dissertaÇÃo_brunno_revisado

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA

ELTRICA

Brunno Henrique Brito

ANLISE COMPARATIVA DE DIFERENTES

METODOLOGIAS PARA A SOLUO DO PROBLEMA DE

COMISSIONAMENTO DE UNIDADES DE USINAS

HIDRELTRICAS ACOPLADAS EM CASCATA

Dissertao submetida ao Programa de

Ps-graduao em Engenharia Eltrica

da Universidade Federal de Santa

Catarina para a obteno do Grau de

Mestre em Sistemas de Energia

Orientador: Prof. Dr. Erlon Cristian

Finardi.

Florianpolis

2015

Catalogao na fonte elaborada pela biblioteca da

Universidade Federal de Santa Catarina

AGRADECIMENTOS

A execuo dessa dissertao no seria possvel sem o apoio direto ou

indireto de diversas pessoas. Por isso, no tem como no ser grato:

Inicialmente e principalmente Deus, por ter me concebido sade,

fora, sabedoria e pessoas que me apoiaram, ajudaram e incentivaram

nos momentos mais desafiantes.

A minha esposa, Valdisclia Teixeira Barros de Brito, pela companhia e apoio incondicional durante o perodo de execuo do Mestrado.

A minha filha, Brunna Raphaela Teixeira Brito, por me dar motivos e foras para no desistir jamais dos meus objetivos.

Ao meu orientador, Prof. Erlon Cristian Finardi, que de forma

descontrada e, ao mesmo tempo, responsvel, no mediu esforos para

me incentivar a desenvolver um trabalho relevante sociedade.

Ao meu coorientador, Prof. Fabrcio Yutaka Kuwabata Takigawa, por sua dedicao e pelas importantes contribuies e sugestes realizadas

neste trabalho.

Aos professores do Labplan e do Labspot pela mediao nas disciplinas

cursadas no primeiro ano.

Aos companheiros de sala no Labplan, Rodolfo Calderon, Carlos

Ernani, Felipe Beltran, Guilherme Fredo, Pablo Galvis e Deysy

Murillo, pelo convvio, pela pacincia, pelos auxlios e momentos de

descontrao. Em especial, aos colegas Rodolfo Calderon e Carlos

Ernani, pela parceria desde o primeiro ano de disciplinas.

Aos demais colegas do Labplan pelos auxlios e momentos de

descontrao. Em especial aos colegas Marco Delgado, Paulo Larroyd,

Murilo Scuzziato, Carlos Arturo, Marcelo Cordova, Andres Martinez,

Rodolfo Bialecki, Pedro Vieira, Valmor Zimmer, Marcelo Benetti, Daniel Tenfen e Fbio Mantelli.

Aos meus pais, Joo Gomes Brito e Mrcia Regina Girotto Brito, e

irmos, Denis de Brito e Raphael de Brito, pelo incentivo, apoio e

carinho.

famlia da minha esposa. Em especial minha sogra, Maria Teixeira

Barros, pelo carinho e apoio incondicional nessa etapa da minha vida.

Aos professores da Coordenao de Indstria e direo do Instituto

Federal de Educao, Cincia e Tecnologia do Tocantins (IFTO)

Campus Palmas pela aprovao do meu afastamento para capacitao.

Por fim, agradeo ao Governo Federal e Coordenao de

Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (Capes) pelo suporte

financeiro para a realizao deste trabalho.

RESUMO

No Brasil, o Operador Nacional do Sistema Eltrico (ONS) fornece uma

meta de gerao de potncia ativa para cada usina hidreltrica e hora do

dia seguinte. Neste cenrio, os agentes de gerao devem resolver o

problema do Comissionamento das Unidades Hidreltricas (CUH), que

define quais unidades geradoras estaro em operao, bem como os seus

respectivos nveis de gerao, levando-se em conta as restries

relacionadas com a operao das unidades e dos reservatrios. Devido

s caractersticas inerentes gerao hidreltrica, ao nmero de

unidades geradoras envolvidas, s variveis binrias necessrias para

representar as unidades que estaro em operao em cada hora do dia

seguinte e ao acoplamento temporal e espacial de usinas em cascata, o

problema do CUH representado matematicamente como um problema

de Programao No Linear Inteira Mista (PNLIM) de grande porte. No

geral, problemas dessa natureza so resolvidos por tcnicas de

programao matemtica e heursticas. Como as abordagens baseadas

em heursticas so mais adequadas para problemas com estrutura

combinatria relativamente simples, as tcnicas de programao

matemtica tendem a ser mais adequadas para resolver este tipo de

problema. Neste sentido, este trabalho apresenta uma anlise

comparativa de trs diferentes estratgias de soluo baseadas em

tcnicas de programao matemtica para o problema do CUH. A

primeira utiliza tcnicas de Relaxao Lagrangiana (RL) e Recuperao

Primal (RP) a partir de decomposies que exploram a estrutura do

problema. A segunda utiliza um pacote computacional especializado em

PNLIM capaz de resolver problemas de mdio porte. Por fim, a terceira

estratgia busca linearizar o problema proposto e resolv-lo como um

problema de Programao Linear Inteira Mista (PLIM). As simulaes e

anlises associadas com este trabalho so obtidas em um sistema real de

oito usinas acopladas em cascata, com um total de 29 unidades

geradoras.

Palavras-chave: Comissionamento de Unidades Hidreltricas,

Relaxao Lagrangiana, Recuperao Primal, Programao No Linear

Inteira Mista, Programao Linear Inteira Mista.

ABSTRACT

In Brazil, the Independent System Operator (ISO) provides a day-ahead

generation target for each hydroelectric plant. In this scenario,

generation agents should solve the Hydro Unit Commitment (HUC)

problem, where they must define which generating units will be in

operation and their respective generation levels, given the constraints

associated with the operation of the units and reservoirs. Due to the

inherent characteristics of hydroelectric generation, number of units

involved, binary variables needed to represent the units that will be in

operation in each hour of the day and the temporal and spatial coupling

plants constraints, the HUC problem is mathematically represented as a

large-scale Mixed Integer Nonlinear Programming (MINLP) problem.

In terms of solution strategies, computational methods can be divided

into two groups: mathematical programming techniques and heuristics.

In general, the heuristic-based approaches are not particularly

competitive for HUC problem, since as they usually deal with simplified

models. The apparent reason is that heuristics are best appropriate at

problems that exhibit a predominant and relatively simple combinatorial

structure to which the various elements of the heuristic can be

specifically personalized. The HUC problem possesses several

combinatorial structures, especially when complex constraints have to

be dealt with; therefore, on the outset is best approached with

mathematical programming techniques. In this scenario, this master

dissertation aims to access the solution quality when HUC problem is

solved by means of the following mathematical programming

techniques: (i) Lagrangian relaxation, which is a dual decomposition

technique that exploits the structure of the problem; (ii) MINLP solver that can handle the size and the nonconcavity of the problem; and, (iii)

Mixed-integer linear programming (MILP) problem that uses a

piecewise function of the hydropower model. To perform the

comparative analysis, we present the numerical results related to a real-

life system with 8-cascaded reservoirs and 29 generating units.

Keywords: Hydro Unit Commitment, Lagrangian Relaxation, Mixed

Integer Nonlinear Programming, Mixed Integer Linear Programming.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1: Etapas do POE no Brasil. ................................................................16

Figura 2.1: Componentes bsicos de uma hidreltrica. Fonte: Scuzziato (2011).

...........................................................................................................................27

Figura 2.2: Diagrama esquemtico de uma unidade. .........................................28

Figura 2.3: Curva colina de uma turbina hidrulica. Fonte: Finardi (2003). ......33

Figura 3.1: Nveis hierrquicos da RL. ..............................................................42

Figura 3.2: Algoritmo AOA. ..............................................................................52

Figura 3.3: fcm linear e no linear na usina de Santa Clara. ..............................54

Figura 3.4: fcm linear melhorada e no linear na usina de Santa Clara. .............55

Figura 3.5: Funo de Produo da usina de Santa Clara. .................................57

Figura 3.6: Linearizao da funo de produo. ..............................................58

Figura 4.1: Diagrama esquemtico do sistema hidreltrico. ..............................64

Figura 4.2: Metas de demanda por usina Caso Base. ......................................69

Figura 4.3: Metas de demanda para a Cascata Caso Base...............................69

Figura 4.4: Evoluo da funo dual e norma do subgradiente na RL Caso

Base. ..................................................................................................................70

Figura 4.5: Evoluo da soluo na RP Caso Base. ........................................71

Figura 4.6: Metas de demanda para a cascata Casos Variados. ..................... 83

Figura A.1: Altura de queda lquida da usina H8. ............................................103

Figura A.2: Funo de Produo no linear nas alturas de queda definidas para

H8. ....................................................................................................................104

Figura A.3: Pontos criados em H8. ...................................................................105

Figura A.4: Espao bidimensional da funo de produo em H8. ..................106

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1: Limites operativos dos reservatrios. ..............................................64

Tabela 4.2: Coeficientes da funo de cota montante. .......................................65

Tabela 4.3: Coeficientes da funo de cota jusante. ..........................................65

Tabela 4.4: Constantes de Perdas Hidrulicas. ..................................................65

Tabela 4.5: Coeficientes das funes de rendimento hidrulico. .......................66

Tabela 4.6: Coeficientes das funes de vazo turbinada mxima. ...................66

Tabela 4.7: Coeficientes das funes de vazo turbinada mnima. ....................67

Tabela 4.8: Coeficientes das perdas no conjunto turbina-gerador. ....................67

Tabela 4.9: Afluncias, tup

e volumes iniciais Caso Base. ..............................68

Tabela 4.10: Geraes obtidas na usina H6 via RL/RP Caso Base..................71

Tabela 4.11: Volumes iniciais e finais via RL/RP Caso Base. ........................73

Tabela 4.12: Geraes obtidas na usina H6 via AOA Caso Base. ...................74

Tabela 4.13: Volumes iniciais e finais via AOA Caso Base. ..........................75

Tabela 4.14: Alturas de queda lquida iniciais em m via PLIM Caso Base. ...76

Tabela 4.15: Vazes turbinadas iniciais em m/s via PLIM Caso Base. .........76

Tabela 4.16: Potncias iniciais em MW via PLIM Caso Base. .......................77

Tabela 4.17: Valores iniciais para o clculo da queda lquida via PLIM Caso

Base. ..................................................................................................................77

Tabela 4.18: Geraes obtidas na usina H6 via PLIM Caso Base. ..................78

Tabela 4.19: Volumes iniciais e finais via PLIM Caso Base. .........................79

Tabela 4.20: Resumo dos resultados Caso Base. ............................................79

Tabela 4.21: Vazes Defluentes em m/s Caso Base. .....................................80

Tabela 4.22: Volumes finais em hm Caso Base. ...........................................80

Tabela 4.23: Alocao de unidades e vazes na usina H6 Caso Base. ............81

Tabela 4.24: Volumes iniciais com 30%. ..........................................................83

Tabela 4.25: Valores da funo objetivo Casos variados. ...............................84

Tabela 4.26: Resumo dos volumes finais Casos variados. ..............................84

Tabela 4.27: Resumo dos tempos de simulao Casos Variados. ...................85

Tabela 4.28: Comparao RL/RP x AOA no Cenrio 2. ................................... 85

Tabela 4.29: Resultados e comparaes Meta por usina x Meta por cascata. . 88

Tabela 4.30: Resultados e comparaes Meta por usina x Meta por empresa.

