critérios de convergência
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Criterios de Convergencia de Series
Pedro Dias
2012
1 Condensacao de Cauchy
Seja x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ 0 . A serie
∞∑n=1
xn converge se e so se a seguinte serie
converge
∞∑k=0
2kx2k = x1 + 2x2 + 4x4 + 8x8 + ...
2 Comparacao
i) Se |an| ≤ cn para n ≥ n0 onde n0 e um inteiro fixo e se
∞∑n=1
cn converge,
entao
∞∑n=1
an tambem converge.
ii) Se |an| ≥ dn para n ≥ n0 onde n0 e um inteiro fixo e se
∞∑n=1
dn diverge,
entao
∞∑n=1
an tambem diverge.
3 Comparacao do Limite
i) Se limn→∞
anbn
<∞ e
∞∑n=1
bn converge, entao
∞∑n=1
an converge.
ii) Se limn→∞
anbn
> 0 e
∞∑n=1
bn diverge, entao
∞∑n=1
an diverge.
4 Criterio D’Alembert
Seja
∞∑n=1
an uma serie de termos reais nao nulos e suponha-se que
∣∣∣∣an + 1
an
∣∣∣∣−−−→n→∞L
1
Analise Matematica Pedro Dias
i) Se L < 1, entao
∞∑n=1
|an| converge.
ii) Se L > 1, entao
∞∑n=1
|an| diverge.
5 Teste de Raiz (ou de Cauchy)
Seja
∞∑n=1
an uma serie de termos reais.
i) Se limn→∞
n√|cn| < 1, a serie converge absolutamente.
ii) Se limn→∞
n√|cn| > 1, a serie diverge.
6 Teste de Leibniz para series alternadas∞∑
n=1
(−1)n|an|
• an ≥ 0• lim
n→∞an = 0
• a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ 0
⇒ an converge
7 Criterio de Raabe
Considere-se a serie tal que os termos sao positivos
∞∑n=0
an
Seja L = limn→∞
n
(1− an+1
an
)• Se L > 1 entao a serie e absolutamente convergente.
• Se L < 1 entao a serie e divergente.
• Se L = 1 nada se pode concluir quanto a natureza da serie.
3
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