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ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil1

DINÂMICA DE ESTRUTURAS E

AEROELASTICIDADE

Prof. GIL

Aeroelasticidade Dinâmica - Introdução

Introdução a aeroelasticidade dinâmica

Exemplo de fenômeno aeroelástico dinâmico a ser

abordado:

Flutter é uma auto-excitação de dois ou mais modos de vibração de um sistema, devidamente alterada e realimentada pelo escoamento de um fluido.

Pode vir a causar oscilações de amplitude que crescem exponencialmente levando a estrutura a uma falha dinâmica

Introdução a aeroelasticidade dinâmica

Sobre os tipos de Flutter Além do flutter classificado como clássico, ou seja, previsível com teoria dinâmica e aerodinâmica linear, existem outro tipo importantes de flutter;

Alguns desses fenômenos são classificados como não aeronáuticos, por se tratar de estruturas como construções civis ou marítimas, tais como “raisers” de petróleo.

Existem instabilidades que são de natureza não linear, tanto associados ao regime de escoamento (transônico, supersônico ou subsônico), com e sem separação da camada limite, ou mesmo a estruturas que comportam-se não linearmente.

Vamos caracterizar a seguir:

Estol-flutter

Quando um aerofólio oscila próximo à sua condição de estol em regime permanente, o fenômeno do estol passa a ter um caráter dinâmico.

Isto significa que o perfil poderá apresentar, se partir de uma condição de escoamento colado, estol para ângulos maiores que o previsto no caso estático, ou mesmo, se partir de um estol, apresentar escoamento descolado para ângulos de ataque inferiores ao de estol estático.

Este comportamento recebe o nome de histerese aerodinâmica. Existem casos em que este atraso aerodinâmico promove a extração de energia do escoamento, produzindo uma instabilidade.

Este flutter comporta-se normalmente associado a um movimento de um grau de liberdade, o qual não pode ser explicado pela teoria clássica de flutter.

Estol-flutter

Costuma acontecer e “fans”de turbinas - >

Pode também estar associado a uma súbita perda de sustentação devido ao descolamento do escoamento

Dependendo da condição as forças de inércia induzem a amplificação do movimento associada a outra perda abrupta de sustentação causada por outro estol da superfície sustentadora

Oscilações de ciclo limite (LCO)

A oscilação em ciclo limite é caracterizada como uma oscilação de amplitude constante associada a frequências de modos aeroelásticos da estrutura.

Usualmente este fenômeno manifesta-se em uma determinada faixa estreita de número de Mach e confinado em uma variação em ângulo de ataque de amplitude finita e constante

(Filme do F-16 que mostra o LCO.)

LCO - Limit Cycle Oscillation

Não linearidade boa Não linearidade ruim

Observações sobre LCO

LCO normalmente é caracterizado como: Subcrítico ou supercrítico (bom ou ruim) Fortemente não linear ou fracamente não linear (pequenos ou

grandes deslocamentos)

Flutter catastrófico corresponde a um LCO fraco, e associados a grandes deformações, uma estrutura nunca é perfeitamente linear;

O LCO típico está associado a não linearidades importantes, que limitam o movimento a pequenas deformações;

É um fenômeno não linear, esta associado a condições iniciais.

Whirl-flutter

Sistemas aerodinâmicos rotativos, tais como hélices, rotores de helicóptero e pás de compressores e turbinas, podem apresentar uma instabilidade rotativa.

Tomando como representativo o caso de uma hélice, por ocasião da instabilidade o cubo do rotor executa um movimento tipo de precessão de amplitude crescente que pode levar à quebra do conjunto.

Neste fenômeno interagem a aerodinâmica das pás, a dinâmica do conjunto e a elasticidade da estrutura.

Normalmente, a solução do problema consiste em reforçar as ligações do grupo moto-propulsor à nacele, eventualmente com a adição de amortecedores.

Filme NASA

Whirl-flutter

Buzz-flutter

Para aeronaves que operam no regime transônico sabemos existir sobre as asas "pacotes" de ar em regime supersônico, os quais terminam através de ondas de choque normais à superfície.

Se nesta situação a asa oscila, as ondas de choque "passeiam" por sobre a asa, eventualmente atingindo uma superfície de controle, como um aileron.

