 ECV5219 - Anlise Estrutural I
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SUMRIO1. INTRODUO ............................................................................................................
1.1 Parmetros que influenciam a concepo de sistemas estruturais ..........................1.2 Classificao das peas estruturais quanto geometria ..........................................1.3 Tipos de Vnculos ...................................................................................................
1.3.1 Vnculos no plano ............................................................................................1.4 Estaticidade e Estabilidade .....................................................................................1.5 Reaes de apoio em estruturas planas ...................................................................
1.5.1 Estrutura Aporticada ........................................................................................1.5.2 Prtico Isosttico .............................................................................................1.5.3 Trelia Isosttica ..............................................................................................1.5.4 Prtico Triarticulado Isosttico .......................................................................
1.6 Reaes de Apoio no Espao ..................................................................................1.6.1 Trelia Espacial ...............................................................................................1.6.2 Prtico Espacial ...............................................................................................
2. ESFOROS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTTICAS .................................2.1 Trelias ...................................................................................................................
2.1.1 Mtodo de Cremona .......................................................................................
2.1.2 Mtodo de Ritter .............................................................................................2.2 Vigas .......................................................................................................................2.2.1 Vigas Simples Mtodo Direto para Diagramas ...........................................2.2.2 Vigas Gerber ...................................................................................................2.2.3 Vigas Inclinadas .............................................................................................
2.3 Prticos ...................................................................................................................2.3.1 Estruturas Aporticadas ...................................................................................2.3.2 Prticos Simples .............................................................................................2.3.3 Prtico com Articulao e Tirante ..................................................................2.3.4 Prticos Compostos ........................................................................................
2.4 Cabos ......................................................................................................................2.4.1 Reaes de Apoio para Cabos ........................................................................
2.4.2 Esforos Normais de Trao Atuantes em Cabos ..........................................2.4.3 Conformao Geomtrica Final do Cabo .......................................................2.5 Arcos ......................................................................................................................
2.5.1 Arcos Biapoiados ............................................................................................2.5.2 Prticos com Arcos (ou Barras Curvas) ..........................................................2.5.3 Arcos Triarticulados .......................................................................................
2.6 Grelhas ....................................................................................................................3. ESTUDO DE CARGAS MVEIS EM ESTRUTURAS ISOSTTICAS ..................
3.1 Cargas Mveis Trem-Tipo ..................................................................................3.2 O Problema a Resolver ...........................................................................................3.3 Linhas de Influncia Definio ...........................................................................3.4 Obteno dos Efeitos, Conhecidas as L.I. ..............................................................
3.5 Exemplos em Estruturas Isostticas Simples .........................................................3.5.1 Viga Engastada e Livre ...................................................................................3.5.2 Viga Biapoiada ................................................................................................
3.6 Anlise de Efeitos ...................................................................................................3.6.1 Teorema Geral ................................................................................................3.6.2 Obteno de Momento Fletor Mximo em uma Seo S de uma VigaBiapoiada para um dado Trem-tipo Constitudo de Cargas Concentradas ...............
LISTAS DE EXERCCIOS ................................................................................................Graus de estaticidade ....................................................................................................Trelias .........................................................................................................................Vigas ............................................................................................................................Cabos ............................................................................................................................Arcos ............................................................................................................................Grelhas .........................................................................................................................
111339
1616171718222223242430
404646525865667380828691
96101110119122124134143143143145149
150150152155155
155175176178187193195198
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1. INTRODUO
1.1. Parmetros que influenciam a concepo de sistemas estruturais
A estrutura conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um
objeto de projeto, por exemplo, uma edificao. Quando se projeta uma estrutura, a anlise do
comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificaes que conduzem a
modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma
determinada situao de projeto, devem ser considerados vrios fatores. Os principais so:
Projeto arquitetnico:
-Aspectos funcionais (dimenso do espao interno, iluminao, limitaes do espao
exterior, etc.);-Aspectos estticos (sistemas diferentes geram formas diferentes).
Carregamento atuante:
-Permanente;
-Varivel Acidental;
Efeito do vento.
Condies de fabricao, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, iamento);
Material estrutural a ser utilizado (cada material possui caractersticas mecnicaspeculiares): o material deve estar adequado aos tipos de esforos solicitantes pelas
estruturas.
Para identificao do sistema estrutural mais adequado deve-se:
1) Identificar as possveis opes;2) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um.
1.2. Classificao das peas estruturais quanto geometria
Os sistemas estruturais so modelos de comportamento idealizados para representao e
anlise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma conveno. Esta
conveno pode ser feita em funo da geometria das peas estruturais que compem o conjunto
denominado sistema estrutural.
Quanto geometria, um corpo pode ser identificado por trs dimenses principais que
definem seu volume. Conforme as relaes entre estas dimenses, surgem quatro tipos de peas
estruturais:
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Barra: duas dimenses da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas.
Barra de elementos delgados: as trs dimenses principais so de diferentes ordens de
grandeza. o caso dos perfis metlicos, onde a espessura muito menor que as dimenses da
seo transversal, que menor que o comprimento da pea. As barras de elementos delgados so
tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceo feita
solicitao por toro.
Folhas ou lminas: duas dimenses de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira
dimenso. Subdividem-se em:
Placas: carregamento perpendicular ao plano mdio.
Chapas: carregamento contido no plano mdio.
Cascas: superfcie mdia curva.
Bloco: as trs dimenses so da mesma ordem de grandeza.
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1.3. Tipos de Vnculos
Vnculos so elementos que impedem o deslocamento de pontos das peas, introduzindo
esforos nesses pontos correspondentes aos deslocamentos impedidos. Os deslocamentos podem
ser de translao ou de rotao.
1.3.1 Vnculos no plano
No plano, um corpo rgido qualquer tem trs graus de liberdade de movimento:
deslocamento em duas direes e rotao.
a) Apoio simples ou de primeiro gnero:
Reao na direo do movimento impedido.Exemplo de movimento: rolete do skate.
b) Articulao, rtula ou apoio do segundo gnero:
Exemplo de movimento: dobradia.c) Engaste: ou apoio de terceiro gnero:
Exemplo de movimento: poste enterrado no solo.
y
x
y
x
z
y
x
Mz=0Rx=0
Ry=0
RxRy
Rx
Ry
y
x
Mz=0y
x
Mz=0
Rx
Ry
Mz
y
x
z
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Vnculos no Plano
Tipo de Vnculo Smbolo _________ Reaes_____
Cabo
Ligao esbelta
Roletes
Rtula
Luva com articulao
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Tipo de Vnculo Smbolo ________ _Reaes_____
Articulao
Apoio deslizante
Luva rgida
Apoio rgido (engaste)
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=
MK
Rigidez de uma Ligao
Rigidez Rotao
geometria indeformadageometria deformada
Ligao Articulada
K 0
Ligao Rgida
K 0 o
Ligao Semi-Rgida
0 < K <
K=
M
M
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Exemplos de Vnculos
Apoio rotulado em viga de ponte.Apoio com material de baixo coeficiente de
atrito, funcionando como roletes.
Rolete nos apoios de vigas de
concreto protendido de umaponte rodoviria.
Ligao de canto rgida de um prtico deao. Observam-se as chapas formandouma ligao rgida com os pilares.
A inclinao da rtula de apoio entre as duas vigasindica a expanso trmica do tabuleiro da ponte. Osenrijecedores verticais na regio de apoio previnem aflambagem local causadas pelas altas reaes de apoio.
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Exemplo de planta baixa de uma construo:
Foras que atuam na viga 1 e na viga 6:
Nesse caso, as cargas distribudas q1 e q2 so provenientes das lajes que se apoiam na viga 1.
