complexidade de algoritmos das 5102 – fundamentos da estrutura da informação prof. dr. rer. nat....
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Complexidade de AlgoritmosDAS 5102 – Fundamentos da Estrutura da Informação
Prof. Dr. rer. nat. Daniel D. Abdalaabdala@das.ufsc.br
ObjetivosIntroduzir o conceito de análise
de algoritmos;Introduzir o conceito de
complexidade assintótica;Explicar via exemplos como
medir a complexidade de algoritmos;
Explicar o conceito de complexidade média de melhor e de pior caso.
Plano de AulaAlgoritmosAnálise de AlgoritmosConceitos BásicosComplexidade no Tempo e no
EspaçoNotação Assintótica
Conceitos Básicos – AlgoritmosAlgoritmo – Ferramenta para
resolução de problemas. Problemas são descritos via:
◦Uma descrição de todos os seus parâmetros de entrada (INPUT)
◦Um enunciado sobre que propriedades a solução deve satisfazer
Conceitos Básicos – AlgoritmosExemplo : Problema de OrdenaçãoEntrada : Seqüência L (a1, ..., aN)
Saída : L’ (a1’, ..., aN’) que é uma permutação da entrada tal que a1’≤ a2’ ≤ ... ≤ aN’
Um Algoritmo é dito CORRETO se para todas as possíveis entradas ele termina com a respos-ta correta.
Algoritmos Eficiente - MotivaçãoDois computadores
◦PC (106 instr/s)◦SC (108 instr/s)
Dois algoritmos de ordenação◦Alg1 – TAlg1 = 2N2
◦Alg2 – TAlg2 = 50NlogN
Problema : Ordenar 106 númerosSC –
PC –
horasssinstr
instr56.51020
/10
)10(2 38
26
min57.1610/10
)10log()10(50 36
66
ssinstr
instr
Análise de AlgoritmosAnálise de algoritmos é uma disciplina da
computa-ção que se preocupa em medir e analisar os recur-sos necessários por algoritmos para levar a termo sua execução.
Complexidade no Tempo e no Espaço (N)Espacial – mede a quantidade de memória
que o algoritmo requer para sua execuçãoTemporal – mede o tempo, dada uma
entrada de dados, que o algoritmo requer para produzir uma resposta (mais usado)
As medidas de análise utilizadas devem conter as seguintes características:◦Ser independentes da tecnologia empregada
(hardware e software);◦Modelo matemático simplificado que
representa os fatores mais relevantes;
Complexidade no Tempo e no Espaço (N)
Temporal – função que relaciona o tamanho da entrada com o tempo de execução:
t = f(N)Espacial – função que relaciona o
tamanho da entrada com o espaço de armazenamento requerido:
e = g(N)
Exemplo: Ordenação de Inteiros
Exemplo: Ordenação de Inteiros
Exemplo: Ordenação de Inteiros
Exemplo: Ordenação de Inteiros
ConsideraçõesSempre que criamos um algoritmo,
existem três perguntas que devem ser formuladas:1. O algoritmo é correto?2. Quanto tempo ele leva em função da entrada
N?3. O problema pode ser resolvido de uma
maneira melhor?
Notação AssintóticaTambém conhecida com notação O
◦(diz-se big O)Definição:
Considere uma função f(n) não negativa para todos n>=0. Diz-se que f(n) é O(g(n)) e escrevemos f(n) = O(g(n)), se existem um inteiro n0 e uma cons-tante c>0, tais que para todo inteiro m>=n0, f(n) < c g(n).
Em resumo: Podemos ignorar as constantes!
Classes de Complexidade
Designação FunçãoConstante cLogarítmica log NLogarítmica quadrática log2NLinear NN log N N log NQuadrática N2
Cúbica N3
Exponencial 2N
Exemplo: Tempo de execuçãoConsidere a seguinte situação. O problema
apresentado a seguir foi resolvido de cinco maneiras diferentes, resultando em cinco algoritmos (A1 ... A5).
Tais algoritmos foram implementados utilizando diferentes níveis de complexidade computacional. Supondo que uma operação leva 1ms para ser executado, e dado Tk(n) sendo a complexidade, ou seja, o número de operações que o algoritmo efetua para N entradas.
Quais serão os tempos de execução de cada um destes algoritmos?
Exemplo: Tempo de execução
N A1T1(n) = n
A2T2(n) = n log n
A3T3(n)=n2
A4T4(n)= n3
A5T(n)=2n
1 0.001s 0.016 0.064s 0.256s 4s
16 0.016s 0.064s 0.256s 4s 1m4s
32 0.032s 0.16s 1.0s 33s 46 dias
512 0.512s 9.0s 4m22s 1dia13h 10137 séculos
Tempo de execução em função do tamanho da entrada
ExemploEntrada : número NSaída : número r representando
a soma dos N primeiros inteiros.
Exemplo: FibonacciA série tem a seguinte forma:
A função F(N) é definida por:
Implementação recursiva (exponencial):
Exemplo: Fibonacci1. O algoritmo é correto?2. Quanto tempo ele leva em função da entrada N?3. O problema pode ser resolvido de uma maneira
melhor?
(1) sim! Ele é a implementação direta da definição
(2) T(n) – número de passos computacionais◦Para n ≤ 2 ◦Para n > 2
Note que
Exemplo: FibonacciQuão demorada é a execução do
algoritmo?◦Fn ≈ 20,694n
◦F200 –> T(200) ≥ F200 ≥2138 passos computacionais
◦SC –> 40.1012 passos computacionais / segundo
◦fib1(200) @ SC = 292 segundos(3) Existe uma maneira de se
calcular números da série de Fibonacci de maneira mais eficiente?◦Lab!
Exemplo: Fibonacci
Chamadas recursivas de fib1(n)
Pontos ChaveAlgoritmos são maneiras factíveis para solução de
problemas numéricos, no entanto eles precisam ser analisados de modo a garantir sua eficácia;
Análise de Algoritmos é uma disciplina que define uma maneira sistemática de avaliação de algoritimos;
Complexidade no Tempo e no Espaço definem formas de estimarmos quanto tempo um programa demora para se executar em função de sua entrada assim como quanto espaço em disco ele requer;
Notação Assintótica ou notação BigO é uma forma de indicar a tendência de crescimento do tempo de execução de algoritmos.
Para o LarÚltima chance para entregar o
exercício de nivelamento é dia 08/09 (prova 1)!;
Ler o capítulo 0 (prólogo) do livro “Algorithms” (Dasgupta) para a prova;
Procure na internet uma forma mais eficiente de calcular números fatoriais;
Procure na internet uma forma mais eficiente de ordenação de números que a vista na aula.
BibliografiaS. Dasgupta, C. H. Papadimitriou, U. V.
Vazirani. Algorithms, Chap. 0;R. Sedgewick, Addison-Wesley. Algorithms in
C, Parts 1-4: Fundamentals, Data Structures, Sorting, Searching, 3rd edition, 1997.
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