Esta oscilação induz uma resposta elástica da estrutura, podendo exibir instabilidade.

Para compreendermos bem este fenômeno, deve-se conhecer a interação da camada limite com a onda de choque, o que exige conhecimentos avançados de aerodinâmica.

Trata-se normalmente de um fenômeno não-catastrófico, de alta freqüência, de onde vem o seu nome. Pode ser também entendido como um LCO de lata frequência.

Galloping-flutter

Linhas de transmissão de energia elétrica, bem como “raisers” de exploração de petróleo são exemplos de cilindros imersos no escoamento provido pelos ventos, ou por correntes marítimas no último caso.

Cilindros são corpos aerodinâmicos rombudos, que provocam descolamento da camada limite e formação de esteiras de vórtices, famosas em fotografias clássicas.

Estas esteiras induzem oscilações dos fios, as quais podem instabilizar, produzindo movimentos de grande amplitude, pode existir uma realimentação dos vórtices alternados que amplificam as deformações dos cabos que por sua vez geram vórtices cada vez mais fortes.

Este fenômeno pode reduzir significativamente a vida útil de linhas de transmissão por fadiga, quando associados a vibrações induzidas pelas esteira de vórtices alternados.

Galloping-flutter

Modelos Aeroelásticos simplificados

Seção típica com 1 e 2 graus de liberdade

Aerodinâmica simplificada

Compreensão do fenômeno

Exemplo: Seção típica com 1 GDL

T LI K qSeCαθθ θ θ+ =

( ) 0T LI K qSeCαθθ θ+ − =

Equação torna-se homogênea

I Kθθ θ+ =

h(t)θ(t)

shear center

restrict to small angle

K qSeC qSeC

qSeCq q

α α−= − =

= − =

Solução elementar

( ) ( )1T T T L

K K q K qSeC α

= − = −

( ) 0stt eθ θ=

( )2 20 0 0 0st st st

T Ts I e K e s I K eθ θθ θ θ+ = + =

2 T TK Ks s i

I Iθ θ

= − ⇒ = ±

Note que esta é nossavelha conhecida, a rigidez aeroelástica

( )qKK TT −= 1

( ) 1 2pt pt

θ θ θ −= +

Solução elementar

Análise das possibilidades de solução:Se tivermos a rigidez aeroelástica menorque zero, o sistema apresentará umasolução composta por dois expoentesreais um positivo e outro negativo.

Esta solução caracteriza um crescimentoexponencial de uma das parcelas da Solução para θθθθ com o tempoindicando a instabilidade. Note que éanálogo ao caso estático, rigidez aeroelástica menor que zero implicaem uma instabilidade aeroelástica, nocaso a divergência.

Solução elementar

2 T TK Ks s i

I Iθ θ

= − ⇒ = ±Por outro lado se a rigidezaeroelástica for maior que zero,o que indica que as forças aerodinâmicas são menoresque as forças elásticas, a resposta do sistema será do tipoharmônica

( ) 1 2i t i t

Ks i i

θ θ θ

−= +

= = ±

( ) 1 2cos sint C t C tθ ω ω= +

Onde C1 e C2 são determinados a partirde condições iniciais e de contorno

5004504003503002502001501005000

Torsional frequency vs. airspeed at sea level

airspeed (ft/sec)

ral fr

Frequência X velocidade – 1 GDL

divergência

Conclusões

1. Sistema estável: apresenta um movimento oscilatório senoidal quando perturbado;

2. Sistema instável: apresenta um movimento exponencialmente divergente quando sistema é perturbado.

3. Sistema neutramente estável: apresenta um movimento constante com o tempo, podendo ser senoidal ou não.

Rigidez aerodinâmica

A rigidez aerodinâmica é um conceito decorrente da variação de um esforço aerodinâmico dado um deslocamento;

Está explícito em aeroelasticidade estática; E também quando o fenômeno aeroelástico é dinâmico:

Entretanto, da mesma forma que a rigidez associada a um deslocamento promove um esforço aerodinâmico, podemos ter um amortecimento que estaria associado às velocidades do corpo, e também forças de inércia que estariam associadas às acelerações. Note que agora o nosso problema é dinâmico.