As cargas distribudas q3 e q4 so provenientes das lajes que se apoiam na viga 6 e a carga
concentrada V2 representa a carga da viga 2 apoiada na viga 6.
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1.4 Estaticidade e Estabilidade
a) A estrutura restringida e o nmero de incgnitas igual ao nmero de equaes de
equilbrio: ISOSTTICA.
b) A estrutura restringida e o nmero de incgnitas maior que o nmero de equaes de
equilbrio: HIPERESTTICA.
c) A estrutura no restringida ou o nmero de incgnitas menor que o nmero de
equaes de equilbrio: HIPOSTTICA.
Uma estrutura est restringida quando possui vnculos para restringir todos os movimentos
possveis da estrutura (translao e rotao) como um corpo rgido.
Uma forma de calcular o grau de hiperestaticidade, a fim de descobrir se a estrutura restringida, usando a seguinte frmula:
gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3 3 . m
Sendo C1= nmero de vnculos de 1 classe;
C2= nmero de vnculos de 2 classe;
C3= nmero de vnculos de 3 classe;
m = nmero de hastes presentes na estrutura.
Outra maneira de calcular utilizando o critrio apresentado por Sussekind:
gh = ge+ gi,
Sendo gh = grau de estaticidade ou hiperestaticidade;
ge= grau de hiperestaticidade externa;
gi = grau de hiperestaticidade interna.
Tipos de Equilbrio:
Estvel Instvel Indiferente
i.
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Exemplos: Estruturas PlanasVigas:
Quantidade de apoios: gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mC1= 1 C2= 1 gh = (1) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3 . (1)
Nmero de barras: gh = 1 + 2 - 3m = 1 gh = 0ISOSTTICA
Quantidade de apoios: gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mC3= 1 gh = (0) + 2 . (0) + 3 . (1) - 3 . (1)
Nmero de barras: gh = 3 - 3m = 1 gh = 0
ISOSTTICA
Quantidade de apoios: gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mC1= 2 gh = (2) + 2 . (0) + 3 . (0) - 3 . (1)
Nmero de barras: gh = 2 - 3m = 1 gh = - 1
HIPOSTTICA(no restringida)
Quantidade de apoios:C1= 2 C2= 1
Nmero de barras:m = 1
gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mgh = (2) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3 . (1)
gh = 2 + 2 3 HIPERESTTICAgh = 1
Quantidade de apoios:C1= 3
Nmero de barras:m = 1
gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mgh = (3) + 2 . (0) + 3 . (0) - 3 . (1)
gh = 3 3 ISOSTTICAgh = 0
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Quantidade de apoios:C1= 2 C2= 1
Nmero de barras:m = 2
Ligaes internas:C2= 2 - 1 = 1
gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mgh = (2) + 2 . (2) + 3 . (0) - 3 . (2)
gh = 2 + 4 6 ISOSTTICAgh = 0
Outra forma de resolver exerccios de grau de hiperestaticidade atravs do grau dehiperestaticidade externa (ge) e do grau de hiperestaticidade interna (gi). Partindo do princpio
que:
gh = ge + gi
i)Classificar os apoios e calcular o ge:
ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3ge = (2) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3ge = 2 + 2 - 3ge = + 1
ii)Classificar as ligaes internas e calcular o gi:
gi = - 1gh = ge + gigh = 1 - 1gh = 0
ISOSTTICA
A rtula interna uma conexo C2
Para calcular o ge utiliza-se sempre m = 1.As ligaes internas no entram no clculodo ge.
A rtula interna baixa o gino valor do seu respectivograu de conexo C2.
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Em ligaes internas, considera-se o tipo de ligao e onmero de barras conectadas menos 1.
Ligaes internas :
Tirante (C1)
Articulao ou Rtula (C2)
Ligao engastada (C3)
Exemplos: Prticos, Arcos;
Prticos:
Quantidade apoios:C1= 1 C2= 1 gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . m
Nmero de barras: gh = (1) + 2 . (2) + 3 . (1) - 3 . (3)m = 3 gh = 1 + 4 + 3 - 9
Ligaes internas: gh = - 1C2= 2 1 = 1C3= 2 1 = 1
HIPOSTTICA
C2=4-1=3
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Quantidade apoios:C1= 1 C2= 1 gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . m
Nmero de barras: gh = (2) + 2 . (2) + 3 . (1) - 3 . (3)m = 3 gh = 2 + 4 + 3 - 9
Ligaes internas: gh = 0C1= 2 1 = 1C2= 2 1 = 1C3= 2 1 = 1
ISOSTTICA
Quantidade de apoios: gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . mC2= 1 C3= 1 gh = (0) + 2 . (1) + 3 . (1) - 3 . (1)
Nmero de barras: gh = 2 + 3 - 3m = 1 gh = 2
HIPERESTTICA
Quantidade de apoios:C1= 1 C2= 1 gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . m
Nmero de barras: gh = (2) + 2 . (2) + 3 . (0) - 3 . (2)
m = 2 gh = 2 + 4 - 6Ligaes internas: gh = 0C1= 2 1 = 1C2= 2 1 = 1
ISOSTTICA
Quadros:
gh = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3 . m ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3
gh = (1) + 2 . (1) + 3 . (4) 3 . (4) ge = (1) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3gh = 1 + 2 + 12 12 ge = 1 + 2 - 3gh = 3 ge = 0
Logo: gh = ge + gi(3) = (0) + gi
gi = 3A partir do exemplo acima, pode-se notar que o gi de uma estrutura fechada, nesse caso um
quadro, igual a 3. Independentemente de sua forma geomtrica.
OBS: Um tipo especial de prtico a viga Virendel, exemplificada na figura anterior. A viga
Vierendelconstitui um painel retangular formado por barras engastadas ortogonalmente.
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Utilizando o conhecimento em quadros, calcula-se o grau de hiperestacidade externa (ge) e o
grau de hiperestacidade interna (gi) separadamente com a finalidade de obter o valor do grau de
hiperestacidade (gh).
