desafio av4

PROFESSOR HELANDERSON SOUSA

Questão Propostas como desafio aos alunos da turma

AV4 (1ª Ano avançado) do Antares Papicú

Considere um sistema constituído de dois planetas de mesma

densidade de raios diferentes onde seus centros estão separados

a uma distância d. Um dos planetas possui uma cavidade de

diâmetro R igual ao raio do planeta que a contém como mostra a

figura abaixo. Sabe-se que um objeto colocado a uma distância a

do centro do planeta que possui a cavidade e entre os dois

planetas, permanece em equilíbrio. Nessas condições determine

o raio do planeta que não possui cavidade.

Solução:

A Cavidade no planeta de raio R, para efeito de calculo, funciona como um

corpo de massa m’ e raio R/2 que ao invés de atrair age com uma força

repulsiva sobre o objeto considerado.

Considere a figura abaixo

Seja:

F1 = A força que o planeta de raio R exerceria sobre o objeto se

não houvesse a cavidade

Onde M é a massa do planeta e m a massa do objeto.

Assim M = d.V Onde V é o volume da esfera

Logo

M = d e F1 = assim F1=

A Força (repulsiva) imaginaria que a cavidade exerce sobre o objeto é

dada por analogia a F1 por:

F2 =

E a força que o outro planeta de raio r ( que queremos descobrir) é dada

em termos de densidade por

F3 =

(Lembre-se que a densidade dos dois planetas é a mesma)

Considerando a condição de equilíbrio devemos ter:

F1= F2 + F3

(Como as três forças estão na mesma direção, dispensamos o rigor

vetorial)

Substituindo as relações teremos

= +

Cancelando o que deve ser cancelado teremos

Ou

= =

Onde

E

r =

Finalmente

r =

Dúvidas

helandersomslavyero@hotmail.com