( ) 0T LqSeCI Kαθθ θ+ − =

Modelo dinâmico do seção típica com 2 GDL

Derivação das equações demovimento empregando métodos de energia(Equações de Lagrange)

É um modelo clássico para dar início a compreensão dosfenômenos aeroelásticos. Assume-se que as molas são lineares econtinuamos assumindo pequenas perturbações.

h(t)θ(t)

shear center

Seção típica com 2 GDL

a) Convenção de sinaispor conveniência: O “plunge” é positivo para baixo.b) O sistema de referência possui origem no centro elástico (Xce = 0)

h(t)θ(t)

shear center

h(t) = grau de liberdade em “plunge” (flexão)θθθθ(t) = grau de liberdade em “pitch” (torção)

Medidos a partir da posição de equilíbrio estático

Expressões de energia

sinz h x h xθ θ→ = + ≅ +

Energia cinética 21( )( )

x xT h x dxρ θ

=−= +∫

Energia potencial 2 21 1

2 2h TU K h K θ= +

Equações de Lagrange

( ) ( )i

U UT T

∂ − ∂ −− =

∂ ∂

z(t) é o deslocamento para baixo em uma posição x localizada após ao centro elástico

Energia Cinética

2 21( 2 )

2mh S h IT θ θθ θ= + +

( )dxxm ∫= ρ ( )xdxxmxS ∫== ρθθ

( ) 2 2oI x x dx I mxθ θρ= = +∫

m é a massa total da seção típicaSθ é o momento estático, ou desbalanceamento estático

Iθ momento de inércia da seção típica, composto por:

21( )( )

x xT h x dxρ θ

=−= +∫ Xθθθθ =X

CGposição do centro

de massa com relação aosistema de coordenadas daseção. No caso representaum desbalanceamento comrelação ao eixo elástico

Equações do movimento

θθ θθ

θθ TKU

Equações de movimento na forma matricial. Note que o acoplamento ocorre devido a excentricidade xθθθθ

m mx K hh

mx I K

θ θ θθ

Parâmetros dinâmicos

Definições:

2 2 20

I mr m

θθ θ

θ θθ

= + Ω =

= ⇒ Raio de giração com relação ao cg

Solução elementar

θθ )(

)(Substituímos no sistema acoplado:

0 0hst st

m mx Kh h

mx I Ks e e

θ θ θ θ

0( ) ( )

0( ) ( )sth

s m K s mx h

s mx s I Keθ

θ θ θ

0( ) ( )

0( ) ( )h

s m K s mx h

s mx s I K

θ θ θ

Divide-se pelotermo exponencial

Determinante da matriz

( ) ( )0

( ) ( )h

s m K s mx

s mx s I K

( )( ) ( )( )2 2 2 2 0h Ts m K s I K s mx s mxθ θ θ+ + − =

( ) 02

2222 =

Parâmetros de freqüência desacoplados :

K hh =2ω

θθω

( )( ) ( ) 02

222222 =

θθωω

mxssss h

4 2 2 2 2 21 0h h

θθ θ

ω ω ω ω

− + + + =

Equação Característica

PERGUNTA: O QUE ACONTECE QUANDO O CGCOINCIDE COM O CE?

20mx Iθ =

Frequências naturais

( ) ( )4 2 2 2 2 2 4 20 , 0oh h

Is s as bs c

Iθ θ

ω ω ω ω

+ + + = + + = ⇒

( ) ( )22 2 2 2 2 2

oh h h

Ib b acs s

θ θ θθ

ω ω ω ω ω ω

− + ± + − − ± − = =

( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 21 1

2 2h h h

I I Is

θ θ θθ θ θω ω ω ω ω ω

= − + ± + −

Finalmente, temos a expressão para s :

Cuidado, as frequências naturais são diferentes das frequências associadas a cada grau de liberdade do sistema desacoplado!