........................................................................................................................... 88

Tabela 4.31: Vazo defluente economizada - Meta por empresa. ..................... 89

Tabela A.1: Erros mdios entre as funes de produo linear e no linear. ... 107

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ANEEL - Agncia Nacional de Energia Eltrica

AOA - AIMMS Outer Approximation

CEPEL - Centro de Pesquisas de Energia Eltrica

EMQ - Erro Mdio Quadrtico

EPE - Empresa de Pesquisa Energtica

LAI - Lagrangiano Aumentado Inexato

ONS - Operador Nacional do Sistema Eltrico

PD - Programao Dinmica

PDO - Programao Diria da Operao Eletroenergtica

PL - Programao Linear

PLIM - Programao Linear Inteira Mista

PNL - Programao No Linear

PNLIM - Programao No Linear Inteira Mista

POE - Planejamento da Operao Energtica

PQ - Programao Quadrtica

PQS - Programao Quadrtica Sequencial

RL - Relaxao Lagrangiana

RP - Recuperao Primal

SIN - Sistema Interligado Nacional

UHE - Usina Hidreltrica

SUMRIO

1 INTRODUO ........................................................................ 15

1.1 REVISO BIBLIOGRFICA ........................................................... 18

1.2 CONTRIBUIES ............................................................................ 24

1.3 OBJETIVOS E ESTRUTURA DO TRABALHO .............................. 24

2 MODELAGEM E FORMULAO DO PROBLEMA ........ 27

2.1 INTRODUO .................................................................................. 27

2.2 MODELAGEM DO SISTEMA HIDRELTRICO ............................ 27

2.2.1 Altura de Queda Lquida ............................................................... 29

2.2.2 Rendimento Hidrulico da Turbina ............................................. 32

2.2.3 Perdas Mecnicas na Turbina e Globais do Gerador ................. 33

2.2.4 Funo de Produo das Unidades Hidreltricas ........................ 34

2.2.5 Restries Operativas Adicionais .................................................. 35

2.3 FORMULAO DO PROBLEMA ................................................... 38

2.4 CONCLUSES .................................................................................. 40

3 ESTRATGIAS DE SOLUO ............................................ 41

3.1 INTRODUO .................................................................................. 41

3.2 RELAXAO LAGRANGIANA E RECUPERAO PRIMAL .... 41

3.2.1 Relaxao Lagrangiana ................................................................. 42

3.2.2 Recuperao Primal ....................................................................... 47

3.3 PROGRAMAO NO LINEAR INTEIRA MISTA ...................... 50

3.4 PROGRAMAO LINEAR INTEIRA MISTA ............................... 52

3.4.1 Linearizao da Altura de Queda Lquida .................................. 53

3.4.2 Linearizao da Funo de Produo........................................... 56

3.4.3 Problema Linearizado ................................................................... 60

3.5 CONCLUSES .................................................................................. 62

4 IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL E

RESULTADOS .................................................................................... 63

4.1 INTRODUO ................................................................................. 63

4.2 DESCRIO DOS DADOS INICIAIS ............................................. 63

4.3 RESULTADOS .................................................................................. 67

4.3.1 Caso Base ........................................................................................ 68

4.3.1.1 Relaxao Lagrangiana e Recuperao Primal ..................... 70

4.3.1.2 Programao No Linear Inteira Mista ................................. 73

4.3.1.3 Programao Linear Inteira Mista ......................................... 75

4.3.1.4 Anlise Comparativa............................................................. 79

4.3.2 Casos Variados ............................................................................... 82

4.3.3 Considerao de Metas de Demanda para Grupos de Usinas .... 87

4.3.3.1 Demanda por Cascata ........................................................... 87

4.3.3.2 Demanda por Empresa .......................................................... 88

4.4 CONCLUSES .................................................................................. 89

5 CONCLUSES E RECOMENDAES PARA

TRABALHOS FUTUROS ................................................................. 91

REFERNCIAS .................................................................................. 95

APNDICE Anlise da Funo de Produo do Problema de

PLIM .................................................................................................. 103

Captulo 1 | Introduo

15

1 INTRODUO

Segundo o Operador Nacional do Sistema Eltrico (ONS), o

sistema de transmisso e produo de energia eltrica no Brasil, definido

como Sistema Interligado Nacional (SIN), classificado como

hidrotrmico de grande porte, com predominncia de usinas

hidreltricas e com mltiplos proprietrios (ONS, 2014). Atualmente, a

gerao hidreltrica no pas corresponde a cerca de 67% da capacidade

total instalada (ANEEL, 2015).

Por utilizarem a gua que corre nos rios como fonte de energia, as

usinas hidreltricas so economicamente e ambientalmente priorizadas

no despacho hidrotrmico. No entanto, as incertezas meteorolgicas e os

perodos de estiagens caractersticos de algumas regies demandam

estudos que busquem garantir o mximo do despacho hidreltrico ao

longo do tempo. Neste sentido, o problema de Planejamento da

Operao Energtica (POE) pretende estimar as geraes das usinas

hidreltricas e termeltricas de forma a atender demanda de energia

eltrica ao menor custo possvel, considerando um nvel de risco

compatvel com as diretrizes do governo brasileiro.

Dado as complexidades associadas ao POE (FINARDI, 2003), o

ONS divide este problema em trs etapas coordenadas entre si. A

diferena bsica entre as etapas est relacionada ao horizonte de estudo

e ao nvel de detalhamento na modelagem do sistema hidrotrmico, a

saber: quanto menor o horizonte de estudo, maior o nvel de

detalhamento. A Figura 1.1 apresenta de forma resumida tais etapas com

destaque para o horizonte, a discretizao temporal e os principais

modelos de otimizao utilizados na otimizao hidrotrmica no Brasil.

Introduo | Captulo 1 16

MDIO PRAZOHorizonte: 5 anos

Discretizao: Mensal

Ferramenta: NEWAVE

CURTO PRAZOHorizonte: 2 meses

Discretizao: Semanal

Ferramenta: DECOMP/NEWAVE

PROGRAMAO DIRIA DA

OPERAO ELETROENERGTICA

Horizonte: 1 semana

Discretizao: 30 minutos

Ferramenta: NO EXISTENTE

Figura 1.1: Etapas do POE no Brasil.

No planejamento de mdio prazo, uma poltica de gerao

definida considerando cada subsistema do SIN (Sul, Sudeste/Centro-

Oeste, Norte e Nordeste) para cada ms dos prximos cinco anos. Este

estudo realizado anualmente com revises quadrimestrais e a principal

ferramenta computacional de otimizao o modelo NEWAVE

(CEPEL, 2001). Por isso, esse modelo auxilia a Empresa de Pesquisas

Energticas (EPE) no planejamento da expanso do sistema eltrico

brasileiro. Diversos estudos tm buscado o aprimoramento da

modelagem e da estratgia de soluo utilizadas no modelo NEWAVE

(PEREIRA e PINTO, 1985; KLIGERMAN, 1992; SILVA e FINARDI,

2003; LARROYD, 2012; MATOS, 2012).

Por sua vez, o planejamento de curto prazo define as diretrizes

para o despacho de cada usina de energia eltrica do SIN para a prxima

semana. Para tanto, utilizado um horizonte de dois meses com

discretizao semanal no primeiro ms. A funo de custo futuro

determinada na etapa anterior (i.e., a poltica de gerao) utilizada para

determinar a poltica neste novo horizonte. O estudo desta etapa

realizado mensalmente com revises semanais e as principais

ferramentas computacionais so os modelos NEWAVE e DECOMP

(CEPEL, 2003). Os estudos dessa etapa comearam com Pereira e Pinto

(1983) e tm sido foco de aprimoramentos nos ltimos anos

(GONALVES, 2007; SANTOS et al., 2008; SANTOS et al., 2009;

SANTOS, 2010; GONALVES, 2011).


17

Por fim, com relao a Figura 1.1, a Programao Diria da

Operao Energtica (PDO) finaliza o processo do POE e tem como

objetivo principal otimizar o despacho de todas as unidades do SIN para

um horizonte de uma semana com discretizao de trinta minutos nos

dois primeiros dias e horria nos demais. Devido complexidade das

diversas no linearidades envolvidas no processo de gerao das

unidades geradoras e a incluso de variveis binrias para determinar as

unidades que sero acionadas ao longo do perodo da PDO, ainda no se

tem uma ferramenta computacional consolidada para a POE. Nesse

sentido, diversos estudos tm sugerido estratgias que buscam dar

suporte para o desenvolvimento da PDO nos ltimos anos (BELLONI et al., 2003; FINARDI, 2003; MONTIBELLER, 2003; RODRIGUES et

al., 2006; DINIZ, 2007; TAKIGAWA, 2010; SCUZZIATO, 2011;

ARISTIZBAL, 2012).

