clp – (constraint logic programs) programação lógica com restrições

CLP – (Constraint Logic Programs)Programação Lógica com Restrições

Ruben Carlo Benante Doutorando em Ciência da

Computação peloCIn – UFPE, Recife-PE

Mestre em Filosofia pela UNESP, Marília-SP

Bacharel em Ciência da Computação pela UNESP, S.J.Rio Preto-SP

rcb@cin.ufpe.br Disciplina de MCI Prof. Jacques Robin Baseado nas transparências

disponibilizadas na internet por Marriott & Stuckey

Capítulo 4: Programação Lógica com Restrições Restrições Definidas pelo Usuário Programando com Regras Avaliação Árvores de Derivação e Falhas

Finitas Avaliação de Objetivos Árvores de Derivação Simplificadas O esquema CLP

Capítulo 5: Modelos Simples Modelando Modelando Escolhas Otimização

Capítulo 7: Controle de Busca Estimando a eficiência de um

programa CLP Ordenando as Regras Ordenando os Literais Adicionando Restrições Redundantes Minimização

Capítulo 8: Modelos com Domínios Finitos Domínios e Rótulos Restrições Complexas Rotulando (Labelling) Modelando Problemas Diferentes

Capítulo 4: Restrições Definidas pelo Usuário (RDU) Muitos exemplos de modelagem podem

ser particionados em duas partes: Uma descrição geral do objeto ou processo Uma informação específica sobre uma

situação real O programador deve ser capaz de definir

suas próprias restrições específicas ao problema

As Regras permitem isso

Regras

--3_--

VR1 R2

Uma RDU para definir o modelo de circuito elétrico:parallel_resistors(V,I,R1,R2)

parallel_resistors(V,I,R1,R2) :-

V = I1 * R1, V = I2 * R2, I1 + I2 = I.

E uma regra definindo-a:

Usando Regrasparallel_resistors(V,I,R1,R2) :-

V = I1 * R1, V = I2 * R2, I1 + I2 = I.

Comportamento com resistores de 10 e 5 Ohmsparallel_resistors( , , , )V I R R R R1 2 1 10 2 5

Comportamento com bateria de 10V, com resistores iguaisparallel_resistors( , , , )10 I R R

Isso representa a restrição: (substituição macro)10 1 10 2 1 2 I R I R I I I

Restrições Definidas pelo Usuário (RDU) RDU: p(t1,...,tn) onde p é um predicado

n-ário e t1,...,tn são expressões literal: uma restrição primária ou RDU objetivo (goal): uma seqüência de

literais L1,...,Lm regra: A :- B onde A é RDU e B é um

objetivo programa: uma seqüência de regras

Renomeação (Renamings) Uma renomeação r é um mapa bijetivo de

variáveis em variáveis Um objeto sintático é uma restrição, um

RDU, um objetivo ou uma regra Aplicar uma renomeação em um objeto

sintático nos dá um objeto com cada variável x substituída por r(x)

variante o’ de um objeto o tem sua renomeação como r(o’)=o

Não é substituição de macros

Reescrita de RDU objetivo G da forma (ou vazio m=0 [])

L1, ..., Li-1, Li, Li+1, ..., Lm Li é da forma p(t1,...,tn) R é da forma p(s1,...,sn) :- B r é a renomeação das variáveis em r(R) e

não em G A reescrita de G com Li por R usando a

renomeação r é L1,...,Li-1,t1=r(s1),...,tn=r(sn),r(B),Li+1,...,Lm

Programando com Regras

Considere a função fatorial. Como poderemos escrever regras para o predicado fac(N,F) onde(F = N!) ?

N N N!

1 01 1

(R1) fac(0,1).(R2) fac(N,N*F) :- N >= 1, fac(N-1, F).

Note que a definição é recursiva (em termos dela mesma) e imita a definição matemática

Programando com Regras

(R1) fac(0,1).(R2) fac(N,N*F) :- N >= 1, fac(N-1, F).

Reescrevendo o objetivo fac(2,X) (i.e. o que é 2!)fac X( , )2fac X

RN X N F N fac N F

, , , ( , )

22 1 1

RN X N F N fac N F

RN X N F N N N F N F N fac N F

, , , ( , )

, , , ' , ' ' , ' , ( ' , ' )

22 1 1

22 1 1 1 1

RN X N F N fac N F

RN X N F N N N F N F N fac N F

RN X N F N N N F N F N N F

, , , ( , )

, , , ' , ' ' , ' , ( ' , ' )

, , , ' , ' ' , ' , ' , '

22 1 1

22 1 1 1 1

12 1 1 1 1 0 1

Simplificado na variável X, a resposta é X = 2

Avaliação (Evaluation) Em cada passo da reescrita, deveremos

checar se a conjunção de restrições primitivas pode ser satisfeita

A derivação faz isso Em cada passo, os literais…

Restrição primitiva: são adicionados ao lado direito (das restrições)

RDU: são reescritos

Avaliação estado: <G1| C1> onde G1 é um objetivo

e C1 é uma restrição Passo de derivação: G1 é L1, L2, ..., Lm

L1 é uma restrição primitiva, C2 is C1 /\ L1•Se solv(C /\ L1) = false então G2 = [] •Senão G2 = L2, ..., Lm

L1 é uma RDU, C2 é C1 e G2 é a reescrita de G1 com L1 usando alguma regra e a renomeação

Avaliação derivação de <G0 | C0>:

Onde cada <Gi | Ci> até <Gi+1 | Ci+1> é um passo de derivação

derivação de G é a derivação do estado <G | true>

G C G C G C0 0 1 1 2 2| | |

Derivação de fac(1,Y)fac Y true( , )|1fac Y true

N Y N F N fac N F true

( , )|

, , , ( , )|

fac Y trueR

Y N F N fac N F N

( , )|

, , , ( , )|

, , ( , )|

fac Y trueR

Y N F N fac N F N

N fac N F N Y N F

( , )|

, , , ( , )|

, , ( , )|

, ( , )|

fac Y trueR

Y N F N fac N F N

N fac N F N Y N F

fac N F N Y N F N

( , )|

, , , ( , )|

, , ( , )|

, ( , )|

( , )|

fac Y trueR

Y N F N fac N F N

N fac N F N Y N F

fac N F N Y N F NR

N F N Y N F N

( , )|

, , , ( , )|

, , ( , )|

, ( , )|

( , )|

1 1 11

1 0 11 1

fac Y trueR

Y N F N fac N F N

N fac N F N Y N F

fac N F N Y N F NR

N F N Y N F N

F N Y N F N N

( , )|

, , , ( , )|

, , ( , )|

, ( , )|

( , )|

1 1 11

1 0 11 1

11 1 1 0

fac Y trueR

Y N F N fac N F N

N fac N F N Y N F

fac N F N Y N F NR

N F N Y N F N

F N Y N F N N

( , )|

, , , ( , )|

, , ( , )|

, ( , )|

( , )|

1 1 11

1 0 11 1

11 1 1 0

N Y N F N N F1 1 0 1

Resposta simplificada em Y é Y = 1

Derivações Para a derivação iniciando em <G0 | C0> Estado de sucesso: <[] | C> onde solv(C) !

= false Derivação de sucesso: o último estado é

de sucesso resposta: simpl(C, vars(<G0 | C0>)) Estado de falha: <[] | C> onde solv(C) =

false Derivação falha: o último estado é de falha

Árvores de derivação Árvore de derivação para o objetivo G

Raíz é < G | true > Os filhos de cada estado são estados

alcançáveis em um passo de derivação Codifica todas as possíveis derivações Quando o literal mais à esquerda é uma

restrição primitiva, somente há um filho Caso contrário, os filhos estão ordenados

conforme a ordem das regras

Exemplo de Árvores de Derivação fac Y true

R RY true N Y N F N fac N F true

Y N F N fac N F C N

N fac N F C C Y N F

fac N F C C NR R

N F C N N F N F N

( , )|

, | , , , ( , )|

[]| , , ( , )|

, ( , )|

( , )|

, | ' , ' ' ,

1 0 1 1 1 1

1 1 2 1

1 3 2 11 2

1 0 1 3 1

' , ( ' , ' )|

| ' ' , ' , ( ' , ' )| '

[]| ' , ( ' , ' )| ' '

1 4 3 1 0 1 1 6 3 1

5 4 1 1 1 7 6

fac N F C

F C C N F N F N fac N F C C N N

C C F N fac N F C C F N F

Derivação falhou

resposta: Y = 1

Árvore de Derivação O exemplo anterior mostrou três

derivações, 2 falharam e uma foi bem sucedida

Falha finita: Se a árvore de derivação é finita e todas as derivações falham

Árvore de Derivação Infinita: algumas derivações são infinitas

Exemplo de árvore de derivação infinita(S1) stupid(X) :- stupid(X).(S2) stupid(1).

stupid X trueS S

X X stupid X true X true

stupid X X X XS S

X X stupid X X X X X X

stupid X X X X X X X XS S

' , ( ' )| |

( ' )| ' []|

' ' ' , ( ' ' )| ' ' | '

( ' ' )| ' ' ' ' []| ' '

Resposta: X=1

Derivação Infinita

Avaliação de Objetivos A Avaliação de um objetivo realiza uma busca

em profundidade, e na direção da esquerda para a direita

Quando encontra um estado de sucesso, o sistema retorna a resposta

O usuário pode perguntar por outras respostas, o que faz a busca continuar

A execução pára quando o usuário não pede mais respostas ou a árvore inteira é explorada

A execução entra em laço infinito se a árvore é infinita e não apresenta resposta

Árvores de Derivação Simplificadas As árvores de derivação são muito

grandes Uma forma simplificada tem a

informação considerada mais útil Restrições na forma simplificada

(variáveis na forma do objetivo inicial, e como parte dos estados do objetivo)

Remoção de estados sem interesse

Estados Simplificados Estado simplificado: <G0 | C0> na

derivação de G substitua C0 por C1=simpl(C0, vars(G,G0)) se x=t em C1 substitua x por t em G0 levando

à G1 substitua C1 por C2=simpl(C1, vars(G,G1))

Exemplo fac N F N Y N F N N N F FY N F

fac N F N Y FN

fac F Y F

( ' , ' )| ' 'vars { , ' , '}

( ' , ' )| ' ''

( , ' )| '

1 1 1 1

replace by 0 and simplify again

Derivação Simplificada Um estado é critico se ele é o primeiro

ou o último estado de uma derivação, ou se o primeiro literal é uma RDU

Uma derivação simplificada para o objetivo G contém todos os estados críticos na forma simplificada