Movimento Harmônico Simples

m mx K hh

mx I K

θθθθ

θ θθ θθ θθ θ θθθθθθθθ

+ =+ =+ =+ =

( )( )

Assume-se MHS ->

O que resulta em:

mxm ωω

θθω

Equações do Movimento - Sistema Livre

Note que o sistema a dois graus de liberdade é um sistema acoplado dinamicamente, ou seja nas diagonais da matriz de massa temos osmomentos estáticos;

No domínio da frequência, assumindo MHS:

θθθθ

m mx Kh h

mx I K

ωθ θ

− + =

Aprox. Aerodinâmica Quase-Estacionária

A proposta é estudar o problema da seção típica com dois graus de liberdade, considerando a teoria aerodinâmica quase-estacionária;

Esta teoria pressupõem que as cargas aerodinâmicas são proporcionais aos deslocamentos, velocidades e acelerações associadas a condições de contorno estabelecidas sobre o corpo sujeito a um escoamento.

Flutter Quase-Estacionário

Flutter é uma instabilidade dinâmica de natureza oscilatória e auto excitada que ocorre devido a interação entre dois modos de movimento distintos e um fornecimento de energia externo (carregamento aerodinâmico).

Aerodinâmica quase-estacionária desconsidera efeitos associados ao atraso entre as forças aerodinâmicas geradas (auto-excitação) e o movimento da estrutura;

Ou seja, o carregamento é função exclusivamente de deslocamentos, velocidades e acelerações do corpo (seção típica).

Uma primeira aproximação assume que a sustentação e o momento éfunção de uma ângulo de ataque associado a variação em θθθθ mais a velocidade de translação (dh/dt) dividida pela velocidade do escoamento não perturbado V.

hM L e qS e C

= ⋅ = ⋅ ⋅ +

hL qSC

Sustentação e Momento

(ref. Centro aerodinâmico)

(ref. eixo elástico)

Sistema homogêneo

θθθθ

A inclusão do carregamento aerodinâmico é feita adicionando aolado direito a sustentação L e o momento L.e

x hh mm

x r LeKm

θ θ θθ

Inclusão do carregamento aerodinâmico

m mx K h Lh

mx I K Le

θ θ θθ

− + =

O sinal de L é trocado pois uma sustentação positiva age para cimaenquanto que h é positivo para baixo

, rθθθθ = raio de giração = 2 I

θθ =Dividimos por m, massa

do aerofólio:

Substituindo o carregamento

Temos:

Equação de vibração livre o aerofólio sujeito a um escoamento.

0 0 1 0

x h hqSC V

x r em

h hqSCm

+ + −

+ + = −

Problema estático:

Derivadas temporais nulas:

Recuperamos o problema estático de onde podemos calcular a velocidade de divergência -> verificar!

00 1 0

h hqSCm

+ = −

Adimensionalizando...

ωθω

θθθ

Carregamento Aerodinâmico

θωθωω

θθθ

θ ααh

1 0 0 1

qSC qSC hV

e em mV

hα α

θ θθθ

θω ωθ

− − = +

Fazemos a substituiçãodas relações para a sustentação e o momento,como função dos desloca-mentos apenas.

Teoria de Pines

Teoria de Pines (1958)

É uma maneira de chegarmos a solução do problema de estabilidade aeroelástica, através da solução de um sistema de equação homogêneo onde a contribuição aerodinâmica se dá através da rigidez somente.

Ou seja, desconsidera-se os efeitos aerodinâmicos associados às velocidades de translação e rotação do aerofólio, uma vez que a sua inclusão implica em um amortecimento aerodinâmico o qual impediria tratar os sistema como um problema de vibração livre não amortecida.

É uma forma conveniente e bastante simplificada para identificar uma condição de flutter.

θωθωω

θω θθ

θθθ

01 0 1 01

hLqSCx h hh

x r emr

αθθ

θ θθ θθ

θ θω ωθ

+ + = −

Vibração livre com escoamento

Solução assumindo MHS

( )( )

tiehste

th ωθθθ

θωθω

θωω

θθθ

Dividindo por eiωt

Associando a parâmetros de similaridade….