Como ainda no existe uma ferramenta computacional

consolidada para estabelecer o comissionamento das unidades geradoras

no sistema eltrico brasileiro, o ONS faz o uso de diretrizes resultantes

dos estudos de curto prazo para conceber os programas dirios de

produo, de intervenes e de defluncias (ONS, 2009). O programa

dirio de produo caracteriza-se pela disponibilidade de uma meta de

gerao, em MW, para cada hora do dia seguinte para todas as usinas do

SIN. Dessa forma, os agentes de gerao tem a tarefa de, a partir dessas

metas de gerao, determinar quais unidades geradoras devero ser

acionadas e seus respectivos nveis de gerao. Contudo, a tarefa de

comissionamento em unidades geradoras de usinas hidreltricas no

trivial, visto que a funo de produo destas unidades determinada

por uma srie de fatores relacionados s caractersticas fsicas e

operativas das mesmas. Por isso, este problema tem como objetivo

determinar quais unidades hidreltricas devem ser acionadas para cada

hora do dia seguinte a partir das metas de gerao fornecidas pelo ONS.

Adicionalmente, busca-se tambm determinar o nvel de gerao de

cada unidade ao longo do prximo dia.

O problema de comissionamento de unidades geradoras de

natureza no linear, devido funo de produo, inteiro misto e de

grande porte, por conta do elevado nmero de unidades envolvidas. Por

isso, tcnicas de programao matemtica e ferramentas computacionais

robustas tm sido utilizadas para se conseguir boas solues viveis para

o problema. Estudos mais recentes mostram que solues desta natureza

podem ser obtidas por meio da Relaxao Lagrangiana (RL) e do

Lagrangiano Aumentado Inexato (LAI) (DINIZ, 2007; TAKIGAWA,

2010; SCUZZIATO, 2011). No entanto, alguns autores linearizam a


funo de produo e resolvem o problema linear com variveis inteiras

diretamente por pacotes de Programao Linear Inteira Mista (PLIM)

(MARTIN, 2000; MAHALIK et al., 2012; LI et al., 2014). No intuito de auxiliar os agentes de gerao de usinas

hidreltricas e dar suporte ao desenvolvimento da PDO, esta dissertao

visa apresentar uma anlise comparativa de diferentes estratgias de

soluo para o problema de comissionamento de unidades geradoras de

usinas hidreltricas acopladas em cascata. Neste sentido, a reviso

bibliogrfica apresentada na prxima seo explicitar as diferentes

estratgias de solues utilizadas em diferentes modelagens que

otimizam o despacho de usinas hidreltricas em perodos de

planejamento condizentes com a PDO.

1.1 REVISO BIBLIOGRFICA

De forma geral, as diversas modelagens que otimizam usinas

hidreltricas no mbito da PDO so resolvidas por tcnicas de

programao matemtica ou por abordagens baseadas em heursticas. As

abordagens baseadas em heursticas no so particularmente

competitivas para problemas de Comissionamento de Unidades

Hidreltricas (CUH), pois normalmente lidam com modelos

simplificados, ou seja, so melhor adequadas para problemas que

exibem uma estrutura combinatria relativamente simples. Por isso,

neste trabalho o problema resolvido por tcnicas de programao

matemtica.

Dentre as tcnicas de programao matemtica utilizadas para

resolver problemas de CUH, destacam-se as estratgias de

decomposio e aquelas que empregam o uso de pacotes comerciais de

PLIM. Por outro lado, mais recentemente, tem havido um crescente

interesse por pacotes de PNLIM para resolver uma srie de problemas

prticos. Tal interesse pode ser explicado, por exemplo, em funo de

novos paradigmas e melhor compreenso terica que resultaram em

mais rpidos e confiveis pacotes de Programao No Linear (PNL).

Portanto, esta reviso bibliogrfica tem como principais objetivos a

apresentao das modelagens e das tcnicas de programao matemtica

que tm sido utilizadas para resolver problemas que otimizam o

despacho de hidreltricas no mbito da PDO.

Inicialmente esta seo apresentar alguns dos principais

trabalhos que aplicaram tcnicas de decomposio para problemas

inerentes PDO. Essas tcnicas tm sido bastante pesquisadas no Brasil.

No Laboratrio de Planejamento de Energia Eltrica (Labplan), por


19

exemplo, diversas pesquisas tm mostrado evolues significativas tanto

no nvel de detalhamento do sistema, bem como na qualidade das

solues (MONTIBELLER, 2003; FINARDI, 2003; RODRIGUES,

2009; TAKIGAWA, 2010; SCUZZIATO, 2011; ARISTIZBAL,

2012). Alm desses trabalhos, outros que utilizaram tcnicas de

decomposio do problema sero descritos na primeira parte desta

seo.

Montibeller (2003), Finardi (2003), Rodrigues (2009), Takigawa

(2010) e Aristizbal (2012) modelaram um problema de

comissionamento de unidades geradoras para um sistema hidrotrmico.

O parque gerador hidreltrico nestes trabalhos representado em

detalhes. Todos apresentaram uma funo de produo das unidades

hidreltricas no-linear e dependente do volume, da vazo defluente do

reservatrio e da vazo turbinada da unidade. No entanto, a forma com

que cada problema foi modelado, decomposto e solucionado mostra

como estratgias de soluo baseadas na decomposio do problema de

programao podem ser eficientes.

Montibeller (2003) considera as zonas proibidas de operao, os

custos relacionados partida das unidades e os tempos mnimos que as

unidades devem permanecer ligadas/desligadas (minimum up/downtime)

na modelagem das hidreltricas. Por sua vez, restries de minimum up/downtime e de rampa no so consideradas na modelagem das

unidades termeltricas. O problema resolvido utilizando RL para

relaxar as restries de balano de potncia e de reserva girante das

unidades hidreltricas e termeltricas e decompor o problema original

em um subproblema contnuo hidreltrico, um subproblema inteiro

tambm desta natureza e um subproblema termeltrico. O mtodo de

feixes (LEMARCHAL et al., 1996) utilizado para otimizar a funo

dual. Como a soluo da RL invivel ao problema primal, uma

segunda etapa de Recuperao Primal (RP) organiza a soluo de forma

atender todas as restries violadas na etapa anterior.

Finardi (2003) e Rodrigues (2009) modelaram o problema de

forma semelhante a Montibeller (2003). No entanto, eles consideram

restries de minimum up/downtime e de rampa na modelagem das unidades termeltricas. Alm disso, o intercmbio entre os subsistemas

tambm considerado nessa modelagem. Utilizando tcnicas de RL

com duplicao de variveis, o problema original decomposto em

quatro subproblemas: Hidreltrico, Termeltrico, Hidrulico e de

Atendimento Demanda. Tais subproblemas so resolvidos utilizando

tcnicas de Programao Quadrtica Sequencial (PQS), Programao

Dinmica (PD) e Programao Linear (PL). O problema dual resolvido


utilizando o mtodo de feixes. A diferena entre os trabalhos de Finardi

(2003) e Rodrigues (2009) que Finardi (2003) resolveu apenas os

subproblemas Hidreltrico e Hidrulico. Rodrigues (2009) resolve os

quatro subproblemas, otimiza a funo dual e, como a soluo ainda

invivel ao problema primal, realiza uma etapa de RP, utilizando a

tcnica do LAI, para viabilizar a soluo. Desta forma, Finardi (2003)

obtm um bom comissionamento para as unidades hidreltricas e

Rodrigues (2009) obtm uma soluo vivel para a PDO do sistema

hidrotrmico como um todo.

Belloni et al. (2003) e Diniz (2007) tambm se destacaram por

utilizar tcnicas de RL e LAI para resolver o problema de

comissionamento de unidades em sistemas hidrotrmicos. Ambos

usaram uma representao linear por partes para a funo de produo

das unidades hidreltricas. Utilizando tcnicas de duplicao de

variveis com RL, Belloni et al. (2003) decompe o problema em dois

subproblemas menores (Termeltrico e Hidreltrico), que so resolvidos

utilizando tcnicas de PL e PD. Diniz (2007) tambm duplica variveis

no contexto da RL para decompor o problema em trs subproblemas

menores (Eltrico, Hidreltrico e Trmico) que so resolvidos por PL,

Programao Quadrtica (PQ) e PD. O mtodo de feixes tambm

utilizado para resolver o problema dual neste trabalho.

Takigawa (2010) modela o problema de forma semelhante a

Montibeller (2003), Finardi (2003) e Rodrigues (2009). A principal

diferena est na forma como o sistema de transmisso modelado.

Alm disso, esse trabalho considera restries de minimum up/downtime

tanto para as unidades termeltricas como para as unidades hidreltricas.

O problema original decomposto em cinco subproblemas menores

(Termeltrico, Hidreltrico, Hidrotrmico, Coordenao com

Planejamento de Curto Prazo e Alocao de unidades Hidreltricas), que

so resolvidos utilizando tcnicas de PL, PQ, PD e PQS. Assim como

Rodrigues (2009), Takigawa (2010) faz uso das tcnicas da RL e do LAI

para encontrar uma soluo vivel para o problema da PDO.

Scuzziato (2011) resolve um problema de comissionamento de

unidades geradoras de usinas hidreltricas acopladas em cascata. Neste

trabalho, a funo de produo das unidades hidreltricas ainda mais

detalhada, em relao s representadas nos trabalhos de Montibeller

(2003), Finardi (2003), Rodrigues (2009), Takigawa (2010), com a

adio das perdas mecnicas da turbina e das perdas globais do gerador.

O objetivo dessa modelagem minimizar a vazo turbinada e o nmero

de ligamentos e desligamentos das unidades. Utilizando RL com

duplicao de variveis, o problema decomposto em dois


21

subproblemas menores: um de natureza no-linear inteira-mista e outro

linear. O problema dual resolvido utilizando o mtodo de feixes e o

LAI utilizado para recuperar a soluo primal. Alm do bom

comissionamento das unidades hidreltricas, o autor mostra a

importncia da considerao das perdas mecnicas da turbina e globais

do gerador na modelagem da funo de produo.

Aristizbal (2012) resolve um problema de comissionamento de

unidades em um sistema hidrotrmico utilizando RL e RP. Sua

modelagem semelhante s apresentadas por Montibeller (2003),

Finardi (2003), Rodrigues (2009) e Takigawa (2010). Duplicando

variveis, o problema decomposto pela RL em quatro subproblemas

(Hidrulico, de Atendimento Demanda, de Alocao de Unidades

Termeltricas e de Alocao de Unidades Hidreltricas). O problema

dual resolvido pelo mtodo de feixes. O diferencial desse trabalho

uma anlise comparativa de quatro estratgias para encontrar a soluo

vivel do problema na RP baseadas nas tcnicas do LAI e do Primal

Proximal (PP) (DUBOST et al., 2005). O modelo hbrido LAI-PP

apresentou os melhores resultados.

