campos escalares vetoriais
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7/31/2019 Campos Escalares Vetoriais
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1 - CAMPOS ESCALARES
Definicao: Seja D uma regiao no espaco tridimensional e seja f uma
funcao escalar definida em D. Entao, a cada ponto P D, f associa
uma unica grandeza escalar f(P). A regiao D, juntamente com os
valores de f em cada um de seus pontos, e chamada um campoescalar. Dizemos tambem que f define um campo escalar sobre D.
Exemplo: Seja D um solido esferico de raio r cuja temperatura em
cada um de seus pontos e proporcional a distancia do ponto ate o
centro da esfera. Usando um sistema de coordenadas cartesiana
adequado, descrever a funcao escalar T que define o campo de
temperatura em D.
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2 - CAMPOS VETORIAIS
Definicao: Seja D uma regiao no espaco e seja f uma funcao vetorial
definida em D. Entao, a cada ponto P D, f associa um unico vetor
f(P). A regiao D, juntamente com os vetores f(P), constitui um
campo vetorial. Dizemos tambem que f define um campo vetorial
sobre D.
Exemplo: Seja D a atmosfera terrestre. A cada ponto P D
associamos o vetor f(P) que representa a velocidade do vento em P.Entao f define um campo vetorial em D chamado campo de
velocidade.
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Representacao geometrica de um campo vetorial:
a) f(x, y) = xi.
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b) f(x, y) = xi + yj
Figura: Campo Radial
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c) f(x, y) =y
x2 + y2
i +x
x2 + y2
j. (Vetor unitario)
Figura: Campo Tangencial
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3 - GRADIENTE DE UM CAMPO
ESCALAR
Definicao: Seja f(x,y,z) um campo escalar definido em um certo
domnio. Se existem as derivadas parciais de 1a ordem de f neste
domnio, elas formam as componentes do vetor gradiente de f. Ogradiente de f(x,y,z), denotado por grad(f) ou (f), e um vetor
definido como
grad(f) =f
xi +
f
yj +
f
zk
Exemplos:
a) f(x,y,z) = 2(x2 + y2) z2
b) g(x, y) = x + ey
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c) Encontrar o gradiente do campo escalar
h(x,y,z) =1
2(x2 + y2 + z2), e representar o campo gradiente.
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Propriedades: Sejam f e g funcoes escalares tais que existam
grad(f) e grad(g) e seja c uma constante. Entao:
i) (fc) = c(f)
ii) (f+ g) = (f) + (g)
iii) (fg) = f (g) + g (f)
iv) (f/g) =g (f) f (g)
g2
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Proposicao: Seja f uma funcao escalar tal que, atraves de um ponto
P do espaco, passa uma superfcie de nvel S de f. Se (f) = 0 em
P, entao (f) e normal a S em P.
Exemplo: Determinar um vetor normal a superfcie z = x2 + y2 no
ponto P(1, 0, 1).
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4 - DERIVADA DIRECIONAL
Seja a o vetor posicao do ponto P. Entao,
r(s) = x(s)i + y(s)j + z(s)k = a + bs,
onde s 0 e o parametro comprimento de arco, e uma equacao
vetorial para a semi-reta C.
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A derivada direcionalf
s
(P), na direcao b, em P, e a derivada da
funcao f(x(s), y(s), z(s)) em relacao a s em P.
Supondo que f(x,y,z) possui derivadas de 1a ordem contnuas e
aplicando a regra da cadeia, temos
fs
(P) = b f(P).
Exemplo: Determinar a derivada direcional de
f(x,y,z) = 5x2 6xy + z, no ponto P(1, 1, 0), na direcao do vetor
2i 5j + 2k.
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