Similarmente para uma árvore de derivação simplificada

Exemplo de Árvore Simplificada

fac Y trueR R

false fac F Y FR R

Y false

( , )|

[]| ( , )|

[]| []|

Nota: estados de falha são <[] | false> e estados de sucesso contém as respostas

O Esquema CLP O esquema define uma família de

linguagens de programação Uma linguagem CLP(X) é definida por

Domínio de restrição X Resolvedor para o domínio de restrição X Simplificador para o domínio de restrição X

Nos exemplos usamos CLP(Real) Outro exemplo seria o CLP(Tree)

CLP(R)

Os elementos são árvores contendo constantes reais

Restrições são para árvores e para aritimética

{ , , , , }

Capítulo 5: Modelando Escolha as variáveis que serão

usadas para representar os parâmetros do problema (isto pode ser trivial ou difícil)

Modele as relações idealizadas entre estas variáveis usando as restrições primitivas disponíveis no domínio

Exemplo de Modelagem

Uma viajante deseja atravessar o rio infestado de tubarões tão rápido quanto possível. A rota mais rápida é atravessar o rio nadando em linha reta, deixando que a correnteza faça a parte dela livremente. Ela deseja saber onde (P) ela vai parar após essa tarefa?

Largura do rio: WVelocidade do rio: SPosição da nadadora: PVelocidade da nadadora: R

Exemplo de ModelagemRaciocínio: enquanto a nadadora atravessa o rio na sua largura, gastando um tempo T, ela segue junto com a correnteza para o rio abaixo uma distância P dada pela velocidade do rio, com o mesmo tempo T. Daí o modelo:river(W, S, R, P) :- T = W/R, P = S*T.

Supondo que ela nade a R=1.5m/s, a velocidade do rio é de S=1m/s e seu comprimento é de W=24m.

river(24, 1, 1.5, P).

A única resposta é P = 16 Largura do rio: WVelocidade do rio: SPosição da nadadora: PVelocidade da nadadora: R

Exemplo de Modelagem (cont.)

Se ela nada numa velocidade entre 1 e 1.3 m/s e não pode se afastar mais que 20m do ponto de origem, será que ela conseguirá?

1 <= R, R <= 1.3, P <= 20, river(24,1,R,P).

Esta é a flexibilidade do modelo baseado em restrições!

Escolhas mais complicadas

Uma opção de “call” dá ao seu portador o direito de comprar 100 ações a um preço de exercício E fixo

Uma opção de “put” dá ao seu portador o direito de vender 100 ações a um preço de exercício E fixo

O pagamento (lucro ou prejuízo) de uma opção é determinado por seu custo C e pelo preço corrente da ação S

e.g. custo do call C=$200, Exercício E=$300 Preço do mercado = $2, não utiliza o call:

• pagamento = -$200 Preço do mercado = $9, utiliza o call:

• pagamento = $400

0 1 2 3 4 5 6 7call, buying

call, selling-200-100

0100200

Opções de Mercadocall C=200, E = 300 put C=100, E = 300

0 1 2 3 4 5 6

butterfly-100-50

Operação Borboleta: Compre um “call” por C=100 com E=500 e outro por C=400 com E=100. Venda dois “calls” por C=200, com E=300

0 1 2 3 4 5 6 7put, buying

put, selling-200-100

0100200

Opções de MercadoPG= S – E – C (para compra de “call”)PG = E + C – S (para venda de “call”)

(C=100,E=500, compra) PG1 = 100S – 600 p/ S>5PG1 = – 100 p/ S<=5

(C=400,E=100, compra) PG2 = 100S – 500 p/ S>1PG2 = – 100 p/ S<=100

(C=200,E=300, venda)PG3 = – S100 + 500 p/ S>3PG3 = 200 p/ S<=3

0 1 2 3 4 5 6

butterfly-100-50

Operação Borboleta: Compre um “call” por C=100 com E=500 e outro por C=400 com E=100. Venda dois “calls” por C=200, com E=300

Aplicadas as restrições temos:PG = PG1 + PG2 + 2PG3PG = – 100 p/ s>5PG = – 100 p/ s<1PG = 100S – 200 P/ 1<S<3PG = –100S + 400 p/ 3<S<5

Modelando Funções

call payoff S C EC S E

S E C S E_ ( , , )

if if 0 100

100 100

buy_call_payoff(S,C,E,P) :-0 <= S, S <= E/100, P = -C.

buy_call_payoff(S,C,E,P) :-S >= E/100, P = 100*S - E - C.

Modelar uma função com n argumentos como um predicado com n+1 argumentos. Os testes são restrições, e o resultado é uma equação.

Modelando OpçõesAcrescente um argumento extraB=1 (compra), B = -1 (venda)call_option(B,S,C,E,P) :-

0 <= S, S <= E/100, P = -C * B.

call_option(B,S,C,E,P) :-S >= E/100, P = (100*S - E - C)*B.

call_option(1, 7, 200, 300, P)

E a resposta é P = 200

O objetivo é dado por:

Usando o Modelobutterfly(S, P1 + P2 + 2*P3) :-

Buy = 1, Sell = -1,call_option(Buy, S, 100, 500, P1),call_option(Buy, S, 400, 100, P2),call_option(Sell, S, 200, 300, P3).

Define a curva dada no gráfico anterior, para lucros:P >= 0, butterfly(S,P).