gh = ge + gi
i)Classificar os apoios e calcular o ge:
ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3- 3
ge = (1) + 2 . (1) + 3 . (0) - 3ge = 1 + 2 - 3ge = 0
ii)Classificar as ligaes internas, contar o nmero de quadros e calcular o gi:
gi = 3 . Q - C1- C2
gi = 3 . (1) (2) (1)
gi = 3 2 - 1gi = 0
gh = ge + gigh = (0) + (0)gh = 0
ISOSTTICAExemplos:
ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3 3ge = (2) + 2 . (1) (3) = 1
gi = 3 . Q C1 C2gi = 3 . (7) (2) (3) = 16
gh = ge + gigh = (1) + (16) = 17
HIPERESTTICARestringida
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ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3 3ge = (2) + 2 . (1) + 3 . (1) (3) = 4
gi = 3 . Q C1 C2gi = 3 . (7) (2) (4) = 16
gh = ge + gigh = (4) + (16) = 20
HIPERESTTICARestringida
ge = C1+ 2 . C2+ 3 . C3 3ge = (1) + 2 . (2) + 3 . (2) (3) = 8
gi = 3 . Q C2gi = 3 . (12) (11) = 25
gh = ge + gigh = (8) + (25) = 33
HIPERESTTICARestringida
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1.5. Reaes de apoio em estruturas planas
1.5.1. Estrutura Aporticada
Cos =4/5
Sen =3/5
Decompor a fora de 10kN nas direes x e y:
i) FX= 0 HA+ 6kN = 0 HA= - 6kN
ii) FY= 0 VA+ VB= (10x3) + 8 = 38kN
iii) MA= 0 7xVB (30x 5,5)- (8x2) (6x1,5) = 0
7VB= 190 VB= 27,14kN0
Logo, VA= 38kN 27,14kN = 10,86kN
Outra maneira seria:
MA= 0
7VB (30x 5,5)- (10x2,5) = 0
7VB= 165+25 = 190
VB= 27,14kN
Verificao:MB= 0
(10,86x7) + (6x3) (30x1,5) (8x5) (6x1,5) = 0
76 + 18 45 40 9 = 0
Y
X
10x(3/5)=6kN
10x(4/5)=8kN10kN
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1.5.2. Prtico Isosttico
i) FX= 0 -HA+ 40 = 0 HA= 40kN
ii) FY= 0 VA+ VB= 60kN
iii) MA= 0 8VB+ 80 - (40x6) (60x4) = 0
8VB = 400 VB = 50kN
VA = 60 50 = 10kN
Verificao:MB= 0 (10x8) + (40x3) 80 (60x4) + (40x3) = 0
120 + 120 240 = 0
1.5.3. Trelia Isosttica
i) FX= 0 HB+ 4 -12 = 0 HB= 8kN
ii) FY= 0 VA+ VB= 6 + 8 = 14kN
iii) MB= 0 (4x4) + (8x1,5) (12x2) 3VA= 0
3VA = 16 + 12 24 = 4
VA = (4/3) = 1,33kN
VB = 12,67kN
Verificao:MA= 0
(12,67x3) + (4x4) (6x3) (8x1,5) - (12x2) = 0
38 + 16 -18 -12 24 = 0
VA
HA VB
B
A
80kNm
60kN
40kN
4.00m 4.00m
3.00m
3.00m
VA VB
HB
4kN
1.50m 1.50m
2.00m
2.00m
6kN
8kN
12kN
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18
1.5.4. Prtico Triarticulado Isosttico
i) FX= 0 (+ ) HA+ HB+20 -12 = 0 HA+ HB= -8kN
ii) FY= 0 (+ ) VA+ VB= 10x4 = 40kN
iii) MA= 0 4VB- (40x2) + (12x2) (20x4) = 0
4VB = 80 24 + 80 VB = 34kN
VA = 40 34 = 6kN
iv) Momento Fletor em C nulo (Esq. Ou Dir.)
Anlise da Estrutura Esquerda da Rtula:
Verif. MD= 0 (6 + 2)x4 + (12x2) + (6x4) (40x2) = 0
32 + 24 +24 80 = 0
4 Incgnitas (Reaes) 3 Equaes Estticas (Plano)
1 Equao interna (Rtula)MCD= MCE= 0
Isosttica
MC (6x2) + (20x1) + (HAx4) = 0
ou MC = (6x2) (20x1) (4HA)
mas MC = 04HA= 12 20 = -8
HA = 2kN
HB = 8 + 2 = -6kN
2.00m
A B
BVA
HA HB
12kN4.00m
C D
20kN
2.00m 2.00m
HA
VC
MC
NC20kN
2.00m
4.00m
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Exerccios:Determinar a reao de apoio.
i) FX= 0 (+ ) RAX- RBX= 0 RAX= RBX (I)
ii) FY= 0 (+ ) RAY- RBY- 20 - 112= 0 RAY+ RBY = 132 (II)
iii)MA= 0 (20x8) + (112x4) (6xRBX) = 0
RBX = 160 + 448 RBX=101,33kN
6
RAX= RBX (I) RAX=101,33kN
RAX= RAY (45) RAY=101,33kN
RBY= 132 - RAY (II) RBY=30,67kN
RA= RAX/cos 45 RA= (RAX)x 2 = 143,30kN2
ConferindoMC= 0 (20x2) - (112x2) + (6xRBY) (6xRAX) + (6xRAY) = 0
40 224 + (30,67x6) (101,33x6) + (101,33x6) = 0
-184 + 184 608 + 608 =0
184 184 = 0
a)
C
20kN
A
B
112kN RBY
RBX
RAX
RAY
14kN/m
20kN
C B
A
6.00m
6.00m2.00m
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i) FX= 0 (+ ) RAX= RBX
ii) FY= 0 (+ ) RAY 12(12) 30 RAY = 174kN
iii) MA= 0 12xRBX 30x20 144x6 = 0
RBX= 600 + 864 RBX = 122kN RAX = 122kN12
Conferindo
MB= 0 12xRAX 144x6 30x20 = 0
1464 864 600 = 0
MC= 0 6xRBX 144x14 + 6xRAX 20xRAY= 0
122x6 + 2016 + 122x6 174x20 = 0
732 + 2016 + 732 3480 = 0
c)Achar as reaes de apoio para a viga abaixo :
BA
3.00m 6.00m 3.00m 3.00m
16kN/m
8kN
10 2kN 10 2kN
b
12kN/m
A
B
C C
B
A
144kN
30kNRAX
RAY
RBX
6.00m
6.00m
8.00m12.00m
30kN
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81443434
111,33108,67
5454kN.m A B
9.00m
Balano
d)Determinar as reaes de apoio para a viga:
Viga entre as rtulas internas:
72 (144/2) = 72
34 10 + 24 = 34
(8x3)/9 = 2,67 (8x6)/9 = 5,33
108,67 111,33
6 (12/2) = 6
6 6 + 8 = 14
2,67 (20-12)/3=2,67
10kN
10kN
3x(16/2)=24kN10 2kN
As foras aplicadas nos balanos foram transferidas
para os apoios como momentos e foras verticais.
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3 incgnitasN1, N2, N3
3 equaes: FX= 0, FY= 0, FZ= 0
1.6. Reaes de apoio no espao
6 Equaes de Equilbrio:
FX= 0; FY= 0; FZ= 0; MX= 0; MY= 0; MZ= 0
1.6.1. Trelia Espacial
Isosttica r + b = 3n
Restringida
n=4
r+b=3n
9+3 = 3x4
12=12
Inicia-se pelo equilbrio do n D:
Em seguida passa-se aos ns com apoios: Conhecidos agora os esforos N1, N2 e N3, para cada
n A, B ou C existem 3 incgnitas (Reaes) e 3 equaes de equilbrio.
D
C
BA
1 2 3
4tf
2tf
RAZ
RAX
RAY RBY
RBX
RBZ RCY
RCX
RCZ
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1.6.2. Prtico Espacial
5.00m
4.00m
RAZ
MAZRAY
MAY
RAX MAX
2tf
1tf4tf
3.00m
Y
X
Z
6 reaes
Isosttica 6 equaes de equilbrio
Restringida
i) FX= 0 RAX 2tf = 0 RAX= 2tf
ii) FY= 0 RAY 4tf = 0 RAY = 4tf
iii) FZ= 0 RAZ 1tf = 0 RAZ = 1tfiv) MX= 0 MAX (4x3) (1x5) = 0 MAX = 17tfm
v) MY= 0 MAY+ (2x3) + (1x4) = 0 MAY = -10tfm
vi) MZ= 0 MAZ+ (2x5) (4x4) = 0 MAZ = 6tfm
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2. ESFOROS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTTICAS
2.1. Trelias
Trelias - Estruturas reticuladas, ou seja formadas por barras (em que uma direo
predominante) de eixo reto, ligadas por rtulas ou articulaes (ns).
Quando submetidas a cargas aplicadas nos ns apenas, as barras esto submetidas
somente a esforos axiais.
