dissertaÇÃo_brunno_revisado
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA
ELTRICA
Brunno Henrique Brito
ANLISE COMPARATIVA DE DIFERENTES
METODOLOGIAS PARA A SOLUO DO PROBLEMA DE
COMISSIONAMENTO DE UNIDADES DE USINAS
HIDRELTRICAS ACOPLADAS EM CASCATA
Dissertao submetida ao Programa de
Ps-graduao em Engenharia Eltrica
da Universidade Federal de Santa
Catarina para a obteno do Grau de
Mestre em Sistemas de Energia
Orientador: Prof. Dr. Erlon Cristian
Finardi.
Florianpolis
2015
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Catalogao na fonte elaborada pela biblioteca da
Universidade Federal de Santa Catarina
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AGRADECIMENTOS
A execuo dessa dissertao no seria possvel sem o apoio direto ou
indireto de diversas pessoas. Por isso, no tem como no ser grato:
Inicialmente e principalmente Deus, por ter me concebido sade,
fora, sabedoria e pessoas que me apoiaram, ajudaram e incentivaram
nos momentos mais desafiantes.
A minha esposa, Valdisclia Teixeira Barros de Brito, pela companhia e apoio incondicional durante o perodo de execuo do Mestrado.
A minha filha, Brunna Raphaela Teixeira Brito, por me dar motivos e foras para no desistir jamais dos meus objetivos.
Ao meu orientador, Prof. Erlon Cristian Finardi, que de forma
descontrada e, ao mesmo tempo, responsvel, no mediu esforos para
me incentivar a desenvolver um trabalho relevante sociedade.
Ao meu coorientador, Prof. Fabrcio Yutaka Kuwabata Takigawa, por sua dedicao e pelas importantes contribuies e sugestes realizadas
neste trabalho.
Aos professores do Labplan e do Labspot pela mediao nas disciplinas
cursadas no primeiro ano.
Aos companheiros de sala no Labplan, Rodolfo Calderon, Carlos
Ernani, Felipe Beltran, Guilherme Fredo, Pablo Galvis e Deysy
Murillo, pelo convvio, pela pacincia, pelos auxlios e momentos de
descontrao. Em especial, aos colegas Rodolfo Calderon e Carlos
Ernani, pela parceria desde o primeiro ano de disciplinas.
Aos demais colegas do Labplan pelos auxlios e momentos de
descontrao. Em especial aos colegas Marco Delgado, Paulo Larroyd,
Murilo Scuzziato, Carlos Arturo, Marcelo Cordova, Andres Martinez,
Rodolfo Bialecki, Pedro Vieira, Valmor Zimmer, Marcelo Benetti, Daniel Tenfen e Fbio Mantelli.
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Aos meus pais, Joo Gomes Brito e Mrcia Regina Girotto Brito, e
irmos, Denis de Brito e Raphael de Brito, pelo incentivo, apoio e
carinho.
famlia da minha esposa. Em especial minha sogra, Maria Teixeira
Barros, pelo carinho e apoio incondicional nessa etapa da minha vida.
Aos professores da Coordenao de Indstria e direo do Instituto
Federal de Educao, Cincia e Tecnologia do Tocantins (IFTO)
Campus Palmas pela aprovao do meu afastamento para capacitao.
Por fim, agradeo ao Governo Federal e Coordenao de
Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (Capes) pelo suporte
financeiro para a realizao deste trabalho.
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RESUMO
No Brasil, o Operador Nacional do Sistema Eltrico (ONS) fornece uma
meta de gerao de potncia ativa para cada usina hidreltrica e hora do
dia seguinte. Neste cenrio, os agentes de gerao devem resolver o
problema do Comissionamento das Unidades Hidreltricas (CUH), que
define quais unidades geradoras estaro em operao, bem como os seus
respectivos nveis de gerao, levando-se em conta as restries
relacionadas com a operao das unidades e dos reservatrios. Devido
s caractersticas inerentes gerao hidreltrica, ao nmero de
unidades geradoras envolvidas, s variveis binrias necessrias para
representar as unidades que estaro em operao em cada hora do dia
seguinte e ao acoplamento temporal e espacial de usinas em cascata, o
problema do CUH representado matematicamente como um problema
de Programao No Linear Inteira Mista (PNLIM) de grande porte. No
geral, problemas dessa natureza so resolvidos por tcnicas de
programao matemtica e heursticas. Como as abordagens baseadas
em heursticas so mais adequadas para problemas com estrutura
combinatria relativamente simples, as tcnicas de programao
matemtica tendem a ser mais adequadas para resolver este tipo de
problema. Neste sentido, este trabalho apresenta uma anlise
comparativa de trs diferentes estratgias de soluo baseadas em
tcnicas de programao matemtica para o problema do CUH. A
primeira utiliza tcnicas de Relaxao Lagrangiana (RL) e Recuperao
Primal (RP) a partir de decomposies que exploram a estrutura do
problema. A segunda utiliza um pacote computacional especializado em
PNLIM capaz de resolver problemas de mdio porte. Por fim, a terceira
estratgia busca linearizar o problema proposto e resolv-lo como um
problema de Programao Linear Inteira Mista (PLIM). As simulaes e
anlises associadas com este trabalho so obtidas em um sistema real de
oito usinas acopladas em cascata, com um total de 29 unidades
geradoras.
Palavras-chave: Comissionamento de Unidades Hidreltricas,
Relaxao Lagrangiana, Recuperao Primal, Programao No Linear
Inteira Mista, Programao Linear Inteira Mista.
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ABSTRACT
In Brazil, the Independent System Operator (ISO) provides a day-ahead
generation target for each hydroelectric plant. In this scenario,
generation agents should solve the Hydro Unit Commitment (HUC)
problem, where they must define which generating units will be in
operation and their respective generation levels, given the constraints
associated with the operation of the units and reservoirs. Due to the
inherent characteristics of hydroelectric generation, number of units
involved, binary variables needed to represent the units that will be in
operation in each hour of the day and the temporal and spatial coupling
plants constraints, the HUC problem is mathematically represented as a
large-scale Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP) problem.
In terms of solution strategies, computational methods can be divided
into two groups: mathematical programming techniques and heuristics.
In general, the heuristic-based approaches are not particularly
competitive for HUC problem, since as they usually deal with simplified
models. The apparent reason is that heuristics are best appropriate at
problems that exhibit a predominant and relatively simple combinatorial
structure to which the various elements of the heuristic can be
specifically personalized. The HUC problem possesses several
combinatorial structures, especially when complex constraints have to
be dealt with; therefore, on the outset is best approached with
mathematical programming techniques. In this scenario, this master
dissertation aims to access the solution quality when HUC problem is
solved by means of the following mathematical programming
techniques: (i) Lagrangian relaxation, which is a dual decomposition
technique that exploits the structure of the problem; (ii) MINLP solver that can handle the size and the nonconcavity of the problem; and, (iii)
Mixed-integer linear programming (MILP) problem that uses a
piecewise function of the hydropower model. To perform the
comparative analysis, we present the numerical results related to a real-
life system with 8-cascaded reservoirs and 29 generating units.
Keywords: Hydro Unit Commitment, Lagrangian Relaxation, Mixed
Integer Nonlinear Programming, Mixed Integer Linear Programming.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1: Etapas do POE no Brasil. ................................................................16
Figura 2.1: Componentes bsicos de uma hidreltrica. Fonte: Scuzziato (2011).
...........................................................................................................................27
Figura 2.2: Diagrama esquemtico de uma unidade. .........................................28
Figura 2.3: Curva colina de uma turbina hidrulica. Fonte: Finardi (2003). ......33
Figura 3.1: Nveis hierrquicos da RL. ..............................................................42
Figura 3.2: Algoritmo AOA. ..............................................................................52
Figura 3.3: fcm linear e no linear na usina de Santa Clara. ..............................54
Figura 3.4: fcm linear melhorada e no linear na usina de Santa Clara. .............55
Figura 3.5: Funo de Produo da usina de Santa Clara. .................................57
Figura 3.6: Linearizao da funo de produo. ..............................................58
Figura 4.1: Diagrama esquemtico do sistema hidreltrico. ..............................64
Figura 4.2: Metas de demanda por usina Caso Base. ......................................69
Figura 4.3: Metas de demanda para a Cascata Caso Base...............................69
Figura 4.4: Evoluo da funo dual e norma do subgradiente na RL Caso
Base. ..................................................................................................................70
Figura 4.5: Evoluo da soluo na RP Caso Base. ........................................71
Figura 4.6: Metas de demanda para a cascata Casos Variados. ..................... 83
Figura A.1: Altura de queda lquida da usina H8. ............................................103
Figura A.2: Funo de Produo no linear nas alturas de queda definidas para
H8. ....................................................................................................................104
Figura A.3: Pontos criados em H8. ...................................................................105
Figura A.4: Espao bidimensional da funo de produo em H8. ..................106
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LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1: Limites operativos dos reservatrios. ..............................................64
Tabela 4.2: Coeficientes da funo de cota montante. .......................................65
Tabela 4.3: Coeficientes da funo de cota jusante. ..........................................65
Tabela 4.4: Constantes de Perdas Hidrulicas. ..................................................65
Tabela 4.5: Coeficientes das funes de rendimento hidrulico. .......................66
Tabela 4.6: Coeficientes das funes de vazo turbinada mxima. ...................66
Tabela 4.7: Coeficientes das funes de vazo turbinada mnima. ....................67
Tabela 4.8: Coeficientes das perdas no conjunto turbina-gerador. ....................67
Tabela 4.9: Afluncias, tup
e volumes iniciais Caso Base. ..............................68
Tabela 4.10: Geraes obtidas na usina H6 via RL/RP Caso Base..................71
Tabela 4.11: Volumes iniciais e finais via RL/RP Caso Base. ........................73
Tabela 4.12: Geraes obtidas na usina H6 via AOA Caso Base. ...................74
Tabela 4.13: Volumes iniciais e finais via AOA Caso Base. ..........................75
Tabela 4.14: Alturas de queda lquida iniciais em m via PLIM Caso Base. ...76
Tabela 4.15: Vazes turbinadas iniciais em m/s via PLIM Caso Base. .........76
Tabela 4.16: Potncias iniciais em MW via PLIM Caso Base. .......................77
Tabela 4.17: Valores iniciais para o clculo da queda lquida via PLIM Caso
Base. ..................................................................................................................77
Tabela 4.18: Geraes obtidas na usina H6 via PLIM Caso Base. ..................78
Tabela 4.19: Volumes iniciais e finais via PLIM Caso Base. .........................79
Tabela 4.20: Resumo dos resultados Caso Base. ............................................79
Tabela 4.21: Vazes Defluentes em m/s Caso Base. .....................................80
Tabela 4.22: Volumes finais em hm Caso Base. ...........................................80
Tabela 4.23: Alocao de unidades e vazes na usina H6 Caso Base. ............81
Tabela 4.24: Volumes iniciais com 30%. ..........................................................83
Tabela 4.25: Valores da funo objetivo Casos variados. ...............................84
Tabela 4.26: Resumo dos volumes finais Casos variados. ..............................84
Tabela 4.27: Resumo dos tempos de simulao Casos Variados. ...................85
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Tabela 4.28: Comparao RL/RP x AOA no Cenrio 2. ................................... 85
Tabela 4.29: Resultados e comparaes Meta por usina x Meta por cascata. . 88
Tabela 4.30: Resultados e comparaes Meta por usina x Meta por empresa.
