conjuntos, intervalos reais e funções
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A EXPLORAÇÃO DAS INTELIGÊNCIAS MÚLTIPLAS
COMO UMA NOVA METODOLOGIA PARA O ENSINO
DA MATEMÁTICA
CONJUNTOSCONJUNTOS
EE
FUNÇÕESFUNÇÕES
ICD – INSTITUTO DA CULTURA E DESENVOLVIMENTO
CAMPO MOURÃO
MARÇO - 2010
PROFESSOR: JOÃO ALESSANDRO•EMAIL/MSN: jalmat@hotmail.com•GMAIL/GOOGLE TALK: jalmat.utfpr@gmail.com•TWITTER: www.twitter.com/jalmat • ORKUT: http://www.orkut.com.br/Main#Profile?uid=16471219565289082570
CONJUNTOS
INTRODUÇÃO
• Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos
da matemática, sendo o elemento principal da teoria de
conjuntos.
• Um conjunto é apenas uma coleção de entidades,
chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos
separados por vírgulas e delimitados por chaves.
CONJUNTOS1. Conceitos essenciais:• Conjunto: representa uma coleção de objetos, sempre representado por letras maiúsculas.• Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas.• Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
2. Pertence ou não pertenceSe a é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A e podemos escrever .Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos escrever .
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
1. Escreva os conjuntos a seguir, classificando-os em universo, unitário ou vazio:
a) A = { x/x é o conjunto dos números naturais maiores que 2}
A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Conjunto Universo (possui mais de 1 elemento).
b) B = { x/x é o mês do ano começado com a letra x}
B = { } ou B =
Conjunto Vazio (não possui nenhum elemento).
φ
c) C = { x/x é o dia da semana começado com a letra d}
C = { domingo }
Conjunto Unitário (possui apenas 1 elemento).
CONJUNTOS3. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS:
C) DIFERENÇA: A - B““SÃO OS ELEMENTOS QUE ESTÃO EM A E SÃO OS ELEMENTOS QUE ESTÃO EM A E NÃONÃO
ESTÃO EM B”.ESTÃO EM B”.
A) UNIÃO: ““BASTA ESTAR EM UM PARA ESTAR NA UNIÃO”.BASTA ESTAR EM UM PARA ESTAR NA UNIÃO”.
∪
B) INTERSECÇÃO: ““SÓ ESTÁ NA INTERSECÇÃO QUEM ESTÁ EM TODOS SÓ ESTÁ NA INTERSECÇÃO QUEM ESTÁ EM TODOS
OS CONJUNTOS”.OS CONJUNTOS”.
∩
RESOLVENDO EXERCÍCIOS
2. Dados os conjuntos A = {0, 2, 3, 5}, B = {1, 2 , 4, 10 } e C = {0, 2, 4 }, determine:
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10}=∪ BAa)
=∪ CBb) { 0, 1, 2, 4,10 }
=∩ BAc) { 2 }
=∩ CBd ) { 2, 4 }
=− BAe) { 0, 3, 5 }
=− BCf ) { 0 }
CONJUNTOS4. INTERVALOS REAIS
PARA PENSAR:PARA PENSAR:QUANTOS NÚMEROS REAIS QUANTOS NÚMEROS REAIS
EXISTEM ENTRE 0 E 1?EXISTEM ENTRE 0 E 1?
RESPOSTA:EXISTEM INFINITOS NÚMEROS REAIS: EXISTEM INFINITOS NÚMEROS REAIS:
EXEMPLIFICANDO: EXEMPLIFICANDO: 0,1; 0,12; 0,102; 0,5; 0,9; 0,99; 0,999.0,1; 0,12; 0,102; 0,5; 0,9; 0,99; 0,999.
CONJUNTOS4.1 Representações:
a) Intervalo aberto em a e aberto em b,
Aberto à esquerda e aberto à direita.
• Por colchetes: ]2,3[• Por desigualdades: {xЄR/ 2 < x < 3}
CONJUNTOS4.1 Representações:
b) Intervalo aberto em a e fechado em b,
Aberto à esquerda e fechado à direita.
• Por colchetes: ]2,3]• Por desigualdades: {xЄR/ 2 < x 3}≤
CONJUNTOS4.1 Representações:
c) Intervalo fechado em a e aberto em b,
Fechado à esquerda e aberto à direita.
• Por colchetes: [2,3[• Por desigualdades: {xЄR/ 2 x < 3}≤
CONJUNTOS4.1 Representações:
4.1.1 Intervalos Infinitos:Lembrete: O infinito sempre é intervalo aberto e sem bolinha!
a) {xЄR/x > a}
Aberto à esquerda e vai para o infinito positivo.
• Por colchetes: ] 2, [• Por desigualdades: {xЄR/ x > 2}
∞+
CONJUNTOS4.1 Representações:
4.1.1 Intervalos Infinitos:b) {xЄR/x < a}
Aberto à direita e vai para o infinito negativo.
• Por colchetes: ] , 2[• Por desigualdades: {xЄR/ x < 2}
∞−
CONJUNTOS4.1 Representações:
4.1.1 Intervalos Infinitos:c) {xЄR/x≥a}
Fechado à direita e vai para o infinito positivo.