Estaticidade e Estabilidade:
Condies para obteno de uma trelia isosttica:
1. equilbrio Estvel (Restringida, ns indeslocveis);
2. nmero de incgnitas (*) igual ao nmero de equaes de
equilbrio da esttica (**).
* O nmero de incgnitas dados por:
nmero de reaes (r) + nmero de barras (b).
(Incgnitas Externas) (Incgnitas Internas)
** Nmero de equaes de equilbrio o resultado do:- nmero de ns (n) x 2 (o valor multiplicado devido a existncia
de uma equao no eixo x e outra no y).
Desta forma, podemos classific-las da seguinte maneira:
1a. Condio 2a. Condio Classificao
indeslocvel e r + b = 2n Isosttica
indeslocvel e r + b > 2n Hiperestticadeslocvel ou r + b < 2n Hiposttica
Os mtodos de obteno de esforos em trelias so:
1. Equilbrio dos Ns;
2. Cremona (Maxwell);
3. Ritter.
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Trelias Planas
Fonte: Engel, Heino, 1981
Sentido dos Esforos
Trelia com diagonais comprimidas
Trelia com diagonais tracionadas
Fonte: Salvadori, Heller, 1975
AI E O' B F M
NHDOCG
L
W4 W2 W1 W3 W5
W4 W2 W1 W3 W5
AI E O' B F M
NHDOCD
L
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Transmisso de Cargas para as Trelias
Trelia de Cobertura
Trelia de Ponte
Fonte: Sssekind, Jos Carlos, 1979, vol.1
Ligaes das Extremidades das Barras
Fonte: Salvadori, Heller, 1975 Fonte: Sssekind, Jos Carlos, 1979, vol.1
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Mecanismo de Trelias Aplicado a Outros Sistemas Estruturais
Prtico de Trelia Biarticulado
Prticos de Trelia Triarticulado com Balanos
Arco de Trelia Triarticulado
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Trelias com Diferentes Condies de Apoios
Trelias apoiadas nas duas extremidades: Estrutura de vo livre
Trelias com Apoio Duplo no Centro: Estruturas em Balano
Trelias com Extremidades em Balano: Estrutura com Vo Livre e Balano
Fonte: Engel, Heino, 1981
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Lei de Formao de Trelias Isostticas:
r + b = 3 + 11 = 14
2n = 2 x 7 = 14
Trelia Hiperesttica:
r + b = 4 + 14 = 18
2n = 2 x 8 = 16
Trelia Hiposttica:
r + b = 4 + 18 = 22
2n = 2 x 10 = 20
Trelia no
restringida
A B
C D
A B E G
1 2
3 7
4 8
6 9 10
11
5
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2.1.1. Mtodo de Cremona
Seja a seguinte trelia para a qual sero calculadas as reaes e esforos pelo equilbrio
dos ns:
FX= 0 3 RAX= 0 RAX= 3tf
MA= 0 3RBY 6 x 1,5 3 x 2 = 0 RBY= 5tf
FY= 0 RAY+ 5 - 6 = 0 RAY= 1tf
= 53,13
N A
FY= 0
1 + NACxsen 53,13 = 0 NAC= -1,25tf
FX= 0
-3 1,25 xcos 53,13 + NAB= 0 NAB= 3,75tf
N B
FY= 0
5 + NBCxsen 53,13 = 0 NBC = -6,25tf
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31
1,5m 1,5m
3tf
3tf
5tf1tf
6tf
-1,25
3,75
-6,2
5
BA
C
2m
Se um n est em equilbrio, a soma vetorial de todas as foras que atuam sobre ele ser
nula:
N A:
3
3,75
1,251
N B:
5
3,75
6,2
5
N C:
A
3 tf
1tf
1,25
3,75
B
6,2
5
3,75
5tf
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32
1,25
6,2
5
6
3
A soma vetorial das foras externas e internas atuantes forma sempre um polgono fechado.O mtodo de Cremona consiste em encontrar os esforos internos graficamente, a partir
do equilbrio dos ns da trelia, seguem-se os seguintes passos:
inicia-se por um n com apenas duas incgnitas;
marca-se em escala as foras externas atuantes, formando um polgono aberto;
pelas extremidades deste polgono traam-se paralelas s barras que concorrem no n, cujos
esforos desejamos conhecer;
a interseo destas paralelas determinar o polgono fechado de equilbrio; obtm-se assimos mdulos e sinais dos esforos nas barras;
Os sinais dos esforos so obtidos verificando-se:
- se o esforo normal aponta para o nnegativo (compresso);
- se o esforo normal sai do npositivo (trao);
O sentido do percurso de traado de foras arbitrrio, adotaremos o sentido horrio;
Obtm-se 2 a 2 incgnitas na anlise sobraro 3 equaes de equilbrio, j usadas para as
reaes.
6tf
3tf C
1,25
6,2
5
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2.1.1.1. Notao de Bow
Marcar com letras todos espaos compreendidos entre as foras (exteriores e interiores),
que sero identificadas pelas duas letras adjacentes. No exemplo:
reao Vertical no n A : ab;
reao Horizontal no n A: bc;
esforo Normal na Barra AC: cf (ou fc);
esforo Normal na Barra AB: af (ou fa).
Roteiro do Mtodo:1. Iniciar o traado do Cremona pelo equilbrio de um n que contm somente duas barras
com esforos normais desconhecidos (incgnitas);
2. Comear com as foras conhecidas, deixando as incgnitas como foras finais;
3. Todos os ns so percorridos no mesmo sentido (horrio ou anti-horrio), para o exemplo
escolheu-se o horrio;
4. Prosseguir o traado do Cremona pelos ns onde s haja 2 incgnitas a determinar, at
esgotar todos os ns, encerrando-se a resoluo da trelia.5. Os valores dos esforos nas barras so medidos no grfico em escala;
6. Os sinais dos esforos so obtidos verificando-se:
- se o esforo normal aponta para o n: COMPRESSO (-);
- se o esforo normal sai do n: TRAO (+).
O polgono resultante do traado do Cremona dever resultar num polgono fechado para que
a trelia esteja em equilbrio.
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Fonte: Sssekind, Jos Carlos, 1979, vol.1
e
2P
i
a
g
f
c
b
A C D
d
3P
FE
3P
P
B
h
3P
2
1
4
8
5
6
97
3
Sentido Horrio -Percurso do Traado
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N A:
2P
3P
N7
a2
a7N2
2P
3P
N2
N7
Medir em escala N2e N7
N E:
N2conhecido - N3,N1incgnitas:
mede-se em escala
N2
N1
N3
a3
a1
N1 (Compresso)
N2 N3
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Exemplos:
1.
2m 2m
C
D
BA
1m
1m
2 tf
A
1m
1m
B
D
C
2000kgf
cb d e
a
1000kgf 1000kgf
N A:
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2.
A
DC E B
H
G
F
2tf
2tf
2tf
3tf 3tf
b
c d
e
f
a
k
j
ih
g
0 1 2 3 4
Escala doCremona (tf)
f,k
j
c
a
d
e
h,i
g
-6,7 -6,7
-5,85
-1,8
+2,0
+6,0 +4,0 +4,0 +6,0
-1,8
+2,0
0
-5,85
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39
3.
6tf 6tf
6tf
2tf
2tf
2tf
6tf 6tf
6tf
2tf
2tf
2tf
i
b
h
g
j
k
a
e
d
c
f
6m
6m
6m
6m 6m
G
E
C
AB
D
F
-3,2+3,2
+2,0
-2,2-3,2
-4,8-2,9
-2,0
+6,4
+4,8
+3,0
a k
j
edcb,f
g
i
h
0 1 2 3 4
Escala do
Cremona (tf)
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2.1.2. Mtodo de Ritter
Seja a seguinte trelia:
Suponhamos que deseja-se determinar os esforos axiais nas barras 3, 6 e 10. Parte-se a
estrutura em duas partes, de forma a partir estas barras, atravs da seo SS indicada.
