cap.5 - relaÇÕes trigonomÉtricas
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ffim&m*õsstr*ryunwmátricasÍ
s
í
Entre as funções trigonométricas vislas nas unidadês anteriores. existem aloumas reta_çÕês que são chamadas relações lrigonométricas fundamentais.
Vamos agorademonstraí mais uma íelação trigonAmétrica Íundamentâ1. para isso, con-siderêmos o ciclo tr igonométíico da f igura.
. Ott,t = I
.õM'= cosx
. õM" : tVM' = sen x
(lú N.4). + (oÌ)" = (or\4).
isen x)'z + {cos x)'z = 1, que podêmos escrevêr
Esta relação é válida paía todos os valores de x.
60
I
RELACOES TRIGONOMETRICAS FU N DAMENTAIS
sen x xt+ + kÌ ,k<Z
x*kÌ ,k<Z
xt+ + kÍ ,k <Z
x. lkt ,k<Z
Veiamos âlguns exemplos.
'l? exemplo: Dado sen x = f,, com O < x < á, calcular cos x.
Rosoluçãot Usândo a relação sen2x + cos2x = l, lemos:/1Ì2 ^ O
{ f , ) +cos'?x= 1- ã + cos'?x = 1
cosx = t f ;
Como O < x < ã (isto é, x ( 19 quadrante, onde cos x é positivo). temos:
"o"" = f;Resposta: cosx = f;
(a=oslou
12ã+2=0=a= -1
Í. t
2? exemploi lÌtra quê valores de a temos, simullaneamente, sen x = a + 1 e cos x = a?
Re6olução: Usando a relaçáo sen2x t cosl = 1 ê substituindo, temos:(a+1) '?+(a) '?=1a2+2a+1+a2-12a2+2a=oa l2a + 2) = O
Resposta: a =ooua= -1
3? exemploi Sabendo-se que 2sen2x + cos2x =
cos i.
Substituindo-se na 29 êquâção:
2(1 cos2x) + cos2x = f,
,comO < x < ã,calcularsenxe7
Resolução: Sabendo que senzx + cos2x = 1, vamos resolver o sistêma:
I sena + cos'?x = t
(2 sen'?x + cos'?x = f
Da 1a equação:sen2xlcos2x=1
- sen2x
. como o < x < ã (x ( 19 quâdràntê),temos: cosx = +
. Vamos calcular sen x:sen'x= 1-+ , sên.x = Y -senx=. i
= 1 - cos2x
2 - 2 cos2x + cos'?x = f
- cos2x = - 1
cosx=t]
.lt-2
. Como O < x < â, temos: sen x =
Fesposta. senx = f ""o"* = f.
. Í .
-T
34
49 exêmplo: Dado cos x = - iq.com I < x < ,.catcutartgx.'J2
Resolução:.Paracalculârtgx,devêmosconhecerovalordesenxeparaissousamosarelâ,
çãosen2x+cos2x=1:^ t ,1ã 12
sen'x+( Ël =1 .^.,.- 3
.Ãsenx = . iË
Como | < x < Í(x < 29 quadrânte. onde sen x é posit ivo). temos:
senx=ã.
. Vamos calcular tg x, usando a relaçâo lg x = igl]! :
.-. ,
t = - \E
t
=+(+)=*Besposta: tgx = \2
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
rDaoo(smr- ; ecosr 4 .com
r<x<;.calculetgr.
/ luaoos(enx- t eco(x_.; com
-!
< x < 2r, calcule cotg x.
l ruadocoçx= _ i ,com ; . <\< r ,de
+DaoocosÀ- - i ,com; <r< r .cal-
cule o valor de sen x.
- .Ãlserenr - t .com0<\< i . calcuhtgxecotgx.
ó Sabendo que senl + : cosï = 3, comu < x < t . csrcute sen x e cos x.
7 (FEI-SP) Sendo x um ârÌgulo do primeirc qua-clÍante e tg x : 3, calcule sen x.
