a arte de calcular geral

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Uma dica Matemática

Se um carro viaja para o leste a uma velocidade de 30 milhas por hora do Ponto A ao Ponto B e do Ponto B de volta ao Ponto A 60 milhas por hora, qual é a velocidade média do carro?

A) 35B) 40C) 45D) 50E) A resposta não pode ser determinada da informação dada.

Se você atacar o problema somando 30 e 60 e dividindo por 2, você teria obtido a resposta errada. A resposta é (B). Porque o carro leva mais tempo para viajar em uma direção (30 mi/h) do que para a outra (60 mi/h), a média muda dramaticamente.

Um modo simples para atacar este problema seria dobrar Velocidade 1 (30) e 2 (60). Agora, divida este número pela soma de Velocidade 1 e 2. Você pode solucionar esta equação facilmente resolvendo algebricamente o problema: 2XY/ (X+Y).

Programação de calculadora--------------------Programar isto em sua calculadora (Texas Instruments TI) faça o seguinte:

:ClrHome:Input " SPEED1 ": ,X:Input " SPEED2 ": ,Y:ClrHome: (2XY)/(X+Y) -> X: Disp “AVERAGE VELOCIDADE”, A.

Nota-> é a tecla STO (onde a 2ª função é reclose de RCL)

O paradoxo do aniversário:

Descobrindo uma pessoa com o mesmo dia do seu aniversárioNeste artigo, exploraremos algumas técnicas das probabilidades, e das permutações e combinações. Vai ser um artigo ligeiramente longo, mas é muito educativo, e eu tentarei cobrir a coisa inteira do principio ao fim. Você pode pular certos pedaços se você os conhece, mas para o benefício de todos que não conhecesse eu os incluí. Eu procurei fazer algumas perguntas sem invocar qualquer deste conhecimentos, mas eu ainda penso que você deve ler e procurar entender o que eu estou tentando para explicar. Agora vamos olhar um pouco primeiro mais de perto uma probabilidade. Vamos a descobrir a probabilidade de em uma moeda atirada 5 vezes randomicamente sair 3 caras. A probabilidade de sair uma cara é justamente 1/2, mas deixe-nos considere uma moeda ' viciada' onde a probabilidade é ' p' ao invés. Então a probabilidade de obtermos uma coroa é (1-p) (que geralmente é 1/2 para uma moeda imparcial). Nós podemos obter duas caras da seguinte maneira:

1) HHTTT2) HTHTT3) HTTHT4) HTTTH 5) THHTT 6) THTHT 7) THTTH 8) TTHHT 9) TTHTH

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10) TTTHH Você pode ver que eu listei todos os casos pela maneira sistemática na qual eu fiz Esta é uma parte importante da matemática. O modo no qual você obtém um resultado é freqüentemente mais difícil que a resposta. Se nós quiséssemos fazer o mesmo com 30 moedas... Vamos dizer que você provavelmente terá que inalar suas luzes. Mas eu lhe dou a resposta: 435. E se torna pior para achar 3,4 moedas pelo menos e assim por diante. Achando o número de tais pares pertencem ao tópico das permutações e combinações (amorosamente abreviada como PC). PERMUTAÇÕES Outra diversão aqui, estudará permutações. Permutações é o número de modos que se pode reorganizar um caractere. Por exemplo, vamos considerar abc como um caractere. Então nós podemos reorganizá-lo assim: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Há 6 permutações. Deixa tentar generalizar este resultado. Suponha que temos 'n caracteres' a1, a2, a3... an que formam o conjunto, então para a primeira posição, nós podemos colocar QUALQUER um dos caracteres de n. As próximas posições podem tomar caractere remanescente ' n-1 ‘. Assim podemos escrever que o número de modos que podemos organizar ou podemos permutar o conjunto é n* (n-1) * (n-2)... *2*1. Isto pode ser escrito mais compactamente como n! (leia como fatorial de n). COMBINAÇÕES Vamos para as 'combinações onde nós computamos simplesmente os modos de SELECIONAR ' r' objetos de um conjunto de 'n objetos'. Isto significa, suponha que você tem a, b, c, o número de maneiras de selecionar 1 objeto é 3, 2 objetos também é 3. Mas no caso de 4 objetos, nós temos 4, 6,4 modos de escolher 1 objeto, 2 objetos, 3 objetos respectivamente. Há muito mais, mas nós não precisaremos disto aqui. Agora, deixa visualize uma fila de ' n' caixas, cada caixa contém uma bola com característica única. A palavra chave aqui é que estas caixas são sem igual ou contêm algo sem igual. Agora se você vai escolher exatamente 2 caixas e pegar as suas bolas, então você pode fazê-lo escolhendo qualquer uma das primeiras ' n' caixas. Então, você pode escolher uma outra bola da ' n-1 ' remanescente. Nós podemos fazer assim por (n) * (n-1) modos. MAS, suponha que selecionamos primeiro uma bola em particular (digamos uma vermelha), depois então selecionamos uma azul. Nós poderíamos ter feito isto selecionando a bola azul primeiro, depois então a bola vermelha. Mas ambos dariam o mesmo resultado. Nós podemos ver facilmente que isto é verdade para todo jogo de duas bolas (verde e rosa ou rosa e verde). Assim nós podemos ver que este número se repete duas vezes a cada caso, e assim o verdadeiro resultado é: n* (n-1) /2.Vamos olhar a escolha de 3 bolas ao acaso. Podemos escolher a primeira bola de ' n modos', a segunda de 'n-1' modos e a terceira de 'n-2 ' modos. Mas o número de casos repetidos agora é muito maior. Vamos pegar as bolas a, b, c (elas têm letras identificando-as), e olhar a ordem de escolha:

2)abcacbbacbcacabcba. 3) Agora muitos dos nossos leitores verão imediatamente que esta é a mesma sucessão EXATA como nós vimos na seção de permutações. Bem, vamos explicar a razão disto. Estas bolas podem ser removidas em qualquer ordem de PERMUTAÇÃO, e ainda dá o mesmo resultado. Assim este número é de fato o número de permutações. Generalizemos a escolha r (obviamente r <=n) objetos de ' n'. Nós podemos escrever como: n* (n-1) * (n-2)... (n-r) / r



Note que n* (n-1) * (n-2)... (n-r) também pode ser escrito como: n!/(n-r)!. Isto é escrito compactamente como nCr. De fato isto é lido como n escolhas de r.

Assim, nCr. = n!/(n-r) !r! Permutações e combinações é um tópico adorável, e desafiante, porém é muito agradável.

É altamente lógico, e se algum de vocês tiverem uma opção de aprender, não deixe passar.

DE VOLTA AO PROBLEMA Apliquemos o que nós já aprendemos a este problema. Agora podemos ver a seqüência da moeda sob um enfoque diferente. O número de modos de obtermos 'r' caras é exatamente o número de maneiras de escolher ' r' moedas de 'n' que você arremessa e produz caras, e todo o resto coroas. Definitivamente não importa se você arremessa uma moeda ' n' vezes, ou se você arremessa ' n' moedas de uma vez. Assim o número de maneiras é: nCr. A probabilidade de tal evento ocorrer é igual à pr * (1-p) n-r, porque você tem ' r' caras e ' n-r ' coroa. O termo de nCr é exatamente a ' freqüência' com que o evento acontece. Assim nós podemos escrever a probabilidade como:

nCr * pr * (1-p) n-r Esta é a probabilidade de e obter exatamente 'caras de r'. Agora vamos olhar a nossa classe (finalmente). A probabilidade de uma pessoa ter nascido no mesmo dia que você é 1/365. Isto é ' p'. Agora o caso estará satisfeito se há pelo menos 1 pessoa, i.e 1,2,3... pessoas também nasceram. Assim é nC1 (1/365)^1 * (364/365)^n-1 + nC2 (1/365)^2 * (364/365)^n-2... adição (nCr * pr * (1-p) n-r) de r = 1 para r = n Aqui “n” é o número de excluindo você mesmo. Expansões do Binômio Agora, podemos resolver esta adição que usa um conceito chamado de 'expansão binomial' que lida com as expansões polinomiais de (x+y)^n. Por exemplo: (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3. Vamos ver se podemos dissecar uma fórmula geral.

(x+y)*(x+y)*(x+y)... (N vezes).

Então temos o termo x^r y^(n-r) ( temos que obter a soma das suas potencias para ser seja igual a n btw.) se escolhermos qualquer r termos e considerarmos seus x's e tomarmos os y's do resto dos termos.

Esta é uma operação lógica. Assim este é exatamente o nCr como nós vimos nas seções anteriores .

Então, temos o coeficiente de x^r y^(n-r) que é nCr! Nossa adição é a mesma coisa, com x = p, y = 1-p, com exceção do termo nC0 p^0 (1-p)^n (i.e. quando nenhuma das pessoas contribuem com a data seu aniversário). Assim vamos apenas somar e subtrair este termo e obter RESULTADO P = (p + 1-p)^n - (1-p)^n. = 1 - (1-p)^n



Tal um resultado muito simples não é ?. Em nosso caso dá 7.9% com n = 30, e 15.1% com 60 estudantes. MODO SIMPLES DE OBTER O MESMO RESULTADO Agora, você vai ficar bravo comigo, pois isto pode ser resolvido facilmente, e sem qualquer desta matéria extra, mas eu ainda acho que este foi um bom momento para introduzir tudo disto. Podemos levar o jogo complementar das probabilidades simplesmente quando ninguém compartilha seu aniversário, semelhante ao que fizemos no post do Clay. e obtivemos o mesmo resultado. Eu só quis apresentar-lhes estes tópicos.