Considerando a parte da esquerda, deve-se colocar os esforos internos axiais que surgem
nas barras para estabelecer o equilbrio:
As foras N3, N6e N10representam a ao da parte da direita da trelia sobre a parte da
esquerda.
HA
VA
P4
P1
P2D
N6
N10
N3
S
S
1
2 3
7
48
6
9 10 11
5HA
P4
P1
P2
PD
P5
C
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indiferente considerar a parte da esquerda ou a da direita:
Os esforos indicados N3, N6e N10so iguais em mdulo e direo, mas tm os sentidos
opostos dos que aparecem na parte esquerda. Representam a ao da parte esquerda sobre a parte
da direita.
Para obter os esforos N3, N6 e N10 utilizam-se as equaes da esttica, devendo ser
escolhidas e usadas numa ordem tal que permita determinar cada incgnita diretamente.Para o exemplo, pode-se resolver utilizando:
MC= 0Obtm-se N3;
MD= 0Obtm-se N6;
Fy= 0Obtm-se N10. (tanto faz pela esquerda ou direita)
Se os esforos forem positivos tero o sentido indicado (trao) seno tero sentido
inverso (compresso).
Observaes:
1. sees de Ritter no podem interceptar 3 barrras paralelas, nem 3 barras concorrentes no
mesmo ponto;
2. as sees podem ter forma qualquer (no necessitando ser retas);
3. para barras prximas s extremidades da trelia (no exemplo, barras 1, 5, 4 e 7), pode ocorrer
que a seo de Ritter s intercepte 2 barras neste caso obter os esforos fazendo equilbrio
dos ns.
P3
VBP5
C
S
S
N6
N10
N3
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Exemplos:
1. Obter os esforos nas barras 2, 3, 9 e 10.
I. Obter as reaes de apoio:
Fx= 0 HA= -6 tf;
Fy= 0 VA + VB= 10 tf;
MA= 0 VB. 10 - 6 x 4 - 4 x 6 - 6 x 2 = 0;
VB= 6 tf e VA= 4 tf.
II. Seo S1S1
MH= 0 N2x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N2= 14 tf (trao);
MD= 0 -N16x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N16= -14 tf (compresso);
Fy= 0 - N9 6 + 4 = 0 N9 = -2 tf (compresso).
8 9 10 11 12 13 1476
1 2 3 4 5
HA
VA VB
A C D E F B
G H I J15 16 17
2 m 2 m 2m 2m 2m
4tf
6tf
6tf
S1 S2
S2S1
2
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III. Seo S2S2
Fx= 0 N3+ N10cos45 = 14 tf;
Fy= 0 N10sen45 + 4 - 6 = 0;
N10= 2,83 tf e N3= 12 tf.
6tf
E F B
J
4tf
2 m
I
S2
N10
N3
14tf
S2
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Obter os esforos nas barras 2, 10, 19, 3 e 13.
I. Seo S1S1
MD= 0 N19x 2 + 6 x 2 + 5 x 4 = 0 N19= -16 tf (compresso);
Fx= 0 N19+ N2 = 0 N2= 16 tf (trao);
Fy= 0
N10 + 6 - 5 = 0 N10= -1 tf (compresso);
HA=6tf
6tf
6tf
VB=5tf
H I J K L
B
GFEDCA
2 m
1
7 8 9
19
2 3 4 5 6
18 20 21
171011
12 13 14 15 16
S1 S2 S 3
VA=5tf
4tf
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m
2 m
A
C1
87
6tf
5tf
9
2
10
H6t 18 I
S16tf
N2
N10
N19 J
D
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II. Seo S2S2
MJ= 0 N3x 2 + 6 x 2 - 5 x 6 - 6 x 2 = 0 N3= 15 tf (trao);
II. Seo S3S3
Fy= 0 N13cos45 + 5 = 0; N13= -7,1 tf (compresso);
6tf A
C1
87
5tf
D
9
2 3
10 11
H6tf 18 19 JI
S26tf
N19
N3
N11
F4
13 14
B
G5 6
15 16 17
5tf
20 KS3
21 LN20
N4
N13
J
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2.2. Vigas
2.2.1. Vigas Simples - Mtodo Direto para Diagramas
Esquerda
V
N
M
NDireita
V
Conveno de sinais:
Reviso:
a
VVF
M
a
F M
Esquerda com carga para cima Esquerda com carga para baixo
V F = 0V = +F positivo. V + F = 0V = - F negativo.
M F.a = 0M = +F.a positivo. M + F.a = 0M = - F.a negativo.
a
F
a
F
Direita com carga para cima Direita com carga para baixo
V + F = 0V = - F negativo. V F = 0V = +F positivo.
M - F.a = 0M = +F.a positivo. M + F.a = 0M = - F.a negativo.
Traar DEC diretamente vindo pela esquerda.
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Traar DMF vindo pela esquerda, calculando M nos pontos de aplicao de fora
concentrada.
Lembrando:
Fora Concentrada: Descontinuidade no DEC
Binrio Aplicado: Descontinuidade no DMF
q=0 ; (entre cargas conc.)
V Constante
M Varia Linearmente em x
q= k ;
V Varia Linearmente em x
M Varia Parabolicamente em x
Integrando qV; Integrando VM.
dx
dVq=
dx
dM=V
dx
d Mq2
2
=
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Exemplo 1:
MCEsq= 60.4 = 240 kN;
MDEsq= 60.8 50.4 = 280 kN;
MEDir.= 110.2 = 220 kN ou
MEEsq. = 60.11 50.7 30.3 = 220 kN
ou MD= MC+ VCx4m ou MEEsq. = MD+VD x3m
DMF (kN.m)
60kN
60
280240
(+)
220
-110
10
-20
DEC (kN)
110kN
30kN50kN 90kN
4 m 4 m 3 m 2 m
AC D E
B
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DMF (kN.m)
+3
-3
(-)
3kN
DEC (kN)
-9
3kN
12kN/m
3 1 m
A B
C
Exemplo 2:
MCEsq = - 3.3 = - 9 kN;
MCDir. = 3.1 = 3 kN;
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Exemplo 3:
MCEsq = 18.2 = 9 kN;
MMX= q.l2/8 + 36 = 12.32/8 + 36 = 13,5 + 36
MMX= 49,5 kN.m
36
(+)
18
V=0
(+)
18kN
12kN/m
DMF (kN.m)
36
DEC (kN)
-18
(-)
18kN
2 m 3 m 2 m
Mmx
A BC D
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Exemplo 4:
MV=0Esq = 80.2 40.1 = 120 kN; MEDir = 60.1 = 60 kN;
MCEsq = 80.4 80.2 40.2 = 80 kN; MDDir = 60.2,5 20.1,5 = 120 kN;
MDEsq = 80.5,5 80.3,5 40.3,5 = 20 kN;
-40
120
80
120
60
DMF (kN.m)
-60
20
(-)
(+)
40
80 kN
80
DEC (kN)
60 kN
100kN.m20kN/m
40kN
20kN
(+)
2 m 2 m 1,5 m 1,5 m 1 m
A BC D E
10
10
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2.2.2. Vigas Gerber
Aplicaes principais Pontes;
Surgiram por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva;
Vigas Gerber Isostticas sero decompostas nas diversas vigas isostticas que as
constituem:
- Vigas com estabilidade prpria;
- Vigas que se apoiam sobre as demais;
Exemplos de Decomposio:
Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resoluo, para obteno das reaes
de apoio.
