difração de elétrons · difração de elétrons três anos após esta proposta, dois...
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Difração de ElétronsRelatório, 09 de maio de 2008
Brenno Gustavo Barbosa e Thiago Schiavo Mosqueiro
Difração de Elétrons
• Em torno do século XX, o modeloclássico da física divergia emresposta de diversos experimentos.Alguns novos modelos forampropostos que remendavam estemodelo clássico.
• Um dos modelos foi a proposta deLouis de Broglie, sobre a existênciade ondas de matéria.
Difração de Elétrons
Três anos após esta proposta, dois experimentos distintos confirmaram esta nova modelagem utilizando a difração
(efeito usualmente observado em ondas) de elétrons.
George Paget Thomson, na Universidade de Aberdeen, observou a passagem de um feixe de elétrons por uma fina camada de metal e observou o fenômeno proposto, medindo o
comprimento de onda efetivo.
Nos laboratórios da Bell, Clinton Joseph Davisson e Lester Halbert Germer guiaram um feixe de elétrons, incidindo sobre uma
estrutura cristalina (periódica) e observaram o mesmo fenômeno.
Comprimento de
onda associada a
um elétron
O modelo de de Broglie propõeassociarmos a qualquer partículauma onda, cujo comprimento deonda e energia estão bemdefinidos.
Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partidapara as novas teorias a asserção,para uma dada partículaqualquer, a relação
.p
h
h: constante de Planck.
p: momento.• Com isto, podemos modelar a
seguinte situação de forma bemsimples: imagine um feixe deelétrons que incide sobre ummaterial.
Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partidapara as novas teorias a asserção,para uma dada partículaqualquer, a relação
.p
h
h: constante de Planck.
p: momento.• Com isto, podemos modelar a
seguinte situação de forma bemsimples: imagine um feixe deelétrons que incide sobre ummaterial.
Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partidapara as novas teorias a asserção,para uma dada partículaqualquer, a relação
.p
h
h: constante de Planck.
p: momento.• Com isto, podemos modelar a
seguinte situação de forma bemsimples: imagine um feixe deelétrons que incide sobre ummaterial.
Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partidapara as novas teorias a asserção,para uma dada partículaqualquer, a relação
.p
h
h: constante de Planck.
p: momento.• Com isto, podemos modelar a
seguinte situação de forma bemsimples: imagine um feixe deelétrons que incide sobre ummaterial.
Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partidapara as novas teorias a asserção,para uma dada partículaqualquer, a relação
.p
h
h: constante de Planck.
p: momento.• Com isto, podemos modelar a
seguinte situação de forma bemsimples: imagine um feixe deelétrons que incide sobre ummaterial.
Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partidapara as novas teorias a asserção,para uma dada partículaqualquer, a relação
.p
h
h: constante de Planck.
p: momento.• Com isto, podemos modelar a
seguinte situação de forma bemsimples: imagine um feixe deelétrons que incide sobre ummaterial.
d A
B
C
Difração de Elétrons
A B
d
• Chamamos a distância d dedistância entre planos de incidência,sobre os quais o elétron realizará adifração.
• Este é um fator que necessitaremosde dados previamente calculadospor outras técnicas.
• As ilustrações anteriores nosfornecem como solução final,utilizando como argumento adiferença de caminho óptico (termoemprestado da óptica geométrica),
nd )sin(2
• Esta equação assemelha-seaos máximos associados aopadrão de difração. Ocomprimento de ondaassociada ao elétron pode,portanto, ser calculada apartir da difração de elétronsem uma rede cristalina.
Difração de Elétrons
• O que no entanto realmenteocorre está esquematizadoacima. Podemos, portanto,aproximar a relação acima,conhecida como Equação deBragg, apenas como
.l
rd
• Isto significa que, utilizando estaaproximação, podemos calcular ocomprimento de onda associadaao elétron.
• Parte de nossa experiência seráutilizar o padrão de difração pararealizar este cálculo.