O trabalho de Wang e Zang (2012) utiliza estratgias de

decomposio Lagrangiana para resolver o problema de

comissionamento de unidades geradoras de usinas hidreltricas em

cascata. Apesar dos autores linearizarem uma funo de produo

quadrtica dependente da altura de queda lquida e da vazo turbinada

da unidade geradora, o problema permanece com no linearidades na

funo objetivo que busca maximizar as receitas proveniente da gerao,

da reserva girante e do volume armazenado. Um mtodo de

subgradiente aprimorado utilizado para atualizar os multiplicadores de

Lagrange e, devido inviabilidade da soluo, uma heurstica

considerada para viabilizar a soluo. O autor define as unidades

idnticas como um nico gerador e reduz consideravelmente a dimenso

do problema e o tempo de soluo.

Na segunda parte desta seo sero destacados alguns trabalhos

que utilizaram pacotes de otimizao de PLIM para resolver problemas

relacionados programao da operao diria.

Teegavarapu e Siminovic (2000) apresentam uma modelagem

para o despacho de usinas hidreltricas em cascata considerando um

forte acoplamento hidrulico. A funo objetivo visa a minimizao do

custo total de produo e a minimizao dos custos associados ao

vertimento das usinas. As restries consideram a seleo da curva de

nvel de jusante resultante do acoplamento hidrulico das usinas, o

balano hidrulico com tempo de viagem da gua e os limites tcnicos


operacionais. A funo de produo das usinas aproximada por

funes lineares por partes e o problema resultante resolvido por

PLIM. Os resultados mostram as vantagens de se representar o

acoplamento hidrulico na modelagem. Ressalta-se que este trabalho

despacha as usinas da cascata, mas no cada unidade geradora

invidualmente.

Martin (2000) tambm utiliza PLIM para despachar as unidades

em usinas do rio Colorado, no Texas, Estados Unidos da Amrica. O

modelo tem como objetivo a maximizao da gerao de energia

eltrica, desde que satisfaam as diversas restries, as quais levam em

conta o balano hidrulico, as funes de produo e os limites tcnicos

operacionais. As funes de produo so linearizadas por partes e o

horizonte de planejamento de 72 horas. Um sistema de programao

em tempo real desenvolvido para despachar 13 unidades geradoras de

trs usinas.

Mahalik et al. (2012) apresentam um programa (CHEERS) que otimiza o comissionamento de unidades para o dia seguinte e operaes

em tempo real das usinas hidreltricas da cascata do Complexo Oroville-

Thermalito, na Califrnia. O problema formulado buscando atender a

critrios ambientais especficos e considerando os servios ancilares. A

funo objetivo do problema visa maximizar as receitas provenientes de

gerao, servios ancilares e reserva girante, e minimizar custos

relativos a partidas e paradas de unidades geradoras. As restries

contam com o balano hdrico, em que o tempo de viagem de uma usina

para outra obedece uma funo densidade de probabilidade normal,

alm de restries de rampa e limites tcnicos operacionais. O problema

linearizado e solucionado por PLIM.

Li et al. (2014) resolvem o problema de comissionamento de

unidades geradoras da usina hidreltrica de trs gargantas, na China. A

funo objetivo desse problema busca minimizar o custo relacionado s

vazes turbinada e vertida da usina. As restries consideram a

conservao da massa dgua, os limites operativos do sistema, o atendimento demanda horria e reserva girante, minimum

up/downtime e integralidade das variveis binrias. Interpolaes tridimensionais so realizadas para linearizar as funes de produo

das unidades. A altura de queda lquida tambm linearizada e o

problema resolvido com pacotes de PLIM. Desta forma, os autores

obtm boas alocaes das unidades geradoras envolvidas.

Por fim, a terceira parte desta seo destaca alguns trabalhos que

utilizaram pacotes computacionais de PNLIM para resolver problemas

relacionados PDO.


23

Catalo et al. (2009), Catalo et al. (2010a), Catalo et al.

(2010b) utilizam pacotes de PNLIM para resolver problemas de

comissionamento de unidades hidreltricas de uma usina. As no

linearidades da funo de produo dependente da vazo e do volume

do reservatrio so consideradas. Alm disso, as modelagens destes

trabalhos consideram as zonas proibidas de operao, o balano

hidrulico e a uma linearizao para eficincia das unidades. Catalo et

al. (2010a) ainda consideram rampas e limites para partidas e paradas nas unidades. Catalo et al. (2010b) tambm consideram a averso ao

risco na modelagem. Em Catalo et al. (2009) e Catalo et al. (2010a) os

resultados so comparados com modelagens linearizadas e resolvidas

por pacotes de PLIM. Os autores perceberam que, mesmo com um

tempo computacional maior, os resultados obtidos utilizando pacotes de

PNLIM so mais realistas sob ponto operacional.

Em Catalo et al. (2010c) apresentado um modelo de PNLIM

para despachar usinas hidreltricas em cascata; porm, tambm no se

otimiza o despacho das unidades geradoras invidualmente. A funo

objetivo deste modelo busca maximizar o lucro obtido pela usina,

minimizar os custos associados partida das usinas e maximizar o valor

futuro da gua armazenada nos reservatrios. As restries levam em

conta a equao de balano hidrulico, a queda lquida varivel, a

funo de produo, os limites tcnicos operacionais e a relao entre as

variveis binrias do problema. Apesar das funes de produo e queda

lquida serem linearizadas, o problema solucionado por um pacote de

PNLIM pelo fato da funo objetivo no ser linear.

Cordova et al. (2013) desenvolvem um sistema de otimizao da

gerao a partir de dois problemas de PNLIM para a usina hidreltrica

de It, localizada no sul do Brasil. O primeiro faz o despacho das

unidades de forma a minimizar o consumo de gua considerando uma

funo de produo no linear semelhante a de Scuzziato (2011). O

segundo determina faixas operativas de gerao de cada unidade

considerando um determinado nvel de otimizao. Neste trabalho, a

acelerao da gravidade e a densidade da gua no so constantes. Alm

disso, so consideradas perdas por detritos nas grades das unidades

geradoras. Os dois problemas so resolvidos por pacotes de PNLIM. O

comissionamento resultante eficiente e as geraes em unidades

idnticas despachadas no so iguais devido s diferenas nas constantes

que ponderam as perdas nas grades.

Com base na descrio anterior, o presente trabalho prope

resolver o problema do CUH em cascata a partir de uma modelagem

semelhante abordada em Scuzziato (2011), tendo em vista o nvel de


detalhamento da funo de produo das unidades hidreltricas. No

entanto, algumas modificaes sero implementadas modelagem do

problema. Trs diferentes estratgias de soluo, baseadas em RL/RP e

pacotes computacionais de PLIM e PNLIM, so implementadas e

analisadas comparativamente.

1.2 CONTRIBUIES

Este trabalho inicialmente prope uma modificao modelagem

do trabalho do Scuzziato (2011) a partir da retirada do termo que

minimizava as partidas e paradas das unidades e insero de restries

que garantem as unidades geradoras ligadas por um tempo mnimo

depois de acionadas (restries de minimum uptime). Isso minimiza o

problema de definio emprica dos custos relativos s partidas e

paradas das unidades. Adicionalmente, acrescenta-se funo objetivo

do problema o somatrio dos vertimentos das usinas ao longo do

perodo de planejamento para garantir que a defluncia total seja

minimizada.

Alm de propor uma modificao na modelagem, este trabalho

resolve o problema de comissionamento de unidades geradoras de

usinas hidreltricas em cascata por trs estratgias diferentes afim de

verificar a qualidade de soluo de cada uma. A primeira ser baseada

nas estratgias de RL e RP de forma semelhante ao trabalho de

Scuzziato (2011). A segunda estratgia baseada na simulao do

problema em um solver de PNLIM que utiliza um algoritmo de

aproximao exterior (DURAN e GROSSMANN, 1986). Esta

ferramenta computacional chamada de AIMMS outer approximation

(AOA) e est disponvel no programa computacional AIMMS 3.14

(AIMMS, 2014). Por sua vez, a terceira estratgia de soluo proposta

neste trabalho baseia-se na linearizao das funes de produo a partir

das interpolaes tridimensionais realizadas em Li et al. (2014). No

entanto, as interpolaes foram adaptadas para otimizar as unidades de

usinas hidreltricas acopladas em cascata. O problema de PLIM

resultante solucionado pelo CPLEX 12.6 (CPLEX, 2014), disponvel

tambm no programa computacional AIMMS.

1.3 OBJETIVOS E ESTRUTURA DO TRABALHO

O objetivo geral deste trabalho consiste em apresentar anlise

comparativa de diferentes estratgias de soluo ao problema de

comissionamento de unidades geradoras de usinas acopladas em cascata.


25

Nesse sentido, os objetivos especficos a serem cumpridos so:

1. Apresentar uma modelagem detalhada ao problema, incluindo restries de uptime, que visam minimizar as intervenes de manutenes no planejadas, e

adicionando a minimizao das vazes vertidas na

funo objetivo em relao Scuzziato (2011);

2. Mostrar uma modelagem linear para o problema de comissionamento de unidades geradoras de usinas

acopladas em cascata, considerando a modelagem no

linear completa apresentada em Scuzziato (2011);

3. Realizar uma anlise comparativa de diferentes estratgias de soluo a fim de se verificar a qualidade,

as vantagens e as desvantagens inerentes cada uma;

4. Buscar formas de simplificar o problema para melhorar a qualidade e/ou o tempo de simulao das estratgias;

5. Analisar o efeito das solues quando as metas de demanda so otimizadas para um grupo de usinas de um

mesmo agente, em vez de uma meta de demanda por

usina independente de quem o agente proprietrio.

Este trabalho est organizado conforme descrito na sequncia. No

Captulo 2 apresentada a modelagem detalhada do problema de

comissionamento de unidades geradoras em usinas hidreltricas

acopladas em cascata. Por sua vez, no Captulo 3, as diferentes

estratgias de soluo so detalhadas. J no Captulo 4, os resultados de

cada estratgia de soluo, assim como uma anlise comparativa das

mesmas, so apresentados. Por fim, no Captulo 5 so descritas as

principais concluses e sugestes para trabalhos futuros.

