de calculo iii... · 538 respostas 35. (a) aplique o corolário a cada componente separadamente....

4
27. x + 2y = 4 y 31. x + y = -1 y -2 35. 5 J 7T 39.4 43. 0,14 7T 7T 37T 47. Em (O,O):2; em (1, 1): 4 e 4 Seção 9.3, p. 133-136 1. (a) r(t)= 2 costi + 3 cost j y +. 29. -2x + y = - 3 y x -2 33. 2x - y =O y x 37. 3:464 J 7T 41. "6 7T 27T 45. "3 e "3 em cada ponto (b)v(t) = (-2 sen t)i + (3 cos t)j, (a)(t) = (-2 cos t)i + (-3 sen t)j (c) Módulo da velocidade = 2, versor = (-1, O) (d) Velocidade = 2( -1, O) 3. (a) r(t) =sec(t) i + tg(t) j Y *. (b) v= (sec t tg t)i + (sec2 t)j, a(t) = (sec t tg2 t + sec3 t)i + (2 sec2 t tg t)j (e) Módulo da velocidade = 2-ys, versor = (..!rs,.:rs) . ( 2\15 )( 1 2 ) (d) VelocIdade =~ V5' \15 - 5. t = O, 7T, 27T Respostas 537 x 7. t = todos os múltiplos inteiros não negativos de I 9. are eus (~) = 53,130 graus 11. (a) 3i (b) t =1= O, -3 13. (a) y = -1 15. -3i + (4\12 - 2)j 17. (sec t)i + (ln I sec t I)j + C 19. r(t) = «(t + 1)3/2-1)i - (e-t - l)j 21. r(t) = (8t + 1O0)i+ (-16t2 + 8t)j 23. 2 25. (a) v(t) = (cos t)i - (2 sen 2t)j ( b ) t = ~ 37T 2' 2 (c) y =1 - 2x2, - 1 :S X :S 1. A partícula começa a se mover em (O, 1), vai até (1, -1), então vai para (-1, -1) e então para (O, 1), traçando a curva duas vezes. 27 r(t) = ( 1 t2 + 3VlOt +l ) i+ ( -1 t2 - VlOt +2 ) j . 2 5 2 5 29. (a) i. Módulo da velocidade constante ii. Sim,ortogonal iii. Movimento anti-horário iv. Sim (b) i. Módulo da velocidade constante ii. Sim, ortogonal iii. Movimento anti-horário iv. Sim (c) i. Módulo da velocidade constante ii. Sim, ortogonal iii. Movimento anti-horário iv. Não (d) i. Módulo da velocidade constante ii. Sim, ortogonal iii. Movimento horário iv. Sim (e) i. Módulo da velocidade variável ii. Não ortogonal em geral iii. Movimento anti-horário iv. Sim (c) t = O,-3 (b) x =O 15 31. (a) 160 s (b) 225 m (c) 4 rn/s 33. (a) Referindo-se à figura, olhe para o arco de circunferência do ponto onde t = O até o ponto 'm'. Por um lado, esse arco tem comprimento dado por (roO), mas também tem comprimento dado por (ut). Tomar essas duas quantidades iguais dá o resultado. (b) a(t) ~ -~: [(eos ~:} + (sen ~:J] (e) Do item (b), a(t) = -(*,)' r(t). Assim, pela segunda lei de Newton, F~ - m( *) 2 f. Substituir F na lei da gravita- ção dá o resultado. uT (d) Faça1; = 27Te resolva para uT. 27Tro GM (e) Substitua u por Tem u2 = ---r;;e resolva para T2.

Upload: doankhanh

Post on 14-Dec-2018

214 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: de calculo III... · 538 Respostas 35. (a) Aplique o corolário a cada componente separadamente. (b) Segue imediatamente do item (a) uma vez que quaisquer duas primitivas de r(t)

27. x + 2y = 4

y

31. x + y = -1y

-2

35. 5 J7T

39.4

43. 0,14

7T 7T 37T

47. Em (O,O):2; em (1, 1): 4 e 4

Seção 9.3, p. 133-1361. (a) r(t)=2 costi + 3cost j

y

+.