........................................................................................................................... 88
Tabela 4.31: Vazo defluente economizada - Meta por empresa. ..................... 89
Tabela A.1: Erros mdios entre as funes de produo linear e no linear. ... 107
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ANEEL - Agncia Nacional de Energia Eltrica
AOA - AIMMS Outer Approximation
CEPEL - Centro de Pesquisas de Energia Eltrica
EMQ - Erro Mdio Quadrtico
EPE - Empresa de Pesquisa Energtica
LAI - Lagrangiano Aumentado Inexato
ONS - Operador Nacional do Sistema Eltrico
PD - Programao Dinmica
PDO - Programao Diria da Operao Eletroenergtica
PL - Programao Linear
PLIM - Programao Linear Inteira Mista
PNL - Programao No Linear
PNLIM - Programao No Linear Inteira Mista
POE - Planejamento da Operao Energtica
PQ - Programao Quadrtica
PQS - Programao Quadrtica Sequencial
RL - Relaxao Lagrangiana
RP - Recuperao Primal
SIN - Sistema Interligado Nacional
UHE - Usina Hidreltrica
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SUMRIO
1 INTRODUO ........................................................................ 15
1.1 REVISO BIBLIOGRFICA ........................................................... 18
1.2 CONTRIBUIES ............................................................................ 24
1.3 OBJETIVOS E ESTRUTURA DO TRABALHO .............................. 24
2 MODELAGEM E FORMULAO DO PROBLEMA ........ 27
2.1 INTRODUO .................................................................................. 27
2.2 MODELAGEM DO SISTEMA HIDRELTRICO ............................ 27
2.2.1 Altura de Queda Lquida ............................................................... 29
2.2.2 Rendimento Hidrulico da Turbina ............................................. 32
2.2.3 Perdas Mecnicas na Turbina e Globais do Gerador ................. 33
2.2.4 Funo de Produo das Unidades Hidreltricas ........................ 34
2.2.5 Restries Operativas Adicionais .................................................. 35
2.3 FORMULAO DO PROBLEMA ................................................... 38
2.4 CONCLUSES .................................................................................. 40
3 ESTRATGIAS DE SOLUO ............................................ 41
3.1 INTRODUO .................................................................................. 41
3.2 RELAXAO LAGRANGIANA E RECUPERAO PRIMAL .... 41
3.2.1 Relaxao Lagrangiana ................................................................. 42
3.2.2 Recuperao Primal ....................................................................... 47
3.3 PROGRAMAO NO LINEAR INTEIRA MISTA ...................... 50
3.4 PROGRAMAO LINEAR INTEIRA MISTA ............................... 52
3.4.1 Linearizao da Altura de Queda Lquida .................................. 53
3.4.2 Linearizao da Funo de Produo........................................... 56
3.4.3 Problema Linearizado ................................................................... 60
3.5 CONCLUSES .................................................................................. 62
4 IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL E
RESULTADOS .................................................................................... 63
-
4.1 INTRODUO ................................................................................. 63
4.2 DESCRIO DOS DADOS INICIAIS ............................................. 63
4.3 RESULTADOS .................................................................................. 67
4.3.1 Caso Base ........................................................................................ 68
4.3.1.1 Relaxao Lagrangiana e Recuperao Primal ..................... 70
4.3.1.2 Programao No Linear Inteira Mista ................................. 73
4.3.1.3 Programao Linear Inteira Mista ......................................... 75
4.3.1.4 Anlise Comparativa............................................................. 79
4.3.2 Casos Variados ............................................................................... 82
4.3.3 Considerao de Metas de Demanda para Grupos de Usinas .... 87
4.3.3.1 Demanda por Cascata ........................................................... 87
4.3.3.2 Demanda por Empresa .......................................................... 88
4.4 CONCLUSES .................................................................................. 89
5 CONCLUSES E RECOMENDAES PARA
TRABALHOS FUTUROS ................................................................. 91
REFERNCIAS .................................................................................. 95
APNDICE Anlise da Funo de Produo do Problema de
PLIM .................................................................................................. 103
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Captulo 1 | Introduo
15
1 INTRODUO
Segundo o Operador Nacional do Sistema Eltrico (ONS), o
sistema de transmisso e produo de energia eltrica no Brasil, definido
como Sistema Interligado Nacional (SIN), classificado como
hidrotrmico de grande porte, com predominncia de usinas
hidreltricas e com mltiplos proprietrios (ONS, 2014). Atualmente, a
gerao hidreltrica no pas corresponde a cerca de 67% da capacidade
total instalada (ANEEL, 2015).
Por utilizarem a gua que corre nos rios como fonte de energia, as
usinas hidreltricas so economicamente e ambientalmente priorizadas
no despacho hidrotrmico. No entanto, as incertezas meteorolgicas e os
perodos de estiagens caractersticos de algumas regies demandam
estudos que busquem garantir o mximo do despacho hidreltrico ao
longo do tempo. Neste sentido, o problema de Planejamento da
Operao Energtica (POE) pretende estimar as geraes das usinas
hidreltricas e termeltricas de forma a atender demanda de energia
eltrica ao menor custo possvel, considerando um nvel de risco
compatvel com as diretrizes do governo brasileiro.
Dado as complexidades associadas ao POE (FINARDI, 2003), o
ONS divide este problema em trs etapas coordenadas entre si. A
diferena bsica entre as etapas est relacionada ao horizonte de estudo
e ao nvel de detalhamento na modelagem do sistema hidrotrmico, a
saber: quanto menor o horizonte de estudo, maior o nvel de
detalhamento. A Figura 1.1 apresenta de forma resumida tais etapas com
destaque para o horizonte, a discretizao temporal e os principais
modelos de otimizao utilizados na otimizao hidrotrmica no Brasil.
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Introduo | Captulo 1 16
MDIO PRAZOHorizonte: 5 anos
Discretizao: Mensal
Ferramenta: NEWAVE
CURTO PRAZOHorizonte: 2 meses
Discretizao: Semanal
Ferramenta: DECOMP/NEWAVE
PROGRAMAO DIRIA DA
OPERAO ELETROENERGTICA
Horizonte: 1 semana
Discretizao: 30 minutos
Ferramenta: NO EXISTENTE
Figura 1.1: Etapas do POE no Brasil.
No planejamento de mdio prazo, uma poltica de gerao
definida considerando cada subsistema do SIN (Sul, Sudeste/Centro-
Oeste, Norte e Nordeste) para cada ms dos prximos cinco anos. Este
estudo realizado anualmente com revises quadrimestrais e a principal
ferramenta computacional de otimizao o modelo NEWAVE
(CEPEL, 2001). Por isso, esse modelo auxilia a Empresa de Pesquisas
Energticas (EPE) no planejamento da expanso do sistema eltrico
brasileiro. Diversos estudos tm buscado o aprimoramento da
modelagem e da estratgia de soluo utilizadas no modelo NEWAVE
(PEREIRA e PINTO, 1985; KLIGERMAN, 1992; SILVA e FINARDI,
2003; LARROYD, 2012; MATOS, 2012).
Por sua vez, o planejamento de curto prazo define as diretrizes
para o despacho de cada usina de energia eltrica do SIN para a prxima
semana. Para tanto, utilizado um horizonte de dois meses com
discretizao semanal no primeiro ms. A funo de custo futuro
determinada na etapa anterior (i.e., a poltica de gerao) utilizada para
determinar a poltica neste novo horizonte. O estudo desta etapa
realizado mensalmente com revises semanais e as principais
ferramentas computacionais so os modelos NEWAVE e DECOMP
(CEPEL, 2003). Os estudos dessa etapa comearam com Pereira e Pinto
(1983) e tm sido foco de aprimoramentos nos ltimos anos
(GONALVES, 2007; SANTOS et al., 2008; SANTOS et al., 2009;
SANTOS, 2010; GONALVES, 2011).
-
Captulo 1 | Introduo
17
Por fim, com relao a Figura 1.1, a Programao Diria da
Operao Energtica (PDO) finaliza o processo do POE e tem como
objetivo principal otimizar o despacho de todas as unidades do SIN para
um horizonte de uma semana com discretizao de trinta minutos nos
dois primeiros dias e horria nos demais. Devido complexidade das
diversas no linearidades envolvidas no processo de gerao das
unidades geradoras e a incluso de variveis binrias para determinar as
unidades que sero acionadas ao longo do perodo da PDO, ainda no se
tem uma ferramenta computacional consolidada para a POE. Nesse
sentido, diversos estudos tm sugerido estratgias que buscam dar
suporte para o desenvolvimento da PDO nos ltimos anos (BELLONI et al., 2003; FINARDI, 2003; MONTIBELLER, 2003; RODRIGUES et
al., 2006; DINIZ, 2007; TAKIGAWA, 2010; SCUZZIATO, 2011;
ARISTIZBAL, 2012).
Como ainda no existe uma ferramenta computacional
consolidada para estabelecer o comissionamento das unidades geradoras
no sistema eltrico brasileiro, o ONS faz o uso de diretrizes resultantes
dos estudos de curto prazo para conceber os programas dirios de
produo, de intervenes e de defluncias (ONS, 2009). O programa
dirio de produo caracteriza-se pela disponibilidade de uma meta de
gerao, em MW, para cada hora do dia seguinte para todas as usinas do
SIN. Dessa forma, os agentes de gerao tem a tarefa de, a partir dessas
metas de gerao, determinar quais unidades geradoras devero ser
acionadas e seus respectivos nveis de gerao. Contudo, a tarefa de
comissionamento em unidades geradoras de usinas hidreltricas no
trivial, visto que a funo de produo destas unidades determinada
por uma srie de fatores relacionados s caractersticas fsicas e
operativas das mesmas. Por isso, este problema tem como objetivo
determinar quais unidades hidreltricas devem ser acionadas para cada
hora do dia seguinte a partir das metas de gerao fornecidas pelo ONS.