Paradoxo do aniversário - Parte II Aqui temos uma aplicação divertida sobre a aplicação da probabilidade para mostrar que as chances são boas pelo menos quando duas pessoas em um grupo relativamente pequeno compartilham o mesmo dia do aniversário. “Digamos “você me perguntou quando eu celebrei meu aniversário, e eu respondi”, “ por suposição “. Se você fosse educado o bastante para cooperar, você muito provavelmente iria falhar na adivinhação. Ignorando os anos bissextos, há 365 dias no ano, e eu só celebro meu aniversário em um desses dias. Segundo as probabilidades a chance da sua adivinhação ser correta é 1 em 365 (ou .003%). Isso é um conceito fácil de entender. Faz sentido que é improvável que você adivinhe meu aniversário. Agora digamos você sabe meu aniversário. O que são as chances que a próxima pessoa que você encontra na rua tem a mesma data do seu aniversário? Novamente, as chances são abismais: 1 em 365. Então parece muito improvavelmente você encontre duas pessoas com a mesma data de aniversário, direito? Bem, não necessariamente. Digamos que você conheça um grupo de 10 pessoas. Quais são as chances que dois deles façam aniversário no mesmo dia? Sem envolver qualquer matemática, parece que as chances são baixas. E como aproximadamente 20 pessoas? Ou 30 pessoas? A chance de duas pessoas compartilharem da mesma data de aniversário é realmente baixa? Qual deve ser de fato o tamanho do numero de pessoas de um grupo para que se torne provável que duas pessoas na verdade compartilhem da mesma data de aniversário? A resposta pode surpreendê-lo. Mas antes de calcular, vamos pesquisar algo mais fácil: DADOS. Você apanha dois dados, dê uma chacoalhada, e atira. Quais são as chances em uma partida? (Isso é similar a duas pessoas que compartilham seu aniversário.) Uma estratégia é calcular primeiro as chances do NÃO e então subtrair de 1. Isso provê as chances do evento oposto . Pense de atirar uma moeda. A chance de obter cara é 1/2. Então as chances não obter cara (coroa) é 1/2. Mesmo princípio se aplica aqui. Façamos: Primeiro calcule todas as possíveis combinações de atirar dois dados: 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Conte as combinações e teremos 36. Poderíamos ter alcançado o mesmo resultado multiplicando 6 x 6. Assim há 36 possibilidades. Quantos dessas possibilidades de NÃO provêem uma partida?



xx 12 13 14 15 16 21 xx 23 24 25 26 31 32 xx 34 35 36 41 42 43 xx 45 46 51 52 53 54 xx 56 61 62 63 64 65 xx Conte as possibilidades e você tem 30. Novamente nós poderíamos ter alcançado o mesmo resultado multiplicando 6 x 5. O primeiro dado tem 6 maneiras de apresentar um valor. O segundo dado só tem 5 maneiras de apresentar para satisfazer a condição de não repetição. Então há 6 x 5 combinações de dados sem repetição. Assim as chances de atirar dois para obter valores diferentes é 30/36, ou 5/6. As chances de obter situações opostas dois dados que valores se repetem é por conseqüência 1 - 5/6, ou 1/6. Teria sido mais fácil contar o número de partidas em nossa tabela, mas o método matemático se tornaria manual ao se calcular às chances de duas pessoas em um grupo terem nascido no dia. Falando disso, façamos isso agora. Suponha que temos uma sala da aula de 30 estudantes. Quais são as chances de duas crianças terem, nascidas no mesmo dia? Como fizemos com os dados, vamos contar primeiro as possíveis combinações, exclua menos da tabela. As combinações totais de dados eram 6 x 6. Igualmente, a combinação total de aniversários é 365 x 365 x 365 x... (30 vezes), mais sucintamente 36530. (Novamente ignoramos anos bissexto.) Esse é nosso denominador. Sem calcular podemos ver que é um número enorme. Agora, como antes, calculemos o número de possibilidades da data de nascimento não ser a mesma. A primeira pessoa declara seu dia de aniversário. Para que a próxima pessoa NÃO tenha a mesma data de aniversário, ela tem que escolher 364 dias para a próxima pessoa. A próxima pessoa tem que escolher 363 dias para a próxima. E assim por diante. Novamente estamos tentando calcular o número de combinações nas quais ninguém faz aniversário no mesmo dia. Para os dados, o cálculo era 6 x 5. Aqui fazemos à mesma coisa: 365 x 364 x 363 x 362 x... x 339 x 338 x 337 x 336 Podemos escrever mais concisamente como se segue: “onde n é igual a o número de crianças na sala de aula (neste caso 30) e a exclamação “significa “ fatorial “. Fatoriais são definidos como n*(n-1)*(n - 2)... (3)(2)(1). Por exemplo, 6! = 6*5*4*3*2*1. Calcule e temos nosso numerador. Reúna os dois para achar as chances de NÃO ter pelo menos duas crianças com a mesma data aniversário em um grupo de 30: Há cerca de 30% de chance de que você NÃO achará duas pelo menos duas crianças compartilhando à mesma data de nascimento em um grupo de 30. Então a situação oposta, que você pelo menos achará duas crianças compartilhando a mesma data de nascimento em um grupo de 30, é um gritante 70% (1 - .3 = .7). De fato, nós achamos que em um grupo de 23 crianças, suas chances são melhores que 50% de pelo menos achar duas pessoas que aniversariem no mesmo dia.