29. -2x + y = - 3

y

x

-2

33. 2x - y = Oy

x

37. 3:464 J7T

41. "6

7T 27T

45. "3 e "3 em cada ponto

(b)v(t) = (-2 sen t)i + (3 cos t)j,

(a)(t) = (-2 cos t)i + (-3 sen t)j(c) Módulo da velocidade = 2, versor = (-1, O)(d) Velocidade = 2( -1, O)

3. (a) r(t) =sec(t) i + tg(t) jY

*.(b) v= (sec t tg t)i + (sec2 t)j, a(t) = (sec t tg2 t + sec3 t)i +

(2 sec2 t tg t)j

(e) Módulo da velocidade = 2-ys,versor = (..!rs,.:rs).

(2\15

)(1 2 )(d) VelocIdade = ~ V5' \15 -

5. t = O, 7T, 27T

Respostas 537

x

7. t = todos os múltiplos inteiros não negativos de I9. are eus (~) = 53,130 graus

11. (a) 3i (b) t =1=O, -313. (a) y = -115. -3i + (4\12 - 2)j17. (sec t)i + (ln Isec t I)j + C19. r(t) = «(t + 1)3/2-1)i - (e-t - l)j21. r(t) = (8t + 1O0)i+ (-16t2 + 8t)j23. 225. (a) v(t) = (cos t)i - (2 sen 2t)j

(b ) t = ~ 37T2' 2

(c) y = 1 - 2x2, - 1 :S X :S 1. A partícula começa a se moverem (O, 1), vai até (1, -1), então vai para (-1, -1) e entãopara (O, 1), traçando a curva duas vezes.

27 r(t) = (1 t2 + 3VlOt + l)i + (-1 t2 - VlOt + 2)j. 2 5 2 5

29. (a) i. Módulo da velocidade constanteii. Sim,ortogonal

iii. Movimento anti-horárioiv. Sim

(b) i. Módulo da velocidade constanteii. Sim, ortogonal

iii. Movimento anti-horárioiv. Sim

(c) i. Módulo da velocidade constanteii. Sim, ortogonal

iii. Movimento anti-horárioiv. Não

(d) i. Módulo da velocidade constanteii. Sim, ortogonal

iii. Movimento horárioiv. Sim

(e) i. Módulo da velocidade variávelii. Não ortogonal em geral

iii. Movimento anti-horárioiv. Sim

(c) t = O,-3(b) x = O

1531. (a) 160 s (b) 225 m (c) 4 rn/s

33. (a) Referindo-se à figura, olhe para o arco de circunferênciado ponto onde t = O até o ponto 'm'. Por um lado, essearco tem comprimento dado por (roO),mas também temcomprimento dado por (ut). Tomar essas duas quantidadesiguais dá o resultado.

(b) a(t) ~ -~:[(eos~:} + (sen ~:J]

(e) Do item (b), a(t) = -(*,)' r(t). Assim, pela segunda lei

de Newton, F ~ - m( *)2 f. Substituir F na lei da gravita-ção dá o resultado.

uT(d) Faça1; =27Te resolva para uT.

27Tro GM(e) Substitua u por Tem u2 = ---r;;e resolva para T2.

Page 2: de calculo III... · 538 Respostas 35. (a) Aplique o corolário a cada componente separadamente. (b) Segue imediatamente do item (a) uma vez que quaisquer duas primitivas de r(t)

538 Respostas

35. (a) Aplique o corolário a cada componente separadamente.(b) Segue imediatamente do item (a) uma vez que quaisquer

duas primitivas de r(t) devem ter derivadas idênticas, asaber, r(t).