Difração de Elétrons
• Suponha agora que um cátodoincandescente emite elétrons e osacelera com a ação de um potencialV. Sem nos preocupar com muitosdetalhes, podemos calcular avelocidade a partir da conservaçãode energia
.2
m
eVv
• Utilizando a proposta de de Broglie,conhecemos o comprimento de ondaassociada a esses elétrons,
.2meVh
• Conhecendo o comprimento deonda de um elétron, podemos entãocalcular a constante de Planck,
.2meV
h
• Podemos então obter a constante dePlanck de 2 formas parecidas: umadelas é calculando diversoscomprimentos de onda, para diferentespotenciais de aceleração, e calculando amedia das constantes de Planckcalculadas com cada particular valor;outra forma é utilizar um gráfico querelacione contra o inverso da raizquadrada do produto 2meV.
A difração de elétrons
e a constante de
Planck
Segundo nosso modelo, podemospropor um procedimento queresultará não apenas na mediçãodo comprimento de ondaassociada ao elétron, comotambém o valor da constante dePlanck.
O procedimento
• Sabemos o que calcular e o que devemos medir.Nos falta um procedimento, isto é, comomedir.
• O padrão de difração assemelha-semuito à figura abaixo. Esta figura trazconsigo detalhes que serão importantespara nossa modelagem e criação denosso procedimento para realizar asmedidas.
• Note que a resolução do feixe não émuito pequeno. Notamos que a largurado feixe observado pode chegar adiferir de 0.5cm, medida estarelevante para nosso experimento.
• Com base nisto, bolamos o seguinteprocedimento de medida: para cadatensão de aceleração, era possívelobservar duas circunferências distintas.Anotamos então o diâmetro de cadauma das duas circunferências,utilizando três métodos distintos.
• O raio das circunferênciasobservadas são os padrões dedifração. Cada circunferênciaretrata um plano de reflexãodistinto. Deveremos marcar,portanto, o raio de cada umadas circunferências que forempassíveis de leitura.
O procedimento
• Primeiro Passo: medimos o raiomais interno, fechando o paquímetrototalmente e o reabrindo até tocar,internamente, a circunferência.
1d
O procedimento
Primeiro Passo: medimos o raiomais interno, fechando o paquímetrototalmente e o reabrindo até tocar,internamente, a circunferência.
2d Segundo Passo: medimos o raiomais externo, abrindo o paquímetro atéultrapassar a circunferência e, emseguida, o fechando até tocar,externamente, a circunferência.
O procedimento
Primeiro Passo: medimos o raiomais interno, fechando o paquímetrototalmente e o reabrindo até tocar,internamente, a circunferência.
3d Segundo Passo: medimos o raiomais externo, abrindo o paquímetro atéultrapassar a circunferência e, emseguida, o fechando até tocar,externamente, a circunferência.
Terceiro Passo: medimos o raiomédio, entre o raio interno e o raioexterno, utilizando apenas o bom sensocomo discriminação.
O procedimento
• O procedimento descrito no slide anterior érepetido para cada um dos valores do potencialde aceleração.
• O paquímetro que utilizamos nos forneciaprecisão de ± 0.01 mm.
• Variamos o potencial partindo de 2.50kV,com passo de 0.50kV, até 9.50kV.
• Foi possível verificar duascircunferências diferentes, às quaisidentificaremos como circunferênciamenor e circunferência maior.
• Infelizmente, outras ordens eramobservadas apenas em altos valores dopotencial de aceleração (~8.00 ±0.05kV), o que é uma sugestão desimplesmente ignorá-los para todo oexperimento.
• Apresentaremos a seguir os resultados.