Este é o Paradoxo do Aniversário. Não parece possível haver boas chances de encontrar pelo menos duas pessoas com a mesma data de aniversário em um grupo relativamente pequeno. Mas elas existem. Lembre-se estas não são as chances de encontrar alguém com a mesma data que a SUA em um grupo de 30 pessoas. Estes são as chances de pelo menos encontrar duas pessoas fora das 30 que compartilham o mesmo aniversário.



As chances de alguém ter a mesma data do seu aniversário. Aqui postaremos um método mais simples. É 1 - a probabilidade de que ninguém compartilhe seu aniversário.

Assim, P = 1 - (364/365)^n. Para alguns valores de n : 1 0.002739726 2 0.005471946 3 0.00819668 10 0.027061942 20 0.053391535 30 0.079008598 100 0.239932926 200 0.422298043 300 0.560907764 252.651988844 0.5 Assim você pode ver como é baixa esta probabilidade. Você precisa estar em um quarto com aproximadamente 253 pessoas antes de fique provável (>50%) que alguém compartilha a mesma data do seu aniversário.

Multiplique números de 2 e 3 dígitos mentalmente O truque que vou explicar é chamado à técnica da multiplicação cruzada... algo que você não sabe. Comecemos por 123 * 456. Passo 1 : organize os números em ordem (um sobre o outro). 123 456 ----------

Comece multiplicando 6*3=18 primeiro. (Vai 1)

Escreva o 8 e guarde Vai 1 mentalmente. 123 456 ----------VAI 1 ----8 Passo 2: forme um X invisível - Pode não ser simples no princípio, mas eu explicarei. Comece observando o 6 & 2, então o 5 & 3. Faça uma linha entre esses números e você obterá um X. Agora multiplique 6*2=12 MAIS (+) 5*3=15 (Vai 1)

Assim 12 + 15 = 27



27 + 1 (o vai 1) = 28 (Vão 2 )

Agora escreva o 8 e guarde Vai 2 mentalmente. 123 456 ----------VAI 2 ---88

Passo 3 : agora examine os números 6 & 1, 4 & 3, então no meio 2 & 5. Multiplique-os e some tudo: 6 x 1= 6 + 4 x 3 = 12 + 5 x 2=10

Assim 6 + 12 +10 = 28 VÃO 2 = 30. (Vai 3) Escreva 0 e vai 3. 123 456 ----------VAI 3 --088 Passo 4 - Agora usaremos o X invisível péla última vez. Desta vez preste atenção nos números 5 & 1, 4 & 2

Multiplique e some: 5 x 1=5 + 4 x 2=8

Assim 5 + 8 = 13 Vai 3 = 16. (Vai1) Escreva 6 e VAI 1. 123 456 ----------VAI1 --6088 Passo 5 (passo final)--- no princípio nós começamos multiplicando 6 & 3. Agora nós multiplicaremos 4 & 1. Assim 4 x 1=4 + leve 1 = 5 Escreva abaixo e o veja a resposta final! 123 456 ---------- 56088 Nada neste mundo é fácil de aprender no inicio, invista algum tempo e se torne um mestre nesta habilidade. Boa Sorte!

Como você pode calcular manualmente uma raiz quadrada? Há um modo realmente interessante para se calcular uma raiz quadrada, fácil de programar ou fazer à mão. É diferente da maioria dos métodos já vistos porque usa a aproximação sucessiva, quer dizer, você usa o método repetidamente para obter uma aproximação melhor e melhor.

Vamos demonstrar um exemplo. O método requer uma suposição inicial, mas não tem que ser uma mesma suposição ideal (uma suposição inicial pobre simplesmente requerer mais



repetições do método). Vamos computar a raiz de 10, usando a suposição não muito boa de 1.0 com 8 casas decimais: (10/1 + 1) / 2 = 5.5

(10/5. 5 + 5.5) / 2 = 3.6590909.

(10/3. 6590909 + 3.6590909) / 2 = 3.1960051.

(10/3. 1960051 + 3.1960051) / 2 = 3.1624556.

(10/3. 1624556 + 3.1624556) / 2 = 3.1622777.

(10/3. 1622777 + 3.1622777) / 2 = 3.1622777. Os últimos dois resultados são o mesmo, assim nós paramos.

Este resultado está correto até 8 casas decimais mostradas (um resultado mais preciso é 3.162277660, o qual quando arredondado a 8 dígitos é de fato 3.1622777).

Sacou o padrão?

Para obter uma nova estimativa, divida 10 pela estimativa atual, então some o quociente à estimativa atual, então divida por 2.

Uma suposição inicial melhor, digamos 3, exigiria para menos repetições para obter o mesmo número de precisão de dígitos.

