cônicas como lugar geometrico
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Por: Profª Paula Patrícia
Quando você ouve falar em hipérbole,
elipse e parábola pensa que estão
falando grego. E estão mesmo. Foram
os discípulos de Pitágoras (cerca de
540 a.C.) que usaram pela primeira vez
estes termos, e é graças a eles que
podemos descrever o desenho curvo
que a luz projeta na parede, a parte
espelhada da lâmpada de uma lanterna
ou a superfície da água no copo, entre
outras coisas. No século XVI,
Johannes Kepler (1571 a 1630)
demonstrou que a linha curva descrita
por um planeta que gira ao redor do
Sol é uma elipse, e Galileu Galilei
(1584 a 1642) concluiu que a trajetória
de um projétil é uma parábola. Essas
descobertas tornaram mais evidente a
importância do estudo desses tipos de
curvas.
ONDE ENCONTRAMOS
ESSAS FIGURAS
GEOMÉTRICAS?
UM POUCO DE HISTÓRIA
O grego Apolônio (262 a.C. a 190 a.C.) utilizou o
termo cônicas ao observar que estas curvas
eram obtidas a partir de secções da superfície
de um cone de folha dupla. Muito tempo mais
tarde, com a criação da Geometria Analítica
pelo francês René Descartes (1596 a 1662), as
cônicas passaram a ser reconhecidas a partir de
suas equações. A Geometria Analítica tem como
idéia central a representação de pontos do
espaço por meio de coordenadas. Um grande
número de propriedades geométricas faz das
curvas cônicas um instrumento adequado para
diversas aplicações práticas.
ElipseÉ o lugar geométrico dos pontos do plano
em que a soma de suas distâncias até dois pontos fixos (chamados focos) é
constante.
Uma forma simples de desenhar a elipse é fixar as extremidades de um fio (que deve ter um comprimento maior que a
distância entre os dois focos) nos focos F e F' e, mantendo-o esticado, traçar
com lápis uma linha, formando a elipse.
A elipse também é definida como uma curva fechada plana que se produz
quando um cone de revolução é cortado por um plano oblíquo a seu eixo
Elementos
focos : os pontos F1 e F2
centro: o ponto O, que é o ponto médio de
semi-eixo maior: a
semi-eixo menor: b
semidistância focal: c
vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
eixo maior:
eixo menor:
distância focal:
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
Relação fundamental
Na figura, aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo OF2B2 ,
retângulo em O, podemos
escrever a seguinte relação
fundamental:
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.
Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de
uma circunferência.
EquaçõesVamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
HipérboleÉ uma curva de dois ramos que
se origina do corte de um cone de
revolução por um plano paralelo
ao eixo do cone.
A hipérbole é o lugar geométrico
dos pontos do plano em que a
diferença de suas distâncias até
dois pontos fixos (focos da hipérbole) é um valor constante.
Elementos
focos: os pontos F1 e F2
vértices: os pontos A1 e A2
centro da hipérbole: o ponto
O, que é o ponto médio de
semi-eixo real: a
semi-eixo imaginário: b
semidistância focal: c
distância focal:
eixo real:
eixo imaginário:
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Como c > a, temos e > 1.
EquaçõesVamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
F1 (-c, 0)
F2 ( c, 0)
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
Parábola
É uma curva aberta e plana resultante
do corte de um cone de revolução por
um plano paralelo à geratriz do cone
A parábola corresponde ao lugar geométrico dos
pontos do plano que eqüidistam de um ponto
fixo e de uma reta. O ponto fixo chama-se foco
(F) da parábola e a reta chama-se diretriz (DD').
Elementos
foco: o ponto F
diretriz: a reta d
vértice: o ponto V
parâmetro: p
o vértice V e o foco F ficam numa
mesma reta, o eixo de simetria e.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) parábola com vértice na origem, concavidade
para a direita e eixo de simetria horizontal
b) parábola com vértice na origem, concavidade
para a esquerda e eixo de simetria horizontal
c) parábola com vértice na origem, concavidade
para cima e eixo de simetria vertical
d) parábola com vértice na origem, concavidade
para baixo e eixo de simetria vertical
Bibliografia:
Sites:
www.somatematica.com.br
www.klickeducacao.com.br
Trabalho realizado para disciplina Informática Educativa II do curso de Pós-Graduação em Novas Tecnologia no Ensino da Matemática
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