Adicionalmente, busca-se tambm determinar o nvel de gerao de
cada unidade ao longo do prximo dia.
O problema de comissionamento de unidades geradoras de
natureza no linear, devido funo de produo, inteiro misto e de
grande porte, por conta do elevado nmero de unidades envolvidas. Por
isso, tcnicas de programao matemtica e ferramentas computacionais
robustas tm sido utilizadas para se conseguir boas solues viveis para
o problema. Estudos mais recentes mostram que solues desta natureza
podem ser obtidas por meio da Relaxao Lagrangiana (RL) e do
Lagrangiano Aumentado Inexato (LAI) (DINIZ, 2007; TAKIGAWA,
2010; SCUZZIATO, 2011). No entanto, alguns autores linearizam a
-
Introduo | Captulo 1 18
funo de produo e resolvem o problema linear com variveis inteiras
diretamente por pacotes de Programao Linear Inteira Mista (PLIM)
(MARTIN, 2000; MAHALIK et al., 2012; LI et al., 2014). No intuito de auxiliar os agentes de gerao de usinas
hidreltricas e dar suporte ao desenvolvimento da PDO, esta dissertao
visa apresentar uma anlise comparativa de diferentes estratgias de
soluo para o problema de comissionamento de unidades geradoras de
usinas hidreltricas acopladas em cascata. Neste sentido, a reviso
bibliogrfica apresentada na prxima seo explicitar as diferentes
estratgias de solues utilizadas em diferentes modelagens que
otimizam o despacho de usinas hidreltricas em perodos de
planejamento condizentes com a PDO.
1.1 REVISO BIBLIOGRFICA
De forma geral, as diversas modelagens que otimizam usinas
hidreltricas no mbito da PDO so resolvidas por tcnicas de
programao matemtica ou por abordagens baseadas em heursticas. As
abordagens baseadas em heursticas no so particularmente
competitivas para problemas de Comissionamento de Unidades
Hidreltricas (CUH), pois normalmente lidam com modelos
simplificados, ou seja, so melhor adequadas para problemas que
exibem uma estrutura combinatria relativamente simples. Por isso,
neste trabalho o problema resolvido por tcnicas de programao
matemtica.
Dentre as tcnicas de programao matemtica utilizadas para
resolver problemas de CUH, destacam-se as estratgias de
decomposio e aquelas que empregam o uso de pacotes comerciais de
PLIM. Por outro lado, mais recentemente, tem havido um crescente
interesse por pacotes de PNLIM para resolver uma srie de problemas
prticos. Tal interesse pode ser explicado, por exemplo, em funo de
novos paradigmas e melhor compreenso terica que resultaram em
mais rpidos e confiveis pacotes de Programao No Linear (PNL).
Portanto, esta reviso bibliogrfica tem como principais objetivos a
apresentao das modelagens e das tcnicas de programao matemtica
que tm sido utilizadas para resolver problemas que otimizam o
despacho de hidreltricas no mbito da PDO.
Inicialmente esta seo apresentar alguns dos principais
trabalhos que aplicaram tcnicas de decomposio para problemas
inerentes PDO. Essas tcnicas tm sido bastante pesquisadas no Brasil.
No Laboratrio de Planejamento de Energia Eltrica (Labplan), por
-
Captulo 1 | Introduo
19
exemplo, diversas pesquisas tm mostrado evolues significativas tanto
no nvel de detalhamento do sistema, bem como na qualidade das
solues (MONTIBELLER, 2003; FINARDI, 2003; RODRIGUES,
2009; TAKIGAWA, 2010; SCUZZIATO, 2011; ARISTIZBAL,
2012). Alm desses trabalhos, outros que utilizaram tcnicas de
decomposio do problema sero descritos na primeira parte desta
seo.
Montibeller (2003), Finardi (2003), Rodrigues (2009), Takigawa
(2010) e Aristizbal (2012) modelaram um problema de
comissionamento de unidades geradoras para um sistema hidrotrmico.
O parque gerador hidreltrico nestes trabalhos representado em
detalhes. Todos apresentaram uma funo de produo das unidades
hidreltricas no-linear e dependente do volume, da vazo defluente do
reservatrio e da vazo turbinada da unidade. No entanto, a forma com
que cada problema foi modelado, decomposto e solucionado mostra
como estratgias de soluo baseadas na decomposio do problema de
programao podem ser eficientes.
Montibeller (2003) considera as zonas proibidas de operao, os
custos relacionados partida das unidades e os tempos mnimos que as
unidades devem permanecer ligadas/desligadas (minimum up/downtime)
na modelagem das hidreltricas. Por sua vez, restries de minimum up/downtime e de rampa no so consideradas na modelagem das
unidades termeltricas. O problema resolvido utilizando RL para
relaxar as restries de balano de potncia e de reserva girante das
unidades hidreltricas e termeltricas e decompor o problema original
em um subproblema contnuo hidreltrico, um subproblema inteiro
tambm desta natureza e um subproblema termeltrico. O mtodo de
feixes (LEMARCHAL et al., 1996) utilizado para otimizar a funo
dual. Como a soluo da RL invivel ao problema primal, uma
segunda etapa de Recuperao Primal (RP) organiza a soluo de forma
atender todas as restries violadas na etapa anterior.
Finardi (2003) e Rodrigues (2009) modelaram o problema de
forma semelhante a Montibeller (2003). No entanto, eles consideram
restries de minimum up/downtime e de rampa na modelagem das unidades termeltricas. Alm disso, o intercmbio entre os subsistemas
tambm considerado nessa modelagem. Utilizando tcnicas de RL
com duplicao de variveis, o problema original decomposto em
quatro subproblemas: Hidreltrico, Termeltrico, Hidrulico e de
Atendimento Demanda. Tais subproblemas so resolvidos utilizando
tcnicas de Programao Quadrtica Sequencial (PQS), Programao
Dinmica (PD) e Programao Linear (PL). O problema dual resolvido
-
Introduo | Captulo 1 20
utilizando o mtodo de feixes. A diferena entre os trabalhos de Finardi
(2003) e Rodrigues (2009) que Finardi (2003) resolveu apenas os
subproblemas Hidreltrico e Hidrulico. Rodrigues (2009) resolve os
quatro subproblemas, otimiza a funo dual e, como a soluo ainda
invivel ao problema primal, realiza uma etapa de RP, utilizando a
tcnica do LAI, para viabilizar a soluo. Desta forma, Finardi (2003)
obtm um bom comissionamento para as unidades hidreltricas e
Rodrigues (2009) obtm uma soluo vivel para a PDO do sistema
hidrotrmico como um todo.
Belloni et al. (2003) e Diniz (2007) tambm se destacaram por
utilizar tcnicas de RL e LAI para resolver o problema de
comissionamento de unidades em sistemas hidrotrmicos. Ambos
usaram uma representao linear por partes para a funo de produo
das unidades hidreltricas. Utilizando tcnicas de duplicao de
variveis com RL, Belloni et al. (2003) decompe o problema em dois
subproblemas menores (Termeltrico e Hidreltrico), que so resolvidos
utilizando tcnicas de PL e PD. Diniz (2007) tambm duplica variveis
no contexto da RL para decompor o problema em trs subproblemas
menores (Eltrico, Hidreltrico e Trmico) que so resolvidos por PL,
Programao Quadrtica (PQ) e PD. O mtodo de feixes tambm
utilizado para resolver o problema dual neste trabalho.
Takigawa (2010) modela o problema de forma semelhante a
Montibeller (2003), Finardi (2003) e Rodrigues (2009). A principal
diferena est na forma como o sistema de transmisso modelado.
Alm disso, esse trabalho considera restries de minimum up/downtime
tanto para as unidades termeltricas como para as unidades hidreltricas.
O problema original decomposto em cinco subproblemas menores
(Termeltrico, Hidreltrico, Hidrotrmico, Coordenao com
Planejamento de Curto Prazo e Alocao de unidades Hidreltricas), que
so resolvidos utilizando tcnicas de PL, PQ, PD e PQS. Assim como
Rodrigues (2009), Takigawa (2010) faz uso das tcnicas da RL e do LAI
para encontrar uma soluo vivel para o problema da PDO.
Scuzziato (2011) resolve um problema de comissionamento de
unidades geradoras de usinas hidreltricas acopladas em cascata. Neste
trabalho, a funo de produo das unidades hidreltricas ainda mais
detalhada, em relao s representadas nos trabalhos de Montibeller
(2003), Finardi (2003), Rodrigues (2009), Takigawa (2010), com a
adio das perdas mecnicas da turbina e das perdas globais do gerador.
O objetivo dessa modelagem minimizar a vazo turbinada e o nmero
de ligamentos e desligamentos das unidades. Utilizando RL com
duplicao de variveis, o problema decomposto em dois
-
Captulo 1 | Introduo
21
subproblemas menores: um de natureza no-linear inteira-mista e outro
linear. O problema dual resolvido utilizando o mtodo de feixes e o
LAI utilizado para recuperar a soluo primal. Alm do bom
comissionamento das unidades hidreltricas, o autor mostra a
importncia da considerao das perdas mecnicas da turbina e globais
do gerador na modelagem da funo de produo.
Aristizbal (2012) resolve um problema de comissionamento de
unidades em um sistema hidrotrmico utilizando RL e RP. Sua
modelagem semelhante s apresentadas por Montibeller (2003),
Finardi (2003), Rodrigues (2009) e Takigawa (2010). Duplicando
variveis, o problema decomposto pela RL em quatro subproblemas
(Hidrulico, de Atendimento Demanda, de Alocao de Unidades
Termeltricas e de Alocao de Unidades Hidreltricas). O problema
dual resolvido pelo mtodo de feixes. O diferencial desse trabalho
uma anlise comparativa de quatro estratgias para encontrar a soluo
vivel do problema na RP baseadas nas tcnicas do LAI e do Primal
Proximal (PP) (DUBOST et al., 2005). O modelo hbrido LAI-PP
apresentou os melhores resultados.
O trabalho de Wang e Zang (2012) utiliza estratgias de
decomposio Lagrangiana para resolver o problema de
comissionamento de unidades geradoras de usinas hidreltricas em
cascata. Apesar dos autores linearizarem uma funo de produo
quadrtica dependente da altura de queda lquida e da vazo turbinada
da unidade geradora, o problema permanece com no linearidades na
funo objetivo que busca maximizar as receitas proveniente da gerao,
da reserva girante e do volume armazenado. Um mtodo de
subgradiente aprimorado utilizado para atualizar os multiplicadores de
Lagrange e, devido inviabilidade da soluo, uma heurstica
considerada para viabilizar a soluo. O autor define as unidades
idnticas como um nico gerador e reduz consideravelmente a dimenso
do problema e o tempo de soluo.
