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Disciplina: Sistemas Estruturais

Assunto: Estruturas Isostáticas

Prof. Ederaldo Azevedo

Aula 5

e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br

Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP

Curso: Arquitetura e Urbanismo

5. Estruturas Isostáticas

5.1 Conceito de Estruturas Isostáticas

Os vínculos restringem os graus de liberdade de

movimento da estrutura, provocando forças reativas

conhecidas como reações de apoio.

Nas estruturas isostáticas as reações de apoio só

aparecem quando existem forças ativas (cargas

aplicadas).

As cargas aplicadas são dadas ou facilmente

determináveis e as reações de apoio são as forças

procuradas ou as incógnitas.

5.1 Conceito de Estruturas Isostáticas

Nas estruturas isostáticas, o número de vínculos é o

essencialmente para impedir a mobilidade da estrutura, e

as reações de apoio, que surgem em função das cargas

aplicadas, são em número igual aos movimentos

restringidos.

As reações de apoio são, portanto, forças com ponto de

aplicação e direção conhecidos.

O conjunto, cargas aplicadas mais reações de apoio,

forma um sistema de forças em equilíbrio.

5.2 Esquemas, representações e simplificações de

cálculo.

As estruturas não são analisadas como elas ficarão

depois de serem concebidas, assim, a fim de estabelecer

um esquema de cálculo, ou modelo matemático,

algumas simplificações tornam-se necessárias, e estão

em geral associadas:

•à geometria: representação da estrutura por barra,

que representa o meio de seu eixo do elemento;

•ao sistema de forças: forças e momentos

concentrados e distribuídos;

•à análise numérica a ser efetuada: planas e

espaciais;

•à representação dos apoios.

5.3 Unidades de Força e Momento.

unidade de força e tf/m;

unidade de comprimento kN/m;

e outros.

unidades de força distribuída

10 KN/m

5.3 Unidades de Força e Momento.

tfm/m;

unidade de momento kNm/m;

unidade de comprimento Ncm/cm;

e outros.

5.4 Resultantes dos carregamentos

De acordo com a disposição dos esforços as forças

distribuídas podem ser representadas através de figuras

geométricas como: retângulos, triângulos, trapézio e

outros.

A resultante de uma carga(força) distribuída ao longo

de um comprimento L, é determinado pela área delimitada

do intervalo(representado pela figura) sendo o ponto de

aplicação da resultante R coincidente com o centro de

gravidade do diagrama(figura abaixo).

5.4 Resultantes dos carregamentos

5.5 Vigas Isostática

Cálculo das Reações

Nas estruturas isostáticas constituídas por uma única

chapa, o número de equações de equilíbrio

disponíveis é igual ao número de incógnitas,

possibilitando o cálculo das reações de forma muito

simples.

VIGAS ISOS: Nº DE EQUAÇÕES = Nº DE INCÓGNITAS

Assim, supondo a estrutura no plano xy(planas), as

condições de equilíbrio é dado pelas equações:

∑(Fx=0) ∑(Fy=0) ∑(M=0)

Onde Fx e Fy são as componentes das forças aplicadas

em relação aos eixos x e y, respectivamente e;

M o módulo do momento das forças em relação a um

ponto qualquer do plano.

Poderão ser usadas, nos problemas práticos, também

como condições de equilíbrio, três equações de

momentos, desde que relativas a pontos não

pertencente à mesma reta(pontos não colineares):

Equações de

Momentos : ∑Ma=0 ∑Mb=0 ∑Mc=0

Onde a, b e c são não colineares.

Cálculo das Reações de Apoio:

Exemplo de Aplicação:

As Incógnitas (reações de apoio) são determinadas pelas

equações de equilíbrio e como são três equações,

normalmente são suficientes.

A técnica para cálculo de reações consiste em “isolar”, a

estrutura da terra, mediante a retirada dos apoios,

aplicando-se na direção dos movimentos restringidos os

esforços incógnitos(encontrar o valor) correspondentes.

O método para determinação das reações de apoio

adotado segue um roteiro de 04 passos:

Cálculo das Reações de Apoio: Passo a Passo

1º identificar e destacar dos sistemas os elementos

estruturais que serão analisados. Desenhar o modelo

estrutural (ME);

2º traçar o diagrama de corpo livre (DCL) do elemento a

ser analisado; .

O DCL consiste em isolar a estrutura da terra, mediante a

retirada dos apoios, aplicando-se na direção dos

movimentos restringidos os esforços incógnitos

correspondentes.

Cálculo das Reações de Apoio: Passo a Passo

3º determinar um sistema de referência (SR) para a

análise(xy);

4º estabelecer as equações de equilíbrio da estática (EE);

∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑M=0

Exemplo1: Viga isostática com carga distribuída simétrica.

Equações de Equilíbrio (EE):

∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑M=0

∑Fx=0 RH=0

∑Fy=0 RV1 + RV2 – q.L = 0

∑M=0 ;

Para se fazer um somatório de momentos, é necessário

escolher um ponto fixo, que deverá estar localizado

dentro do sistema de referência adotado.