. de /dC I dC 2)37. Seja C = (CI>C2),-;jf = \---;j(' ---;j( = (O, O).

39. U = (Ul,U2),v = (VI' V2)d d

(a) di(u + v) = di(UI + VI' U2 + V2»

= (;, (U, + V,), 1, (U, + V,))= (U'l + V'l' U'2+ V'2)

(I '

)+(' ,

)du + dv

= U I>U 2 V I>V2 = dt dt

d d(b) di(u - v) = di (UI - VI' U2 - V2»

= (;, (Ul - V,),1, (U, - V;))

= (U'l. - v' l' U'2 - v' 2)

(I I

) (. I I

)du dv

= U l' U 2 - V I> V 2 = dt - dt

41. f(t) e g(t) são diferenciáveis em c ~ f(t) e g(t) é contínua em c~ r(t) =f(t)i + g(t)j é contínua em c.

t t

43. (a) Seja r(t) = f(t)i + g(t)j. Então ~ Ir(q) dq = ;tI[f(q)ia a

+ g(q)j] dq = 1, [(Íf(q) dq} + (Í g(q)dq~] =a at t

(~ If(q) dq} + (~I g(q)dq)j = f(t)i + g(t)j = r(t).a ai t

(b) Seja S(t) = f r(q) dq. Então o item (a) mostra que S(t) é

uma primiti~a de r(t). Seja R(t) qualquer primitiva der(t). Então, de acordo com o Exercício 35, item (b), S(t)= R(t)+ e. Fazendo t = a, temos 0= S(a) = R(a) + e.Portanto, e = - R(a) e S(t) = R(t) - R(a). O resultadose segue fazendo-se t = b.

Seção 9.4, p. 143-1461. 50 s3. (a) 72,2 s, 25.510 m

5. t = 2,135 s, x = 66,42 pés7. (a) Vo= 9,9 m/s

(b) a = 18,4°ou 71,6°9. 190 mi/h

11. A bola de golfe tocará as folhas no topo.13. 149 pés/s, 2,25 s 15. 39,3° ou 50,7°17. 46,6 pés/s 21. 1,92 s, 73,7 pés (aprox.)23. 4,00 pés, 7,80 pés/s27. (a) (Considerando que 'x' seja Ono ponto de impacto.) r(t) =

(x(t»i + (y(t»j, onde x(t) = (35 cos 27°)t e y(t) = 4 + (35sen 27°)t - 16t2.

(b) Em t = 0,497 s, alcança sua altura máxima de cerca de7,945 pés.

(c) Alcance = 37,45 pés, tempo no ar = 1,201 s.

(b) 4.020 m (c) 6.378 m

(d) Em t = 0,254 e t = 0,740 s, quando é = 29,554e =14,396 pés de onde aterrissará.

(e) Sim. Isso muda as coisas porque a bola não ultrapassará arede.

31, (a) r(t) ~ (x(t))i + (y(t))j, ondex(t) = (O,~8)(1 - e-""")

(152 cos 20° - 7,6) e y(t) = 3 + (~,~~)(1 - e-0.O8t)

(sen 20°) + (~ )(1 - O08t - e-O.O8t)0,082 '

(b) Em t = 1,527 s, alcança sua altura máxima de cerca de41,893 pés.

(c) Alcance =351,734 pés, tempo no ar = 3,181 s.(d) Em t = 0,877 e t = 2,190 s, quando está a cerca de

106,028 e 251,530 pés do home piate.(e) Não. A rajada de vento precisaria ser maior que 12,846

pés/s na direção da batida para a bola ultrapassar o alam-brado para um home run.

Seção 9.5, p. 154-1 56

1. (a) e (e) são o mesmo.(b) e (g) são o mesmo.(c) e (h) são o mesmo.(d) e (t) são o mesmo. .

