AULA III

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Calcular o rotacional do campo eletrostático; Definir o que é o potencial eletrostático; Calcular o potencial eletrostático devido a uma partícula carregada na

origem; Calcular o potencial eletrostático devido a corpos extensos

carregados.

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INTERMEZZO

Para que um campo vetorial A fique univocamente determinado, precisamos saber seu divergente e seu rotacional:

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. ( )

( )

f A r

A g r

Para o campo eletrostático já sabemos qual é seu divergente:

0

( ).

r

E

Mas qual será o seu rotacional?

O POTENCIAL ELETROSTÁTICO I

O campo eletrostático é um campo de rotacional nulo. Isso é facilmente verificável a partir da expressão para E:

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3

33

0

1 '' ( ')

4 | ' |d r

r r

E rr r

O rotacional atua somente sobre a variável r e não sobre a variável r’, portanto o rotacional atua somente sobre a fração no integrando, a qual pode ser reescrita como:

3

' 1

| ' || ' |

r r

r rr r

O POTENCIAL ELETROSTÁTICO II

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4

Logo:3

0

3

0

1 1' ( ')

4 | ' |

1 1' ( ')

4 | ' |

d r

d r

E rr r

E rr r

Potencial eletrostátic

o

3

0

1 1( ) ' ( ')

4 | ' |d r

r rr r

( ) 0 r

Chamando o termo entre colchetes por :

Logo:

O POTENCIAL ELETROSTÁTICO III

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Portanto, o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar:

( ) E r

Observações:

• Na definição do potencial eletrostático a integração é sobre todas as cargas no universo;

• O potencial é definido a menos de uma constante arbitrária.

Esta expressão é

geral!

O POTENCIAL ELETROSTÁTICO IV

Uma consequência: somente diferenças de potencial são importantes!

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r1

y

x

Partícula fonte do Campo Elétrico.

r2

(r2)

(r2)

(r1)

(r1)+k

(r2)+ k

(r1)=

O POTENCIAL ESCALAR V

Como o potencial é definido a menos de uma constante, temos liberdade de escolher o ponto no qual o potencial é nulo!

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Escolha padrão: potencial nulo no infinito!

r

y

x

Partícula fonte do Campo Elétrico.

2 (r)

(r) =0

Última galáxia do universo!

r

INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO POTENCIAL ESCALARVamos calcular o trabalho que devemos executar contra o campo

eletrostático E, para levarmos uma partícula com carga elétrica q de um ponto a até um ponto b com velocidade constante. Observe-se que esse trabalho é executado contra a força elétrica F = q E:

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. .b b

a a

W d q d F l E la

bdlq

Usando que E = - :

.b b

b a

a a

W q d q d q l

O campo eletrostático é um campo conservativo:

. . 0b

b a

a

d d E l E l

E

EXEMPLOS

Vamos ver alguns exemplos do Grifitths.

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DESCONTINUIDADES DO CAMPO E DO POTENCIAL

Vamos aplicar a lei de Gauss a um disco cujas bases estão uma na parte superior da superfície e outra na base inferior. As faces laterais possuem áreas desprezíveis.

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Teríamos um mundo perfeito se não tivéssemos limites! O que fazer em um contorno?

DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL II

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1 2

0

1 2 2 20

1.

1. .

S S

ds ds

ds ds ds

1 1

En

E n E n

ds1

ds2

n1

n2

E2

E1

DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL III

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12

1 2

1 2 2 2 2 1

2 10

. . .

.

S S S

s S S

ds ds ds

A A A

1 1E n E n E E n

E E n

2 1 2Como e 1:S S 1n n

DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL IV

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2 10

.

E E n

Esta equação expressa o fato de que há uma descontinuidade nas componentes normais do campo elétrico . As componentes tangenciais, no entanto, são contínuas.

Logo:

DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL V

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Potencial devido a uma distribuição de dipolos sobre uma superfície S

Consideremos uma camada formada por duas superfícies muito próximas:

DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL VI

O potencial pode ser escrito como:

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0 0 '

1 ( ') 1 ( ')( ) ' ''

4 | ' | 4 | ' |S S

da dad

r r

rr r r r n

Para d << |r - r’|, podemos expandir o denominador na segunda integral usando a identidade:

22 2

1 1 1 . 1 11 ... . ...

| | 2 . x x xxx a

a xa

x a a x

DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL VII

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Logo, após substituir esta expressão na integral do potencial e tomar o limite:

( ) 0lim ( ) ( ) ( )d x

d D

x x x

Obtemos:

0

1 1( ) ( ') . ' '

4 | ' |S

D da

r r n

r r

Densidade de carga

Momento de dipolo

DESCONTINUIDADES NO CAMPO E NO POTENCIAL VIII

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Observando que:

2

1 cos '. ' '

| ' | | ' |

dada d

n

r r r r

Então:

0

1( ) ( ')

4S

D d

r r2 1

0

D

Há uma descontinuidade no potencial ao cruzar a dupla camada !!!

FIM DA AULA III

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Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

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EXEMPLO 2.1

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EXEMPLO 2.1 - CONTINUAÇÃO

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EXEMPLO 2.2

Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

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EXEMPLO 2.2 - CONTINUAÇÃO

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EXEMPLO 2.3

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EXEMPLO 2.3 - CONTINUAÇÃO

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EXEMPLO 2.4

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EXEMPLO 2.4 - CONTINUAÇÃO

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EXEMPLO 2.5

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EXEMPLO 2.6

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EXEMPLO 2.6 - CONTINUAÇÃO