Para maior facilidade é necessário conveniente que esse

ponto coincida com um ponto localizado sobre o

modelo estrutural onde houver maior número de

incógnitas.

No exemplo em análise o ponto a ser escolhido é o ponto

A. A escolha do ponto para determinação dos momentos

é um passo muito importante, pois dependendo do ponto

escolhido, a resolução do problema pode ser simplificada

ou muito complicada.

Assim,

∑Ma=0 (RH1.0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (q.L.L/2)=0

q.L²/2- RV2.L=0 (multiplicando 1/L)

q.L/2 – RV2=0 RV2= qL/2

Substituindo RV2 na equação ∑Fy=0

∑Fy=0 RV1 + qL/2 – qL =0

RV1 = qL/2

Respostas:

RV1=qL/2; RV2=qL/2; RH=0

Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no

centro da viga.

Exemplo 2: Viga isostática com carga concentrada no

centro da viga.

Equações de Equilíbrio (EE):

∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑M=0

∑Fx=0 RH=0

∑Fy=0 RV1 + RV2 – P = 0 RV1 = P – RV2

∑Ma=0 (RH1 . 0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (P.L/2) = 0

P.L/2 – RV2.L=0

Multiplicando 1/L para simplificar temos RV2=P/2

∑Fy=0 RV1=P – RV2 RV1=P/2

Respostas:

RV1= P/2; RV2= P/2; RH=0

Exemplo3: Viga isostática com carga distribuída e uma

concentrada no centro da viga.

Exemplo3: Viga isostática com carga distribuída e uma

concentrada no centro da viga. Equações de Equilíbrio (EE)

∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑M=0

∑Fx=0 RH=0

∑Fy=0 RV1 + RV2 – q.L - P = 0 RV1 + RV2= P + qL

∑Ma=0 (RH1 . 0) + (RV1.0) – (RV2.L) + (q.L.L/2) + (P.L/2) = 0

P.L/2 + q.L²/2 – RV2.L =0 multiplicando 1/L para simplificar

P/2 + q.L/2 – RV2 =0

RV2 = P/2 + qL/2

∑Fy=0 RV1 + RV2 = P + qL

RV1=P/2 + qL/2

Respostas:

RV1= P/2 + ql/2;

RV2= P/2+ qL/2; e RH=0

Análise dos resultados obtidos nos três exemplos

anteriores: 1.A reação de apoio horizontal em todos os casos é igual a zero,

porque não existe, no modelo em análise, nenhuma força horizontal

ativa;

2.Quando uma viga está submetida a uma carga uniformemente

distribuída, as reações de apoio são iguais:RV1=RV2=q.L/2

3.Quando a viga está submetida a uma carga concentrada no meio do

seu vão, as reações de apoio também são iguais: RV1=RV2=P/2

4.Quando a viga estiver submetida a uma carga uniformemente

distribuída e a uma carga concentrada no meio do seu vão, as

reações de apoio são iguais ao somatório das reações dos dois casos

anteriores: RV1=RV2= qL/2 + P/2, isso acontece devido ao princípio da

superposição de efeitos.

5.As cargas uniformemente distribuídas são concentradas a um

determinado ponto. Esse ponto deve ser o baricentro da área de

atuação da carga. No caso de cargas uniformemente distribuídas de

seção constante, o baricentro é exatamente o centro do espaço de

atuação da carga.(abaixo)

Análise dos resultados obtidos nos três exemplos

anteriores: 6.Em cargas triangulares, o baricentro está localizado a 1/3 do lado

maior.(abaixo);

Exercícios Resolvidos:

1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de

vão submetida ao carregamento de carga concentrada de

60KN aplicada no seu centro.

Equações de Equilíbrio (EE)

𝑭𝒙 = 𝟎 𝑭𝒚 = 𝟎 𝑴 = 𝟎

𝑭𝒙 = 𝟎 RH=0

𝑭𝒚 = 𝟎 RV1 + RV2 – 60 = 0 RV1 + RV2= 60

𝑴𝒂 = 𝟎 (RH1 . 0) + (RV1.0) + 60.3 - RV2.6 = 0

0+0+180 - RV2.6 =0

6RV2=180

RV2=180/6

RV2=30 kN

1. Calcule as reações de apoio para a viga de 6m de

vão submetida ao carregamento de carga concentrada de

60KN aplicada no seu centro.

Substituindo RV2 na equação RV1 + RV2= 60

𝑭𝒚 = 𝟎 RV1 + 30 = 60

RV1 = 30 kN

Respostas:

RV1= 30 kN;

RV2= 30 KN;

2.Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento

submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de

8KN/m por todo o vão.

𝑭𝒙 = 𝟎 𝑭𝒚 = 𝟎 𝑴 = 𝟎

𝑭𝒙 = 𝟎 RH=0

𝑭𝒚 = 𝟎 RV1 + RV2 – (8.6) = 0 RV1 + RV2= 48

𝑴𝒂 = 𝟎 (RH1 . 0) + (RV1.0) + 48.3 - RV2.6 = 0

0+0+144 - RV2.6 =0

6RV2=144

RV2=144/6

RV2= 24 kN

𝑭𝒚 = 𝟎 RV1 + 24 = 48

RV1 = 24 kN

submetida ao carregamento de carga uniformemente distribuída, de

8KN/m por todo o vão.