I Resolva os pÍoblemas:
a) Se sen x = Ì1 . calcuje cosec x.
b) Dado cosec À - €com0 < r < -{ ,cal
62
yse.ec ' - \2,comO< y< f . .catcuteco,. ,seú x, tg x e cotg x.
l0 seuo senx = ."-a - zecosx = a - l, derer-
ll tPuc-spr senao cos x = -L "'r;Isen\-- ,dererminem.
12 Determine o valor de m ( ìR, tal que:
arsena=recotga-2m+1.
b)tgx = 4ecosx = m 2.
13SetO.tgx+ 16 cos x = l7 . sec x, qual o
(Sugestão: coloqu€ a expressão dada em fun-çâo de sen x.)
r+ òaoenoo que sen (,r + x) = - i com
2 . r . -1 . calcule \en r. cos \. rs ì
Ì .
CÁLCULO DO VALOR DE UMA EXPRESSÃOTRIGONOMÉTRICA
19 exêmplo: Sabendo-se que sen x = I , calcular o valor da exprêssão y :
Resoluçáo: Vamos, inícialmente, escrêver â êxpíessão em funoão de sen x e cos x.
.. sec2x - 1' lg'x + l
'1 cos2xco*x
sen<x + cosuxcoFx
Então.v _ r cos-x' sen.x + cos.x
=M=+
. Í
Observemos os seguintes exemplos.
Í
Comol - cos2x = sen2x e sena + cos2x = 1. temos:
.- sen2xy= 1 -y=
Besposta: y = |
29 exemplo: sâbendcse que colg x = f, "". x <$,catcutarM = o;3jÏ""
FÌêsotucãot cotox = 9 -
cosx - I4 SênX 4
1cosx=;senx
sen2x r cosl = 1- sena * 91ï '* =t
16 sên2x + I senzx = 16
25 sen'zx = 16
senx= i j
4SeÍ<x<Ë,vem:senx= -Ë
t-ogo,
" 3. / 4ìcosx =ì senx=cosx=T \ 5 l
cosx = +Portanto:
, r - :' ' 6u= - " [ ì ' , ( '^
-"=--=- -"=E
. - l tnHesposrâj M =
-1
m-t -t
1
sen2x , .cosza - '
1 cos2x so{xcôs.x sen.x + coszx
l \2\2\T1
1
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
Olr,rI-sry s"r'ao,.n * = |,com0<x<+,calcule:
senx cosx - Ìsx
ó Sabendo que 4ta2x = 9e450" < x < 5400.calcÌrle o valor da e\prcssão-4senx 6cosx + cotg x.
7 sabendo que cos a = - +." . Ì " .+1,calcule:
L. sec o - coseco" , - Ìd"
/a'\\2 sabendo que cos r - + . cajcule o valor d<.
cotsx - I
Se sen x = -1 . calcule o valor da e\prssào:
Y = tcx + cotcx
do pÍimeiÍo quadranng calcule o valor dâ ex-pressão 25 sen'zx - 9 tg\.
8 Ache o lalor da e\pre\são 4 qen x - I cos: r,sabendo que tg x = - 15e x <190., 180.1.
tsesenÀ í . r - . t . r .calcuteolalor
de 32tgx + l .
l0 Sabendo que sen o -d <l;, 2rl . catcute:arós"- : ìeob) cos (54O. + a)c) sec (1 350. o)
_45
TR IGONOMETR ICAS DER IVADAS DAS
Já êstudâmos as cinco rêlaçóes trigonométricas fundâmentais, quê sãol
l)sen2x + cosa = 1 l$secx = 1cos x
sen xl l ) tgx =cos x sen x
l l l ) coto x = cos xsen x
Vamos, âgora, estudaralgumas relaçôes quesão importantês equedecorrem dascincorelações f undamentais vistâs.
. 1? relaçáo
Sâbemos quê:
to x = jg!f!- cos x
cos x- sen x
@ttra se, Sabendo que -"
, - - + .úg, < 0, calcul€ o valoÍ da expressão
- 2tE0
I tc' o
@1"ra-S".1 SuUnao n f exe
RELACÓESRELACÕESOES FUNDAMENTAIS
Esta rêlaçâo é válida para todo x I -F.