Na segunda parte desta seo sero destacados alguns trabalhos
que utilizaram pacotes de otimizao de PLIM para resolver problemas
relacionados programao da operao diria.
Teegavarapu e Siminovic (2000) apresentam uma modelagem
para o despacho de usinas hidreltricas em cascata considerando um
forte acoplamento hidrulico. A funo objetivo visa a minimizao do
custo total de produo e a minimizao dos custos associados ao
vertimento das usinas. As restries consideram a seleo da curva de
nvel de jusante resultante do acoplamento hidrulico das usinas, o
balano hidrulico com tempo de viagem da gua e os limites tcnicos
-
Introduo | Captulo 1 22
operacionais. A funo de produo das usinas aproximada por
funes lineares por partes e o problema resultante resolvido por
PLIM. Os resultados mostram as vantagens de se representar o
acoplamento hidrulico na modelagem. Ressalta-se que este trabalho
despacha as usinas da cascata, mas no cada unidade geradora
invidualmente.
Martin (2000) tambm utiliza PLIM para despachar as unidades
em usinas do rio Colorado, no Texas, Estados Unidos da Amrica. O
modelo tem como objetivo a maximizao da gerao de energia
eltrica, desde que satisfaam as diversas restries, as quais levam em
conta o balano hidrulico, as funes de produo e os limites tcnicos
operacionais. As funes de produo so linearizadas por partes e o
horizonte de planejamento de 72 horas. Um sistema de programao
em tempo real desenvolvido para despachar 13 unidades geradoras de
trs usinas.
Mahalik et al. (2012) apresentam um programa (CHEERS) que otimiza o comissionamento de unidades para o dia seguinte e operaes
em tempo real das usinas hidreltricas da cascata do Complexo Oroville-
Thermalito, na Califrnia. O problema formulado buscando atender a
critrios ambientais especficos e considerando os servios ancilares. A
funo objetivo do problema visa maximizar as receitas provenientes de
gerao, servios ancilares e reserva girante, e minimizar custos
relativos a partidas e paradas de unidades geradoras. As restries
contam com o balano hdrico, em que o tempo de viagem de uma usina
para outra obedece uma funo densidade de probabilidade normal,
alm de restries de rampa e limites tcnicos operacionais. O problema
linearizado e solucionado por PLIM.
Li et al. (2014) resolvem o problema de comissionamento de
unidades geradoras da usina hidreltrica de trs gargantas, na China. A
funo objetivo desse problema busca minimizar o custo relacionado s
vazes turbinada e vertida da usina. As restries consideram a
conservao da massa dgua, os limites operativos do sistema, o atendimento demanda horria e reserva girante, minimum
up/downtime e integralidade das variveis binrias. Interpolaes tridimensionais so realizadas para linearizar as funes de produo
das unidades. A altura de queda lquida tambm linearizada e o
problema resolvido com pacotes de PLIM. Desta forma, os autores
obtm boas alocaes das unidades geradoras envolvidas.
Por fim, a terceira parte desta seo destaca alguns trabalhos que
utilizaram pacotes computacionais de PNLIM para resolver problemas
relacionados PDO.
-
Captulo 1 | Introduo
23
Catalo et al. (2009), Catalo et al. (2010a), Catalo et al.
(2010b) utilizam pacotes de PNLIM para resolver problemas de
comissionamento de unidades hidreltricas de uma usina. As no
linearidades da funo de produo dependente da vazo e do volume
do reservatrio so consideradas. Alm disso, as modelagens destes
trabalhos consideram as zonas proibidas de operao, o balano
hidrulico e a uma linearizao para eficincia das unidades. Catalo et
al. (2010a) ainda consideram rampas e limites para partidas e paradas nas unidades. Catalo et al. (2010b) tambm consideram a averso ao
risco na modelagem. Em Catalo et al. (2009) e Catalo et al. (2010a) os
resultados so comparados com modelagens linearizadas e resolvidas
por pacotes de PLIM. Os autores perceberam que, mesmo com um
tempo computacional maior, os resultados obtidos utilizando pacotes de
PNLIM so mais realistas sob ponto operacional.
Em Catalo et al. (2010c) apresentado um modelo de PNLIM
para despachar usinas hidreltricas em cascata; porm, tambm no se
otimiza o despacho das unidades geradoras invidualmente. A funo
objetivo deste modelo busca maximizar o lucro obtido pela usina,
minimizar os custos associados partida das usinas e maximizar o valor
futuro da gua armazenada nos reservatrios. As restries levam em
conta a equao de balano hidrulico, a queda lquida varivel, a
funo de produo, os limites tcnicos operacionais e a relao entre as
variveis binrias do problema. Apesar das funes de produo e queda
lquida serem linearizadas, o problema solucionado por um pacote de
PNLIM pelo fato da funo objetivo no ser linear.
Cordova et al. (2013) desenvolvem um sistema de otimizao da
gerao a partir de dois problemas de PNLIM para a usina hidreltrica
de It, localizada no sul do Brasil. O primeiro faz o despacho das
unidades de forma a minimizar o consumo de gua considerando uma
funo de produo no linear semelhante a de Scuzziato (2011). O
segundo determina faixas operativas de gerao de cada unidade
considerando um determinado nvel de otimizao. Neste trabalho, a
acelerao da gravidade e a densidade da gua no so constantes. Alm
disso, so consideradas perdas por detritos nas grades das unidades
geradoras. Os dois problemas so resolvidos por pacotes de PNLIM. O
comissionamento resultante eficiente e as geraes em unidades
idnticas despachadas no so iguais devido s diferenas nas constantes
que ponderam as perdas nas grades.
Com base na descrio anterior, o presente trabalho prope
resolver o problema do CUH em cascata a partir de uma modelagem
semelhante abordada em Scuzziato (2011), tendo em vista o nvel de
-
Introduo | Captulo 1 24
detalhamento da funo de produo das unidades hidreltricas. No
entanto, algumas modificaes sero implementadas modelagem do
problema. Trs diferentes estratgias de soluo, baseadas em RL/RP e
pacotes computacionais de PLIM e PNLIM, so implementadas e
analisadas comparativamente.
1.2 CONTRIBUIES
Este trabalho inicialmente prope uma modificao modelagem
do trabalho do Scuzziato (2011) a partir da retirada do termo que
minimizava as partidas e paradas das unidades e insero de restries
que garantem as unidades geradoras ligadas por um tempo mnimo
depois de acionadas (restries de minimum uptime). Isso minimiza o
problema de definio emprica dos custos relativos s partidas e
paradas das unidades. Adicionalmente, acrescenta-se funo objetivo
do problema o somatrio dos vertimentos das usinas ao longo do
perodo de planejamento para garantir que a defluncia total seja
minimizada.
Alm de propor uma modificao na modelagem, este trabalho
resolve o problema de comissionamento de unidades geradoras de
usinas hidreltricas em cascata por trs estratgias diferentes afim de
verificar a qualidade de soluo de cada uma. A primeira ser baseada
nas estratgias de RL e RP de forma semelhante ao trabalho de
Scuzziato (2011). A segunda estratgia baseada na simulao do
problema em um solver de PNLIM que utiliza um algoritmo de
aproximao exterior (DURAN e GROSSMANN, 1986). Esta
ferramenta computacional chamada de AIMMS outer approximation
(AOA) e est disponvel no programa computacional AIMMS 3.14
(AIMMS, 2014). Por sua vez, a terceira estratgia de soluo proposta
neste trabalho baseia-se na linearizao das funes de produo a partir
das interpolaes tridimensionais realizadas em Li et al. (2014). No
entanto, as interpolaes foram adaptadas para otimizar as unidades de
usinas hidreltricas acopladas em cascata. O problema de PLIM
resultante solucionado pelo CPLEX 12.6 (CPLEX, 2014), disponvel
tambm no programa computacional AIMMS.
1.3 OBJETIVOS E ESTRUTURA DO TRABALHO
O objetivo geral deste trabalho consiste em apresentar anlise
comparativa de diferentes estratgias de soluo ao problema de
comissionamento de unidades geradoras de usinas acopladas em cascata.
-
Captulo 1 | Introduo
25
Nesse sentido, os objetivos especficos a serem cumpridos so:
1. Apresentar uma modelagem detalhada ao problema, incluindo restries de uptime, que visam minimizar as intervenes de manutenes no planejadas, e
adicionando a minimizao das vazes vertidas na
funo objetivo em relao Scuzziato (2011);
2. Mostrar uma modelagem linear para o problema de comissionamento de unidades geradoras de usinas
acopladas em cascata, considerando a modelagem no
linear completa apresentada em Scuzziato (2011);
3. Realizar uma anlise comparativa de diferentes estratgias de soluo a fim de se verificar a qualidade,
as vantagens e as desvantagens inerentes cada uma;
4. Buscar formas de simplificar o problema para melhorar a qualidade e/ou o tempo de simulao das estratgias;
5. Analisar o efeito das solues quando as metas de demanda so otimizadas para um grupo de usinas de um
mesmo agente, em vez de uma meta de demanda por
usina independente de quem o agente proprietrio.
Este trabalho est organizado conforme descrito na sequncia. No
Captulo 2 apresentada a modelagem detalhada do problema de
comissionamento de unidades geradoras em usinas hidreltricas
acopladas em cascata. Por sua vez, no Captulo 3, as diferentes
estratgias de soluo so detalhadas. J no Captulo 4, os resultados de
cada estratgia de soluo, assim como uma anlise comparativa das
mesmas, so apresentados. Por fim, no Captulo 5 so descritas as
principais concluses e sugestes para trabalhos futuros.
-
Captulo 2 | Modelagem e Formulao do Problema
27
2 MODELAGEM E FORMULAO DO PROBLEMA
2.1 INTRODUO
O objetivo deste captulo apresentar a modelagem do problema
de comissionamento das unidades em usinas hidreltricas acopladas em
cascata concebido como um modelo de PNLIM. Para isso, inicialmente
so consideradas as principais caractersticas operativas das usinas e os
parmetros necessrios para modelar a funo de produo das suas
unidades geradoras. Na sequncia, apresentado o problema de
otimizao de interesse, que tem como objetivo minimizar a vazo
defluente da cascata.