Captulo 2 | Modelagem e Formulao do Problema

27

2 MODELAGEM E FORMULAO DO PROBLEMA

2.1 INTRODUO

O objetivo deste captulo apresentar a modelagem do problema

de comissionamento das unidades em usinas hidreltricas acopladas em

cascata concebido como um modelo de PNLIM. Para isso, inicialmente

so consideradas as principais caractersticas operativas das usinas e os

parmetros necessrios para modelar a funo de produo das suas

unidades geradoras. Na sequncia, apresentado o problema de

otimizao de interesse, que tem como objetivo minimizar a vazo

defluente da cascata.

2.2 MODELAGEM DO SISTEMA HIDRELTRICO

Uma usina hidreltrica composta por uma ou mais unidade(s)

geradora(s), que transforma(m) a energia mecnica, resultante do torque

provocado no eixo da turbina pela energia potencial gravitacional da

gua acumulada no reservatrio, em energia eltrica. Neste trabalho,

uma unidade geradora refere-se a um conjunto turbina e gerador.

Na Figura 2.1 podem ser observados os componentes bsicos de

uma usina hidreltrica.

Figura 2.1: Componentes bsicos de uma hidreltrica. Fonte: Scuzziato

(2011).

Modelagem e Formulao do Problema | Captulo 2 28

Atravs da Figura 2.1, observa-se que a gua captada em um

certo nvel (cota de montante), entra no canal de aduo, atravessa o

conduto forado, passa pela turbina, e descarregada pelo tubo de

suco em uma cota inferior (cota de jusante). Quanto maior for a altura

de queda bruta (diferena da altura entre os nveis de montante e jusante,

medida em metros), hb, maior ser a potncia de sada. Se forem

descontadas as perdas hidrulicas no canal de aduo e no tubo de

suco, tem-se a altura de queda lquida, hl, tambm em metros. Tais

alturas de queda so modeladas na Seo 2.2.1.

Para a modelagem da funo de produo de uma unidade

geradora, as caractersticas fsicas da turbina (que converte a energia

potencial gravitacional da gua em energia mecnica) e do gerador (que

converte energia mecnica em eltrica), bem como as perdas envolvidas

em cada etapa, devem ser consideradas em detalhes (FINARDI, 2003).

Na Figura 2.2 apresentada de forma esquemtica o processo de

produo da potncia eltrica e as perdas envolvidas em uma unidade

hidreltrica. Esse processo comea com a potncia associada ao

armazenamento da gua no reservatrio e vai at a potncia disponvel

nos terminais do gerador.

Turbina Geradorphd pet pst peg pg

ph pt pmt pgg

Figura 2.2: Diagrama esquemtico de uma unidade.

Os principais parmetros ilustrados na Figura 2.2 so definidos

a seguir. phd a potncia hidrulica disponvel na unidade

hidreltrica (MW) dada pelo produto entre a altura de

queda bruta, hb (m), a vazo turbinada na mesma, q (m

3/s), e uma constante G

1:

, phd G hb q (2.1)

1 Essa constante obtida pelo produto da acelerao da gravidade (g) do local, da densidade da

gua () e do sistema de unidades considerado. Este trabalho considera g = 9,8361 m/s, = 997 kg/m e MW como unidade de potncia, o que resulta em G = 9,81.10-3 kg/(ms).


29

pet a potncia na entrada da turbina (MW) dada pelo

produto da altura de queda lquida, hl (m), com a vazo turbinada; alternativamente, pode ser calculada

pela diferena entre a potncia hidrulica disponvel,

phd, e as perdas hidrulicas, ph (MW):

ou , pet G hl q pet phd ph (2.2)

pst a potncia mecnica na sada da turbina (MW), dada

pelo produto de pet e , em que o rendimento hidrulico da turbina; alternativamente pst pode ser dada pela diferena entre pet e as perdas na turbina

associadas , pt:

ou , pst G hl q pst pet pt (2.3)

peg a potncia mecnica na entrada do gerador (MW) entregue pelo eixo da turbina, sendo que pmt

representa as perdas mecnicas no eixo que acopla a

turbina ao gerador:

, peg pst pmt (2.4)

pg a potncia de sada nos terminais do gerador (MW), sendo que pgg representa as perdas globais do

gerador:

. pg peg pgg (2.5)

Na sequncia, a altura de queda lquida, hl, o rendimento

hidrulico da turbina, , e as perdas no conjunto turbina-gerador (pmt e pgg) so modelados matematicamente afim de representar a funo das unidades geradoras. As modelagens de hl e so baseadas em Finardi (2003). Por sua vez, as representaes das perdas pmt e pgg baseiam em

Scuzziato (2011).

2.2.1 Altura de Queda Lquida

A diferena entre o nvel de montante, fcm, e o nvel de jusante,

fcj, define a queda bruta, hb. No sistema eltrico brasileiro, o nvel de


montante usualmente representado matematicamente por um

polinmio de quarta ordem que depende do volume do reservatrio, v,

em hm. O valor da cota de montante dado pelo seguinte polinmio:

2 3 4

0 1 2 3 4( ) a a a a a ,fcm v v v v v (2.6)

em que,

fcm o valor da cota de montante (m);

a0,...,a4 so os coeficientes do polinmio que representa a cota

de montante para o reservatrio.

O nvel de jusante da usina, por sua vez, representa o nvel do rio

aps o canal de restituio. Quando a turbina do tipo de reao, como

as consideradas nesse trabalho, a mesma opera afogada e a alterao do

nvel de jusante afeta a altura de queda lquida da unidade. Neste caso,

esse nvel dado matematicamente por um polinmio, tambm em geral

de quarta ordem, que depende da vazo defluente do reservatrio, dado

pela soma entre a vazo turbinada da usina, Q, e o vertimento, S2. O

valor da cota de jusante dado pelo seguinte polinmio:

2 3

0 1 2 3

4

4

, b b b b

b ,

fcj Q S Q S Q S Q S

Q S

(2.7)

em que,

Fcj o valor da cota de jusante (m);

b0,...,b4 so os coeficientes do polinmio que representa a cota

de jusante para o reservatrio.

Caso haja elevao no nvel de jusante causado pelo retardo no

escoamento dgua, faz-se necessrio adicionar, alm das vazes turbinadas e vertidas da usina, uma cota que pode ser obtida a partir do

volume armazenado no reservatrio a jusante ou, em alguns casos, a

partir da vazo lateral de um afluente a jusante. Contudo, neste trabalho

considerado que a cota de jusante no depende do nvel de montante

do reservatrio imediatamente a jusante.

2 A varivel S no clculo de cota de jusante no considerada quando o vertedouro est

suficientemente distante do canal de fuga da usina (FINARDI, 2003).


31

Logo, pode-se definir a altura de queda bruta, em metros, por:

, , , .hb Q S v fcm v fcj Q S (2.8)

A altura de queda lquida, hl, dada pela diferena entre a altura

de queda bruta, hb, e as perdas hidrulicas, ph, que ocorrem no canal de aduo e no tubo de suco. Essas perdas hidrulicas correspondem

parcela da altura de queda bruta que no aproveitada pela turbina.

Uma parte dessas perdas ocorre por atrito da gua nos condutos

forados, hlp, e a outra parte so associadas energia hidrulica no

aproveitada pela turbina, hls. Neste trabalho, hlp representado matematicamente por uma funo quadrtica que depende da vazo

turbinada da unidade geradora da seguinte forma:

2pk ,hlp q q (2.9)

em que,

kp uma constante que depende das caractersticas fsicas

do conduto forado que conecta o reservatrio com uma

certa unidade hidreltrica (s2/m

5).

Adicionalmente, hls tambm pode ser representada por uma

funo quadrtica dependente de q:

2sk ,hls q q (2.10)

em que,

ks uma constante que depende da rea da seo de

baixa presso da turbina e da acelerao da gravidade

(s2/m

5).

Com a queda bruta e as perdas hidrulicas definidas, pode-se

modelar matematicamente a equao de queda lquida como sendo:


2 3 4

0 1 2 3 4

2 3

0 1 2 3

4 2 2

4 p s

, , , a a a a a

b b b b

b k k ,

hl v Q S q v v v v

Q S Q S Q S

Q S q q

(2.11)

em que,

Hl a altura de queda lquida da unidade hidreltrica (m).

2.2.2 Rendimento Hidrulico da Turbina

Entre a potncia na entrada da turbina, pet, e a potncia na sada

da turbina, pst, existe uma perda, pt, relacionada ao rendimento hidrulico da turbina, , que representa a eficcia com que transferida a potncia disponvel na gua que flui atravs da turbina para o eixo do

rotor (GULLIVER e ARNDT, 1991).

Sob ponto de vista prtico, o rendimento hidrulico fornecido

pelo fabricante da turbina por meio de um conjunto de pontos do tipo (, pst, hl). Contudo, como pst no varivel de deciso no problema, mas

sim a vazo turbinada, deve-se ento realizar alguns clculos para

converter o conjunto (, pst, hl) em outro do tipo (, q, hl). Essa tarefa realizada calculando os valores de q associados aos pontos (, pst, hl) por meio da Equao (2.3). Por meio de uma anlise grfica do conjunto

(, q, hl) pode-se observar que a representao matemtica desse rendimento pode ser dada por uma funo quadrtica cncava, conforme

descrito por:

0 1 2

22

3 4 5

, , , c c c , , ,

c , , , c c , , , ,

v Q S q q hl v Q S q

q hl v Q S q q hl v Q S q

(2.12)

em que,

o rendimento hidrulico de uma dada unidade

hidreltrica;

c0,...,c5 so os coeficientes do polinmio que representa o

rendimento hidrulico de uma dada unidade hidreltrica.

Os coeficientes c0,...,c5 so obtidos usando tcnicas de regresso

linear (WONNACOTT e WONNACOTT, 1972). Por ter um formato de


33

colina, a curva de rendimento hidrulico da turbina tambm conhecida

por curva-colina. A Figura 2.3 apresenta o exemplo ilustrativo de uma

curva-colina.