Tem duas respostas:P S S SP S S S

100 200 2 3100 400 3 4

Por quê restrições e não Linguagem C? Ambos os programas podem responder o

objetivo call_option(1, 7, 200, 300, P). Mas o CLP pode responder, sem muito

esforço, o objetivo: butterfly(3, P1 + P2 + 2*P3).P = 100

E até mesmo o objetivo: P >= 0, butterfly(S,P).P = 100S – 200 /\ 2<=S /\ S<=3P = -100S + 400 /\ 3<=S /\ s<=4

Otimização Muitos problemas requerem a

“melhor” solução Literal de minimização:

minimize(G,E) Responde as questões sobre o

objetivo G que minimiza a expressão E (no contexto do estado)

Exemplos de Otimizaçãop(X,Y) := X = 1.p(X,Y) :- Y = 1.

X >= 0, Y >= 0, minimize(p(X,Y), X+Y)

Respostas: X = 1 /\ Y = 0 e X = 0 /\ Y = 1X >= 0, X >= Y, minimize(true, X-Y)

Resposta: X >= 0 /\ X = Yminimize(butterfly(S,P), -P)

Resposta: S = 3 /\ P = 100

Avaliação de Otimização Um valor de v é uma solução para um estado

se é alguma das soluções deste estado Passo da derivação de uma minimização:

<G1 | C1> para <G2 | C2> onde G1 = L1,L2,...,Lm, e L1 é “minimize(G,E)” existe uma solução v de <G | C1> com v(E) = m e

para todas as outras soluções w temos que m <= w(E)• Então G2 é G,L2,...,Lm e C2 é C1 /\ E = m

Senão G2 é [] e C2 é falso

Exemplo de OtimizaçãoX >= 0, minimize(X >= Y, X-Y) X X Y X Y true

X Y X Y X

X Y X X Y

X X Y X Y

,minimize( , )|

minimize( , )|

Valor mínimo de X-Y é 0 e.g. { , }X Y 3 3

Simplificado: X X Y 0

X>=0, Y<=X, m=min(X-Y)m=X-YTomemos X=0, o menor Xm=-YMas Y<=X Y<=0 -Y>=0Tomemos –Y=0, o menor Ym=0-0 m=0 X-Y=0

Otimização

A otimização não precisa necessariamente ser um objetivo:

straddle(S,C1+C2,E,P1+P2) :- Buy = 1, call_option(Buy, S, C1, E, P1),put_option(Buy, S, C2, E, P2).

best_straddle(C,E,P) :-minimize(straddle(S,C,E,P),-P).

Capítulo 7: Estimando Eficiência Avaliação é a busca na árvore de

derivação O tamanho e a forma da árvore de

derivação determinam a eficiência (ignorando o custo da solução) Quanto menor: menos busca Respostas do lado esquerdo da árvore:menos

busca antes de achar a primeira resposta A árvore de derivação depende do modo

de uso (MU)

Modo de Uso (MU) modo de uso (MU): define os tipos de

restrições nos argumentos de um predicado quando avaliado

fixo: o conjunto de restrições implica em um único valor para todas as soluções

livre: o conjunto de restrições permite todos os valores

outros: limitado superiormente, limitado inferiormente

Exemplo de Modo de Uso

MU primeiro arg fixo segundo livre sumlist([1],S). L=[1,2],S > Z, sumlist(L,S).

Estados na árvore de derivação com a chamada de sumlist<sumlist([1], S)|true><sumlist(L’,S’)|[1]=[N’|L’]/\S=N’+S’><sumlist(L’’,S’’)|[]=[N’’|L’’]/\S’=N’’+S’’><N’’=0,S’’=0|/\S’=N’’+S’’>

sumlist([], 0).sumlist([N|L], N+S) :- sumlist(L, S).

Exemplo de Controle de Busca Pense em escrever um programa para

computar:

Raciocíne recursivamente: A soma de N números é a soma de (N-1) + N A soma de 0 números é 0

Problema: sum(1,S) não tem resposta

S N 0 1 2

(S1) sum(N, S+N) :- sum(N-1, S).(S2) sum(0, 0).

Exemplo de Controle de Busca

sum S trueS S

sum S S S falseS S

sum S S S SS S

sum S S S falseS

( , )|

( , ' )| ' []|

( , ' ' )| ' ' []|

( , ' ' ' )| ' ' ' []|

0 11 2

1 1 11 2

Árvore de derivação simplificada para sum(1,S).

Note que é infinita no ramo à esquerda, pois N assumiu valores negativos.

Derivação infinita antes da resposta

sum(1,S) resposta: S=1, Mas e sum(1,0)?

(S3) sum(0, 0).(S4) sum(N, S+N) :- sum(N-1, S).

sum trueS

( , )|

N=1, S+N=0 S=-1N’=0, S’+N’=-1 S’=-1N’’=-1, S’’+N’’=-1 S’’=0N’’’=-2, S’’’+N’’’=0 S’’’=2...

Exemplo de Controle de Busca O programa não foi feito para tratar com

números negativos. Corrija para:(S5) sum(0, 0).(S6) sum(N, S+N) :- sum(N-1, S), N >= 1.

11,10),1,1(6

11),1,0(6

truesumS

truesum

Ainda não deu: derivaçãoinfinita de sum(N,S+N)

Lembre-se do processamento da esquerda para direita

sum(1,S) dá S = 1, sum(1,0) responde no Métodos:

Reordenamento de regras Adição de restrições redundantes Reordenamento de literais

(S7) sum(0, 0).(S8) sum(N, S+N) :- N >= 1, sum(N-1, S).