. 2i rêlaçãoObservando a figura, têmosl
.F=tgx
.d = secx
No triânOulo retângulo OAT (Â é reto), aplicandoPitágoras, temos:
(-Ar)'?+(oA-f=(õD'?(tg x)'? + (1)'? = (sec x)2, que podêmos escíever:
sec2x=1+tg2x
Estâ relaçâo é válìda pa,alodox t + +kr.
. 3i relação
Obsêrvando a Íigura, temos:
.BS=cotgx
. õS = cosec x
Notriângulo retângulo OBS (Ê é reto), peloteorê-ma dê Pitágoras:
(Es)'z+(oB)'?=(os)'?(cotg x)2 + (1)2 = (cosec x)2, que podemos ês-crevêr:
Vejamos alguns êxêmPlos
í9 exemplo: Dado cotg x = j o sendo x um ângulo do terceìro quadrante, calcular o valor
de sen x.
Resotuçáo: cosec2x= I t colg2 x = cosec' x = I +]
cosec'?x = +cosec x = tf
como x e]r, $], temo"' "o"""
* = f
Fortanto,
í
t
I
iII
IL
cosec x = -I sen x
2\E
_T
icosec'x=I+cotg'x Ì
Esta relação é válida para todo x F kÍ.
Respo6ta:
29 exemplo: Se cotg x =
Resolução: Se cotg x =
1 _\Elgx - 2
Resposta: lgx = \2
f , calcular tg x.
fr u"otn" = f ,t".o",-12.t9x
= 2-tgx=+- - tgx
=1A
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
I setgr = ./t3 , calcule cotg x.
2 Sabendo que 2 rg'x * ìõàx = t
e cue x < lf , r[, carcure o .!ãlor ale A, sendoA: senx + cosx.
Í"
I3 Sabendo que sec'zx + tgx - 7 = 0e
0<x<f,calculecosx.
4 Derermine os valores de a paÌa que se renha
Itgx=2a+3(cotgx:a+Ì
ï
. . .Consideíemos uma igualdade da forma f(x) = g(x), onde f(x) e g(x) são funções trigono-méÌricas.
Se essa igualdadeéválida para qualquervaloí íêâldex, para os quais os valores das fun-çõês existem. dizemos que f(x) = g(x) é uma iden dade trlgonométrica.
Exêmplos:
. A igualdade cos2x = 1 - sên'xéválida paía qualquê.x real;logq é uma tdentidad€tÍi.gonoméldca.
. A igualdade cotg xtrigonométrica.
_1rgx é válidâ pâra todo x É + + krÍ: logo é uma identidade
. Dêmonstração de umá identidade
. Para provarque.uma identidade trigonométrica é vêrdadeira, podomos utilizarou aplicarqualquêr uma das rêlâçõês trigonomélricas já estudadas nesta unidade(e quê são, ta;bém,identidades) e escolhêr um dos seguintes píocêssos de demonslrâçâo:
19 pÍocesso: Partimos de um membro da idêntidade (geralmentê o mais complicâdo) echegamos ao outro membío.
Exemplo: Demonstrâr a identidade (1 + cotg2x) . (1 cos2x) = 1.
Resoluçáo: vamos partir do 19 mêmbrq procufando êxpressar as funções em sen x ou cos x:
@ 1ï.rl
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
cotg'?x) (1
Ír * "o"lt ìtt cosl) = r\ sên'x I
ljeú +9d!ì(1 - cos2x) = 1\ sên_x Icomo sen2x + cos2x = 1e 1 cosa = sên2x, temos:
l- . trtt"" = fsêrfx
f1 =f - demonstíada a idêntidade
29 processo: Vamos transformar o 19 membro da identidâde f(x) em uma função h(I) e,separadamentê, Ìransformamos o29 mêmbroda identidade g(x) também em umafunçào Ë{x),levando êm considêração a propíiedade:
Í(x) = h(x) ìI + f(x) = s(x)
s(x) = h(x)J
Í
Exemplo: Dêmonstíar a identidâde tg x + cotgx = tgx cosec2x.