2.2 MODELAGEM DO SISTEMA HIDRELTRICO
Uma usina hidreltrica composta por uma ou mais unidade(s)
geradora(s), que transforma(m) a energia mecnica, resultante do torque
provocado no eixo da turbina pela energia potencial gravitacional da
gua acumulada no reservatrio, em energia eltrica. Neste trabalho,
uma unidade geradora refere-se a um conjunto turbina e gerador.
Na Figura 2.1 podem ser observados os componentes bsicos de
uma usina hidreltrica.
Figura 2.1: Componentes bsicos de uma hidreltrica. Fonte: Scuzziato
(2011).
-
Modelagem e Formulao do Problema | Captulo 2 28
Atravs da Figura 2.1, observa-se que a gua captada em um
certo nvel (cota de montante), entra no canal de aduo, atravessa o
conduto forado, passa pela turbina, e descarregada pelo tubo de
suco em uma cota inferior (cota de jusante). Quanto maior for a altura
de queda bruta (diferena da altura entre os nveis de montante e jusante,
medida em metros), hb, maior ser a potncia de sada. Se forem
descontadas as perdas hidrulicas no canal de aduo e no tubo de
suco, tem-se a altura de queda lquida, hl, tambm em metros. Tais
alturas de queda so modeladas na Seo 2.2.1.
Para a modelagem da funo de produo de uma unidade
geradora, as caractersticas fsicas da turbina (que converte a energia
potencial gravitacional da gua em energia mecnica) e do gerador (que
converte energia mecnica em eltrica), bem como as perdas envolvidas
em cada etapa, devem ser consideradas em detalhes (FINARDI, 2003).
Na Figura 2.2 apresentada de forma esquemtica o processo de
produo da potncia eltrica e as perdas envolvidas em uma unidade
hidreltrica. Esse processo comea com a potncia associada ao
armazenamento da gua no reservatrio e vai at a potncia disponvel
nos terminais do gerador.
Turbina Geradorphd pet pst peg pg
ph pt pmt pgg
Figura 2.2: Diagrama esquemtico de uma unidade.
Os principais parmetros ilustrados na Figura 2.2 so definidos
a seguir. phd a potncia hidrulica disponvel na unidade
hidreltrica (MW) dada pelo produto entre a altura de
queda bruta, hb (m), a vazo turbinada na mesma, q (m
3/s), e uma constante G
1:
, phd G hb q (2.1)
1 Essa constante obtida pelo produto da acelerao da gravidade (g) do local, da densidade da
gua () e do sistema de unidades considerado. Este trabalho considera g = 9,8361 m/s, = 997 kg/m e MW como unidade de potncia, o que resulta em G = 9,81.10-3 kg/(ms).
-
Captulo 2 | Modelagem e Formulao do Problema
29
pet a potncia na entrada da turbina (MW) dada pelo
produto da altura de queda lquida, hl (m), com a vazo turbinada; alternativamente, pode ser calculada
pela diferena entre a potncia hidrulica disponvel,
phd, e as perdas hidrulicas, ph (MW):
ou , pet G hl q pet phd ph (2.2)
pst a potncia mecnica na sada da turbina (MW), dada
pelo produto de pet e , em que o rendimento hidrulico da turbina; alternativamente pst pode ser dada pela diferena entre pet e as perdas na turbina
associadas , pt:
ou , pst G hl q pst pet pt (2.3)
peg a potncia mecnica na entrada do gerador (MW) entregue pelo eixo da turbina, sendo que pmt
representa as perdas mecnicas no eixo que acopla a
turbina ao gerador:
, peg pst pmt (2.4)
pg a potncia de sada nos terminais do gerador (MW), sendo que pgg representa as perdas globais do
gerador:
. pg peg pgg (2.5)
Na sequncia, a altura de queda lquida, hl, o rendimento
hidrulico da turbina, , e as perdas no conjunto turbina-gerador (pmt e pgg) so modelados matematicamente afim de representar a funo das unidades geradoras. As modelagens de hl e so baseadas em Finardi (2003). Por sua vez, as representaes das perdas pmt e pgg baseiam em
Scuzziato (2011).
2.2.1 Altura de Queda Lquida
A diferena entre o nvel de montante, fcm, e o nvel de jusante,
fcj, define a queda bruta, hb. No sistema eltrico brasileiro, o nvel de
-
Modelagem e Formulao do Problema | Captulo 2 30
montante usualmente representado matematicamente por um
polinmio de quarta ordem que depende do volume do reservatrio, v,
em hm. O valor da cota de montante dado pelo seguinte polinmio:
2 3 4
0 1 2 3 4( ) a a a a a ,fcm v v v v v (2.6)
em que,
fcm o valor da cota de montante (m);
a0,...,a4 so os coeficientes do polinmio que representa a cota
de montante para o reservatrio.
O nvel de jusante da usina, por sua vez, representa o nvel do rio
aps o canal de restituio. Quando a turbina do tipo de reao, como
as consideradas nesse trabalho, a mesma opera afogada e a alterao do
nvel de jusante afeta a altura de queda lquida da unidade. Neste caso,
esse nvel dado matematicamente por um polinmio, tambm em geral
de quarta ordem, que depende da vazo defluente do reservatrio, dado
pela soma entre a vazo turbinada da usina, Q, e o vertimento, S2. O
valor da cota de jusante dado pelo seguinte polinmio:
2 3
0 1 2 3
4
4
, b b b b
b ,
fcj Q S Q S Q S Q S
Q S
(2.7)
em que,
Fcj o valor da cota de jusante (m);
b0,...,b4 so os coeficientes do polinmio que representa a cota
de jusante para o reservatrio.
Caso haja elevao no nvel de jusante causado pelo retardo no
escoamento dgua, faz-se necessrio adicionar, alm das vazes turbinadas e vertidas da usina, uma cota que pode ser obtida a partir do
volume armazenado no reservatrio a jusante ou, em alguns casos, a
partir da vazo lateral de um afluente a jusante. Contudo, neste trabalho
considerado que a cota de jusante no depende do nvel de montante
do reservatrio imediatamente a jusante.
2 A varivel S no clculo de cota de jusante no considerada quando o vertedouro est
suficientemente distante do canal de fuga da usina (FINARDI, 2003).
-
Captulo 2 | Modelagem e Formulao do Problema
31
Logo, pode-se definir a altura de queda bruta, em metros, por:
, , , .hb Q S v fcm v fcj Q S (2.8)
A altura de queda lquida, hl, dada pela diferena entre a altura
de queda bruta, hb, e as perdas hidrulicas, ph, que ocorrem no canal de aduo e no tubo de suco. Essas perdas hidrulicas correspondem
parcela da altura de queda bruta que no aproveitada pela turbina.
Uma parte dessas perdas ocorre por atrito da gua nos condutos
forados, hlp, e a outra parte so associadas energia hidrulica no
aproveitada pela turbina, hls. Neste trabalho, hlp representado matematicamente por uma funo quadrtica que depende da vazo
turbinada da unidade geradora da seguinte forma:
2pk ,hlp q q (2.9)
em que,
kp uma constante que depende das caractersticas fsicas
do conduto forado que conecta o reservatrio com uma
certa unidade hidreltrica (s2/m
5).
Adicionalmente, hls tambm pode ser representada por uma
funo quadrtica dependente de q:
2sk ,hls q q (2.10)
em que,
ks uma constante que depende da rea da seo de
baixa presso da turbina e da acelerao da gravidade
(s2/m
5).
Com a queda bruta e as perdas hidrulicas definidas, pode-se
modelar matematicamente a equao de queda lquida como sendo:
-
Modelagem e Formulao do Problema | Captulo 2 32
2 3 4
0 1 2 3 4
2 3
0 1 2 3
4 2 2
4 p s
, , , a a a a a
b b b b
b k k ,
hl v Q S q v v v v
Q S Q S Q S
Q S q q
(2.11)
em que,
Hl a altura de queda lquida da unidade hidreltrica (m).
2.2.2 Rendimento Hidrulico da Turbina
Entre a potncia na entrada da turbina, pet, e a potncia na sada
da turbina, pst, existe uma perda, pt, relacionada ao rendimento hidrulico da turbina, , que representa a eficcia com que transferida a potncia disponvel na gua que flui atravs da turbina para o eixo do
rotor (GULLIVER e ARNDT, 1991).
Sob ponto de vista prtico, o rendimento hidrulico fornecido
pelo fabricante da turbina por meio de um conjunto de pontos do tipo (, pst, hl). Contudo, como pst no varivel de deciso no problema, mas
sim a vazo turbinada, deve-se ento realizar alguns clculos para
converter o conjunto (, pst, hl) em outro do tipo (, q, hl). Essa tarefa realizada calculando os valores de q associados aos pontos (, pst, hl) por meio da Equao (2.3). Por meio de uma anlise grfica do conjunto
(, q, hl) pode-se observar que a representao matemtica desse rendimento pode ser dada por uma funo quadrtica cncava, conforme
descrito por:
0 1 2
22
3 4 5
, , , c c c , , ,
c , , , c c , , , ,
v Q S q q hl v Q S q
q hl v Q S q q hl v Q S q
(2.12)
em que,
o rendimento hidrulico de uma dada unidade
hidreltrica;
c0,...,c5 so os coeficientes do polinmio que representa o
rendimento hidrulico de uma dada unidade hidreltrica.
Os coeficientes c0,...,c5 so obtidos usando tcnicas de regresso
linear (WONNACOTT e WONNACOTT, 1972). Por ter um formato de
-
Captulo 2 | Modelagem e Formulao do Problema
33
colina, a curva de rendimento hidrulico da turbina tambm conhecida
por curva-colina. A Figura 2.3 apresenta o exemplo ilustrativo de uma
curva-colina.
.0.92
0.900.88
0.86
0.84
0.82
0.80
0.80
Va
z
o T
urb
ina
da
(m
3/s
)
Queda Lquida (m)
Queda Lquida Mxima
(48 m)
Queda Lquida Mnima
(32 m)
Queda Lquida
Nominal
41 m
0.7870 MW
80 MW
90 MW
100 MW
110 MW
Potncia Mecnica de
Sada da Turbina
Eficincia Hidrulica da
Turbina
180
200
220
240
260
280
300
320
340
VAZO TURBINADA
MXIMA
.
.
41
mx = 0.94
Zona Probida
X X
X
X X
X
X
X
X
X
XX
X
X
X
X
X
X
X
X
X
XX
X
X
X
XX
120 MW
MXIMA POTNCIA DE SADA
X
X
X
Figura 2.3: Curva colina de uma turbina hidrulica. Fonte: Finardi (2003).
