de calculo iii... · 538 respostas 35. (a) aplique o corolário a cada componente separadamente....

27. x + 2y = 4

y

31. x + y = -1y

-2

35. 5 J7T

39.4

43. 0,14

7T 7T 37T

47. Em (O,O):2; em (1, 1): 4 e 4

Seção 9.3, p. 133-1361. (a) r(t)=2 costi + 3cost j

y

+.

29. -2x + y = - 3

y

x

-2

33. 2x - y = Oy

x

37. 3:464 J7T

41. "6

7T 27T

45. "3 e "3 em cada ponto

(b)v(t) = (-2 sen t)i + (3 cos t)j,

(a)(t) = (-2 cos t)i + (-3 sen t)j(c) Módulo da velocidade = 2, versor = (-1, O)(d) Velocidade = 2( -1, O)

3. (a) r(t) =sec(t) i + tg(t) jY

*.(b) v= (sec t tg t)i + (sec2 t)j, a(t) = (sec t tg2 t + sec3 t)i +

(2 sec2 t tg t)j

(e) Módulo da velocidade = 2-ys,versor = (..!rs,.:rs).

(2\15

)(1 2 )(d) VelocIdade = ~ V5' \15 -

5. t = O, 7T, 27T

Respostas 537

x

7. t = todos os múltiplos inteiros não negativos de I9. are eus (~) = 53,130 graus

11. (a) 3i (b) t =1=O, -313. (a) y = -115. -3i + (4\12 - 2)j17. (sec t)i + (ln Isec t I)j + C19. r(t) = «(t + 1)3/2-1)i - (e-t - l)j21. r(t) = (8t + 1O0)i+ (-16t2 + 8t)j23. 225. (a) v(t) = (cos t)i - (2 sen 2t)j

(b ) t = ~ 37T2' 2

(c) y = 1 - 2x2, - 1 :S X :S 1. A partícula começa a se moverem (O, 1), vai até (1, -1), então vai para (-1, -1) e entãopara (O, 1), traçando a curva duas vezes.

27 r(t) = (1 t2 + 3VlOt + l)i + (-1 t2 - VlOt + 2)j. 2 5 2 5

29. (a) i. Módulo da velocidade constanteii. Sim,ortogonal

iii. Movimento anti-horárioiv. Sim

(b) i. Módulo da velocidade constanteii. Sim, ortogonal

iii. Movimento anti-horárioiv. Sim

(c) i. Módulo da velocidade constanteii. Sim, ortogonal

iii. Movimento anti-horárioiv. Não

(d) i. Módulo da velocidade constanteii. Sim, ortogonal

iii. Movimento horárioiv. Sim

(e) i. Módulo da velocidade variávelii. Não ortogonal em geral

iii. Movimento anti-horárioiv. Sim

(c) t = O,-3(b) x = O

1531. (a) 160 s (b) 225 m (c) 4 rn/s

33. (a) Referindo-se à figura, olhe para o arco de circunferênciado ponto onde t = O até o ponto 'm'. Por um lado, essearco tem comprimento dado por (roO),mas também temcomprimento dado por (ut). Tomar essas duas quantidadesiguais dá o resultado.

(b) a(t) ~ -~:[(eos~:} + (sen ~:J]

(e) Do item (b), a(t) = -(*,)' r(t). Assim, pela segunda lei

de Newton, F ~ - m( *)2 f. Substituir F na lei da gravita-ção dá o resultado.

uT(d) Faça1; =27Te resolva para uT.

27Tro GM(e) Substitua u por Tem u2 = ---r;;e resolva para T2.

538 Respostas

35. (a) Aplique o corolário a cada componente separadamente.(b) Segue imediatamente do item (a) uma vez que quaisquer

duas primitivas de r(t) devem ter derivadas idênticas, asaber, r(t).

. de /dC I dC 2)37. Seja C = (CI>C2),-;jf = \---;j(' ---;j( = (O, O).

39. U = (Ul,U2),v = (VI' V2)d d

(a) di(u + v) = di(UI + VI' U2 + V2»

= (;, (U, + V,), 1, (U, + V,))= (U'l + V'l' U'2+ V'2)

(I '

)+(' ,

)du + dv

= U I>U 2 V I>V2 = dt dt

d d(b) di(u - v) = di (UI - VI' U2 - V2»

= (;, (Ul - V,),1, (U, - V;))

= (U'l. - v' l' U'2 - v' 2)

(I I

) (. I I

)du dv

= U l' U 2 - V I> V 2 = dt - dt

41. f(t) e g(t) são diferenciáveis em c ~ f(t) e g(t) é contínua em c~ r(t) =f(t)i + g(t)j é contínua em c.

t t

43. (a) Seja r(t) = f(t)i + g(t)j. Então ~ Ir(q) dq = ;tI[f(q)ia a

+ g(q)j] dq = 1, [(Íf(q) dq} + (Í g(q)dq~] =a at t

(~ If(q) dq} + (~I g(q)dq)j = f(t)i + g(t)j = r(t).a ai t

(b) Seja S(t) = f r(q) dq. Então o item (a) mostra que S(t) é

uma primiti~a de r(t). Seja R(t) qualquer primitiva der(t). Então, de acordo com o Exercício 35, item (b), S(t)= R(t)+ e. Fazendo t = a, temos 0= S(a) = R(a) + e.Portanto, e = - R(a) e S(t) = R(t) - R(a). O resultadose segue fazendo-se t = b.