.0.92

0.900.88

0.86

0.84

0.82

0.80

0.80

Va

z

o T

urb

ina

da

(m

3/s

)

Queda Lquida (m)

Queda Lquida Mxima

(48 m)

Queda Lquida Mnima

(32 m)

Queda Lquida

Nominal

41 m

0.7870 MW

80 MW

90 MW

100 MW

110 MW

Potncia Mecnica de

Sada da Turbina

Eficincia Hidrulica da

Turbina

180

200

220

240

260

280

300

320

340

VAZO TURBINADA

MXIMA

.

.

41

mx = 0.94

Zona Probida

X X

X

X X

X

X

X

X

X

XX

X

X

X

X

X

X

X

X

X

XX

X

X

X

XX

120 MW

MXIMA POTNCIA DE SADA

X

X

X

Figura 2.3: Curva colina de uma turbina hidrulica. Fonte: Finardi (2003).

O eixo horizontal est relacionado com a queda lquida e o eixo

vertical com a vazo turbinada. As curvas de nvel representam o

rendimento e as linhas tracejadas a potncia mecnica no eixo da turbina

em relao a um dado ponto de operao. Pode-se perceber, para esse

caso, que a melhor eficincia ocorre quando a queda lquida est

prxima de 41 metros e a vazo turbinada prxima de 260 m/s, o que

indica o ponto de projeto desta turbina.

2.2.3 Perdas Mecnicas na Turbina e Globais do Gerador

As perdas mecnicas na turbina esto associadas potncia

consumida pelo atrito com os mancais guias e mancais de escora, alm das perdas na vedao do eixo da turbina (RIBAS, 2003). Tais perdas

so dadas em MW e podem ser representadas matematicamente atravs

de uma funo quadrtica dependente da potncia gerada, pg, por meio

da seguinte expresso:


20 1 2g g g ,pmt pg pg pg (2.13)

em que,

g0,...,g2 so constantes obtidas por ensaios de campo.

Por sua vez, as perdas globais do gerador so constitudas pelas

perdas eltricas da mquina mais uma parcela das perdas mecnicas nos

mancais e selo de vedao (SCUZZIATO, 2011). Matematicamente, so

dadas em MW e representadas pela seguinte funo exponencial:

1f .0f ,pg

pgg pg e (2.14)

em que,

f0,f1 so constantes obtidas por ensaios de campo.

2.2.4 Funo de Produo das Unidades Hidreltricas

Atravs da equaes (2.4) e (2.5), pode-se definir a funo de

produo das unidades geradoras hidreltricas como sendo:

0.pg pst pmt pg pgg pg (2.15)

Como pmt e pgg dependem da varivel pg, a potncia gerada por uma unidade hidreltrica definida por meio da seguinte restrio de

igualdade no linear:

( , , , ) ( , , , ) ( )

( ) 0.

pg G v q Q S hl v q Q S q pmt pg

pgg pg

(2.16)

Na produo de energia eltrica tem-se como variveis de

controle a vazo turbinada na unidade geradora, q, e a vazo vertida da usina S. O volume armazenado no reservatrio, v, a vazo turbinada da

usina, Q, e a potncia de sada do gerador, pg, so consideradas

variveis de estado.


35

2.2.5 Restries Operativas Adicionais

Alm da funo de produo das unidades geradoras, para se

modelar o problema do comissionamento de unidades de usinas

acopladas em cascata faz-se necessrio a considerao de restries de

conservao da massa dgua, de atendimento demanda, de tempo mnimo de operao para as unidades geradoras e de limites tcnicos

operacionais de gerao, armazenamento e vertimento.

O princpio da conservao da massa dgua garante que o volume do reservatrio, em qualquer estgio de tempo, igual ao

volume anterior mais o volume afluente e menos o volume defluente.

Desconsiderando os efeitos de evaporao e infiltrao, esse princpio

representado pela seguinte restrio:

, 1 , , ,

mr mr

r

rt r t rt rt m t m t rt

m

v v c Q S Q S c y (2.17)

em que,

r o ndice associado aos reservatrios da cascata;

t o ndice associado aos estgios de tempo;

c a constante que transforma a vazo (m/s) em um volume (hm) em um perodo de tempo equivalente

ao utilizado na discretizao do horizonte de

planejamento;

r o conjunto de reservatrios imediatamente a

montante ao r-simo reservatrio;

mr o tempo de viagem da gua entre os reservatrio m

e r (h);

Qrt a vazo turbinada na r-sima usina ao longo do

estgio t (m/s), representada pela soma das vazes

turbinadas das j unidades geradoras:

1

rtn

jrt rt

j

q Q

;

Srt a vazo vertida do r-simo reservatrio ao longo do

estgio t (m/s);

vrt o volume armazenado do r-simo reservatrio no incio do estgio t (hm);

yrt a vazo incremental afluente do r-simo

reservatrio ao longo do estgio t (m/s).


A equao de conservao da massa dgua (2.17) mostra que a operao dos reservatrios acoplada no tempo e no espao, ou seja,

que a operao de uma usina a montante afeta a operao da usina a

jusante.

Os limites tcnicos dos volumes e da vazo vertida dos

reservatrios so modelados como segue:

min max

max

,

0 ,

r rt r

rt r

v v v

S S (2.18)

em que,

Srmax

a vazo vertida mxima do r-simo reservatrio

(m/s);

vrmin

o valor do volume mnimo do r-simo reservatrio (hm);

vrmax

o valor do volume mximo do r-simo reservatrio (hm).

No tocante as restries relacionadas com as unidades, existe uma

regio de gerao definida como zona proibida (como pode ser

observado na Figura 2.3). Nessas regies podem ocorrer cavitaes,

fortes vibraes mecnicas, oscilaes de presso no tubo de suco e

oscilaes no eixo do rotor. Por isso, deve-se evitar operar

continuadamente nessas regies. Alm disso, precisa-se garantir que a

unidade geradora opere somente em uma zona de operao. A restrio

abaixo estabelece os limites de potncia para cada regio de operao:

min max

1 1

,

jr jr

jkr jkrt jrt jkr jkrt

k k

pg z pg pg z (2.19)

em que,

j o ndice associado s unidades geradoras; k o ndice das zonas de operao das unidades;

jr o nmero total de zonas proibidas de operao da

unidade j do reservatrio r;

zjkrt a varivel binria que indica se a unidade j do

reservatrio r est ligada (1) ou desligada (0) na zona


37

k, no estgio t, tal que 1

1

jr

jkrt

k

z ;

pgjrt a potncia gerada na unidade j e no reservatrio r durante o estgio t (MW);

pgmin

jkr a potncia mnima da unidade j e reservatrio r operando na zona k (MW);

pgmax

jkr a potncia mxima da unidade j e reservatrio r

operando na zona k (MW).

necessrio tambm limitar a vazo turbinada da unidade

geradora. A partir da curva colina da unidade, extrai-se o conjunto de

pontos (, hl, q) e, em seguida, aproxima-se o conjunto de pontos (q

min,q

max, hl) para polinmios que limitam os valores das vazes

turbinadas de cada unidade (SCUZZIATO, 2011). A representao

matemtica das vazes mnimas e mximas ficam da seguinte forma:

max 2 3

0 1 2 3

min 2 3

0 1 2 3

min max

( ) d d d d ,

( ) e e e e ,

( ) ( ),

jrt jrt jr jr jrt jr jrt jr jrt

jrt jrt jr jr jrt jr jrt jr jrt

jrt jrt jrt jrt jrt jrt jrt

q hl hl hl hl

q hl hl hl hl

u q hl q u q hl

(2.20)

em que,

d0,...,d3 so constantes; e0,...,e3 so constantes.

ujrt a varivel binria que indica se a unidade j do

reservatrio r est ligada (1) ou desligada (0) no

estgio de tempo t, tal que 1

jr

jrt jkrt

k

u z ;

Para que o desgaste das unidades geradoras seja reduzido,

adicionado formulao do problema um conjunto de restries que

limita o tempo mnimo em que a unidade deve permanecer em operao.

Dessa forma, a unidade geradora tende a ligar e desligar menos vezes

durante o dia, minimizando as intervenes de manutenes no

planejadas. Essas restries, definidas como tempo mnimo de operao,

so modeladas como em Frangioni et al. (2009):


, 1, 1 , 1 , up

jrt jrp jr p jru u u p t t t (2.21)

em que,

tup

jr o nmero de estgios em que a unidade j do reservatrio r deve permanecer ligada (h).

Vale ressaltar que quanto maior for o valor de tup

, mais restries

de uptime sero necessrias ao problema. Por exemplo, se o tup

for de 7

horas, o problema ter 6 restries de uptime para cada estgio de tempo

e para cada unidade geradora.

Por fim, conforme citado anteriormente, no Brasil as metas de

gerao so atribudas pelo ONS para cada usina durante cada hora do

dia seguinte (ONS, 2009). Sendo assim, as restries de atendimento

demanda podem ser modeladas da seguinte maneira:

1

,

rtn

jrt rt

j

pg L (2.22)

em que,

pg a potncia gerada pela unidade j, reservatrio r e no

estgio t; nrt o nmero de unidades disponveis para operao no

reservatrio r e no estgio t;

Lrt a meta de gerao para a usina do reservatrio r no estgio t (MW).

Na prxima seo apresentada a formulao proposta para o

problema de comissionamento de unidades geradoras de usinas em

cascata.

2.3 FORMULAO DO PROBLEMA

Esta seo apresenta a modelagem proposta para o problema de

comissionamento de unidades geradoras de usinas hidreltricas

acopladas em cascata. Devido s caractersticas apresentadas, o

problema classificado como um problema de PNLIM e de grande

porte. Tal problema tem como objetivo a minimizao da vazo

defluente da usina. Desta forma, no problema buscam-se as menores


39

vazes turbinadas para as unidades atenderem as metas de potncia e os

menores vertimentos para as usinas, o que resulta na maximizao do

recurso energtico (i.e., gua) disponvel ao final do perodo de

planejamento.