Este é um exemplo chamado o método de Newton, um método numérico muito poderoso. Também pode ser usado para achar raízes cúbicas, quadráticas, etc. (entretanto as formulações para estas raízes não são tão simples quanto para computar raízes quadradas).

Matemática, Fatos, Ficção, Função, Fantasia

O método de Newton para calcular uma Raiz Quadrada

Este método envolve um pouco de multiplicar e dividir mas com o tempo a raiz quadrada aparece:

Passo 1) Digamos que X é o número que você deseja calcular a raiz quadrada. Deixe G ser sua melhor suposição em cada fase do cálculo.

(Passo 2) Ache o próximo G, chame G', você fixou g ' igual a:

G ' = (X + G 2) / 2G

Suposição G` = (X + G 2) / 2G G`

1 ( 2 + 1 2) / ( 2 x 1) 1,5

1,5 ( 2 + 1,5 2 ) / (2 x 1,5) 1,4167

1,4167 ( 2 + 1,4167 2 ) / (2 x 1,4167) 1,4142



(Passo 3) Este G' se torna próximo de G. Iterativamente repita o cálculo sucessivamente, e você chegará eventualmente à raiz quadrada que você busca.

Um segundo método

Como se computa raízes quadradas? O modo mais comum é usar o método de Newton de aproximações sucessivas que dizem que nós podemos supor y para o valor da raiz quadrada de um número x, nós podemos executar uma manipulação simples para obter uma suposição melhor (um numero mais próximo da raiz quadrada) calculando a média de y por exemplo (resultado da média entre o resultado da suposição e o quociente), nós podemos computar a raiz quadrada de 2 como se segue. Suponha nossa suposição inicial é 1:

Suposição

Quociente Média

Continuando este processo, nós obtemos melhores aproximações para a raiz quadrada.

Explicando o segundo método

Este método não nada mais do que a dedução da formula aplicada que nos leva até a primeira formula, assim

Quociente = x / G Média = (X / G + G) / 2 ... onde:

((X + G 2) / G) / 2 = ((X + G 2) / G) / 2 = ((X + G 2) / G) x 1/ 2 = (X + G 2) / 2G

A utilização deste método evita cálculos adicionais , portanto bem fácil que o primeiro.

http://www.lifesmith.com

Assunto: A Raiz quadrada de Newton



Você pode explicar como se acha raízes quadradas à mão relacionado ao método de Newton por aproximação à zero de uma função?

O fato matemático antigo "divisão e média” representa o algoritmo da aproximação da raiz quadrada de (a) representa de fato o método de Newton, aplicado a f(função de x) = x 2 - 1?

Primeiro, aqui está o algoritmo da divisão-e-média.

Suponha que você deseja calcular a raiz quadrada de um número A. O algoritmo da divisão-e-média é:

1. Faça uma estimativa grosseira G da raiz quadrada de A. 2. Divida A por G e então calcule a média entre G e A, quer dizer, calcule: G * = ((A / G) + G) / 2

3. Se G * for suficientemente preciso, pare. Caso contrário, utilize G = G* e vá para o passo 2.

Aqui temos um exemplo: calcular a raiz quadrada de 2, escolha a estimativa G = 1,5.

G * = (2/1.5 + 1.5) / 2 = 1.41666666666 G * = (2/1.41666666666 + 1.41666666666) / 2 = 1.41421568628 G * = (2/1.41421568628 + 1.41421568628) / 2 = 1.41421356238 G * = (2/1.41421356238 + 1.41421356238) / 2 = 1.41421356238

O número de casas decimais dobra mais ou menos a cada repetição do passo 2.

The Math Forum: http://mathforum.org/dr.math/

Exercício. O método de Newton para raízes cúbicas está baseado no fato que se y é uma estimativa da raiz do cubo de x, então uma estimativa melhor é determinada pelo valor:

27.00000000000000000018.012345679012345679 ( 27 / 27 x 27 )+ 2 x 27 )= 27 / 729 + 54 / 3 = 18,01234567 12.035970165670879138 (27 / 18,01234567 2)+ 2 x 18,012345679) / 3 = 12,03697016 8.086107099217611217 5.528384045781982989 3.980062783328257022 3.221524734478918666 3.014883755226693167 3.000073356602492539 3.000000001793671897 3.000000000000000001 3.000000000000000000 <<< Décima primeira iteração 3.000000000000000000

Baseado em algoritmo da raiz quadrada.

Pegue todos os dígitos exceto o último dígito e multiplique por 20, depois pelo último dígito, e some o quadrado do último dígito.

ex. 2354^2 235 x 20 x 4 + ( 4 x 4 ) = 18800 +16=18816

Mantenha os 2 últimos (16) para uso na resposta final.


http://mathforum.org/dr.math/


Repita o processo exclua um dígito do calculo anterior e esqueça do último dígito original. Lembre-se de somar os dígitos restantes do calculo anterior (i.e. 188). Quando você obtiver o primeiro dígito (ou primeiro dois), eleve-o ao quadrado e some os dígitos restantes.