Seção 9.4, p. 143-1461. 50 s3. (a) 72,2 s, 25.510 m

5. t = 2,135 s, x = 66,42 pés7. (a) Vo= 9,9 m/s

(b) a = 18,4°ou 71,6°9. 190 mi/h

11. A bola de golfe tocará as folhas no topo.13. 149 pés/s, 2,25 s 15. 39,3° ou 50,7°17. 46,6 pés/s 21. 1,92 s, 73,7 pés (aprox.)23. 4,00 pés, 7,80 pés/s27. (a) (Considerando que 'x' seja Ono ponto de impacto.) r(t) =

(x(t»i + (y(t»j, onde x(t) = (35 cos 27°)t e y(t) = 4 + (35sen 27°)t - 16t2.

(b) Em t = 0,497 s, alcança sua altura máxima de cerca de7,945 pés.

(c) Alcance = 37,45 pés, tempo no ar = 1,201 s.

(b) 4.020 m (c) 6.378 m

(d) Em t = 0,254 e t = 0,740 s, quando é = 29,554e =14,396 pés de onde aterrissará.

(e) Sim. Isso muda as coisas porque a bola não ultrapassará arede.

31, (a) r(t) ~ (x(t))i + (y(t))j, ondex(t) = (O,~8)(1 - e-""")

(152 cos 20° - 7,6) e y(t) = 3 + (~,~~)(1 - e-0.O8t)

(sen 20°) + (~ )(1 - O08t - e-O.O8t)0,082 '

(b) Em t = 1,527 s, alcança sua altura máxima de cerca de41,893 pés.

(c) Alcance =351,734 pés, tempo no ar = 3,181 s.(d) Em t = 0,877 e t = 2,190 s, quando está a cerca de

106,028 e 251,530 pés do home piate.(e) Não. A rajada de vento precisaria ser maior que 12,846

pés/s na direção da batida para a bola ultrapassar o alam-brado para um home run.

Seção 9.5, p. 154-1 56

1. (a) e (e) são o mesmo.(b) e (g) são o mesmo.(c) e (h) são o mesmo.(d) e (t) são o mesmo. .

3. (a) (1, 1) (b) (1, O) (c) (O, O) (d) (-1,-1)

y

(1.1)

(O.O)r eA

~(-1~-1) ~ (1~O)

x

5. (a) (\12, 3;) on(\12, _5;)

(b) (2, -~) ou( -2, 2;)

(c) (3. I) ou(3, 5;)(d) (1, 7T)ou (-1, O)

ct(O. 3)(-1, 1) Ae~

(-1, O)D , eB(1, -V3)

x

7. 9. yy

+.!il!i!!!'!!'!!!!lllllil!1111111!1!llii'!!lil!!!liiii:;;:;;iilil liii:;;:;;ii;:;;:::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::"""""""'" .................

li!!!IIIIIIIIIIIIIIIII!!!II!IIIII!I!I!IIIIIIIIIr2 I

x

11.

f ' ,=:é>,<-2 13'f ' 0<,<..,=13 ' -

x x

t ,='i < 17.~

15. y

-~ ::;8::;~

x

-I::; r::; I

19. Y = O,Oeixo x

21. y = 4, umaretahorizontal23. x + Y = 1, uma reta (coeficiente angular igual a = -1, inter-

secção em y = 1)

25. XZ+ (y - 2)z = 4, um círculo (centro = (0,2), raio = 2)

27. xy = 1 (ou y = ~). uma hipérbole

29. y = ~, a curva exponencial

31. y = ln x, a curva logarítmica

33. (x + 2)z + l = 4, um círculo (centro = (-2, O),raio = 2)

35. (x - I? + (y - l)z = 2, um círculo(centro = (1, 1),raio = \1'2)

37. rcos () = 7

7T39. () = 4"

41. rZ = 4 ou r = 2

43. rZ(4 cosz () + 9 senz (})= 36

45. r senz () = 4 cos ()

47. r = 4 sen ()

49. (a) y

*,(b) Comprimento do intervalo = 27T

51. (a) y

~y(b) Comprimento do intervalo = Í

53. (a) y

m o=l-2~""

~y(b) Comprimento do intervalo = 27T

Respostas 539

55. (a) y

I(~\\ y

~(b) Intervalo necessário = (- 00, 00)

57. (a) ~y(b) Comprimento do intervalo = 7T

59. Eixo x, eixo y, origem. 61. Eixo y.63. (a) Porque r = a sec ()é equivalente a r cos () = a, que é equi-

valente à equação cartesiana x = a(b) r = a cosec ()é equivalente a y = a

67. (O.O),(I, ~).( I, 3;) 69. (O,O),(k, :t~:)

71. (O,O),( :t ~, i)

(7T) (

57T) (

77T) (

117T) (

137T) (

177T)73. 1, 12' 1,12' 1,12' 1,12' 1,12' 1"'12'

( 197T)( 237T)1'12' 1'12

75. Item (a)81. d = [(xz - XI)z + (yz - YI)Z]l!Z = [(rz cos (}z- ri cos (}l)Z+

(rz sen (}z- ri sen (}1)Z]1I2,e então simplifique usando identi-dades trigonométricas.