O eixo horizontal est relacionado com a queda lquida e o eixo
vertical com a vazo turbinada. As curvas de nvel representam o
rendimento e as linhas tracejadas a potncia mecnica no eixo da turbina
em relao a um dado ponto de operao. Pode-se perceber, para esse
caso, que a melhor eficincia ocorre quando a queda lquida est
prxima de 41 metros e a vazo turbinada prxima de 260 m/s, o que
indica o ponto de projeto desta turbina.
2.2.3 Perdas Mecnicas na Turbina e Globais do Gerador
As perdas mecnicas na turbina esto associadas potncia
consumida pelo atrito com os mancais guias e mancais de escora, alm das perdas na vedao do eixo da turbina (RIBAS, 2003). Tais perdas
so dadas em MW e podem ser representadas matematicamente atravs
de uma funo quadrtica dependente da potncia gerada, pg, por meio
da seguinte expresso:
-
Modelagem e Formulao do Problema | Captulo 2 34
20 1 2g g g ,pmt pg pg pg (2.13)
em que,
g0,...,g2 so constantes obtidas por ensaios de campo.
Por sua vez, as perdas globais do gerador so constitudas pelas
perdas eltricas da mquina mais uma parcela das perdas mecnicas nos
mancais e selo de vedao (SCUZZIATO, 2011). Matematicamente, so
dadas em MW e representadas pela seguinte funo exponencial:
1f .0f ,pg
pgg pg e (2.14)
em que,
f0,f1 so constantes obtidas por ensaios de campo.
2.2.4 Funo de Produo das Unidades Hidreltricas
Atravs da equaes (2.4) e (2.5), pode-se definir a funo de
produo das unidades geradoras hidreltricas como sendo:
0.pg pst pmt pg pgg pg (2.15)
Como pmt e pgg dependem da varivel pg, a potncia gerada por uma unidade hidreltrica definida por meio da seguinte restrio de
igualdade no linear:
( , , , ) ( , , , ) ( )
( ) 0.
pg G v q Q S hl v q Q S q pmt pg
pgg pg
(2.16)
Na produo de energia eltrica tem-se como variveis de
controle a vazo turbinada na unidade geradora, q, e a vazo vertida da usina S. O volume armazenado no reservatrio, v, a vazo turbinada da
usina, Q, e a potncia de sada do gerador, pg, so consideradas
variveis de estado.
-
Captulo 2 | Modelagem e Formulao do Problema
35
2.2.5 Restries Operativas Adicionais
Alm da funo de produo das unidades geradoras, para se
modelar o problema do comissionamento de unidades de usinas
acopladas em cascata faz-se necessrio a considerao de restries de
conservao da massa dgua, de atendimento demanda, de tempo mnimo de operao para as unidades geradoras e de limites tcnicos
operacionais de gerao, armazenamento e vertimento.
O princpio da conservao da massa dgua garante que o volume do reservatrio, em qualquer estgio de tempo, igual ao
volume anterior mais o volume afluente e menos o volume defluente.
Desconsiderando os efeitos de evaporao e infiltrao, esse princpio
representado pela seguinte restrio:
, 1 , , ,
mr mr
r
rt r t rt rt m t m t rt
m
v v c Q S Q S c y (2.17)
em que,
r o ndice associado aos reservatrios da cascata;
t o ndice associado aos estgios de tempo;
c a constante que transforma a vazo (m/s) em um volume (hm) em um perodo de tempo equivalente
ao utilizado na discretizao do horizonte de
planejamento;
r o conjunto de reservatrios imediatamente a
montante ao r-simo reservatrio;
mr o tempo de viagem da gua entre os reservatrio m
e r (h);
Qrt a vazo turbinada na r-sima usina ao longo do
estgio t (m/s), representada pela soma das vazes
turbinadas das j unidades geradoras:
1
rtn
jrt rt
j
q Q
;
Srt a vazo vertida do r-simo reservatrio ao longo do
estgio t (m/s);
vrt o volume armazenado do r-simo reservatrio no incio do estgio t (hm);
yrt a vazo incremental afluente do r-simo
reservatrio ao longo do estgio t (m/s).
-
Modelagem e Formulao do Problema | Captulo 2 36
A equao de conservao da massa dgua (2.17) mostra que a operao dos reservatrios acoplada no tempo e no espao, ou seja,
que a operao de uma usina a montante afeta a operao da usina a
jusante.
Os limites tcnicos dos volumes e da vazo vertida dos
reservatrios so modelados como segue:
min max
max
,
0 ,
r rt r
rt r
v v v
S S (2.18)
em que,
Srmax
a vazo vertida mxima do r-simo reservatrio
(m/s);
vrmin
o valor do volume mnimo do r-simo reservatrio (hm);
vrmax
o valor do volume mximo do r-simo reservatrio (hm).
No tocante as restries relacionadas com as unidades, existe uma
regio de gerao definida como zona proibida (como pode ser
observado na Figura 2.3). Nessas regies podem ocorrer cavitaes,
fortes vibraes mecnicas, oscilaes de presso no tubo de suco e
oscilaes no eixo do rotor. Por isso, deve-se evitar operar
continuadamente nessas regies. Alm disso, precisa-se garantir que a
unidade geradora opere somente em uma zona de operao. A restrio
abaixo estabelece os limites de potncia para cada regio de operao:
min max
1 1
,
jr jr
jkr jkrt jrt jkr jkrt
k k
pg z pg pg z (2.19)
em que,
j o ndice associado s unidades geradoras; k o ndice das zonas de operao das unidades;
jr o nmero total de zonas proibidas de operao da
unidade j do reservatrio r;
zjkrt a varivel binria que indica se a unidade j do
reservatrio r est ligada (1) ou desligada (0) na zona
-
Captulo 2 | Modelagem e Formulao do Problema
37
k, no estgio t, tal que 1
1
jr
jkrt
k
z ;
pgjrt a potncia gerada na unidade j e no reservatrio r durante o estgio t (MW);
pgmin
jkr a potncia mnima da unidade j e reservatrio r operando na zona k (MW);
pgmax
jkr a potncia mxima da unidade j e reservatrio r
operando na zona k (MW).
necessrio tambm limitar a vazo turbinada da unidade
geradora. A partir da curva colina da unidade, extrai-se o conjunto de
pontos (, hl, q) e, em seguida, aproxima-se o conjunto de pontos (q
min,q
max, hl) para polinmios que limitam os valores das vazes
turbinadas de cada unidade (SCUZZIATO, 2011). A representao
matemtica das vazes mnimas e mximas ficam da seguinte forma:
max 2 3
0 1 2 3
min 2 3
0 1 2 3
min max
( ) d d d d ,
( ) e e e e ,
( ) ( ),
jrt jrt jr jr jrt jr jrt jr jrt
jrt jrt jr jr jrt jr jrt jr jrt
jrt jrt jrt jrt jrt jrt jrt
q hl hl hl hl
q hl hl hl hl
u q hl q u q hl
(2.20)
em que,
d0,...,d3 so constantes; e0,...,e3 so constantes.
ujrt a varivel binria que indica se a unidade j do
reservatrio r est ligada (1) ou desligada (0) no
estgio de tempo t, tal que 1
jr
jrt jkrt
k
u z ;
Para que o desgaste das unidades geradoras seja reduzido,
adicionado formulao do problema um conjunto de restries que
limita o tempo mnimo em que a unidade deve permanecer em operao.
Dessa forma, a unidade geradora tende a ligar e desligar menos vezes
durante o dia, minimizando as intervenes de manutenes no
planejadas. Essas restries, definidas como tempo mnimo de operao,
so modeladas como em Frangioni et al. (2009):
-
Modelagem e Formulao do Problema | Captulo 2 38
, 1, 1 , 1 , up
jrt jrp jr p jru u u p t t t (2.21)
em que,
tup
jr o nmero de estgios em que a unidade j do reservatrio r deve permanecer ligada (h).
Vale ressaltar que quanto maior for o valor de tup
, mais restries
de uptime sero necessrias ao problema. Por exemplo, se o tup
for de 7
horas, o problema ter 6 restries de uptime para cada estgio de tempo
e para cada unidade geradora.
Por fim, conforme citado anteriormente, no Brasil as metas de
gerao so atribudas pelo ONS para cada usina durante cada hora do
dia seguinte (ONS, 2009). Sendo assim, as restries de atendimento
demanda podem ser modeladas da seguinte maneira:
1
,
rtn
jrt rt
j
pg L (2.22)
em que,
pg a potncia gerada pela unidade j, reservatrio r e no
estgio t; nrt o nmero de unidades disponveis para operao no
reservatrio r e no estgio t;
Lrt a meta de gerao para a usina do reservatrio r no estgio t (MW).
Na prxima seo apresentada a formulao proposta para o
problema de comissionamento de unidades geradoras de usinas em
cascata.
2.3 FORMULAO DO PROBLEMA
Esta seo apresenta a modelagem proposta para o problema de
comissionamento de unidades geradoras de usinas hidreltricas
acopladas em cascata. Devido s caractersticas apresentadas, o
problema classificado como um problema de PNLIM e de grande
porte. Tal problema tem como objetivo a minimizao da vazo
defluente da usina. Desta forma, no problema buscam-se as menores
-
Captulo 2 | Modelagem e Formulao do Problema
39
vazes turbinadas para as unidades atenderem as metas de potncia e os
menores vertimentos para as usinas, o que resulta na maximizao do
recurso energtico (i.e., gua) disponvel ao final do perodo de
planejamento.
Sendo assim, o problema de otimizao proposto nesse trabalho
dado por:
, , , ,
1 1
min ( ),T R
rt rtQ S v q pg
t r
Q S
(2.23)
sujeito a :
1 , , ,
mr mr
r
rt rt rt rt m t m t rt
m
v v c Q S Q S c y (2.24)
min max
max
,
0 ,
r rt r
rt r
v v v
S S (2.25)
1
,
rtn
jrt rt
j
pg L (2.26)
( , , , ) ( )
( ) 0,
jrt jrt rt jrt rt rt jrt jrt
jrt jrt
pg pst v q Q S pmt pg
pgg pg (2.27)
1
0,
rtn
jrt rt
j
q Q (2.28)
min
max
( , , , ),
( , , , ),
jrt jrt jrt rt rt rt jrt
jrt jrt jrt rt rt rt jrt
q u q v Q S q
q u q v Q S q (2.29)
, 1, 1 , 1 ,up
jrt jrp jr p jru u u p t t t (2.30)
min max
1 1
,
jr jr
jkr jkrt jrt jkr jkrt
k k
pg z pg pg z (2.31)
1 1
, 1, 0,1 , 0,1 ,
jr jr
jkrt jrt jkrt jkrt jrt
k k
z u z z u (2.32)
em que,
R o nmero total de reservatrios do sistema; T o nmero total de estgios da programao (h).