2354____> 235 x 20 x 4 + (4 x 4) = 18816, reserve o 16

235____> 23 x 20 x 5 + (5 x 5) = 2325, +188=2513, reserve 13

23 ___> 2 x 20 x 3+ (3 x 3) 9 = 129, +25=154, reserve 54

2 ___> 2 x 2 + 1 = 5, reserve 5

Resposta = 5 54 13 16 = 5541316

Raiz quadrada à mão

Instruções:

Exemplo:

1 - Conte o número de dígitos que seu número tem e que estão ao lado esquerdo do ponto decimal. Se o número de dígitos é impar, então adicione um “zero" à frente do número. Obviamente isso não muda seu valor, mas é importante porque agora você precisa separá-lo em grupos de dois dígitos, e é importante que você separe seu número em grupos formais.

28.6, separa-se em “28” 60 “00”. Porém, de 9.1 separaríamos como "09” 10 “00".

2 - Observe o primeiro grupo de dois dígitos do número. Ache o maior número maior para cuja raiz é igual ou menor que ele. Este é o primeiro dígito da raiz quadrada exata.

O primeiro grupo é 28 que nos dá 5 já que 52 = 25 que é menor que 28.

3 - Subtrai o resultado do primeiro grupo de dois dígitos (28) (do numero apurado acima ao quadrado 5).

28 - 25 = 3

4 - Agora junte-o (passo 3) ao próximo grupo de dois dígitos para obter o dividendo parcial.

"3 + 60" temos "360”

5 - Agora multiplique o valor da raiz (passo 2 = 5) por 2, e descarte qualquer ponto decimal.

Este é o divisor parcial.

5 x 2 = 10

6 - Divida um divisor pelo outro e preserve o primeiro dígito do resultado. Este é o próximo dígito da raiz quadrada.

360/10 = 36 preserve-se "3”

Desde estamos trabalhando com o primeiro dígito depois do decimal em nosso número original (o 6 em 28.6) para gerar o novo dígito, nós pusemos um decimal à frente do novo dígito. Assim sendo, nossa raiz quadrada é: 5,3

7 - Use o dígito do passo 6 e junte-o ao divisor parcial do passo cinco : "10 + 3" temos 103



8 - Multiplique o resultado pelo dígito novo :

103 x 3 = 309

9 - Subtraia o resultado do dividendo parcial

(passo 4) : 360 - 309 = 51

10 - Junte o próximo grupo de dois dígitos (00) ao resultado do passo 9 para obter um novo dividendo parcial.

"51 + 00" temos 5100

Neste momento o algoritmo começa a repetir os passos:

11 - Repita o passo 5: Multiplique o que você tem agora como raiz quadrada (passo 6 = 5,3) por dois, mas descarte o ponto decimal, para obter um novo divisor parcial.

53 x 2 = 106

12 - Repita passo 6: Divida os divisores parciais e reserve o primeiro digito do resultado.

5100/106 = 48.11..., Reserve "4”

Inclua o novo dígito ao final da raiz quadrada, e obtenha: 5,34

13 - Para mais precisão, só repita passos 7 até 10, e então retorne ao passo 5 atrás tantas vezes quanto você desejar. Some mais grupos de “00” se for necessário.

Como se tudo isso não fosse bastante, há uma coisa a observar. De fato, se você tentasse seguir esta jogo de instruções com algum outro número alem de 28.6, você pode ter descoberto bem o que isso representa: O resultado do passo 9 pode ser um número negativo! "Assim o que"?, Você pode perguntar. Bem, como o resultado do passo 9 é a base para o próximo dividendo parcial representa dizer que se apurarmos um número negativos teremos dividendo parcial negativo. E que, quando você atinge o passo 12 (ou o repita o passo 6), significa que o próximo dígito da raiz quadrada será negativo! "Bondade" você exclama, isso que em terra significa ter um dígito negativo em um número “?”.

Afortunadamente, a resposta para aquela pergunta não é "nada". Se você pensa atrás para quando você estava no primeiro ou segundo grau quando seu professor de matemática lhe explicou o sistema de notação decimal, você se lembrará que a notação de decimal é uma (muito conveniente) taquigrafia para a soma. Por exemplo, 127.6 é 1 na casa das centenas, mais 2 nas dezenas, mais 7 nas unidades. Ou seja, 1 x 100 + 2 x 10 + 7 x 1 + 6x.1. Os dígitos simplesmente são o atalho para os vários produtos que você soma.

Tendo isso em mente, nós vemos que tendo um dígito negativo não é nenhuma grande quantidade. Significa justamente que você tem que exercitar um pouco matemática para propor um "número normal" que tenha todos os dígitos positivos. Por exemplo, se em 127.6, o 2 fosse negativo? Isso seria 1 x 100 + (-2) x 10 + 7 x 1 + 6 x.1 onde temos 100 - 20 + 7 + 0,6 ou 87,6

Assim se o resultado do passo 9 é um número negativo, não se preocupe com isto. Proceda normalmente. Olhemos um exemplo que tem este fenômeno, que mostrarei os passos aqui, mas não repetirei as suas descrições:

A raiz quadrada de 77.15 é:

Passo: Resultado:

0 - raiz (77.15) = ?.?