Sendo assim, o problema de otimizao proposto nesse trabalho

dado por:

, , , ,

1 1

min ( ),T R

rt rtQ S v q pg

t r

Q S

(2.23)

sujeito a :

1 , , ,

mr mr

r

rt rt rt rt m t m t rt

m

v v c Q S Q S c y (2.24)

min max

max

,

0 ,

r rt r

rt r

v v v

S S (2.25)

1

,

rtn

jrt rt

j

pg L (2.26)

( , , , ) ( )

( ) 0,

jrt jrt rt jrt rt rt jrt jrt

jrt jrt

pg pst v q Q S pmt pg

pgg pg (2.27)

1

0,

rtn

jrt rt

j

q Q (2.28)

min

max

( , , , ),

( , , , ),

jrt jrt jrt rt rt rt jrt


q u q v Q S q

q u q v Q S q (2.29)

, 1, 1 , 1 ,up


min max

1 1

,

jr jr


k k

pg z pg pg z (2.31)

1 1

, 1, 0,1 , 0,1 ,

jr jr

jkrt jrt jkrt jkrt jrt

k k

z u z z u (2.32)

em que,

R o nmero total de reservatrios do sistema; T o nmero total de estgios da programao (h).


As no linearidades e variveis inteiras presentes tornam o

problema complexo e de difcil soluo. Alm disso, o acoplamento

espacial e temporal presente na restrio de conservao da massa

dgua e o acoplamento temporal da restrio de uptime tendem a tornar o problema ainda mais complexo. Por isso, faz-se necessrio o uso de

tcnicas e ferramentas adequadas para a obteno de solues viveis ao

problema.

2.4 CONCLUSES

Este captulo teve como objetivo principal apresentar a

modelagem proposta para o problema de CUH de usinas acopladas em

cascata. Devido proximidade temporal com a operao em tempo real,

as caractersticas tcnicas, fsicas e operacionais devem ser modeladas

de forma realstica.

A funo de produo das unidades geradoras considera o

rendimento do conjunto turbina-gerador, a queda lquida, a vazo

turbinada, as perdas mecnicas da turbina e as perdas globais do

gerador. Adicionalmente, a formulao do problema tambm considera

o princpio da conservao da massa dgua entre as usinas, o atendimento meta de demanda por usina, os limites tcnicos

operacionais das variveis envolvidas, assim como as restries de

uptime, que mantm a unidade ligada por um perodo pr-estabelecido afim de reduzir o desgaste da unidade geradora.

Tais consideraes resultam na modelagem de um problema de

otimizao com variveis inteiras e contnuas, no-linear e de grande

porte. Com isso, o problema torna-se complexo por se tratar de um

problema combinatrio e no convexo.

Logo, para que esse problema seja resolvido de forma eficiente,

faz-se necessrio a utilizao de tcnicas de programao matemtica

robustas e/ou ferramentas computacionais que garantam boas solues

viveis e em tempos aceitveis ao modelo proposto.

No prximo captulo, as trs diferentes estratgias de soluo

utilizadas neste trabalho para resolver o problema proposto so

apresentadas.

Captulo 3 | Estratgias de Soluo

41

3 ESTRATGIAS DE SOLUO

3.1 INTRODUO

O objetivo deste captulo apresentar as trs estratgias de

soluo utilizadas neste trabalho para resolver o problema do


acopladas em cascata, representado em (2.23)-(2.32). Como esse

problema no linear inteiro-misto (PNLIM), o procedimento de

soluo no uma tarefa trivial, sendo necessria a aplicao de tcnicas

matemticas e de ferramentas computacionais eficientes para que uma

boa soluo seja obtida em um tempo condizente.

A primeira metodologia utilizada neste trabalho baseada em

tcnicas de decomposio do problema original em problemas menores

e mais fceis de serem resolvidos. A segunda metodologia baseia-se na

utilizao do pacote computacional AIMMS Outer Approximation (AOA) que resolve diretamente o problema de PNLIM. Na terceira

metodologia, o problema de PNLIM linearizado por meio de uma

remodelagem da funo de produo, sendo ento resolvido como um

problema de PLIM pelo pacote computacional CPLEX.

3.2 RELAXAO LAGRANGIANA E RECUPERAO PRIMAL

Umas das metodologias utilizadas neste trabalho para a obteno

de solues viveis ao problema proposto o uso de tcnicas de

Relaxao Lagrangiana (RL) e Recuperao Primal (RP) (DINIZ, 2007;

RODRIGUES, 2009; TAKIGAWA, 2010; SCUZZIATO, 2011;

ARISTIZBAL, 2012). Inicialmente, para decompor o problema em

subproblemas mais simples, utiliza-se a tcnica de duplicao de

variveis na etapa da RL. A etapa da RL fornece uma soluo primal

invivel e por isso necessria a etapa da RP, a qual resolvida

utilizando a metodologia do Lagrangiano Aumentado Inexato (LAI). O

principal objetivo da RP tornar a soluo primal invivel da RL em

uma soluo vivel.

Esta seo inicialmente descreve a metodologia da RL, assim

como os subproblemas resultantes da decomposio e os algoritmos de

soluo desta etapa. Posteriormente, a estratgia de soluo que busca

viabilizar a soluo na etapa de RP abordada.

Estratgias de Soluo | Captulo 3 42

3.2.1 Relaxao Lagrangiana

A RL baseia-se na construo do problema dual a partir da

relaxao das restries que acoplam o problema, as quais so

transferidas para a funo objetivo e ponderadas por variveis

denominadas multiplicadores de Lagrange (BERTSEKAS, 1999). O

problema dual resultante pode ser dividido em subproblemas locais

menores e mais fceis de serem solucionados. As solues desses

subproblemas servem de entrada para o algoritmo do chamado problema

mestre, responsvel por atualizar os multiplicadores de Lagrange a cada

iterao. Ao longo das iteraes do problema mestre, o valor da funo

objetivo do problema dual tende a aproximar-se do valor da funo

objetivo do problema primal, que desconhecido. Se o problema primal

original for convexo, esses valores iro coincidir; caso contrrio, o valor

da funo objetivo do problema dual constitui uma cota inferior para o

valor da funo objetivo do problema primal. Essa diferena entre os

valores das funes objetivos dos problemas primal e dual chamada de

gap de dualidade (BERTSEKAS, 1999). O procedimento geral da RL

ilustrado na Figura 3.1, a seguir.

Resolve Subproblemas

LocaisProblema Mestre

Solues Primais

associadas as restries

relaxadas e valor da

Funo Objetivo

Multiplicadores de Lagrange Atualizados

Figura 3.1: Nveis hierrquicos da RL.

Mesmo com a presena do gap de dualidade, a soluo do

problema por meio da RL pode fornecer bons pontos de partida para

heursticas especializadas em tornar a soluo primal vivel

(GUIGNARD e KIM, 1987). Para isso, importante que o gap

resultante no final do processo iterativo seja o menor possvel. Para que

isso ocorra, a funo dual deve ser otimizada de maneira eficiente. Alm

disso, a maneira como o problema primal decomposto e o dual

construdo tambm ir influenciar na qualidade do gap resultante, pois os subproblemas resultantes do problema dual devem ser resolvidos de

maneira eficiente. Uma ideia nessa direo mostrada sob ponto de

vista terico em Lemarchal et al. (1996) e prtico em Finardi (2003).


43

Para decompor o problema primal deste trabalho, utiliza-se uma

tcnica em que duplica-se as variveis que acoplam o problema,

introduzindo as chamadas variveis artificiais. Assim, possvel obter o

desacoplamento do problema relaxando as equaes de igualdade entre

as variveis originais e artificiais. Essa tcnica possui vantagens com

relao RL clssica (LEMARCHAL e RENAUD, 2001;

GUIGNARD e KIM, 1987; BATUT e RENAUD, 1992).

Como a restrio de conservao da massa dgua acopla o problema no espao, duplica-se as variveis presentes nessa restrio

para decompor o problema. A incluso das variveis artificiais e das

respectivas restries de igualdade apresentada a seguir.

0,

0,

0.

rt rt

rt rt

rt rt

Qa Q

Sa S

va v

(3.1)

Com o intuito de dividir a parte hidrulica da parte que envolve

as unidades geradoras, substitui-se as variveis artificiais (Qa, Sa e va)

na funo objetivo, nas restries de conservao da massa dgua e nos limites hidrulicos. Desta forma, tem-se:

, , , , , , ,

1 1

min ( ),T R

rt rtQa Sa va Q S v q pg

t r

Qa Sa

(3.2)

sujeito a :

1 , , ,

mr mr

r

rt rt rt rt m t m t rt

m

va va c Qa Sa Qa Sa c y

(3.3)

min max max, 0 , r rt r rt rv va v Sa S (3.4)

1

,

rtn

jrt rt

j

pg L (3.5)

( , , , ) ( ) ( ) 0, jrt jrt rt jrt rt rt jrt jrt jrt jrtpg pst v q Q S pmt pg pgg pg

(3.6)

1

0,

rtn

jrt rt

j

q Q (3.7)


min

max

( , , , ),

( , , , ),



q u q v Q S q

q u q v Q S q (3.8)

, 1, 1 , 1 , up


min max

1 1

,

jr jr


k k

pg z pg pg z (3.10)

1 1

, 1, 0,1 , 0,1 ,

jr jr

jkrt jrt jkrt jkrt jrt

k k

z u z z u (3.11)

0, 0, 0. rt rt rt rt rt rtQa Q Sa S va v (3.12)

Percebe-se agora que apenas as restries (3.12) esto acoplando

o problema entre reservatrios diferentes. Assim, pode-se relax-las e

formar o problema dual da seguinte forma:

, , , , , , ,

1 1

min [ ( )

( ) ( )],

sujeito a : (3.3) a (3.11),

T RRL

rt rt rt rt rtQa Sa va Q S v q pg

t r

rt rt rt rt rt rt

Qa Sa Q Qa Q

S Sa S v va v

(3.13)

em que,

Qrt o multiplicador de Lagrange associado restrio

(Qart Qrt=0);

Srt o multiplicador de Lagrange associado restrio

(Sart Srt=0);

vrt o multiplicador de Lagrange associado restrio

(vart vrt=0).

A funo do problema dual (3.13) pode ser avaliada por meio de

dois subproblemas menores. O primeiro subproblema definido como

subproblema hidrulico por conter as restries de conservao da

massa dgua, sendo descrito como:


45

, ,

1 1

min [(1 ) (1 )

],

sujeito a : (3.3) e (3.4),

T RSH

rt rt rt rtQa Sa va

t r

rt rt

Q Qa S Sa

v va

(3.14)

O segundo subproblema definido como subproblema de

programao das unidades por conter as restries no lineares e com

variveis binrias. Esse subproblema dado da seguinte maneira:

, , , , 1 1min ( ),

sujeito a : (3.5) a (3.11),

T RSP

rt rt rt rt rt rtQ S v q pg

t r

Q Q S S v v

(3.15)

Conforme pode ser visto, o subproblema hidrulico (3.14) linear

e possui restries de todas as usinas da cascata, por isso pode ser

resolvido como um nico problema a cada iterao da RL por pacotes de

otimizao que resolvem problemas lineares. Neste trabalho, o

subproblema hidrulico resolvido dentro do programa computacional

AIMMS, atravs do pacote CPLEX.