3. (a) (1, 1) (b) (1, O) (c) (O, O) (d) (-1,-1)

y

(1.1)

(O.O)r eA

~(-1~-1) ~ (1~O)

x

5. (a) (\12, 3;) on(\12, _5;)

(b) (2, -~) ou( -2, 2;)

(c) (3. I) ou(3, 5;)(d) (1, 7T)ou (-1, O)

ct(O. 3)(-1, 1) Ae~

(-1, O)D , eB(1, -V3)

x

7. 9. yy

+.!il!i!!!'!!'!!!!lllllil!1111111!1!llii'!!lil!!!liiii:;;:;;iilil liii:;;:;;ii;:;;:::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::"""""""'" .................

li!!!IIIIIIIIIIIIIIIII!!!II!IIIII!I!I!IIIIIIIIIr2 I

x

Page 3: de calculo III... · 538 Respostas 35. (a) Aplique o corolário a cada componente separadamente. (b) Segue imediatamente do item (a) uma vez que quaisquer duas primitivas de r(t)

11.

f ' ,=:é>,<-2 13'f ' 0<,<..,=13 ' -

x x

t ,='i < 17.~

15. y

-~ ::;8::;~

x

-I::; r::; I

19. Y = O,Oeixo x

21. y = 4, umaretahorizontal23. x + Y = 1, uma reta (coeficiente angular igual a = -1, inter-

secção em y = 1)

25. XZ+ (y - 2)z = 4, um círculo (centro = (0,2), raio = 2)

27. xy = 1 (ou y = ~). uma hipérbole

29. y = ~, a curva exponencial

31. y = ln x, a curva logarítmica

33. (x + 2)z + l = 4, um círculo (centro = (-2, O),raio = 2)

35. (x - I? + (y - l)z = 2, um círculo(centro = (1, 1),raio = \1'2)

37. rcos () = 7

7T39. () = 4"

41. rZ = 4 ou r = 2

43. rZ(4 cosz () + 9 senz (})= 36

45. r senz () = 4 cos ()

47. r = 4 sen ()

49. (a) y

*,(b) Comprimento do intervalo = 27T

51. (a) y

~y(b) Comprimento do intervalo = Í

53. (a) y

m o=l-2~""

~y(b) Comprimento do intervalo = 27T

Respostas 539

55. (a) y

I(~\\ y

~(b) Intervalo necessário = (- 00, 00)

57. (a) ~y(b) Comprimento do intervalo = 7T

59. Eixo x, eixo y, origem. 61. Eixo y.63. (a) Porque r = a sec ()é equivalente a r cos () = a, que é equi-

valente à equação cartesiana x = a(b) r = a cosec ()é equivalente a y = a

67. (O.O),(I, ~).( I, 3;) 69. (O,O),(k, :t~:)

71. (O,O),( :t ~, i)

(7T) (

57T) (

77T) (

117T) (

137T) (

177T)73. 1, 12' 1,12' 1,12' 1,12' 1,12' 1"'12'

( 197T)( 237T)1'12' 1'12

75. Item (a)81. d = [(xz - XI)z + (yz - YI)Z]l!Z = [(rz cos (}z- ri cos (}l)Z+

(rz sen (}z- ri sen (}1)Z]1I2,e então simplifique usando identi-dades trigonométricas.

Seção 9.6, p. 163-1651. Em ()= O:-1; em ()= 7T:1

2 (7T

)2

(37T

)3. Em (2, O): -3; em -1, 2" : O;em (2, 7T):3; em 5, 2 : O7T

5. ()= 2"[x= O]

7. 8~ O[y~ 0],8 = ~[y = (tg~H 8 = 2;[y = (tg2;)xJ

8~ 3;[y = (tg 3;)x]. 8 = ~[y = (tg ~1T~]

9. Horizontalem (-k, ~) [y ~ -Ü (-k, 5;) [y = -Ü

( -2, 3;) [y = 2];.