1q ρ=

θωω

θωθω

θωω

θθθ

θωω

θθθ

Definindo novos parâmetros

2q Vρ= 2

m massa da seção

b l massa do volume de arµ

πρ= = ⇒

2 22L L L

qSC V clC Cb

α α α

θθ θ

µωω ω π

θωω

θθθ

Velocidadereduzida

bωωωω=[velocidade]µµµµ = “massa aparente”

b θω=

θωω

rr θθ =

Estes parâmetros são úteis para caracterizarmos o fenômeno

Parâmetros adimensionais

VelocidadeReduzida

Adimensionalizando por b

θωθθ θ

θθθ

2h2Rθω

θωθωω

θωω

θθθ

x Lh1/b

Para surgir a massa aparente:

θωθθ θ

θθθ

πµωωαα

h hx Rb b

θ θ θ

πµ ω θ

−Ω + +

+ = −

Sistema aeroelástico

No domínio da frequência:

E para estudar a estabilidade deste sistema, posso usar um critério de estabilidade.

2 2 2 2

2 2 2 2 2

CR x V

C ex r r V

αθ θ θ

θπµ

Ω − Ω − − ⋅ = Ω Ω − +

Cálculo do Determinante

( ) [ ] ( )01

222422 =

−+Ω

+−+−Ω−

πµπµα

θαθ

θθθLL CeV

RRrVCxe

θxed +=2b

Centro elástico

Para calcularmos a estabilidade, ou seja o flutter, busca-se a Equação característica para obter as suas raízes.

Distância adimensional entreo ca e o cg.

Equação quártica:

( )2 2 20 0A r x rθ θ= − = >

[ ] ( )

+−+=

πµαθ

VCxeRrB

4 2 0A B CΩ − Ω + =

πµα

θLCeV

Onde os coeficientesA, B e C são dados por:

-> Raio de giração ref. cg

A solução para a eq. característica possui a forma:

AC4BB 22 −±

Ocorrência de flutter

Com o acréscimo na velocidade reduzida, o termos dentro do radical decresce, torna-se negativonegativo implicando em raízes complexas conjugadas;

Raízes complexas, indicam que o exponencial onde s é positivo indica um movimento divergente!

Na situação quando B2 = 4AC, temos a velocidade reduzida

correspondente a condição de flutter.

( )( )

0 , 0i t

ef t a

ω ω σ σ+

= ± >

Condições nominais

Exemplo de um aerofólio com as seguintes características:

Xθθθθ = 0.10 , e = 0.30, R =0.30 ,ωωωωθθθθ = 25 rad/s, µµµµ = 20.0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

Reduced Velocity

quency R

atio (

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Reduced Velocity

quency R

atio (

Efeitos dos parâmetros no flutter

Variação de posição do CG, CE e CA.

A posição do CG em relação ao CE é dada por xθθθθ .

A posição do CA em relação ao CE é dada por “e”.

E a posição do CA ao CG é denotada por “d”.

Pode-se analisar a dinâmica da seção típica sujeita à variações paramétricas descritas em termos de posição do CA e do CG com relação ao CE.

Programa em MATLAB (pines2gdl.m) ->

Método de Pines codificado:

close all

clear all

% 2 dof system

% xth ; x _ theta

% rth2 ; ( r _theta)^2

% R2 ; (omega h /omega alpha)^2

% e -> distncia do CE ao CA - negativa atras

do CE, positiva a frente do CE

b=3.0;

S = 1.0;

wth=25.0;

xth =0.10;

e= 0.30;

cla=2*pi;

d=e+xth;

R2 =(0.3)^2;

rth2=(0.5)^2;

mu =20.0 ;

%mu =30.0 ;

%mu =50.0 ;

for kk=1:400;

vel(:,kk)=kk*0.01;

A=rth2-xth^2;

B=rth2*(1+R2)-(vel(:,kk)^2)*(d*cla)/(pi*mu);

C=R2*(rth2-(vel(:,kk)^2)*(e*cla)/(pi*mu));

rst1(:,kk)=sqrt((B+sqrt(B^2-4*A*C))/(2*A));

rst2(:,kk)=sqrt((B-sqrt(B^2-4*A*C))/(2*A));

figure(1);

plot(vel(1,:),real(rst1(1,:)),'.r',vel(1,:),

real(rst2(1,:)),'.b'),

axis([0.0 5.00 0 1.60]),xlabel('Reduced

Velocity'),

ylabel('Frequency Ratio (Real)'),grid;

figure(2);

plot(vel(1,:),imag(rst1(1,:)),'.r',vel(1,:),

imag(rst2(1,:)),'.b'),

axis([0.0 5.00 -1.2 1.0]),xlabel('Reduced

Velocity'),

ylabel('Frequency Ratio (Imag)'),grid;

A causa do flutter

O flutter clássico somente ocorre quando a interação de dois modos;

Vamos supor que existam dois movimentos tais como os associados aos graus de liberdade da seção típica: h e α α α α (ou θθθθ como preferir).