-
Modelagem e Formulao do Problema | Captulo 2 40
As no linearidades e variveis inteiras presentes tornam o
problema complexo e de difcil soluo. Alm disso, o acoplamento
espacial e temporal presente na restrio de conservao da massa
dgua e o acoplamento temporal da restrio de uptime tendem a tornar o problema ainda mais complexo. Por isso, faz-se necessrio o uso de
tcnicas e ferramentas adequadas para a obteno de solues viveis ao
problema.
2.4 CONCLUSES
Este captulo teve como objetivo principal apresentar a
modelagem proposta para o problema de CUH de usinas acopladas em
cascata. Devido proximidade temporal com a operao em tempo real,
as caractersticas tcnicas, fsicas e operacionais devem ser modeladas
de forma realstica.
A funo de produo das unidades geradoras considera o
rendimento do conjunto turbina-gerador, a queda lquida, a vazo
turbinada, as perdas mecnicas da turbina e as perdas globais do
gerador. Adicionalmente, a formulao do problema tambm considera
o princpio da conservao da massa dgua entre as usinas, o atendimento meta de demanda por usina, os limites tcnicos
operacionais das variveis envolvidas, assim como as restries de
uptime, que mantm a unidade ligada por um perodo pr-estabelecido afim de reduzir o desgaste da unidade geradora.
Tais consideraes resultam na modelagem de um problema de
otimizao com variveis inteiras e contnuas, no-linear e de grande
porte. Com isso, o problema torna-se complexo por se tratar de um
problema combinatrio e no convexo.
Logo, para que esse problema seja resolvido de forma eficiente,
faz-se necessrio a utilizao de tcnicas de programao matemtica
robustas e/ou ferramentas computacionais que garantam boas solues
viveis e em tempos aceitveis ao modelo proposto.
No prximo captulo, as trs diferentes estratgias de soluo
utilizadas neste trabalho para resolver o problema proposto so
apresentadas.
-
Captulo 3 | Estratgias de Soluo
41
3 ESTRATGIAS DE SOLUO
3.1 INTRODUO
O objetivo deste captulo apresentar as trs estratgias de
soluo utilizadas neste trabalho para resolver o problema do
comissionamento de unidades geradoras de usinas hidreltricas
acopladas em cascata, representado em (2.23)-(2.32). Como esse
problema no linear inteiro-misto (PNLIM), o procedimento de
soluo no uma tarefa trivial, sendo necessria a aplicao de tcnicas
matemticas e de ferramentas computacionais eficientes para que uma
boa soluo seja obtida em um tempo condizente.
A primeira metodologia utilizada neste trabalho baseada em
tcnicas de decomposio do problema original em problemas menores
e mais fceis de serem resolvidos. A segunda metodologia baseia-se na
utilizao do pacote computacional AIMMS Outer Approximation (AOA) que resolve diretamente o problema de PNLIM. Na terceira
metodologia, o problema de PNLIM linearizado por meio de uma
remodelagem da funo de produo, sendo ento resolvido como um
problema de PLIM pelo pacote computacional CPLEX.
3.2 RELAXAO LAGRANGIANA E RECUPERAO PRIMAL
Umas das metodologias utilizadas neste trabalho para a obteno
de solues viveis ao problema proposto o uso de tcnicas de
Relaxao Lagrangiana (RL) e Recuperao Primal (RP) (DINIZ, 2007;
RODRIGUES, 2009; TAKIGAWA, 2010; SCUZZIATO, 2011;
ARISTIZBAL, 2012). Inicialmente, para decompor o problema em
subproblemas mais simples, utiliza-se a tcnica de duplicao de
variveis na etapa da RL. A etapa da RL fornece uma soluo primal
invivel e por isso necessria a etapa da RP, a qual resolvida
utilizando a metodologia do Lagrangiano Aumentado Inexato (LAI). O
principal objetivo da RP tornar a soluo primal invivel da RL em
uma soluo vivel.
Esta seo inicialmente descreve a metodologia da RL, assim
como os subproblemas resultantes da decomposio e os algoritmos de
soluo desta etapa. Posteriormente, a estratgia de soluo que busca
viabilizar a soluo na etapa de RP abordada.
-
Estratgias de Soluo | Captulo 3 42
3.2.1 Relaxao Lagrangiana
A RL baseia-se na construo do problema dual a partir da
relaxao das restries que acoplam o problema, as quais so
transferidas para a funo objetivo e ponderadas por variveis
denominadas multiplicadores de Lagrange (BERTSEKAS, 1999). O
problema dual resultante pode ser dividido em subproblemas locais
menores e mais fceis de serem solucionados. As solues desses
subproblemas servem de entrada para o algoritmo do chamado problema
mestre, responsvel por atualizar os multiplicadores de Lagrange a cada
iterao. Ao longo das iteraes do problema mestre, o valor da funo
objetivo do problema dual tende a aproximar-se do valor da funo
objetivo do problema primal, que desconhecido. Se o problema primal
original for convexo, esses valores iro coincidir; caso contrrio, o valor
da funo objetivo do problema dual constitui uma cota inferior para o
valor da funo objetivo do problema primal. Essa diferena entre os
valores das funes objetivos dos problemas primal e dual chamada de
gap de dualidade (BERTSEKAS, 1999). O procedimento geral da RL
ilustrado na Figura 3.1, a seguir.
Resolve Subproblemas
LocaisProblema Mestre
Solues Primais
associadas as restries
relaxadas e valor da
Funo Objetivo
Multiplicadores de Lagrange Atualizados
Figura 3.1: Nveis hierrquicos da RL.
Mesmo com a presena do gap de dualidade, a soluo do
problema por meio da RL pode fornecer bons pontos de partida para
heursticas especializadas em tornar a soluo primal vivel
(GUIGNARD e KIM, 1987). Para isso, importante que o gap
resultante no final do processo iterativo seja o menor possvel. Para que
isso ocorra, a funo dual deve ser otimizada de maneira eficiente. Alm
disso, a maneira como o problema primal decomposto e o dual
construdo tambm ir influenciar na qualidade do gap resultante, pois os subproblemas resultantes do problema dual devem ser resolvidos de
maneira eficiente. Uma ideia nessa direo mostrada sob ponto de
vista terico em Lemarchal et al. (1996) e prtico em Finardi (2003).
-
Captulo 3 | Estratgias de Soluo
43
Para decompor o problema primal deste trabalho, utiliza-se uma
tcnica em que duplica-se as variveis que acoplam o problema,
introduzindo as chamadas variveis artificiais. Assim, possvel obter o
desacoplamento do problema relaxando as equaes de igualdade entre
as variveis originais e artificiais. Essa tcnica possui vantagens com
relao RL clssica (LEMARCHAL e RENAUD, 2001;
GUIGNARD e KIM, 1987; BATUT e RENAUD, 1992).
Como a restrio de conservao da massa dgua acopla o problema no espao, duplica-se as variveis presentes nessa restrio
para decompor o problema. A incluso das variveis artificiais e das
respectivas restries de igualdade apresentada a seguir.
0,
0,
0.
rt rt
rt rt
rt rt
Qa Q
Sa S
va v
(3.1)
Com o intuito de dividir a parte hidrulica da parte que envolve
as unidades geradoras, substitui-se as variveis artificiais (Qa, Sa e va)
na funo objetivo, nas restries de conservao da massa dgua e nos limites hidrulicos. Desta forma, tem-se:
, , , , , , ,
1 1
min ( ),T R
rt rtQa Sa va Q S v q pg
t r
Qa Sa
(3.2)
sujeito a :
1 , , ,
mr mr
r
rt rt rt rt m t m t rt
m
va va c Qa Sa Qa Sa c y
(3.3)
min max max, 0 , r rt r rt rv va v Sa S (3.4)
1
,
rtn
jrt rt
j
pg L (3.5)
( , , , ) ( ) ( ) 0, jrt jrt rt jrt rt rt jrt jrt jrt jrtpg pst v q Q S pmt pg pgg pg
(3.6)
1
0,
rtn
jrt rt
j
q Q (3.7)
-
Estratgias de Soluo | Captulo 3 44
min
max
( , , , ),
( , , , ),
jrt jrt jrt rt rt rt jrt
jrt jrt jrt rt rt rt jrt
q u q v Q S q
q u q v Q S q (3.8)
, 1, 1 , 1 , up
jrt jrp jr p jru u u p t t t (3.9)
min max
1 1
,
jr jr
jkr jkrt jrt jkr jkrt
k k
pg z pg pg z (3.10)
1 1
, 1, 0,1 , 0,1 ,
jr jr
jkrt jrt jkrt jkrt jrt
k k
z u z z u (3.11)
0, 0, 0. rt rt rt rt rt rtQa Q Sa S va v (3.12)
Percebe-se agora que apenas as restries (3.12) esto acoplando
o problema entre reservatrios diferentes. Assim, pode-se relax-las e
formar o problema dual da seguinte forma:
, , , , , , ,
1 1
min [ ( )
( ) ( )],
sujeito a : (3.3) a (3.11),
T RRL
rt rt rt rt rtQa Sa va Q S v q pg
t r
rt rt rt rt rt rt
Qa Sa Q Qa Q
S Sa S v va v
(3.13)
em que,
Qrt o multiplicador de Lagrange associado restrio
(Qart Qrt=0);
Srt o multiplicador de Lagrange associado restrio
(Sart Srt=0);
vrt o multiplicador de Lagrange associado restrio
(vart vrt=0).
A funo do problema dual (3.13) pode ser avaliada por meio de
dois subproblemas menores. O primeiro subproblema definido como
subproblema hidrulico por conter as restries de conservao da
massa dgua, sendo descrito como:
-
Captulo 3 | Estratgias de Soluo
45
, ,
1 1
min [(1 ) (1 )
],
sujeito a : (3.3) e (3.4),
T RSH
rt rt rt rtQa Sa va
t r
rt rt
Q Qa S Sa
v va
(3.14)
O segundo subproblema definido como subproblema de
programao das unidades por conter as restries no lineares e com
variveis binrias. Esse subproblema dado da seguinte maneira:
, , , , 1 1min ( ),
sujeito a : (3.5) a (3.11),
T RSP
rt rt rt rt rt rtQ S v q pg
t r
Q Q S S v v
(3.15)
Conforme pode ser visto, o subproblema hidrulico (3.14) linear
e possui restries de todas as usinas da cascata, por isso pode ser
resolvido como um nico problema a cada iterao da RL por pacotes de
otimizao que resolvem problemas lineares. Neste trabalho, o
subproblema hidrulico resolvido dentro do programa computacional
AIMMS, atravs do pacote CPLEX.