Ordenando Regras Regra geral

Coloque as regras não-recursivas antes das regras recursivas

(isto irá evitar derivações infinitas) Regra heurística

Coloque regras que “parecem levar a respostas rápidas” antes (acima) das outras

(isto tende a mover os estados de sucesso para a esquerda da árvore)

Ordenando Literais Restrições Primitivas

Coloque uma restrição no ponto mais à esquerda possível no qual ela poderia causar uma falha (para um determinado MU)

fac(N,F) com N fixo e F livrefac(N, F) :- N = 0,F = 1.fac(N, FF) :- N >= 1, FF = N * F,

N1 = N - 1, fac(N1, F).

fac(N, F) :- N = 0,F = 1.fac(N, FF) :- N >= 1, N1 = N - 1,

fac(N1, F), FF = N * F.

Ordenando Literais RDU:

Coloque os literais determinísticos antes dos outros

determinístico: o literal p(s1,...,sn) em um programa é determinístico para uma árvore de derivação se a cada ponto de escolha onde ele é reescrito, todas as derivações falham, exceto uma, antes da reescrita da RDU (em outras palavras: no máximo uma tem sucesso)

Predicados Deterministicos sumlist(L,S) é determinístico para o MU L

fixo e S livre. Não é para L livre e S fixo. sum(N,S) é similar Predicados determinísticos requerem

menos busca para achar uma resposta CUIDADO! Mover predicados pode mudá-

lo de determinístico para não_determinístico (o bom é que o inverso também é válido!)

Adicionando Restrições Redundantes Uma restrição que pode ser removida de uma

regra sem alterar as respostas válidas de uma árvore é chamada de redundante. (Pode alterar a ordem.)

Restrição de Resposta Redundante (ARC): o mesmo conjunto de respostas para: H :- L1, ..., Li, Li+1, ..., Ln H :- L1, ..., Li, r, Li+1, ..., Ln

Vantagem (para um conjunto de restrições C, num MU) <L1,...,Li,r|C> falha, mas não <L1,...,Li|C>

Adicionando Restrições Redundantes (ARC)

A restrição N >= 1 adicionada ao programa sum é uma ARC.

Outro exemplo: sum(N,7) (novo MU)sum N true

Ssum N S N N S N N

Ssum N S N N S

( , )|

( ' , ' )| ' ' ' '

( ' ' , ' ' )| ' ' ' ' ' ' ' '

( ' ' ' , ' ' ' )| ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

( ' ' ' ' , ' ' ' ' )| ' ' ' ' ' ' ' '

1 6 08

2 4 2 08

3 1 3 08

4 0N N' ' ' ' ' ' ' '

Adicionando Restrições Redundantes (ARC)Sabemos que cada soma é não-negativa

(S9) sum(0, 0).(S10) sum(N, S+N) :-

N >= 1, S >= 0, sum(N-1, S).

sum N trueS

sum N S N N S N N NS

sum N S N N S N N NSfalse

( , )|

( ' , ' )| ' ' ' ' '

( ' ' , ' ' )| ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

( ' ' ' , ' ' ' )| ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' /

1 6 0 610

2 4 2 0 210

3 1 3 0 1 310

Restrições Redundantes de Resolvedor Restrição Resolvedor Redundante

(SRC): uma restrição primitiva r é SRC se é implicada pelo conjunto de restrições

Vantagem: Se o resolvedor não está vendo a implicação (resolvedor parcial ou árvore infinita), adicioná-la pode trazer informação extra (falha)

F >= 1, N >= 1, FF = N*F, FF >= 1

Exemplo de Restrições Redundantes de Resolvedor (SRC)

(F1) fac(N, F) :- N = 0,F = 1.(F2) fac(N, FF) :- N >= 1, N1 = N - 1,

FF = N * F, fac(N, F).

O objetivo fac(N,7) é infinito, como era sum(N,7).

FF = N * F, F >= 1, fac(N, F).

O objetivo fac(N,7) ainda é infinito!

fac N trueF

fac N F F N N FF

fac N F F N N N FF

fac N F F N N N N FF

fac N F F N N N

( , )|

( , ' )| ' '

( , ' ' )| ' ' ( ) ' '

( , '" ' )| '" ' ( ) ( ) ' ' '

( , ' ' ' ' )| ' ' ' ' ( )

1 1 1 74

2 1 2 7 14

3 1 3 7 1 24

4 1 4 7 1

( ) ( ) ' ' ' 'N N F 2 3

Dado que F’’’’ >= 1 e N >= 4 entãoN N N N F ( ) ( ) ( ) ' ' ' '1 2 3

Deve ser pelo menos 24. Esta restrição não foi satisfeita por não ter sido detectada (resolvedor parcial)

FF = N * F, FF >= N, F >= 1, fac(N, F).

Correção: adicione a SRC, N * F >= N

Que é implicada por N >= 1, F >= 1

CUIDADO: 1 = N * F , 2 = N * F tem sucesso ao se instanciar F, por isso, use um nome único para N*F

Agora o objetivo fac(N,7) falha em tempo finito!

Minimização Minimizar literais causam a busca de

respostas em uma árvore de derivação diferente

Precisamos entender a forma desta árvore para lidar com ela

minimize(G,E) tem o mesmo MU deE < m, G

Para um uso eficiente da minimização, tenha certeza que G é eficiente quando E é limitado superiormente, por um m qualquer dado.