Respostas:

RV1= 24 kN;

RV2= 24 KN;

submetida ao carregamento de carga parcialmente distribuída, de

6KN/m a partir do primeiro terço do vão.

𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

Fx = 0 RH=0

Fy = 0 RV1 + RV2 – (6.4) = 0 RV1 + RV2= 24

Ma = 0 (RH1 . 0) + (RV1.0) + 24.4 - RV2.6 = 0

0+0+96 - RV2.6 =0

6RV2=96

RV2=96/6

RV2= 16 kN

Fy = 0 RV1 + 16 = 24

RV1 = 8 kN

4. Calcule as reações de apoio para uma viga de 6m de comprimento

submetida ao carregamento de carga distribuída triangular, sobre todo

o vão com 6KN/m na extremidade direita.

𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

Fx = 0 RH=0

Fy = 0 RV1 + RV2 – (6.6/2) = 0 RV1 + RV2= 18

Ma = 0 (RH1 . 0) + (RV1.0) + 18.4 - RV2.6 = 0

0+0+72 - RV2.6 =0

6RV2=72

RV2=72/6

RV2= 12 kN

Fy = 0 RV1 + 12 = 18

RV1 = 6 kN

submetida a um momento externo(carga momento) de 30 kNm no

sentido horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda.

𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

Fx = 0 RH=0

Fy = 0 RV1 + RV2 = 0 RV1 = - RV2

Ma = 0 (RH1 . 0) + (RV1.0) + 30 - RV2.6 = 0

0 + 0 + 30 - RV2.6 =0

6RV2=30

RV2=30/6

RV2= 5 kN

Substituindo RV2 na equação RV1 = - RV2

Fy = 0 RV1 = -5

RV1 = - 5 kN

submetida a um momento externo(carga momento) de 30 kNm no

sentido horário, aplicado a 2m da extremidade esquerda.

Respostas:

RV1= - 5 kN;

RV2= 5 KN;

Obs.: O sinal negativo de RV1 indica que o sentido correto da reação

é o oposto ao inicialmente arbitrado.

6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de

comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kN na sua

extremidade.

6. Calcule as reações de apoio para uma viga em balanço de 4m de

comprimento submetida a uma carga concentrada de 20 kN na sua

extremidade.

𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 RH=0

𝐅𝐲 = 𝟎 RV1 – 20 = 0 RV1 = 20 KN

𝐌𝐚= 𝟎 (RH1 . 0) + (RV1.0) + Ma + 20.4 = 0

0 + 0 + Ma + 80 =0

Ma = - 80 kNm

Obs.: O sinal negativo de Ma indica que o sentido adotado deste

momento foi errado portanto o sentido correto é o anti-horário.

7.Calcule as reações de apoio para uma viga bi-apoiada de 6m de

vão, submetida a uma carga distribuída de 8 kN/m, com um balanço

de 2m na extremidade esquerda submetida a um momento

externo(carga momento) de 20 kNm no sentido anti-horário localizado

à cinco metros do apoio esquerdo e uma carga concentrada de 10 kN

na extremidade.

𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 RH=0

𝐅𝐲 = 𝟎 RV1 + RV2 – 32 – 10 = 0 RV1 + RV2 = 42

𝐌𝐚= 𝟎 (RH . 0) + (RV1.0) + 32.2 - 20 - RV2.6 + 10.8= 0

0 + 0 + 64 – 20 - RV2.6 - 80 =0

6RV2=100 - 64

RV2=36/6

RV2= 6 kN

𝐅𝐲 = 𝟎 RV1 + 6 = 42

RV1 = 36 kN

8.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico

abaixo:

8.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de pórtico

abaixo:

𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎

𝐅𝐱 = 𝟎 3 - RH=0 RH= 3 KN

𝐅𝐲 = 𝟎 RV1 – (4. 4,0)+ RV2 = 0 RV1+ RV2 = 16 KN

𝐌𝐛 = 𝟎 + (RV1 . 9) + (3.1,5) - (16.7) + Rh.0 + Rv2.0) =0

9RV1 + 4,5 – 112 +0 + 0=0

9RV1=107,5 RV1=11,94 KN

𝐅𝐲 = 𝟎 11,94 + RV2 = 16

RV2 = 4,06 kN

9.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de treliça

abaixo:

9.Calcule as reações de apoio para o modelo estrutural de treliça

abaixo:

Fx = 0 Fy = 0 M = 0

Fx = 0 RH=0 RH= 0

Fy = 0 RV1 – 5 – 10 – 5 + RV2 = 0 RV1+ RV2 = 20 KN

Mb = 0 + (RV1 . 16) - (5.12) - (10.8) –(5.4) + Rh.0 + Rv2.0=0

16RV1 - 60 – 80 - 20 +0 + 0=0

16RV1=160 RV1=10 KN

Fy = 0 10 + RV2 = 20

RV2 = 10 kN

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