Comea-se a resolver as vigas sem estabilidade sem estabilidade prpria;
Os diagramas podem ser traados separadamente, juntando-os em seguida;
As rtulas transmitem foras verticais e horizontais, mas no transmitem momento;
Basta que um dos apoios resista a foras horizontais na viga Gerber. Apenas as cargas
verticais provocam esforo cortante e momento fletor nas vigas, portanto, na
decomposio no necessrio distinguir apoios do 1o ou 2o gnero. Usaremos
apenas:
II
I
II
II
I
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IV
III
II
I
II
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Esforos Internos Diagramas Exemplos:
1.
18 tf
F
F
6tf6tf6tf
22,67 tf
BA
9,33 tf
4tf/m
C D E
4tf/m
6tf 6tf
4tf/m
BA
6tf
C D E
4tf/m
36 tf.m
2 m 3 m 2 m 3 m 3 m
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2.
4+6+3 =13 tf
3 tf 3+3 = 6 tf3 tf 3 tf
2+4+3+2=11 tf
3 tf
11 tf
3 tf
4 tf
126
6 tf
2 tf/m 3 tf/m
3 tf
A
2 tf/m
B C
3 tf/m
FD E
4 tf 3 tf
HG
4-3=1 tf
8 tf
8 tf
JI
2 tf/m
3 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m1 m 1 m
Transfere-se afora de 6 tf:
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Pela esquerda:
MA= 0 MB= 0
MA/Besq= (q l2) / 8 = (2.32) / 8 = 2,25 MCesq= - 3.1.- 2.0,5 = - 4
MDesq= -4+ (2.42)/8 + (4.4)/4 = 4
Pela direita:
MJ= 0 MIdir= 1.2 = 2
MHdir= 1.4 8.2 = -12 MG= 0
MF/G= (q l2) / 8 = (3.22)/8 = 1,5 MF= 0
A CB FED4
HG
-4
3
-5
-3
-4
-12
-6
-2
32
-6
-3
65
7
JI
2
DMF (tf.m)
-1DEC (tf)
2,25 1,5
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2.2.3. Vigas Inclinadas
Independente do valor de b, as reaes verticais sero iguais (= q.a / 2)
1.
Esforos Internos: Seo S (a x do apoio A)
= cos.x.q2
a.qV
= sen.x.q2
a.qN
=
2
x.qx.
2
a.qM
2
(para fins de momento fletor a viga se comporta como se fosse horizontal)
(q.a)/2
S
V
(q.a)/2
q.x NM
A
S (q.a)/2
q
B
xa
b
x
x/2
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Diagramas:
q.a.(sen /2
- q.a.(sen /2
q.a.(cos /2
(+)
(-)
(-)
(+)
DMF
- q.a(cos /2
DEC
DEN
q.a/8
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2.
I. Fx= 0
HA= q.b
Esforos Internos:
II. Fy= 0
VA= VB
III. MA= 0
a.VB qb.b/2 = 0
VB= qb2/2a = VA
(q.b)/2.a
S
q.x
MN
V
q.b
x
x/2
y
N = (qb qx)cos+ (qb2/2.a) . sen
V = (qb qx)sen- (qb2/2.a) . cos
M = x.qb qx2/2 y.(qb2/2.a)
M = x.qb qx2/2 x.(a/b).(qb2/2.a)
M = qbx/2 qx2/2
A
VA
VBS
B
HA
a
b
x
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Diagramas:
q.b.[cos+(b.sen)/2.a
q.b.(sen )/2.a
q.b.(sen b.cos / 2.a)
b2/2.a . cos
q.b/8
DEN
DEC
DMF
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3.
R = q.(a + b)
A
q
B
A
B
q
q.b
q
q.a
A
B
b
a
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Logo, o diagrama de momento fletor fica:
q.(a+b)/8
Se tivermos, por exemplo, as estruturas:
DMF
-6
A
6 tf.m
2
6
DMF
1 tf/m
2 tf.mB
8m
6m
-2
2
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52,5
A
(+)
DMF(-)
-20
20 kN/m 20 kN.mB
4m
3m
10
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2.3. Prticos
Prticos so estruturas lineares constitudas por barras retas ligadas entre si. Eles podem
ser planos (bidimensionais) ou espaciais (tridimensionais). Nesta apostila trabalharemos
apenas com prticos planos.
Nos prticos, as ligaes entre as barras so engastes ou rtulas internas. Isso faz com
que sua estrutura trabalhe em conjuntos e no de forma individual como acontece em
estruturas de colunas e vigas.
Os Diagramas de Esforo Normal (DEN) e Diagramas de Esforo Cortante (DEC) no
precisam ser feitos para o mesmo lado da barra que foram feitos nessa apostila, apenas ter os
mesmos valores e sinais. J os Diagramas de Momento Fletor (DMF) devem estar sempre no
lado tracionado da barra, podendo os sinais dos resultados serem diferentes dos sinais
utilizados nesta apostila.
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66
2.3.1. Estruturas Aporticadas
1,5m
1,5m
27,14 kN
10 kN/m
10,86 kN
6 kN
S2
S1
10 kN
S3
2m 3m2m
yx
6 kN
10,86 kN
NM
V
S1
t n
Seo S1:
Fn= 0
N 6.cos+ 10,86.sen= 0
N = 6.cos- 10,86.sen
N = -1,72 kN (const.)
Ft= 0
V = 6.sen+ 10,86.cos= 12,29 kN (const.)
Mz= 0
M = 10,86.x + 6.yy = x.tg
M = 10,86.x + 4,5.x = 15,36.x
Para x=0, M=0;
x=2, M=30,72 kN.m;
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Seo S2:
N = -1,72 kN (const.)
V = 12,29 - 10 = 2,29 kN (const.)
M = 15,36.x 8(x-2) 6(y-1,5) = 2,86.x + 25y = x.tg
Para x=2, M=30,72 kN.m;
x=4, M=36,44 kN.m;
Seo S3: (direita)
10 kN/m
27,14 kN
M
V x'
V = 10.x 27,14
Para x=0, V=-27,14 kN;
x=3, V=2,86 kN;
M = 27,14.x 10.x2/2
Para x=0, M=0 kN.m;
x=3, M=36,42 kN.m;
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Diagramas:
-27,14
(+)
12,29
2,86
2,29
(+) (-)
-1,72
(-)
nulo
x = (10x3)/8 = 11,25
DMF (kN.m)
DEC (kN)
DEN (kN)
30,72
36,42
36,42x
0,286m
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No havendo barras inclinadas, recomea-se o traado de diagramas pelo mtodo direto.
10 kN/m
17 kN
12 kN
DMF (kN.m)
DEC (kN)
DEN (kN)
(-)
(+)
(-)
12
12 kN
nulo
-17
(+)
17
-23
x = (10x4)/8 = 20
12
12
23 kN
(+)
(+)
4m
1m
1m
x
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Consideraes Sobre os Sinais dos Diagramas:
As fibras inferiores sero tracejadas, definindo portanto a parte esquerda e direita da
seo. Exemplos:
S1
S3
S2
S3
N
V
S1
MV
MN
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Exemplos:
01.
P
P
(+)
P
-P
(-) nulo
-Pa
Pa(-)
(+)
(+)
Pa
P
S1
S2
S3
Pa
Pa
nulo
nulo
P
DEN (kN)(+)
DMF (kN.m)
DEC (kN)
a a
a
Barra vertical
Fy= 0N = P
Fx= 0V = 0
Mz= 0M = -P.a + P.2a = P.a (constante)
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02.