Exemplo de MinimizaçãoPrograma que acha os nós folhas e seus níveis

L1:leaf(node(null,X,null),X,0).L2:leaf(node(L,_,_),X,D+1) :-

leaf(L,X,D).L3:leaf(node(_,_,R),X,D+1) :-

leaf(R,X,D).

aObjetivo:leaf(t(a),X,D)Respostas:(h,3),(j,4),(k,4),(m,4),(o,5),(p,5),(f,2),(s,4), (t,4),(r,3)

Exemplo de MinimizaçãoObjetivominimize(leaf(t(a),X,D), D):Após encontrar X = h /\ D = 3, o objetivofica:D < 3, leaf(t(a),X,D), o que faz quenunca se visite nós com profundidadesuperior a 3 (?)

falseDDL

DDXktleafL

DDXitleafL

DDXdtleafL

DDXbtleafL

DDXatleaf

trueDXatleafD

)043([]1

3)4,),((3

3)3,),((3

3)2,),((2

3)1,),((2

3),),((

),),((,3

Exemplo de MinimizaçãoMelhore o leaf para o MU com D limitado superiormente: adicione uma ARC

L4:leaf(node(null,X,null),X,0).L5:leaf(node(L,_,_),X,D+1) :-

D >= 0, leaf(L,X,D).L6:leaf(node(_,_,R),X,D+1) :-

D >= 0, leaf(R,X,D).

falseDDL

DDDXdtleafL

DDDXbtleafL

DDXatleaf

trueDXatleafD

)33([]6

23)2,),((5

13)1,),((5

3),),((

,),((,3

Minimização A busca pode nem sempre ser beneficiada

pelos limites e.g. minimize(leaf(t(a),X,D), -D) Ainda deve visitar todos os nós antes de achar

um nó folha de maior profundidade A formulação original é superior, uma vez que

envolve menos restrições (a restrição redundante D>=0 não diminui o espaço de busca)

Conceito-Chave: lembre-se do MU de E<m, G, com m fixo.

Capítulo 8: Domínios e Rótulos

Novos requisitos: precisamos definir os domínios e as variáveis aritmético X :: [1,2,3,4] ou X :: [1..4] não-aritmético X :: [red, blue, yellow] multiplas variáveis [X,Y,Z] :: [0..10]

Se nenhum domínio é dado, é usado o padrão, por exemplo [-10000..10000]

Exemplo de DomíniosObjetivo para o problema do peso da sacola do contrabandista:[W,P,C] :: [0..9], 4*W + 3*P + 2*C <= 9,15*W + 10*P + 7*C >= 30.

O sistema CLP(FD) retorna unknown.

Mas como achar uma solução?

Devemos chamar um resolvedor completo (com backtracking)

D W D P D C( ) [ .. ], ( ) [ .. ], ( ) [ .. ] 0 2 0 3 0 4

Rótulos (Labelling) O predicado interno labeling chama

o resolvedor de restrições completo labeling(Vs) toma uma lista de

variáveis de domínio finito Vs e encontra uma solução

[W,P,C] :: [0..9], 4*W + 3*P + 2*C <= 9,15*W + 10*P + 7*C >= 30, labeling([W,P,C]).Acha as soluções:

W P C W P CW P C W P C

0 1 3 0 3 01 1 1 2 0 0

Restringe e Gera!

Forma típica de um programa de domínio finito Variáveis e domínios são definidos As restrições que modelam o problema são dadas O labeling é adicionado para chamar o resolvedor

completo A minimização pode ser aplicada no labeling Exemplo:

[W,P,C] :: [0..9], 4*W + 3*P + 2*C <= 9,15*W + 10*P + 7*C >= 30, minimize(labeling([W,P,C]), -15*W-10*P-7*C).

Exemplo Send+More=Money

YENOMEROMDNES

Problema Cripto-aritmético, cada dígito é diferente, e a equação deve ficar corretasmm(S,E,N,D,M,O,R,Y) :-

[S,E,N,D,M,O,R,Y] :: [0..9],constrain(S,E,N,D,M,O,R,Y),labeling([S,E,N,D,M,O,R,Y]).

constrain(S,E,N,D,M,O,R,Y) :-S != 0, M != 0, alldifferent_neq([S,E,N,D,M,O,R,Y]), 1000*S + 100*E + 10*N + D+ 1000*M + 100*O + 10*R + E= 10000*M + 1000*O + 100*N + 10*E + Y.

Após a declaração do domínio, temos:D S D E D N D D D M D O D R D Y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ .. ] 0 9

Após temos alldifferent_neq adiciona a desigualdade (nãomuda o domínio)Equação final após uma regra de propagação:

S M 0 0 D S D M( ) ( ) [ .. ] 1 9

MD S D E D D D R

D O D N D Y

919000

max( , ) max( , ) max( , ) max( , )min( , ) min( , ) min( , )

Considerando o domínio corrente, temos:M 9

991 99000

09000 1102.

Portanto D(M) = [1..1]A propagação continua até que:

D S D E D N D DD M D O D R D Y

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [5.. ] ( ) [ .. ]( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

9 9 4 7 8 2 81 1 0 0 2 8 2 9

Observe: 3 variáveis estão fixadas e todos os domínios estão reduzidos. O labeling tenta S=0, S=1, ..., S=8 (que falham imediatamente) e então S=9. Depois E=0, E=1, E=2, E=3 (que falham imediatamente) e E=4 (que eventualmente falha), então E=5 dá como resposta:

D S D E D N D DD M D O D R D Y

( ) [ .. ] ( ) [5.. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [8.. ] ( ) [ .. ]

9 9 5 6 6 7 71 1 0 0 8 2 2

Gera e Testa!Método sem restrições:

primeiro gera uma possível soluçãoentão testa a solução

smm(S,E,N,D,M,O,R,Y) :-[S,E,N,D,M,O,R,Y] :: [0..9],labeling([S,E,N,D,M,O,R,Y]),constrain(S,E,N,D,M,O,R,Y).