Por sua vez, o subproblema de programao (3.15) de natureza
no linear inteiro-misto, desacoplado no espao (i.e., cada problema
possui restries e variveis associadas a uma nica usina), mas
acoplado no tempo devido s restries de uptime. Assim, (3.15) equivale a resolver R subproblemas de PNLIM a cada iterao da RL.
Estes subproblemas so solucionados pelo pacote AOA disponvel no
programa computacional AIMMS.
Com relao maximizao do problema dual (3.13), existem
vrias tcnicas para se implementar esse problema mestre. A mais
simples e menos eficiente a do Subgradiente (ZHUANG e GALIANA,
1988; FERREIRA et al., 1989). Nesta tcnica no existe critrio de
parada consolidado. Os mtodos dos planos cortantes (WOLSEY, 1998)
e de feixes (LEMARCHAL et al., 1996) superam essa dificuldade. No
entanto, o mtodo de feixes apresenta vantagens significativas em tempo
de simulao por resolver problemas de Programao Quadrtica (PQ) a
cada iterao e, consequentemente, necessita de um nmero menor de
iteraes que o mtodo dos planos cortantes. Isso acontece porque o
mtodo de feixes aplicado a este problema consegue gerar uma
sequncia de multiplicadores de Lagrange que garantem uma efetiva
-
Estratgias de Soluo | Captulo 3 46
subida com relao ao ponto timo da funo dual. Logo, neste trabalho,
o mtodo de feixes implementado no problema mestre da RL, de
maneira semelhante ao exposto em Scuzziato (2011).
De forma resumida, o mtodo de feixes utiliza a soluo dos
subproblemas locais para construir e resolver um problema de PQ de
forma a se obter os novos multiplicadores de Lagrange da iterao e
uma aproximao para o modelo da funo dual. Por ltimo, o mtodo
verifica se o passo srio ou nulo. Em caso de passo srio, atualizam-se
os multiplicadores e a funo objetivo do problema dual. O algoritmo
utilizado na soluo da RL segue os seguintes passos:
1) Resolver os subproblemas locais considerando todos os multiplicadores de Lagrange iniciais
0. Como resultado tem-se:
0 0 0( ) ( ) ( ) RL SH SP e sg0;
2) Resolver o problema mestre: 1 2
1
max ,2
iic
sujeito
a: 1 1 1( ) .( ), 1,..., RL n n nsg n i . Como resultado
tem-se: , i i = ;
3) Resolver os subproblemas locais considerando = i. Obtendo-
se: ( ) RL i
e sgi;
4) Calcular a medida de progresso e uma interpolao quadrtica para o parmetro de penalidade, c (KIWIEL, 1990):
1
( ),
i
i i RL
1
1
int 1
( ) ( )2 1 .
( )
iRL i RL
i i
ii RL
c c
5) Verificar passo: Se 1
( ) ( ) 0,1. ,
i
RL i RL i faa ,
ii
( ) ( ) i
RL RL i e 1 minintmin ,0,1 , . i i ic c c c Seno, faa
1
,
i i 1
( ) ( )
i i
RL RL e 1 maxintmax ,10 , . i i ic c c c
6) Se i RLtol ou i=imax
convergiu. Seno, fazer i=i+1 e voltar ao
passo 2.
em que,
tolRL
o valor da tolerncia para a convergncia; it
max o nmero mximo de iteraes na RL;
i o ndice associado ao nmero de iteraes;
-
Captulo 3 | Estratgias de Soluo
47
i o multiplicador de Lagrange associado soluo
candidata a subida da i-sima iterao;
i
o multiplicador de Lagrange associado ltima
soluo de subida, ou centro de estabilidade do
problema mestre, da i-sima iterao;
ci o parmetro de estabilidade quadrtica do problema
mestre da i-sima iterao;
cmin
o limite mnimo para o parmetro de penalidade quadrtica do problema mestre;
cmax
o limite mximo para o parmetro de penalidade
quadrtica do problema mestre;
ciint o valor do parmetro c
i obtido por interpolao
quadrtica na i-sima iterao;
RL o valor da funo dual da RL;
sgi o vetor de subgradientes na iterao i;
i a aproximao das solues, ou medida do progresso, do algoritmo para a i-sima iterao;
n o ndice associado ao nmero de aproximaes
lineares que compem a funo dual.
Como j mencionado, a aplicao do algoritmo da RL resulta em
uma soluo invivel ao problema primal. A etapa de RP, que ser vista
a seguir, tende a viabilizar a soluo obtida na etapa da RL.
3.2.2 Recuperao Primal
A Recuperao Primal tem como principal objetivo tornar vivel
a soluo obtida na RL. Nesta etapa, a tcnica do Lagrangiano
Aumentado (BERTSEKAS, 1999; FREUND, 2004) utilizada para
penalizar as restries relaxadas adicionando termos quadrticos na
funo dual. Isso evita efeitos oscilatrios das variveis primais dos
subproblemas e torna a funo dual diferencial. Assim, tem-se a
seguinte funo dual:
-
Estratgias de Soluo | Captulo 3 48
*
, , , , , , ,1 1
* *
2 2
2
min [ ( )
( ) ( )
1 1( ) ( )2 2
1 ( ) ],2
sujeito a : (3.3) a (3.11),
T RLAI
rt rt rt rt rtQa Sa va Q S v q pg
t r
rt rt rt rt rt rt
rt rt rt rt
rt rt
Qa Sa Q Qa Q
S Sa S v va v
Qa Q Sa S
va v
(3.16)
em que,
Q
*rt o multiplicador de Lagrange associado restrio
(Qart Qrt=0) na RP;
S
*rt o multiplicador de Lagrange associado restrio
(Sart Srt=0) na RP;
v
*rt o multiplicador de Lagrange associado restrio
(vart vrt=0) na RP;
o parmetro de penalidade ( 0 ).
Com a introduo dos termos quadrticos, percebe-se a
impossibilidade de decompor o problema em subproblemas menores
conforme acontece na RL. Por isso, faz-se necessrio o uso de um
mtodo de linearizao parcial conhecido como Princpio do Problema
Auxiliar (COHEN, 1980) para contornar essa situao. Para isso, os
termos quadrticos de (3.16) so aproximados da seguinte forma:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) .
i i
rt rt rt rt
i i
rt rt rt rt
i i
rt rt rt rt
Qa Q Qa kQ Q kQ
Sa S Sa kS S kS
va v va kv v kv
(3.17)
em que i o nmero da iterao da RP e kQi, kS
i e kv
i so constantes
chamadas de centro de gravidade obtidas a partir dos valores das
variveis primais da iterao anterior da seguinte maneira:
-
Captulo 3 | Estratgias de Soluo
49
1 1
1 1
1 1
,2
,2
.2
i i
i rt rt
i i
i rt rt
i i
i rt rt
Qa QkQ
Sa SkS
va vkv
(3.18)
Substituindo os termos quadrticos de (3.16) pelas
correspondentes aproximaes mostradas em (3.17), o problema pode
ser decomposto e os subproblemas locais resultantes so dados por:
* *
, ,1 1
* 2
2 2
min {(1 ) (1 )
1 [( )2
( ) ( ) ]},
sujeito a : (3.3) e (3.4),
T RSH
rt rt rt rtQa Sa va
t r
rt rt rt rt
rt rt rt rt
Q Qa S Sa
v va Qa kQ
Sa kS va kv
(3.19)
* * *
, , , ,1 1
2 2
2
min {
1 [( ) ( )2
( ) ]},
sujeito a : (3.5) a (3.11),
T RSP
rt rt rt rt rt rtQ S v q pg
t r
rt rt rt rt
rt rt
Q Q S S v v
Q kQ S kS
v kv
(3.20)
Percebe-se que o subproblema hidrulico (3.19) um problema
de Programao Quadrtica (PQ) e o subproblema de programao
(3.20) um PNLIM.
Como o problema dual (3.16) diferencivel, pode-se usar
tcnicas de otimizao irrestrita para maximizar a funo dual
aumentada. Nesse sentido, a atualizao dos multiplicadores de
Lagrange utilizada neste trabalho baseada no mtodo do gradiente (BERTSEKAS, 1999). As atualizaes dos multiplicadores de
Lagrange, bem como dos parmetros de penalidade so dadas da
seguinte forma (SCUZZIATO, 2011):
-
Estratgias de Soluo | Captulo 3 50
* 1 * ,
ii i
i
g
g
(3.21)
lim
11
lim
2
, se,
, se
i
i
i
(3.22)
em que,
o tamanho do passo do mtodo do gradiente;
gi
o vetor de gradientes na iterao i dado pelos
valores das restries relaxadas (xa - x);
1,2 so as constantes de atualizao do parmetro de
penalidade;
lim uma constante que define o limite para se mudar a
atualizao do parmetro de penalidade.
O objetivo do algoritmo do LAI de forar a viabilidade primal a
partir do decrscimo do parmetro de penalidade, , a cada iterao. Os
principais passos do algoritmo da RP so dados por:
1) Atualizar o centro de gravidade (3.18); 2) Resolver os subproblemas locais
3 e obter
* * *( ) ( ) ( ) LAI i SH i SP i e gi;
3) Atualizar os multiplicadores de Lagrange e o parmetro de penalidade;
4) Se2i RPg tol ou i=i
max convergiu. Seno, fazer i=i+1 e
voltar ao Passo 1.
Aplicado a RP, o algoritmo retorna uma soluo ao problema de
comissionamento de unidades geradoras de usinas em cascata.
3.3 PROGRAMAO NO LINEAR INTEIRA MISTA
Esta seo apresenta a forma pelo qual o pacote computacional AIMMS Outer Approximation (AOA) disponibilizado pelo programa
AIMMS tenta encontrar uma soluo para o problema de
3 Na primeira iterao, considera-se que as variveis primais e duais so aquelas obtidas na
ltima iterao da RL.
-
Captulo 3 | Estratgias de Soluo
51
comissionamento de unidades geradoras de usinas hidreltricas
acopladas hidraulicamente.
Para resolver problemas de PNLIM, o algoritmo de aproximao
exterior padro do pacote AOA resolve uma sequncia alternada de
problemas de natureza no linear contnuos, tambm conhecidos como
probl
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