P/2 P/2
P
DMF (kN.m)
DEC (kN)
DEN (kN)
nulo
nulo
-P
(-)
(-)-P
(+)P/2
P
(+)
P(L/2 + a)
(+)
(+)(+)
P(L/2+a)
P(L/2+a)PL/2
nulo
L/2
a L a
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2.3.2. Prticos Simples
80 kN.m
60 kN
40 kN
40 kN
10 kN
50 kN
40
DEN (kN)
(+)
DMF (kN.m)
DEC (kN)
-50
-10
(-)
(-)
nulo(-)
(+)
(+)
-50
10
40
200(+)
nulo
280
240
240 (+)
6m
4m 4m
3m
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Pelo Mtodo Direto:
Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo:
Reaes:
Fx= 0 RAx= 1 tf
Fy= 0 RAy= 3 + 1.4 + 1
RAy= 8 tfMA= 0 3.2 1.4.2 1.1 + 1.2 + MA= 0
MA= 1 tf.m
Seo S1: trecho DC
N = 0;
V = -3 tf
MC= -6 tf.m
Seo S2: trecho CE
N = 0;
V = 1.x
Para x = 0; V = 0;
x = 4; V = 4 tf;
M = -1.x2/2
Para x = 0; M = 0;x = 4; M = -8 tf.m;
Seo S3: trecho FB
N = -1 tf
V = 1 tf
M = -1.x
Para x = 0; M = 0;
x = 1; M = -1 tf.m;
Seo S4: trecho BC
N = -7 tf
V = 0
M = -2 tf.m
3 tf1 tf/m
1 tf
1 tf1 tf.m
B
A
D EC
F
8 tf
1 tf
2m
2m
2m 1m 3m
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Seo S5: trecho AB
N = -8 tf
V = -1 tf
M = -1 1 . x
Para x = 0; M = -1 tf.m;
x = 2; M = -3 tf.m
Diagramas:
DEN (kN)
(-)
DMF (kN.m)
DEC (kN)
(-)
(+)
-8
-7
nulo
-1
-3
+4
+1
-1
nulo(-)
(-)
-2
(-)
-1
(-)-3
-8-6
-1(-)
(-)
(-)
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Reaes:
Fy= 0 1 + 6 4.5 + VA+ VB= 0VA+ VB= 13
MA= 0 1.2,5 4.5.2,5 + 6.5 + HB.10 = 0
HB= 1,75 tf
Fx= 0 HB= - HAHA= - 1,75 tf
MEDir= 0 HB.4 - VB.5 = 0
(embaixo) VB= 1,4 tfVA= 11,6 tf
Seo S1: [0 x 2,5]
N = + 1,75 tf;
V = 11,6 - 4.x
Para x = 0; V = 11,6;
x = 2,5; V = 1,6 tf;
M = 11,6.x - 2.x2
Para x = 0; M = 0;
x = 2,5; M = 16,5 tf.m;
1 tf
VA
HA
4 tf/m
6 tfN
HB
VB
A
B
CD
E
V
S1 S2
S3
S4
x
6m
4m
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Seo S2: [2,5 x 5,0]
N = + 1,75 tf;
V = 12,6 - 4.x
Para x = 2,5; V = 2,6 tf;
x = 5; V = -7,4 tf;
M = 11,6.x +1.(x2,5) 2 x2= 12,6.x - 2.x2 2,5
Para x = 2,5; M = 16,5 tf.m;
x = 5; M = 10,5 tf.m;
Seo S4: [0 x 5,0]
tg= 4/5 sen= 4/41
N + 1,75.cos+ 1,4 sen= 0N = - 2,24 tf;
V + 1,75.sen- 1,4.cos= 0V = 0;
M = 1,4.x 1,75.yM = 0;
Seo S3: [0 x 6,0]
N = - 7,4 tf;
V = -1,75 tf;
M = 1,75.(x+4) 1,4.5 = 1,75.x
Para x = 0; M = 0;
x = 6; M = 10,5 tf.m;
Nulo
DMF (tf.m)
DEN (tf)
DEC (tf)
16,517,3
10,5
(+) (+)
(+)
-7,4
Nulo
(-)
2,6
1,6
11,6
-1,75
(-)
1,75
-7,4
-2,24
(-)
(+)
(-)
10,5
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Reaes:
Fx= 0 HA+ HB+ 12 3,33 = 0
HA+ HB= - 8,67 tf
Fy= 0 -10 + 4,99 + VA+ VB= 0
VA+ VB= 5,01 tf
MB= 0 6.1 + 10.4 12.3 9.VA = 0
VA= 1,11 tfVB= 3,9 tf;
MEEsq= 0 - HA.6 + VA.2,5 12.3 = 0
HA= -5,54 tfHB= -3,13 tf
Determinar os diagramas de esforos solicitantes:
-1,11
DEN (tf)
DMF (tf.m)
DEC (tf)(-)
(-)
(-)
(-)
-6,5
-10,98
-4,98
Nulo
0,44
(-)-6,0
1,11
-6,46
5,54
(+)
(+)
(-)
(+)
-2,8
(+)
-2,8
2,82,8
4,41
6,0
-1,6
7,66
(-)
(+)
2,77
Diagramas:
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Para a barra inclinada:
N = - 5,1.sen 60 = - 4,42 kN
V = - 5,1 cos 60 = - 2,55 kN
Momento no apoio engastado:
M = 15,8 kN.m;
Momento na conexo engastada entre barras:
M = -15,8 + 5,1. 2 = -5,6 kN.m;
60
1,9kN 1,9
1,9kN2 kN/m
1 kN/m
2 kN/m
1 kN/m
5,1kN
15,8kN.m
3,46m
3,8m 1,6m 2m
60
Nulo
DEN (kN)
(-)
-4,42
DMF
(kN.m)
DEC (kN)
-2,55
-5,1
-1,9
(+)
(-)
(-)
-5,6
-5,6
-15,8
1,8(-)
(-)(+)
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2.3.3. Prtico com Articulao e Tirante
Anlise da estaticidade:
ge = 2 + 1 3 = 0
gi = 3.1 1 1 - 1 = 0
gh = gi + ge = 0
Substitui-se a barra CD pelo par de
esforos N:
Reaes e N:
Fx= 0 HA= 0;
Fy= 0 VA+ VB= 8 tf
Mz= 0 (A) VB.4 8.2 = 0
VB= 4 tf.mVA= 4 tf.m
Momento Fletor em F, pela direita:
MFD= 0 4 2.N = 0
+ N = 2 tf.
4m
HA
VBVA
4 tf.m
2 tf/m
Tirante ou fio (se for
comprimidoescora)
FE
DC
BA
2m
2m
HA
VB
NN
VA
4 tf.m
8 tf
N
4 tf.mF
2m
2m
4 tf
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Diagramas:
Nulo
(-)
-4
4
Nulo
-4
Nulo
Nulo
Nulo
(-)
(-)
(-) -4
-4
DMF (kN.m)
-4
2Nulo
(-)
(+)
(-)
-2
(+)
-4-4
DEC (kN)
-2
2
(-)
(+)
(-) (-)DEN (kN)
x = (2 x 4) / 8 = 4
x
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2.
3.
4.
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5.