Este programa requer 95671082 escolhas antes de achar a solulção. O anterior requer apenas 35 escolhas (ou 2 que não falham imediatamente)

Restrições Complexas Restrições Complexas como

alldifferent, cumulative e element Modelagem do problema mais

sucinta Melhor propagação = mais eficiência

Pois são primitivas! (reveja a definição) Exemplo:

alldifferent_neq([S,E,N,D,M,O,R,Y])

Rotulagem Há duas escolhas feitas pelo labeling:

Escolha de qual variável instanciar primeiro Escolha de qual valor do domínio tentar

primeiro labeling padrão:

Tenta as variáveis na ordem dada pela lista Tenta os valores do menor para o maior (dado

pela primitiva dom) Podemos programar estratégias

diferentes

Escolha de Variáveis A escolha das variáveis afeta o tamanho da

árvore de derivação Heurística: escolha variáveis com o conjunto do

domínio menor (portanto com menos possíveis respostas)

ExemploD S D E D N D DD M D O D R D Y

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [5.. ] ( ) [ .. ]( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

9 9 4 7 8 2 81 1 0 0 2 8 2 9

O labeling tentaria primeiro S, M, O (a escolha já está dada pelo domínio). Melhor que E ou N. Muito melhor que Y primeiro.

Escolha do Valor do Domínio O valor da variáveis somente afeta a

ordem em que os ramos da árvore é explorado

Conhecimento específico do problema pode levar a uma busca mais rápida da solução

Também é importante para a otimização: Boas soluções encontradas cedo reduzem a

busca posterior

Eficiência da Rotulagem Podemos utilizar ambas ordenações

(de variáveis e de valores) juntas

10--19

30--39

50--59

70--79

DefaultFirst-failMiddleout

Número de escolhas diferentes para o problema dasN-Rainhas com estratégias diferentes

• Padrão• Primeira a falhar• Primeiro no meio

Divisão de Domínios(Domain Splitting)

O labeling não precisa ser do tipo Ligar uma variável a um valor

Ele simplesmente deve reduzir o domínio de uma variável

Divisão de Domínios divide o domínio corrente de uma determinada variável pela metade

Modelando diferentemente o (mesmo) Problema Visões diferentes de um problema levam

a diferentes modelos Modelos diferentes = Conjunto de

variáveis diferentes Dependendo das capacidades do

resolvedor, um modelo pode requerer menos busca que outro para achar uma resposta

A comparação empírica pode ser a medida do tempo ou esforço gasto

Modelando diferentemente o (mesmo) Problema

Problema de simples atribuição: quatro trabalhadores w1,w2,w3,w4 e quatro produtos p1,p2,p3,p4. Atribua um produto a um trabalhador de modo que o lucro L >= 19

p p p pwwww

1 2 3 41 7 1 3 42 8 2 5 13 4 3 7 24 3 1 6 3

A matriz de Lucro é:

Modelo 1: Pesquisa de Operações

p p p pwwww

1 2 3 41 7 1 3 42 8 2 5 13 4 3 7 24 3 1 6 3

16 variáveis booleanas Bij significando que otrabalhador i está com o produto j

193632734

528437

44434241

34333231

24232221

14131211

PBBBBBBBBBBBBBBBB

11 restrições primárias,28 escolhas para achar todas as quatro soluções

Somatória de j é 1 (um só produto por trabalhador)Somatória de i é 1 (um só trabalhador por produto)

Modelo 2: melhorUsando a desigualdade e restrições complexas. Quatro variáveis W1,W2,W3,W4 correspondendo aos trabalhadores

p p p pwwww

1 2 3 41 7 1 3 42 8 2 5 13 4 3 7 24 3 1 6 3

alldifferent W W W Welement W WPelement W WPelement W WPelement W WPP WP WP WP WPP

([ , , , ])( ,[ , , , ], )( ,[8, , , ], )( ,[ , , , ], )( ,[ , , , ], )

1 2 3 41 7 1 3 4 12 2 51 23 4 3 7 2 34 31 6 3 4

1 2 3 419

7 restrições primárias,14 escolhas para achar todas as quatro soluções

W1W2W3W4

1 2 3 4

Modelo 3: DiferenteQuatro variáveis T1,T2,T3,T4 correspondendo aos produtos.

p p p pwwww

1 2 3 41 7 1 3 42 8 2 5 13 4 3 7 24 3 1 6 3

alldifferent T T T Telement T TPelement T TPelement T TPelement T TPP TP TP TP TPP

([ , , , ])( ,[ , , , ], )( ,[ , , , ], )( ,[ , , , ], )( ,[ , , , ], )

1 2 3 41 7 8 4 3 12 1 2 3 1 23 3 5 7 6 34 4 1 2 3 4

1 2 3 419

7 restrições primárias,7 escolhas para achar todos as quatro soluções

T1 T2 T3 T4

Comparando os Modelos A eficiência relativa vem de:

Mapeamento mais direto às restrições primitivas Menos variáveis Normalmente requer avaliação empírica

Outro critério de eficiência: flexibilidade (adicionar restrições novas) e.g. trabalhador 3 deve trabalhar num produto > que

o do trabalhador 2B BB BB B BB B B B

33 21 22

34 21 22 23

0 0 W W3 2 ?????

Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3

Combinando Modelos Combine os modelos relacionando as

variáveis e seus valores em cada um dos modelos

e.g. B13 = 1 significa W1 = 3 que significa T3 = 1

Modelos combinados podem ganhar mais eficiência atráves da informação que é propagada

A restrição primária iff(V1,D1,V2,D2) é verdade para V1=D1 se e somente se V2=D2

Modelos Combinadosalldifferent T T T Telement T TPelement T TPelement T TPelement T TPP TP TP TP TP

([ , , , ])( ,[ , , , ], )( ,[ , , , ], )( ,[ , , , ], )( ,[ , , , ], )

1 2 3 41 7 8 4 3 12 1 2 3 1 23 3 5 7 6 34 4 1 2 3 4

1 2 3 4

alldifferent W W W Welement W WPelement W WPelement W WPelement W WPP WP WP WP WPP

([ , , , ])( ,[ , , , ], )( ,[8, , , ], )( ,[ , , , ], )( ,[ , , , ], )

1 2 3 41 7 1 3 4 12 2 51 23 4 3 7 2 34 31 6 3 4

1 2 3 419

iff W T iff W T iff W T iff W Tiff W T iff W T iff W T iff W Tiff W T iff W T iff W T iff W T

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , ,

11 11 1 2 2 1 1 3 31 1 4 4 12 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 231 1 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )3

4 1 1 4 4 2 2 4 4 3 3 4 4 4 4 4

iff W T iff W T iff W T iff W T

39 restrições prim. 5 escolhas para achar todas soluções

Resolvedor baseado em Consistência do Arco Assumimos que o sistema CLP(FD) usa um resolvedor

de propagação de limites A Consistência do Arco permite que mais valores

sejam eliminados nas relações binárias das variáveis Exemplo:

Suponha o problema das 8-Rainhas, com uma solução parcial de D(R1)={2}, D(R2)={4}, D(R3)={6}

O resolvedor de restrições baseado em consistência de limites determinará os domínios:

• D(R4)=[1..8], D(R5)=[3..5], D(R6)=[1..5], D(R7)=[1..7], D(R8)=[3..8]

O resolvedor de restrições baseado em consistência de arcos determinará os valores:

• D(R4)={1,3,8}, D(R5)={3,5}, D(R6)={1,5}, D(R7)={1,3,5,7}, D(R8)={3,5,7,8}

Resolvedor baseado em Consistência do Arco O resolvedor baseado em consistência do

arco dá informações muito mais acuradas dos valores possíveis para as variáveis

Outra vantagem é que este resolvedor trabalha tão bem com valores limitados quanto com coleções, enquanto o resolvedor baseado em limites trabalha bem apenas com restrições aritméticas

O programador define a RDU como uma relação binária com múltiplos fatos, e as rotula com a palavra reservada “consistent”, que indica ao CLP que ele deve resolver a relação utilizando consistência de arcos.

Resolvedor baseado em Consistência do Arco

Por exemplo, o programa:

E os objetivos:

likes(joaquim, maria).likes(joaquim, nicole).likes(joaquim, erica).likes(pedro, maria).likes(bernardo, nicole).likes(bernardo, maria).likes(bernardo, erica).

EMENMN ,,Obj1:[N,M,E]::[joaquim, pedro, bernardo],likes(N, neila),likes(M, maria),likes(E, erica).Obj2:[N,M,E]::[joaquim, pedro, bernardo],likes(N, neila) consistent, likes(M, maria) consistent, likes(E, erica) consistent, labeling([N,M,E]).

EMENMN ,,

Resolvedor baseado em Consistência do Arco

Predicados de aridade maior se resolvem pela consistência de hiper-arcos e com predicados unários, consistência de nós.

No exemplo anterior, no objetivo 2, ao invés de fazer o backtracking pelas diferentes regras (caso do objetivo 1), é utilizada a consistência de arcos para avaliar a relação likes. Assim, as desigualdades e as restrições levam ao seguinte domínio:

D(N)={joaquim, bernardo}, D(M)={joaquim, bernardo, pedro}, D(E)={joaquim, bernardo}

A execução do labeling leva D(N)={joaquim}, e a consistência do arco devolve

D(M)={pedro}, D(E)={bernardo}Assim nenhuma outra escolha é necessária para achar a primeira solução. Se for pedida outra solução, o backtraking faz imediatamente D(N)={bernardo} e as restrições da consistência do arco se propagam, não sendo necessária nenhuma outra escolha para a segunda solução

Restrição Reified Uma restrição reified r B

adiciona uma variável booleana B a uma restrição primitiva r

Se r ocorre, então B = 1 Se r não ocorre, então B = 0 A propagação é em ambas as

direções

Restrição Reified Usada para construir combinações

complexas sem usar “escolhas” Imagine que queremos que, das nossas 4

restrições primitivas, sejam satisfeitas apenas 2 ou 3. Isso geraria regras com muitas combinações…

comb(X,Y):- c1, c2, ¬c3, ¬c4.comb(X,Y):- c1, ¬c2, c3, ¬c4.comb(X,Y):- c1, ¬c2, ¬c3, c4.comb(X,Y):- ¬c1, c2, c3, ¬c4.comb(X,Y):- ¬c1, c2, ¬c3, c4....

C1 B1, C2 B2, C3 B3, C4 B4,

B = B1 + B2 + B3 + B4,

2<=B, B<=3

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