Resolução: Vamos expressar as funções em sen x ou cos x:tgx + cotgx = tOx cosêc2x
senx cosx senx Icosx senx cosx sen2xsen2x i cos2x = 1 1cosx.senx cosx senx
Como sen2x + cos2x = 1, temosl
+ demonstÍada a idenlidâdêcosx.sênx cos x sen x
39 pÍocêssor Vamos construir uma função h{x) = Í{x) g(x) e provar que h(x) = 0; issoequivale a f(x) = g(x), pois f(x) g{x) = 0 <à Í(x) = g(x).
Exemploi Demonstrar a identidade trigonométrica tg2x + cos2x = sêc2x sen2x.
Resolução: Vamos fazer f(x) g(x) = 0tg2x + cosa sec2x + sen2x = 0lg2x seca + cos2x + sen2x = o
1
tg2x-sec2x+1=oVamos expressar tg2x e seca em Íunção de sen x e cos x.
sen2x 1 , . -^; ; t - c.sa - ' - "sen2x 1+ cos2x _^--"a"1 - "
1senTiiosE - t
1-.1 =O 3 O = O+ demonstíada a idênt idade
67
Il
EXERCÍCIOS DE APREN DIZAGEM
I t sandoo l9 processq demorutre as idenrjda-des tÍigoÍométricas:
^. cos x sen x" ' secx - cosec x
= t
b) (cos a + cos b) (cos a - cos b) ++ Gena + senb)Gena sen b) = 0
c) Setâ-cOSa ts lâcosec â - sena
2 Usando o 29 processq demonstÍe as identidades tÍigorÌométricas:
a) tg'zx + cosa = sec2x sen2xb) seczx cosec2x = (tg x + cotg x)
(Ìg x - cotgx)
EXERCíCIOS DE FIXACÃO
1-ocsendosenx - ; ,com0< \< i ,cal-
cule cos x e tg x.
og L,ado co5 r - j . .oÌn- j <\<r.cal-cule sen x, tg x e cotg x.
óTlaaotgx = r{ com r <, < f ,ca-
ó8 Cabule m, de modo que se tenha. simultanea,mentqsenx: Vmécosx: rÁ-m, + f
otsendocos x - ; ex( l ; . t '1,calcuh
o valor numérico da e\pressãocos(Í+x)+sen(x).
70 Sabendo que 9 . senl + 18 . cos2x = 13,com0 < x < +, calcuÌe sen x e cos x.
7l Secotgx = l , como < x < +,calcules€nxecosecx.
72 Determine os !€loÍes de 4 de modo que
senx + cosx = 5a
73 Calcule o valor de:seck sec x . cosec x
I cotg x
cósx = +.
3 Lsandoo l9 processq demonslreas idenrjdâ-d€s trigonométricas:
- , Ìgxr + rg'x
b) (cos a sen a) (cosec a - sec a) + 2 =
4 Mostre que tgx cos x . cosec x = L. l
5 D€moÌìstreque^(tgx, senDt ì 0 - ;sr, == (sec x lf
ó Prove que:ssnx I + cosx
TììõsÌ +- = zcosecx
f
74@uvest-SP) Se tg x = ], com
".*a 1 . determine o valor dey = cosx - senx.
75 SabendoqueJrgx - sec { = t .calculeospos-siveis vaÌores de A, sendo A = 3 sec x + tg x
7ó Simpunque a eroressao 2 ïnì rFlcosa
TTSimpl i f iquea expressão A ='Gecx cos\)(cosec x - sen x) (tg x + cotg x).
78 Demonstre que:
a) (sen x + tg x) (cos x + cotg x) == (1 + senx) (l + cosx)
b) (l + tg x)'? + (1 tg x)2 = 2 . sec,x
79 No. unir en os enr q ue sâo definida\ as expreÍsões, pro\€ que:
. I - senxar- : {secx-t lxr
L. secx+ tqx",-õs xlãitx
: sec x Ìc x
^, cosa+cosb sena-setrbsena + senb cosa - cosb
80 Demonstre as identidades:
-. I + cos a. dado ") i =.*; = {cors a + cosec a))
b)senï..tg1 + cos,x cotgl = tga ++ cotg.Ì _ I
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