(7T

) ( 3 77T)vertIcal em O,2" [x = O], -2' (5

(-1,5, 1~1T)[x = _3~]

11. Horizontalem (O,O)[y = O],(2, ~) [y = 2], (O,1T)[y = O];

verticalem(\12, *) [x= I], (\12, 3;) [x = -I]

Page 4: de calculo III... · 538 Respostas 35. (a) Aplique o corolário a cada componente separadamente. (b) Segue imediatamente do item (a) uma vez que quaisquer duas primitivas de r(t)

540 Respostas

13. 187T1T

15. "81T

19. 2" - 123. 3V3 - 1T

27. 121T - 9V3

17. 2

21. 57T- 8

25 E:+V3. 3 2

3 7T29. (a) 2 - 433. 8

7T 337. "8 + 8

. 0,06045. (a) Seja r = 1,75 + ~' O ::s O::S121T

(b) Como ~; = ;1T' essa é exatamente a equação (4) para ocomprimento da curva

31. li35. 3(V2 + ln (1 + V2»

. 39. 21T

(c) = 741,420em,ou = 7,414 m

((b )

2

)112

((b )

2

)112

(b )2

(d) r2 + 21T = r 1 + 21Tr = r porque 21Tr

é uma quantidade muito pequena elevada ao quadrado

(e) L = 741,420cm (doitem(c», La= 741,416cm

Capítulo 9 Exercíciosde Fixação, pp. 165-1691. (a) (-17,32) (b) vTill3. (a) (6, -8) (b) 10

5. (-1. -k) [assunrlndosentidoanti-horário]/ 8 2 )

-7. \V17' - ví7

~

9 C. 2 1 .+ 1 .

. ompnmento = , o versor V2 I V2J.

11. drl

= 2( -i)dt t=",/2

13. Tangentes nnitárias c.t(Jsi + Jsj). nonnais nnitárias c.t

(2. + 1 .

)- vs1 vsJ15.

y

)I"

//'

/'/'/'/'

17. Iv I= \12, Iu I~ v'S, u' v = v' u ~ 3, o = are eos (.Jw)=0,32 rad, Iu Icos O= 3~, projy u = ~(i + j)

19 u = (~ i-! j)+ (l i + ~j). 5 5 5 5

21. (a) v(t) = (-4 sen t)i + (V2 cos t)j,a(t) = (-4 cos t)i + (- V2 sen t)j

(b) 3

(c) cos-t ~ = 38,942°

211 ~.@27. r(t) = (cos t - l)i + (sen t + l)j29. r(t) = i + t2j

31. y

x

33. (d)37. (k)

41. (a)

35. O)39. (i)

y.'(b) 21T

43. (3) ~,(b) E:2

45 R li 7T 31T 51T 71T - .. etas tangentesem u = 4' 4' 4 e4; equaçoescarteslanas

são y = :!::x

47. Horizontal:y = O,Y = :!::0,443,Y = :!::1,739;vertical:x = 2,x = 0,067,x = -1,104

49. y = :!::x + V2 e y = :!::x- V251. x = y, uma reta 53. X2= 4y, uma parábola55. x = 2, uma reta vertical 57. r = -5 sen O

1659. r2 COS20+ 4r2 sen20= 16ou r2 =

COS2O + 4 sen2 O91T 7T

61. 2 63. 2 + 46~8 6~ 1T-369. Módulo da velocidade = 591,982 milh, direção = 8,179 graus

norte de leste.

71. Atinge o solo = 2,135 s depois, aproximadamente66,421 pés deonde saiu da mão do lançador. Considerando que não seja reba-tida pelo solo ou role, ainda estará lá 3 s depois de ser lançada.

73. (a) y

r(t) = (1tt - sen 1tt)i + (1 - COS1tt)j

x

(b) v(O) = (O,O)a(O) = (O, 1T2)

v(2) = (O, O)

a(2) = (O, 1T2)

v(1) = (21T, O)a(1) = (O, -1T2)

v(3) = (21T, O)a(3) = (O, -1T2)