A D G
30 kN
B
10 kN/m
C
E
20 kN
F
5m8m 3m
2m
2m
4m
Decompondo:
Fx= 0 HC= 30 kN;
Fy= 0 VA+ VC= 80 kN;
MA= 0 8.VC+ 4.HC80.4 30.2 = 0
VC= 32,5 kNVA= 47,5 kN
Fx= 0 HD + HG+30 = 0
Fy= 0 VD+ VG= 20 + 32,5 + 80
VD+ VG= 132,5 kN
MD= 0 8.VG 20.5 80.4 30.4 = 0
VG= 67,5 kNVD= 65 kN
MCD= 0 4.HD= 0
HD= 0 HG= - 30 kN
A
VA
B
30 kN
10 kN/m
C
Vc
Hc
D
VD
GHD
C30 kN
32,5 kN
E
20 kN
VG
HG
F
10 kN/m
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Diagramas:
(+)60
(+)60
(+) (-)
80
120
(+)
(-) (-)(-)
120
nulo
60
47,5
(+)
(+)
30nulo
120
(+)
(+)
60
30
80
180(+)
DMF (kN.m)
180
-30(-)
(+)
(-)
-32,5
(-)
(+)
(+)
(-)-20
32,5
-65
-47,5
DEC (kN)
-67,5
(-)
-30
-47,5
-30
(-)
(-)
nulo
-32,5
(-)
-47,5
DEN (kN)
-
67,2
52,8
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2.4. Cabos
Cabos so estruturas lineares, extremamente flexveis, capazes de resistir aesforos de trao. Os esforos cortantes, de compresso, de flexo e de toro no so
resistidos por um cabo ideal.
Os cabos so utilizados em vrios tipos de estruturas. Nas pontes pnseis e
telefricos so principais elementos portantes, nas linhas de transmisso conduzem a
energia eltrica, vencendo vos entre as torres e so empregados como elemento portante
de coberturas de grandes vos (Sssekind, 1987).
No estudo esttico, assume-se a hiptese que os cabos so perfeitamente flexveis,
isto , possuem momento fletor e esforo cortante nulos ao longo do comprimento. Dessa
forma, os cabos ficam submetidos apenas a esforos normais de trao.
As formas assumidas pelo cabo dependem do carregamento que nele atua. Se o
carregamento externo for muito maior do que o peso prprio do cabo, este ltimo
desprezado no clculo. A geometria da configurao deformada do cabo, para um dado
carregamento, denominadaforma funicular(do latim,funis= corda) do cabo.
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Exemplo de formas funiculares:
Catenria
Parbola
Polgono
Trapezide
Tringulo
Carga UniformementeDistribuda ao longo do vo
Carga Uniformemente Distribuda ao longo docomprimento do cabo (peso prprio)
Forma FunicularCarregamento
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2.4.1. Reaes de Apoio para Cabos:
Seja um cabo que suporta duas cargas concentradas de valor P, dispostas nos
teros do vo:
PP
f
L/3 L/3 L/3
H = Ax
Ay By
H = Bx x
y
A
C D
B
Os sistemas do tipo cabo desenvolvem em suas extremidades empuxos
horizontais, exigindo que os vnculos em A e B sejam do 2ognero.
Por ser um sistema estrutural plano, as equaes de equilbrio a serem satisfeitas
sero:
Fx = 0;
Fy = 0;
Mz = 0.
Lembrando que para qualquer ponto ao longo do cabo o momento fletor nulo
devido sua flexibilidade.
Aplicando as equaes de equilbrio ao cabo ACDB :
Fx = 0Ax Bx = 0, logo Ax = Bx = H (empuxo horizontal);
MA= 0PL / 3 + P (2L / 3) By.L = 0, portanto By = P;
Fy = 0Ay + By = 2P, ento Ay = 2P By = P.
Para o clculo do empuxo horizontal H necessria uma Quarta equao de
equilbrio que sai da hiptese de momento fletro nulo (M = 0) para qualquer ponto ao
longo do cabo. Escolhendo-se o ponto C:
Mc = 0.
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Faz-se uma seo no cabo que coincida com o ponto C escolhido e trabalha-se
com a parte a esquerda ou a direita do ponto C, substituindo pelo seu efeito na seo.
AH
L/3
Ay = P
C
P
NCDf
Mc = 0- H.f + (P.L) / 3 = 0, portanto H = (P . L) / 3f.
Observe-se que quanto menor a flecha f, maior o empuxo H. E assim encontram-
se as reaes de apoio do cabo.
interessante a seguinte comparao:
D
L/3
A
L/3
H
PC
P
B H = PL / 3f
L/3
P
f
P
P
Ay* = P
A
P
By* = P
B
L/3 L/3 L/3
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a)
L/2 L/2
P
f
P/2P/2
PL / 4f H = PL / 4f
P
L/2 L/2P/2 P/2
(+)
PL/4
DMF
C
Mc = 0- H.f + (P/2).(L/2) = 0,
portanto H = (P . L) / 4f = M*max/f
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2.4.2. Esforos Normais de Trao Atuantes em Cabos
Uma vez conhecidas as reaes de apoio, possvel determinar os esforos
normais atuantes no cabo.
Usando mais uma vez o exemplo do cabo submetido a duas cargas concentradas
eqidistantes, de valor P cada uma:
BA xPL/3fPL/3f
y
PDC
P
P
P
E
L/3L/3 L/3
f
Esforo normal no trecho AC:
Substitui-se a parte do cabo
retirada, pelo seu efeito, a Fora Normal
NAC. Aplicam-se as equaes de
equilbrio:
Fx = 0NACx= P L / 3 f;
Fy = 0NACy= P, logo
NAC2= (NACx) 2 + (NACy) 2 ;
NAC= [ (P L / 3 f) 2+ P 2]
PL/3f A
E
P
NAC
y
y
x
NACy
NACx
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Esforo normal no trecho CD:
f
P
P
F
C
APL/3f
NCD
Fx = 0NCD= H = P L / 3 f;Fy = 0P P = 0, equilbrio satisfeito
Esforo normal no trecho DB:
NDB = NAC= [ (P L / 3 f) 2+ P 2]
Observa-se, da comparao entre NAC e NCD, que o esforo normal mximo de
trao no cabo AB ocorre nos trechos AC e DB, trechos adjacentes aos apoios dasextremidades. Esta uma das caractersticas dos cabos, os esforos normais mximos
ocorrem nas sees dos cabos prximas aos vnculos externos, pois onde a componente
vertical do esforo normal, NY, de maior valor.
Calculando agora os esforos normais para um cabo com carga uniformemente
distribuda ao longo do vo:
y
q
L
qL/2
H
x
qL/2
f
H = qL / 8f
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Cortando o cabo em uma seo genrica de coordenadas (x,y):
Nsy
y
q
S
H
qL/2
x
Ns
Nsx
Aplicando-se as equaes de equilbrio:
Fx = 0NSx= H ;
Fy = 0 NSy q L / 2 + q x = 0
NSy= q L / 2 - q x, sendo
para x = 0, NSy= q L / 2 ;
para x = L/2, NSy= 0.
Para o ponto x = L / 2, onde ocorre a flecha f, distncia mxima da linha AB, no
h componente vertical do esforo normal de trao.
Logo, o esforo normal varia ao longo do comprimento do cabo:
Para x = 0 NS= [ (NSx)2+ (NSy)2]
NS= [ (H)2+ (q L /2)2] Valor Mximo
Para x = L / 2 NS= [ (NSx)2+ (NSy)2]
NS= [ (H)2+ (0)2]
NS= H Valor Mnimo
Comparando o valor de NSycom os esforos da viga de substituio submetida a
idntico carregamento, constata-se que a variao de NSy
para x=0 q L / 2 e para x=L/2 nulo, coincidindo com a variao do esforo cortante na viga:
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Portanto, pode-se concluir que o esforo normal de trao para um cabo
estimado pel
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