Por sua vez, o subproblema de programao (3.15) de natureza

no linear inteiro-misto, desacoplado no espao (i.e., cada problema

possui restries e variveis associadas a uma nica usina), mas

acoplado no tempo devido s restries de uptime. Assim, (3.15) equivale a resolver R subproblemas de PNLIM a cada iterao da RL.

Estes subproblemas so solucionados pelo pacote AOA disponvel no

programa computacional AIMMS.

Com relao maximizao do problema dual (3.13), existem

vrias tcnicas para se implementar esse problema mestre. A mais

simples e menos eficiente a do Subgradiente (ZHUANG e GALIANA,

1988; FERREIRA et al., 1989). Nesta tcnica no existe critrio de

parada consolidado. Os mtodos dos planos cortantes (WOLSEY, 1998)

e de feixes (LEMARCHAL et al., 1996) superam essa dificuldade. No

entanto, o mtodo de feixes apresenta vantagens significativas em tempo

de simulao por resolver problemas de Programao Quadrtica (PQ) a

cada iterao e, consequentemente, necessita de um nmero menor de

iteraes que o mtodo dos planos cortantes. Isso acontece porque o

mtodo de feixes aplicado a este problema consegue gerar uma

sequncia de multiplicadores de Lagrange que garantem uma efetiva


subida com relao ao ponto timo da funo dual. Logo, neste trabalho,

o mtodo de feixes implementado no problema mestre da RL, de

maneira semelhante ao exposto em Scuzziato (2011).

De forma resumida, o mtodo de feixes utiliza a soluo dos

subproblemas locais para construir e resolver um problema de PQ de

forma a se obter os novos multiplicadores de Lagrange da iterao e

uma aproximao para o modelo da funo dual. Por ltimo, o mtodo

verifica se o passo srio ou nulo. Em caso de passo srio, atualizam-se

os multiplicadores e a funo objetivo do problema dual. O algoritmo

utilizado na soluo da RL segue os seguintes passos:

1) Resolver os subproblemas locais considerando todos os multiplicadores de Lagrange iniciais

0. Como resultado tem-se:

0 0 0( ) ( ) ( ) RL SH SP e sg0;

2) Resolver o problema mestre: 1 2

1

max ,2

iic

sujeito

a: 1 1 1( ) .( ), 1,..., RL n n nsg n i . Como resultado

tem-se: , i i = ;

3) Resolver os subproblemas locais considerando = i. Obtendo-

se: ( ) RL i

e sgi;

4) Calcular a medida de progresso e uma interpolao quadrtica para o parmetro de penalidade, c (KIWIEL, 1990):

1

( ),

i

i i RL

1

1

int 1

( ) ( )2 1 .

( )

iRL i RL

i i

ii RL

c c

5) Verificar passo: Se 1

( ) ( ) 0,1. ,

i

RL i RL i faa ,

ii

( ) ( ) i

RL RL i e 1 minintmin ,0,1 , . i i ic c c c Seno, faa

1

,

i i 1

( ) ( )

i i

RL RL e 1 maxintmax ,10 , . i i ic c c c

6) Se i RLtol ou i=imax

convergiu. Seno, fazer i=i+1 e voltar ao

passo 2.

em que,

tolRL

o valor da tolerncia para a convergncia; it

max o nmero mximo de iteraes na RL;

i o ndice associado ao nmero de iteraes;


47

i o multiplicador de Lagrange associado soluo

candidata a subida da i-sima iterao;

i

o multiplicador de Lagrange associado ltima

soluo de subida, ou centro de estabilidade do

problema mestre, da i-sima iterao;

ci o parmetro de estabilidade quadrtica do problema

mestre da i-sima iterao;

cmin

o limite mnimo para o parmetro de penalidade quadrtica do problema mestre;

cmax

o limite mximo para o parmetro de penalidade

quadrtica do problema mestre;

ciint o valor do parmetro c

i obtido por interpolao

quadrtica na i-sima iterao;

RL o valor da funo dual da RL;

sgi o vetor de subgradientes na iterao i;

i a aproximao das solues, ou medida do progresso, do algoritmo para a i-sima iterao;

n o ndice associado ao nmero de aproximaes

lineares que compem a funo dual.

Como j mencionado, a aplicao do algoritmo da RL resulta em

uma soluo invivel ao problema primal. A etapa de RP, que ser vista

a seguir, tende a viabilizar a soluo obtida na etapa da RL.

3.2.2 Recuperao Primal

A Recuperao Primal tem como principal objetivo tornar vivel

a soluo obtida na RL. Nesta etapa, a tcnica do Lagrangiano

Aumentado (BERTSEKAS, 1999; FREUND, 2004) utilizada para

penalizar as restries relaxadas adicionando termos quadrticos na

funo dual. Isso evita efeitos oscilatrios das variveis primais dos

subproblemas e torna a funo dual diferencial. Assim, tem-se a

seguinte funo dual:


*

, , , , , , ,1 1

* *

2 2

2

min [ ( )

( ) ( )

1 1( ) ( )2 2

1 ( ) ],2

sujeito a : (3.3) a (3.11),

T RLAI

rt rt rt rt rtQa Sa va Q S v q pg

t r

rt rt rt rt rt rt

rt rt rt rt

rt rt

Qa Sa Q Qa Q

S Sa S v va v

Qa Q Sa S

va v

(3.16)

em que,

Q

*rt o multiplicador de Lagrange associado restrio

(Qart Qrt=0) na RP;

S


(Sart Srt=0) na RP;

v


(vart vrt=0) na RP;

o parmetro de penalidade ( 0 ).

Com a introduo dos termos quadrticos, percebe-se a

impossibilidade de decompor o problema em subproblemas menores

conforme acontece na RL. Por isso, faz-se necessrio o uso de um

mtodo de linearizao parcial conhecido como Princpio do Problema

Auxiliar (COHEN, 1980) para contornar essa situao. Para isso, os

termos quadrticos de (3.16) so aproximados da seguinte forma:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) .

i i

rt rt rt rt

i i

rt rt rt rt

i i

rt rt rt rt

Qa Q Qa kQ Q kQ

Sa S Sa kS S kS

va v va kv v kv

(3.17)

em que i o nmero da iterao da RP e kQi, kS

i e kv

i so constantes

chamadas de centro de gravidade obtidas a partir dos valores das

variveis primais da iterao anterior da seguinte maneira:


49

1 1

1 1

1 1

,2

,2

.2

i i

i rt rt

i i

i rt rt

i i

i rt rt

Qa QkQ

Sa SkS

va vkv

(3.18)

Substituindo os termos quadrticos de (3.16) pelas

correspondentes aproximaes mostradas em (3.17), o problema pode

ser decomposto e os subproblemas locais resultantes so dados por:

* *

, ,1 1

* 2

2 2

min {(1 ) (1 )

1 [( )2

( ) ( ) ]},

sujeito a : (3.3) e (3.4),

T RSH

rt rt rt rtQa Sa va

t r

rt rt rt rt

rt rt rt rt

Q Qa S Sa

v va Qa kQ

Sa kS va kv

(3.19)

* * *

, , , ,1 1

2 2

2

min {

1 [( ) ( )2

( ) ]},

sujeito a : (3.5) a (3.11),

T RSP

rt rt rt rt rt rtQ S v q pg

t r

rt rt rt rt

rt rt

Q Q S S v v

Q kQ S kS

v kv

(3.20)

Percebe-se que o subproblema hidrulico (3.19) um problema

de Programao Quadrtica (PQ) e o subproblema de programao

(3.20) um PNLIM.

Como o problema dual (3.16) diferencivel, pode-se usar

tcnicas de otimizao irrestrita para maximizar a funo dual

aumentada. Nesse sentido, a atualizao dos multiplicadores de

Lagrange utilizada neste trabalho baseada no mtodo do gradiente (BERTSEKAS, 1999). As atualizaes dos multiplicadores de

Lagrange, bem como dos parmetros de penalidade so dadas da

seguinte forma (SCUZZIATO, 2011):


* 1 * ,

ii i

i

g

g

(3.21)

lim

11

lim

2

, se,

, se

i

i

i

(3.22)

em que,

o tamanho do passo do mtodo do gradiente;

gi

o vetor de gradientes na iterao i dado pelos

valores das restries relaxadas (xa - x);

1,2 so as constantes de atualizao do parmetro de

penalidade;

lim uma constante que define o limite para se mudar a

atualizao do parmetro de penalidade.

O objetivo do algoritmo do LAI de forar a viabilidade primal a

partir do decrscimo do parmetro de penalidade, , a cada iterao. Os

principais passos do algoritmo da RP so dados por:

1) Atualizar o centro de gravidade (3.18); 2) Resolver os subproblemas locais

3 e obter

* * *( ) ( ) ( ) LAI i SH i SP i e gi;

3) Atualizar os multiplicadores de Lagrange e o parmetro de penalidade;

4) Se2i RPg tol ou i=i

max convergiu. Seno, fazer i=i+1 e

voltar ao Passo 1.

Aplicado a RP, o algoritmo retorna uma soluo ao problema de

comissionamento de unidades geradoras de usinas em cascata.

3.3 PROGRAMAO NO LINEAR INTEIRA MISTA

Esta seo apresenta a forma pelo qual o pacote computacional AIMMS Outer Approximation (AOA) disponibilizado pelo programa

AIMMS tenta encontrar uma soluo para o problema de

3 Na primeira iterao, considera-se que as variveis primais e duais so aquelas obtidas na

ltima iterao da RL.


51


acopladas hidraulicamente.

Para resolver problemas de PNLIM, o algoritmo de aproximao

exterior padro do pacote AOA resolve uma sequncia alternada de

problemas de natureza no linear contnuos, tambm conhecidos como

probl

dissertaÇÃo_brunno_revisado

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