1 - 77.15 temos "77” 15 “00”

2 - 82 = 64, e 64 < 77 8.?

3- 77 - 64 = 13

4- "13" + "15" = "1315”

5 – 8 x 2 = 16

6 - 1315/16 temos 8 8.8? (= 8 + 8 x 10 - 1)

7- "16" + "8" = "168”

8- 168 x 8 = 1344

9- 1315 - 1344 = -29

10- "-29" + "00" = "-2900”

11 – 88 x 2 = 176

12 - -2900/176 temos -1 8.79 (= 8 + 8x10-1 + (-1)x10-2)

13- "176" + "-1" = 1761

A derivação de 1761 é na verdade um pouco enganadora. Lembre-se que você tem que juntar o novo dígito ao divisor parcial, então multiplicar o resultado pelo novo dígito. Juntar um dígito negativo é uma operação diferente de que anexar-se um novo dígito novo ao final do seu resultado, porque agora você realmente está executando o cálculo (- (176 x 10 + 1)), no qual você multiplica então por -1 para obter 1761. Os sinais de menos se cancelam, o que é bom. Assim o que você realmente faz é juntar o valor absoluto do novo dígito novo ao divisor parcial, e faça para o resultado o mesmo sinal como o dígito novo. Então multiplique pelo dígito novo como normal. Você sempre obterá um resultado positivo.

14- -2900 - 1761 = -4661

15- "-4661" + "00" = "-466100”

16 – 879 x 2 = 1758

17 - -466100 / 1758 temos -28.788 (= 8 + 8 x 10 - 1 + (-1) x 10 - 2 + (-2) x 10-3)

E realmente, isso não é uma resposta ruim desde que 28.7882 = 77.228944 que só estão apagados por 078944. Nada ruim, durante só três ciclos pelo algoritmo.

Você pode desejar saber se este negócio com dígitos negativos sempre acontece. A resposta é não. A razão é por causa da natureza do algoritmo. Este é um algoritmo de aproximação sucessivo que a cada passo obtém se aproxima da resposta correta. Assim se sua aproximação inicial for muito pequena, o algoritmo terá que somar uma quantia positiva pequena a cada passo para atingir a resposta correta. Mas se a aproximação inicial é muito grande, o algoritmo não tem escolha, mas levar adicionar quantias pequenas longe da aproximação a cada passo. Caso contrário, a aproximação há aos poucos se torna pior.

Mas como conseguir isso? A advertência é que os passos de 1 a 4, são diferentes, e eles não são repetidos. Eles são criados para sempre dar primeiro um digito positivo que é uma aproximação da verdadeira resposta. Isto não é difícil ver; passo 2 lhe diz imediatamente que ache um número cuja quadrado seja menor que o primeiro grupo de dígitos. Então, a raiz quadrada daquele número é menor que a raiz quadrada do primeiro grupo de dígitos. É



garantido que primeiro dígito está correto porque é a raiz quadrada perfeita maior e que é menor que o primeiro grupo de dígitos, mas, todavia como o valor em si é menor que a verdadeira resposta.

Considerando que é fácil entender que o primeiro dígito da resposta é uma aproximação da verdadeira resposta, também é bem fácil ver que o segundo dígito da resposta será positivo. O segundo dígito tem que ser positivo para alcançar a aproximação mais próxima da verdadeira resposta. Porém, é parte da natureza do algoritmo que o segundo dígito pode exceder a verdadeira resposta. Quando isso acontece, a aproximação muda de uma em baixo a uma em cima, e assim todos seus dígitos restantes serão negativos.

Eu deixo isto para as mentes dos mais espertos que eu próprio que podem entender por que é possível o segundo dígito exceder a verdadeira resposta (e esperançosamente fixar o algoritmo).

Finalmente, uma última nota. No evento em que você escolhe achar a raiz quadrada de um número que tem uma raiz quadrada racional (como 17.64, cuja raiz quadrada é exatamente 4.2), você achará isso em algum momento do passo 9 a subtração irá zerar exatamente e lá não há nenhum grupo dígitos à esquerda para lidar com isso, não temos "00". Se isso acontecer, você sabe que tudo acabou, e você achou a raiz quadrada exata que estava procurando (não somente se aproximou). Isto é fácil provar; se você assumir que o resultado do passo 9 é exatamente zero, e você continua com o zero durante o cálculo, você verá que todos os outros dígitos produzidos pelo algoritmo também serão zero.

