conjuntos numÉricos

CONJUNTOSCONJUNTOS NUMÉRICOS NUMÉRICOS

O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos.

CONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOS

NATURAIS

INTEIROS

RACIONAIS

REAIS

CONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS NATURAIS

Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.

7

6

5

2

CONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOS

431

NÚMEROS NATURAIS

A representação matemática deste conjunto é:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

CONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOS

NÚMEROS INTEIROS

• Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtracção de 3 - 4 era impossível.

• A ideia do número negativo, aparece na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas.

• A ideia do número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

NÚMEROS INTEIROS

A representação matemática deste conjunto é:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

NÚMEROS RACIONAIS

Entretanto...surgiu outro tipo de problema:

“ “ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “

Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.

NÚMEROS REAIS

Os pitagóricos ao determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguiram encontrar um número racional para essa medida, surgindo dessa forma os números reais.

Quando andas de elevador utilizas os números para subir e descer indicando o andar a que pretendes chegar, ou seja, estás a usar alguns elementos do conjunto dos números inteiros

Apartamento 4

Escritórios 3

Cabeleireiro 2

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro ?2

A senhora que vai ao cabeleireiro carrega no botão ...

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio ?

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro 2

-1

Qual te parece ser o andar do ginásio?

21 de abril de 202313

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem ?

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro 2

-2

E o andar da garagem?

Apartamento 4

Escritórios 3

Restaurante 1

Boutique 0

Ginásio -1

Garagem -2

LavagemAutomática

?

Cabeleireiro 2

-3

E o andar das lavagens automáticas?

REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICAREPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA

• Os números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem ser representados numa recta por meio de pontos.

• Consideremos uma recta r e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem.

• Escolhemos uma unidade de medida e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita).

Desta maneira obtemos um eixo ou reta numérica.

O r1

+-

REPRESENTAÇÃO NA RETAREPRESENTAÇÃO NA RETA

Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O.

Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.

+- O +1 +5

A

+- O +1-3

B

REPRESENTAÇÃO NA RETAREPRESENTAÇÃO NA RETA

O número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto.

+5A

+- O +1-3

B

A abcissa de A é +5A abcissa de B é -3

A origem tem abcissa zero.

ORDENAÇÃOORDENAÇÃO

•Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados.

•Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar.

2 3 4 50 1-1-2-3

Cada vez maior

ORDENAÇÃOORDENAÇÃO

Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos:

2 3 4 50 1-1-2-3

+ 5 > + 2

Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever:

+ 2 < + 5

Isto é, se a > b então b < a

• •

ORDENAÇÃOORDENAÇÃO

Da observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes:

•Qualquer número positivo é maior do que zero.

•Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo.

+ 0,012 > 0

0 > - 35

+1 > - 35 + 0,5 > - 100;

•Zero é maior que qualquer número negativo.

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)

Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2.

A distância do ponto B à origem é 2.

A distância do ponto A à origem é 3.

2 3

A

4 50 1-1-2

B

-3

2 3

A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.

VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)

Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos:

Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse número.

Portanto, temos ainda que

+3 = 3

-2 = 2

0 = 0

Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero:

NÚMEROS SIMÉTRICOSNÚMEROS SIMÉTRICOS

Relativamente à origem da reta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja,

- 4 = 4

Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.

NÚMEROS SIMÉTRICOSNÚMEROS SIMÉTRICOS

•Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo valor absoluto.

Exemplos de números simétricos:

- 0,3 = 0,3- 0,3 e 0,3 porque

1 e - 1 porque 1 = -1

Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero:

0 = 0

NÚMEROS SIMÉTRICOSNÚMEROS SIMÉTRICOS

•Observação

1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem).

Exemplos:

+ 100 > + 40

+ 0,5 > + 0,1

2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem).

Exemplos:

- 0,01 > - 10

- 3 > - 50

Números SimétricosNúmeros Simétricos

Simplificação da escrita

Na reta também se escreve 1, 2, 3,..., em vez de +1,+2,+3,...

+ (- 8) = - 8+ (+ 8) = + 8

Também:

1 2 3 4-1 0-2-3-4

Não é obrigatório escrever o sinal +

NÚMEROS SIMÉTRICOSNÚMEROS SIMÉTRICOS

Na reta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor.

1 2 3 4-1 0-2-3-4

-2 é maior que - 4 - 2 > - 4

2 é maior que - 1 - 1 é menor que 2

2 > - 1 - 1 < 2

> maior < menor

ou