campos elÉtricos na matÉria aula 9. objetivos ao fina desta aula, você deverá ser capaz de:...

CAMPOS E

LÉTR

ICOS N

A

MATÉRIA

AU

L A 9

P R O F. PA U L O R O S A I N F I / U F M S

OBJETIVOS

Ao fina desta aula, você deverá ser capaz de:

1. Calcular o campo elétrico no interior de dielétricos;

2. Calcular o campo elétrico criado por corpos polarizados;

3. Calcular a Energia Potencial em meios dielétricos.

2

Campos Elétricos na Matéria

Pergunta básica: o que acontece se temos um dielétrico na presença de um campo elétrico?

Dielétrico

Material que não possui cargas livres, apenas cargas ligadas.

Na presença de campos elétricos temos a formação de dipolos elétricos pela separação dos centros de cargas positivas e negativas.

E : campo externo aplicado;

Ei : campo interno, que aparece devido à separação das cargas;

p : momento de dipolo.E = 0 E

- +Ei

p

p E

Polarizabilidade atômica.

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CAMPOS ELÉTRICOS NA MATÉRIA II

4

Moléculas: nesse caso a situação mais geral é dada por:

p αE A polarizabilidade é um tensor

Moléculas polares : há um alinhamento dos momenta de dipolo.

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Se o campo for constante, não há força líquida sobre a molécula, mas teremos um torque sobre ela. Logo:

( ) ( )

( )2 2

q q q

N r F r F

d dN E E d E

q N p E p d

CAMPOS ELÉTRICOS NA MATÉRIA III

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• Esse é o torque experimentado por um dipolo puro, em relação à origem. Em relação a qualquer outro ponto o torque será dado por:

• Se a molécula for livre para girar ela o fará até se alinhar com o campo externo.

N p E r F

CAMPOS ELÉTRICOS NA MATÉRIA IV

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POLARIZAÇÃO

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Definimos como Polarização, P, ao momento de dipolo por unidade de volume de um material polarizado temos agora dois campos no interior do material: o campo externo, E, e o campo criado pela polarização do material (devido a P).

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CAMPO CRIADO PELO MATERIAL POLARIZADO

8

O campo do dipolo será dado por:

20

32

0

1 '( ) .

4 | '|| '|( ')1 '

( ) . '4 | '|| '|

d r

p r rr

r rr rP r r r

rr rr r

r

p

r'

P R O F. PA U L O R O S A I N F I / U F M S 9

CAMPO CRIADO PELO MATERIAL POLARIZADO II

Observando que:

3

1 ''| '| | '|

r rr r r r

3

0

1 1( ) ( '). ' '

4 | '|d rr P r

r r

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CAMPO CRIADO PELO MATERIAL POLARIZADO II

Após uma integração por partes:

3 3

0

'.1( ) '. ' '

4 | '| | '|d r d r

PPr

r r r r

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CAMPO CRIADO PELO MATERIAL POLARIZADO III

Podemos usar o teorema da divergência, para transformar a primeira integral:

3

0

'.1( ) . ' '

4 | '| | '|S

da d rPP

r nr r r r

Equivalente ao potencial de uma densidade de carga superficial:

b = P . n

Equivalente ao potencial de uma densidade de carga volumétrica:

b=- . P

3

0

1( ) ' '

4 | '| | '|b b

S

da d rrr r r r

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Campo microscópico: muito difícil de calcular!

Campo macroscópico: campo médio. Muito mais simples!

rR

O campo na posição r é dado por:

Campo médio devido às cargas

externas à esfera.

Campo médio devido às cargas internas à esfera.

CAMPO NO INTERIOR DO DIELÉTRICO: CAMPO MICROSCÓPICO VS CAMPO MACROSCÓPICO

intext E E E

Cargas de polarização

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CAMPO DEVIDO ÀS CARGAS EXTERNAS NO INTERIOR DA ESFERA

13

O campo externo médio sobre a esfera é o campo no centro da esfera devido aos dipolos externos. O potencial nesse caso será dado pelo momento de monopolo:

32

0

( ')1 '( ) . '

4 | '|| '|ext

ext

P rd r

r rr

r rr r

A integração é sobre o volume externo à esfera (descontado o

volume da esfera)

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INTERMEZZO I – CAMPO MÉDIO NO INTERIOR DE UMA ESFERA DEVIDO A UMA PARTÍCULA COM CARGA Q

3 3 33 3

3 30 0

'1 1 ' 1 1' ' ' '

4 44 4' '3 3

qqd r d r d r

V R R

r rr r

E Er r r r

Campo devido a uma única carga no

interior da esferaq

r'r

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INTERMEZZO II – CAMPO MÉDIO NO INTERIOR DE UMA ESFERA – CAMPO DEVIDO À ESFERA NA POSIÇÃO DA PARTÍCULA COM CARGA Q

Densidade de carga na esfera uniformemente

carregada

Por outro lado, o campo na posição da partícula com carga q pode ser escrito como: 3 3

3 330 0

'1 ' 1 1' '

44 4' '3

V V

qd r d r

R

r rr r

Er r r r

Carga total dentro da esfera

qr'

r

3 'd r

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INTERMEZZO II – CAMPO MÉDIO NO INTERIOR DE UMA ESFERA – CAMPO DEVIDO À ESFERA NA POSIÇÃO DA PARTÍCULA COM CARGA Q

33

3 30 0

'1 1 1 1'

4 44 4'3 3

V

qd r

R R

r r

E pr r

Somando sobre todas as cargas, temos o momento de dipolo total dentro da esfera:

P R O F. PA U L O R O S A I N F I / U F M S

Por outro lado, o módulo do campo na posição da partícula com carga q, pode ser obtido pela Lei de Gauss:

17

INTERMEZZO II – CAMPO MÉDIO NO INTERIOR DE UMA ESFERA

2

0 0

2 2 30 0 0

1. 4

1 1 1

4 4 4

qE R q

q qE

R R r R

E ds

r pE E

q

r

R

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INTERMEZZO I – CAMPO MÉDIO NO INTERIOR DE UMA ESFERA

18

Como vimos, campo médio devido às cargas no interior de uma esfera, dentro da esfera, pode ser escrito como (Problema 3.41 do Griffiths):

30

1

4 R

pE

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Para uma esfera suficientemente pequena, para a qual a polarização possa ser considerada constante em todo volume, esse é o campo de uma esfera uniformemente polarizada. :

3int 2

0 0int

( ')1 '( ) . '

4 | '| 3| '|

rd r

P r r Pr

r rr r

Portanto, podemos estender a integração inclusive sobre o volume da esfera, descontando esse campo:

32

0

( ')1 '( ) . '

4 | '|| '|dielétrico

d rP r r r

rr rr r

CAMPO DEVIDO ÀS CARGAS INTERNAS NO INTERIOR DA ESFERA

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Para o cálculo do campo devido aos dipolos no interior da esfera vamos usar o resultado:

3int int3 4

0 03

1 14 3RR p P

pE E P

Portanto, as contribuições P/30 se cancelam e temos que o potencial é dado simplesmente por:

32

0

( ')1 '( ) . '

4 | '|| '|V

d r

P r r rr

r rr r

Integração sobre o volume do dielétrico

CAMPO INTERNO NO INTERIOR DO DIELÉTRICO

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VETOR DESLOCAMENTO ELÉTRICO

A carga total será a soma da carga de polarização com as cargas livres que porventura estejam presentes no dielétrico:

l b

Cargas livres

Cargas de polarização

Na Lei de Gauss, o que importa é a densidade de carga total que temos na posição onde o campo é calculado:

0 . .l b f E P

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VETOR DESLOCAMENTO ELÉTRICO II

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Ou seja:

0

0. . .ff f

s

da q

D E PE P D D n

Algumas observações importantes:

• Os vetores E e D não são equivalentes, pois a densidade de cargas livres não é a única fonte de D;

• Não existe uma lei de Coulomb para D;

• O rotacional de D não é nulo:

0 D E P P

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Como antes, o vetor deslocamento elétrico obedece às condições de contorno que expressam descontinuidade de sua componente perpendicular e continuidade na componente paralela:

1 2

1 2 1 2

f

D D

D D P P

CONDIÇÕES DE CONTORNO

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DIELÉTRICOS LINEARES

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Para muitas substâncias existe uma relação linear entre o campo aplicado e a resposta do dielétrico, a Polarização:

0 e P ESusceptibilidade elétrica

(quantidade adimensional)

Se essa relação for válida dizemos que o dielétrico é

linear

Campo total: cargas livres + cargas de polarização

Se o meio for linear, então:

0

0 0 0 0meio linear

(1 )

(1 )

e

e e

D P E E E E

D E

Permissividade elétrica do material

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CONSTANTE DIELÉTRICA

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Se normalizarmos a permissividade elétrica do material pela permissividade do vácuo temos a constante dielétrica do material (uma quantidade adimensional):

0r

Pode ser um

tensor

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Nesse tipo de dielétrico a densidade de cargas ligadas é proporcional à densidade de cargas livres:

0 0

1f

e eb

eb f

e

D

P D D

PROBLEMAS DE CONTORNO – DIELÉTRICOS LINEARES

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PROBLEMAS DE CONTORNO – DIELÉTRICOS LINEARES II

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Se não há cargas livres no interior do material então a densidade de cargas ligadas no interior do material é nula e toda carga deve estar na superfície vale a equação de Laplace e todas as ferramentas usadas para a sua solução no vácuo ou no interior de condutores em equilíbrio eletrostático.

Nesse caso, é conveniente reescrever as condições de contorno na forma:

1 1 2 2

1 21 2 1 2

f

f

E E

n n

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ENERGIA EM MEIOS DIELÉTRICOS

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O trabalho necessário para “carregar” um dielétrico é dado por:

( )

( )

( ) .

f

f

fW dv dvD

D

D

D D D

W dv dvD D E

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ENERGIA EM MEIOS DIELÉTRICOS II

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Pelo teorema da divergência, a primeira integral pode ser transformada em uma integral de superfície que se anula se a superfície estiver no infinito. Logo:

W dvD E

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Usando o fato de que o meio é linear:

0 0

1 12 2

1 12 2

1 12 2

ffq q

W ds ds

W W ds W ds

D E D E E E E E D E

D E D E

D E D E

ENERGIA EM MEIOS DIELÉTRICOS III

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FORÇAS SOBRE DIELÉTRICOS

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A variação de energia nos sistema quando o dielétrico sofre um deslocamento dx é dado por:

medW

dW F dx Fdx Fdx

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Usando que a energia no capacitor é dada por:

2 0

2 22

2

20

1(

2

1 1 12 2 2

2

r e

e

wW CV C l x

d

Q Q dC dCW F V

C dx dxCw

F Vd

FORÇAS SOBRE DIELÉTRICOS II

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Fim da Aula 9

33