Seção 9.6, p. 163-1651. Em ()= O:-1; em ()= 7T:1

2 (7T

)2

(37T

)3. Em (2, O): -3; em -1, 2" : O;em (2, 7T):3; em 5, 2 : O7T

5. ()= 2"[x= O]

7. 8~ O[y~ 0],8 = ~[y = (tg~H 8 = 2;[y = (tg2;)xJ

8~ 3;[y = (tg 3;)x]. 8 = ~[y = (tg ~1T~]

9. Horizontalem (-k, ~) [y ~ -Ü (-k, 5;) [y = -Ü

( -2, 3;) [y = 2];.

(7T

) ( 3 77T)vertIcal em O,2" [x = O], -2' (5

(-1,5, 1~1T)[x = _3~]

11. Horizontalem (O,O)[y = O],(2, ~) [y = 2], (O,1T)[y = O];

verticalem(\12, *) [x= I], (\12, 3;) [x = -I]

540 Respostas

13. 187T1T

15. "81T

19. 2" - 123. 3V3 - 1T

27. 121T - 9V3

17. 2

21. 57T- 8

25 E:+V3. 3 2

3 7T29. (a) 2 - 433. 8

7T 337. "8 + 8

. 0,06045. (a) Seja r = 1,75 + ~' O ::s O::S121T

(b) Como ~; = ;1T' essa é exatamente a equação (4) para ocomprimento da curva

31. li35. 3(V2 + ln (1 + V2»

. 39. 21T

(c) = 741,420em,ou = 7,414 m

((b )

2

)112

((b )

2

)112

(b )2

(d) r2 + 21T = r 1 + 21Tr = r porque 21Tr

é uma quantidade muito pequena elevada ao quadrado

(e) L = 741,420cm (doitem(c», La= 741,416cm

Capítulo 9 Exercíciosde Fixação, pp. 165-1691. (a) (-17,32) (b) vTill3. (a) (6, -8) (b) 10

5. (-1. -k) [assunrlndosentidoanti-horário]/ 8 2 )

-7. \V17' - ví7

~

9 C. 2 1 .+ 1 .

. ompnmento = , o versor V2 I V2J.

11. drl

= 2( -i)dt t=",/2

13. Tangentes nnitárias c.t(Jsi + Jsj). nonnais nnitárias c.t

(2. + 1 .

)- vs1 vsJ15.

y

)I"

//'

/'/'/'/'

17. Iv I= \12, Iu I~ v'S, u' v = v' u ~ 3, o = are eos (.Jw)=0,32 rad, Iu Icos O= 3~, projy u = ~(i + j)

19 u = (~ i-! j)+ (l i + ~j). 5 5 5 5

21. (a) v(t) = (-4 sen t)i + (V2 cos t)j,a(t) = (-4 cos t)i + (- V2 sen t)j

(b) 3

(c) cos-t ~ = 38,942°

211 ~.@27. r(t) = (cos t - l)i + (sen t + l)j29. r(t) = i + t2j

31. y

x

33. (d)37. (k)

41. (a)

35. O)39. (i)

y.'(b) 21T

43. (3) ~,(b) E:2

45 R li 7T 31T 51T 71T - .. etas tangentesem u = 4' 4' 4 e4; equaçoescarteslanas

são y = :!::x

47. Horizontal:y = O,Y = :!::0,443,Y = :!::1,739;vertical:x = 2,x = 0,067,x = -1,104

49. y = :!::x + V2 e y = :!::x- V251. x = y, uma reta 53. X2= 4y, uma parábola55. x = 2, uma reta vertical 57. r = -5 sen O

1659. r2 COS20+ 4r2 sen20= 16ou r2 =

COS2O + 4 sen2 O91T 7T

61. 2 63. 2 + 46~8 6~ 1T-369. Módulo da velocidade = 591,982 milh, direção = 8,179 graus

norte de leste.

71. Atinge o solo = 2,135 s depois, aproximadamente66,421 pés deonde saiu da mão do lançador. Considerando que não seja reba-tida pelo solo ou role, ainda estará lá 3 s depois de ser lançada.

73. (a) y

r(t) = (1tt - sen 1tt)i + (1 - COS1tt)j

x

(b) v(O) = (O,O)a(O) = (O, 1T2)

v(2) = (O, O)

a(2) = (O, 1T2)

v(1) = (21T, O)a(1) = (O, -1T2)

v(3) = (21T, O)a(3) = (O, -1T2)