Ambos obedecem a um movimento harmônico simples, porém apresentam uma defasagem de um ângulo φφφφ.

Defasagem entre movimentos significa que em um determinado instante de tempo um deles atinge o seu máximo enquanto o outro não.

Esta diferença de fase é essencial para o flutter.

O mecanismo do flutter

Assume-se que os movimentos de arfagem e vertical são formados de forma que tenham amplitude e fase contantes

Cálculo do trabalho realizado pelos esforços aerodinâmicos agindo no CA, durante um ciclo de dutação Tp.

Lembre que:

O trabalho realizado pelo escoamento é representado pela força queque gera um carregamento (sustentação) a qual é aplicada no CA. O deslocamento resultante neste ponto é dado por:

22p pT T

πω π

ω= ⇒ =

( )z t h e θ= − ⋅

Entendendo o Mecanismo de flutter

( )tcos

= ( ) ( )0 cost tθ θ ω φ= +

Assume-se um movimento defasado como:

Vamos calcular o trabalho realizado pelo aerofólio em um ciclo de movimento:

T ciclo

h(t)θ(t)

shear center

Trabalho realizado

O trabalho realizado é representado pela seguinte relação:

p pT T

aeroo o

dz dtLt

= − = −∫ ∫i i

( )tcos

= ( ) ( )0 cost tθ θ ω φ= +

( )z t h e θ= − ⋅ LL qSCαθ=

Trabalho por ciclo:

( )cosoL LL qSC qSC tα α

θ φθ ω= +=

( ) ( )cosp

dth eCW qS tαθ ω φ θ−+= −∫ i

( ) ( )sinco sinsp

a o or

hb t eW dSC t

bq t t

αθ ω ω θ φω ωφ

= +∫ i

sinaero L o oW qSC hα

π θ φ= −

Temos:

Trabalho por ciclo

Se 0 < φφφφ < 180o , Waero < 0 o aerofólio trasfere energia para o escoamento !

Se -180o < φφφφ < 0, sin φφφφ < 0, o aerofólio absorve energia do escoamento, Waero > 0, a tendência é aumentar a amplitude do movimento Flutter !

Quando φφφφ = 180o tem-se o ponto de estabilidade neutra, associado ao limite da condição onde o aerofólio começa a extrair energia do escoamento.

sinaero L o oW qSC hα

π θ φ= −

Acoplamento dos modos

Os movimentos de “pitch” e “plunge” estão defasados em 180o, o que é representado na solução de flutter pelo par de raízes complexas conjugadas que surgem na condição de flutter, onde ocorre o acoplamento destes dois graus de liberdade.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Reduced Velocity

quency R

atio (

Defasagem entre os movimentos

φφφφ negativoindica flutter

( ) ( )0 cosL t tθ θ ω φ= +∼

sinair L o oW qSC hα

π θ φ= −

V+Waero

vel. plunge

velocidadeem plunge

+ Waero

velocidadeem plunge

velocidade em plunge

Entendendo o movimento ...

Analisando o movimento na amplitude mais negativa do movimento em plunge, o ângulo de arfagem é nulo (defasagem). A medida que a velocidade em plunge aumenta, o ângulo em arfagem decresce e a sustentação age na direção do movimento em plunge que aumenta.

Quando o deslocamento em plunge é nulo, o ângulo em pitch é mais negativo. Aumentando o plunge, o pitch decresce porém sendo ainda negativo, a sustentação continua agindo na direção do movimento em plunge.

Ao atingir o máximo deslocamento, a velocidade é nula, mas a partir deste ponto o ângulo de pitch aumenta (fica mais positivo) promovendo uma sustentação na direção do movimento restaurador em plunge, ou seja, trabalho positivo é realizado durante todo o ciclo, na condição em que a defasagem do movimento é em um ângulo onde sin φφφφ < 0.

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