• Por colchetes: [2, [• Por desigualdades: {xЄR/ x ≥ 2}
∞+
CONJUNTOS4.1 Representações:
4.1.1 Intervalos Infinitos:d) {xЄR/≤a}
Fechado à direita e vai para o infinito positivo.
• Por colchetes: ] , 2]• Por desigualdades: {xЄR/ x ≤ 2}
∞−
FUNÇÕES
FUNÇÃO
FUNÇÃO É UM DOS CONCEITOS MAIS ÚTEIS EM FUNÇÃO É UM DOS CONCEITOS MAIS ÚTEIS EM
MATEMÁTICA E EM TODOS OS RAMOS DA MATEMÁTICA E EM TODOS OS RAMOS DA
TECNOLOGIA. TAIS COMO A FÍSICA, A MECÂNICA E TECNOLOGIA. TAIS COMO A FÍSICA, A MECÂNICA E
A ELETRICIDADE.A ELETRICIDADE.
DEFINIÇÃO
DADOS DOIS CONJUNTOS NÃO-VAZIOS, FUNÇÃO DE A EM B É QUALQUER RELAÇÃO DE A EM B EM QUE CADA ELEMENTO DE A ASSOCIA UM ÚNICO ELEMENTO DE B.
REPRESENTAÇÃO
POR TABELAS, DIAGRAMAS E GRÁFICOS.
Exemplo:
OBSERVE A TABELA QUE RELACIONA O NÚMERO DE LITROS DE COMBUSTÍVEL CONSUMIDO POR UM VEÍCULO COM OS PRIMEIROS 40 Km PERCORRIDOS.
REPRESENTAÇÃO POR TABELA: Litros ( X ) Quilômetros rodados (Y)
0 01 82 163 244 325 40
ESSA RELAÇÃO CARACTERIZA UMA FUNÇÃO DEFINIDA PELA EQUAÇÃO y= 8X
Litros ( X ) Quilômetros rodados (Y)0 01 82 163 244 325 40
• O SEU DOMÍNIO É REPRESENTADO PELOS VALORES DE X DA TABELA; D ( f ) = {0,1,2,3,4,5}
• O SEU CONJUNTO-IMAGEM REPRESENTADO PELOS VALORES DE Y, OS QUAIS ESTÃO ASSOCIADOS A CADA X DO DOMÍNIO: Im ( f ) = {0,8,16,24,32,40}
REPRESENTAÇÃO POR DIAGRAMAS:
X Y
0 01 82 163 244 325 40
1
2
3
4
5
8
16
24
32
40
A Bf : A → B
0 0
10 2 3 4 5x
8
16
24
32
40
y
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA:
X Y0 0
1 82 163 244 325 40
EXERCÍCIOS RÁPIDOS:
ANALISANDO CASOS DE FUNÇÕES
1. Diga quais diagramas abaixo que representam funções:
B
1
2
3
4
8
16
24
Aa)
Não é função, pois x = 4 não tem imagem!
É função! Pois cada x tem um único y.
D(f) = { 4, 5, 6 }
CD(f) = { 6, 7, 8, 9 }
Im(f) = { 6, 7, 8 }
Observe que y = 9 é contra-domínio, porém não é imagem, pois não recebe relação de x.
B
4
5
6
9
6
7
8
Ab)
f : A → B
Não é função!
Pois pela definição de função, cada x deve ter um único valor relacionado a y. E para x = 3, temos dois valores:
y = 9 e y =12. Ou seja, x tem 2 valores, portanto, a relação acima não é função.
B
1
2
3
12
0
4
9
Ac)
RECONHECENDO SE UM GRÁFICO É
FUNÇÃO:
• Corta-se o gráfico com 2 retas paralelas ao
eixo y.
• Se as retas cortarem o gráfico em apenas 1
ponto, o gráfico é de uma função. Caso
contrário, não é função.
EXERCÍCIO
Assinale quais gráficos que representam funções:
x
y
x
y
x
y
x
y
a( )
b( ) d( )
c( )
Não é função
Não é função
É função
É função
CALCULANDO f(x)
Lembrete: f(x) = y
Exemplo: Sendo f(x) = 3x +1. Determine:
a) f(1) = ?
f(x) = 3x +1
f(1) = 3 . 1 + 1
f(1) = 3 + 1
f(1) = 4
b) f(-2) = ?
f(x) = 3x +1
f(-2) = 3 . (-2) + 1
f(-2) = - 6 + 1
f(-2) = -5
RESOLVENDO EXERCÍCIOS1. Observe o gráfico da função abaixo:
y
x -4 -2 1 2 3
3
5
6
3,5
Complete as questões seguintes:b)f (-4) = c)f (2) =d)f (3) = e)A função é crescente nos intervalos: f)A função é decrescente nos intervalos: g)A função é constante em:
563
[1;2]
[-4;-2] e [2; 3,5][-2, 1]
LEMBRETEESTA APRESENTAÇÃO ESTÁ NO
EMAIL DO CURSO:•SITE: www.hotmail.com•LOGIN: icd_cursos@hotmail.com•SENHA: caixa2010
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