Potencial(kV, ± 0.01)
DiâmetroExterno
(mm, ± 0.01)
DiâmetroInterno
(mm, ± 0.01)
Diâmetromédio
(mm, ± 0.01)
Raio(mm, ± 0.01)
Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)
2.49 31.1 31.05 30.45 15.43 2.59
2.99 25 27.35 31 13.89 2.33
3.48 21.3 25 28 12.38 2.08
4.00 19 23.05 26.7 11.46 1.92
4.49 19.65 21.05 26.5 11.20 1.88
5.01 18.7 21.35 24.05 10.68 1.79
5.50 16.5 20.35 21.6 9.74 1.63
6.00 16.85 19.4 21.6 9.64 1.62
6.47 17 19 20 9.33 1.57
7.03 15.75 17.3 19.6 8.78 1.47
7.52 15.05 17 18.8 8.47 1.42
8.01 15.8 16.35 18.3 8.40 1.41
8.50 14.1 14.8 17 7.65 1.28
9.01 15.2 17 -- 8.05 1.35
9.50 14.85 15.55 16.35 7.79 1.31
Circunferência menor
• Os valores anteriores mostram como devem ser oscomprimentos de onda para o elétron. Notemos que aordem de grandeza de nossas medidas é
.10 111 m
• Este valor está dentro do valor esperado, mas ainda nãotem muito significado para nós.
• Podemos agora medir o valor da constante de Planck h,cujo valor é fornecido pelo CODATA com grandeprecisão. Para isto, utilizamos a relação
.2meVh
Circunferência menor
Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)
h(E-34 Js)
Erro(E-34 Js)
Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)
h(E-34 Js)
Erro(E-34 Js)
2.59 6.97 1.62 1.57 6.79 2.60
2.33 6.87 1.77 1.47 6.66 2.71
2.08 6.61 1.91 1.42 6.65 2.81
1.92 6.56 2.05 1.41 6.81 2.90
1.88 6.79 2.17 1.28 6.38 2.99
1.79 6.84 2.29 1.35 6.92 3.07
1.63 6.54 2.40 1.31 6.87 3.16
1.62 6.76 2.51
Circunferência menor
• Assim, podemos calcular amédia das constantes dePlanck, obtendo comoresultado
.10)2.085.6( 34 Jsh p
• Ao lado, vemos ocomportamento dos dadosmodelados em um gráfico.
• Ao relacionarmos com oinverso do quadrado dopotencial, o esperado é umareta cujo coeficiente angular édiretamente proporcional a h.
2.0x1022
2.5x1022
3.0x1022
3.5x1022
4.0x1022
1.2x10-11
1.4x10-11
1.6x10-11
1.8x10-11
2.0x10-11
2.2x10-11
2.4x10-11
2.6x10-11
Difração de Elétrons
Prop. ao inverso da raiz quadrada do potencial (1/(2meV)1/2
)
Medidas obtidas para acircunferência de menor diâmetro.
Melhor reta fitada:
(6.9 ± 0.2)10-34
Js * x - (6 ± 5)10-13
Co
mp
rim
en
to d
e o
nd
a d
o e
létr
on
(m
)
Potencial(kV, ± 0.01)
DiâmetroExterno
(cm, ± 0.01)
DiâmetroInterno
(cm, ± 0.01)
Diâmetromédio
(mm, ± 0.01)
Raio(mm, ± 0.01)
Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)
2.49 5.11 5.24 5.16 25.85 2.50
2.99 4.59 4.89 5.25 24.55 2.38
3.48 4.36 4.60 4.80 22.91 2.22
4.00 3.72 4.43 4.20 20.58 1.99
4.49 3.65 4.00 4.22 19.78 1.92
5.01 3.54 3.85 4.11 19.15 1.85
5.50 3.46 3.62 3.83 18.17 1.76
6.00 3.25 3.50 3.80 17.57 1.70
6.47 3.00 3.40 3.60 16.67 1.61
7.03 2.86 3.17 3.40 15.70 1.52
7.52 2.81 3.07 3.26 15.22 1.47
8.01 2.86 2.94 3.16 14.92 1.44
8.50 2.70 2.90 3.00 14.33 1.39
9.01 2.69 2.60 3.10 13.98 1.35
9.50 2.60 2.80 2.85 13.76 1.33
Circunferência maior
• Temos mais novos dados sobre os comprimentos deonda do elétron, cuja ordem de grandeza concorda com oexperimento anterior,
.10 112 m
• Este valor, teoricamente, deveria manter-se o mesmo.Podemos notar que a discrepância entre estes doisvalores obtidos é de
.10)02.0( 11m
• Digamos de passagem que esta é uma discrepânciausualmente chamada de insignificante.
Circunferência maior
Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)
h(E-34 Js)
Erro(E-34 Js)
Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)
h(E-34 Js)
Erro(E-34 Js)
2.50 6.97 1.62 1.57 6.79 1.61
2.38 6.87 1.77 1.47 6.66 1.52
2.22 6.61 1.91 1.42 6.65 1.47
1.99 6.56 2.05 1.41 6.81 1.44
1.92 6.79 2.17 1.28 6.38 1.39
1.85 6.84 2.29 1.35 6.92 1.35
1.76 6.54 2.40 1.31 6.87 1.33
1.70 6.76 2.51
Circunferência maior
• Assim, podemos calcular amédia das constantes dePlanck, obtendo comoresultado
.10)02.064.6( 34 Jshg
• Ao lado, vemos o (bom)comportamento dos dadosmodelados em um gráfico.
• Ao relacionarmos com oinverso do quadrado dopotencial, o esperado é umareta cujo coeficiente angular édiretamente proporcional a h.
2.0x1022
2.5x1022
3.0x1022
3.5x1022
4.0x1022
1.2x10-11
1.4x10-11
1.6x10-11
1.8x10-11
2.0x10-11
2.2x10-11
2.4x10-11
2.6x10-11
Difração de Elétrons
Medidas obtidas para acircunferência de maior diâmetro.
Melhor reta fitada:
(6.55 ± 0.07)10-34
Js * x + (9 ± 2)10-13C
om
pri
me
nto
de
on
da
do
elé
tro
n (
m)
Prop. ao inverso da raiz quadrada do potencial (1/(2meV)1/2
)
Correção relativística
• Sabendo o potencial a que esta submetido umelétron, sua velocidade deverá ser
• Sem muito rigor, vamos propor a seguinte correção namassa eletrônica:
.2
1)(1
)(
2
0
0
2
0
cm
eV
m
c
Vv
mVm
.2
)(0m
eVVv
Correção relativística
• Infelizmente, ao propor esta correção não háqualquer modificação nos cálculos.
• Primeiramente, podemos argumentar que os potenciais nãosão suficientemente grandes para que diferenças sejam defato notórias.
• Também podemos lembrar que esta correção, segundo amodelagem relativística usual, não é correta: a massa seriauma função da velocidade, que é função do potencial. Dada avelocidade inicial, teríamos a aceleração destes elétrons e,então, a colisão nos planos cristalinos. Isto exigiria, paracorreções de maior ordem, a relatividade geral, o que não estádentro do escopo do estudo.
Conclusão e palavras
finais
Apresentaremos a seguir nossasconclusões e as referências queutilizamos para efetuas oscálculos e raciocínios.
Conclusão
• A constante de planck foideterminada pelo CODATA com ovalor
• Nesta experiência, utilizamosa difração de Bragg para obtero comprimento de onda,segundo De Broglie, doselétrons. Com o comprimentode onda, calculamos o valorda constante de Planck comerro relativo de 2%.
• Para realizar as medidas,propusemos uma modelagemsegura para a medida do raiode circunferências espessas.
• Utilizamos o programaOrigin para montar osgráficos.
.)10(626068.6 34 Jsh
• Nós obtemos o valor, dados osexperimentos realizados comodescrito acima,
.10)08.074.6( 34 Jsh
• Este valor indica um erro relativo aovalor esperado de 2%.
Obrigado pela atenção
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