A raiz quadrada de Newton

Se você está criando sua própria linguagem de programação, e chegou momento de criar uma função especial para calcular raízes quadradas. Tudo você tem que calcular estas raízes é com a adição, subtração, multiplicação, e divisão. Olhando para suas notas, você descobre uma fórmula para derivar raízes quadradas conhecidas como “o Método de Newton.” Este método calcula uma sucessão de aproximações da raiz quadrada que chegam a raiz quadrada atual do número. A fórmula para este método é como segue:

Onde xi é a i enésima aproximação da raiz quadrada de N (N é o número você está calculando a raiz quadrada.) O método requer um x0 de estimativa inicial. A metade de N deveria ser uma boa aproximação inicial. A sucessão de aproximações seguirá infinitamente, mas você deve parar de calcular novas estimativas quando a diferença entre aproximações sucessivas for suficientemente pequena, i.e. quando |xi+1-xi|. Você pode determinar que 0.00001 seja suficiente para sua linguagem de programação.

A equação, proveria estes valores sucessivos:

Aproximações (xi) Diferença da última aproximação (| xi+1-xi |)

12.500000 12.500000 X1

7.250000 5.250000 X2

5.349138 1.900862 X3

5.011394 0.337744 X4

5.000013 0.011381 X5

5.000000 0.000013 X6

5.000000 0.000000 X7

Formato de contribuição:

A contribuição consiste em séries de inteiro positivos. A contribuição terminará antes de 0 (zero).

Formato de produção:


Xi +

Xi+1 =

N

Xi

2


O computador deveria produzir as raízes quadradas de todas as inteirezas entradas até 6 lugares decimais de precisão. (IE, no máximo sua resposta deveria ser 0.00001 fora.)

Contribuição de amostra Produção de amostra

87 A raiz quadrada de 87 é 9.327379. 95 A raiz quadrada de 95 é 9.746794. 83 A raiz quadrada de 83 é 9.110434. 37 A raiz quadrada de 37 é 6.082763. 5 A raiz quadrada de 5 é 5.000000 0

Sempre maravilha como determinar a raiz quadrada de um número sem a ajuda de uma calculadora? Acredite ou não, as pessoas faziam isto. Aqui é um método por fazer assim. Se você é bom com divisão longa, aqui é um modo rápido para achar raízes quadradas bem precisas sem a ajuda de uma calculadora. Tentemos 24.6.

1. Faça uma suposição. Pode ser uma suposição muito ruim. Não importa. Você pode adivinhar até mesmo Um. Tentemos Cinco já que 52 em 25 que estão bem perto de 24.6.

2. Divida 24.6 por 5. 24.6 / 5 = 4.92. 3. Agora, vem o truque: Escolha uma suposição nova entre cinco e 4.92 e divida

novamente em 24.6. Tentemos 4.95. 24.6 / 4.95 = 4.96. 4.96 estão bonitos perto de 4.9598 que é a raiz quadrada atual de 24.6.

4. Repita passos 2 e 3 para qualquer desejou nível de precisão. O mais adiante você vai, o mais duro a divisão longa se torna. Mas os primeiros alguns ciclos se rendem uma bonita resposta íntima.

A razão que isto trabalha é porque n*n = 24.6 e n = 24.6 / n. Então, a real raiz quadrada sempre estará em algum lugar entre 24.6 / n e n.

Assunto: Ref: Raízes Quadradas Sem uma Calculadora

Para fazer isto, você tem que aprender um algoritmo de raiz quadrado. Adquira um pedaço de papel e um lápis. Eu espero que eu possa explicar isto bastante há pouco usando bem palavras.

Primeiro, escreva o decimal 7.00000000 e distinguir pares de dígitos do ponto de fração decimal. Isto lhe dá 7.00'00'00'00 '...

Começar, adivinhe a raiz quadrada de 7. O mais próximo inteiro é 2. Agora monte a coisa como uma divisão longa. 2 divide 7 por 2 vezes. 2 x 2 = 4. Subtraia isso de 7 que deixa resto 3 e derruba os próximos dois dígitos.

Agora vem a parte que é diferente de divisão. A resposta que mostra tão longe é 2. Dobre que e usa os 4 como o primeiro dígito de um divisor novo. Tudo que entra no lugar do a pessoa também tem que entrar para cima na resposta. Em outras palavras, a pergunta é: quarenta algo vai em 300 quanto vezes?. A resposta é 6. Quarenta seis vezes seis = 276. Subtraia isso de 300 resto 24.

Derrube os próximos dois zeros. Dobre o que está na resposta (dobre 26). Use 52 como os primeiros dois dígitos em um divisor novo e a pergunta se torna quinhentos e vinte algo divide em vinte e quatro cem quanto vezes? A resposta é 4. 4 vezes 524 = 2096.

Subtraia de 2400. Derrube dois mais zeros. Dobre a resposta e deixe um dígito vazio e assim por diante e assim sucessivamente.

Você pode continuar sempre indo. Agora, você sabe que você é mais inteligente que uma calculadora!



Uma vez você vê como isto vai, não é aquele duro. Se você quer um duro, tente o algoritmo para achar uma raiz cúbica (eu não conheço isto). Espere que você possa seguir isto. O Foro de Matemática - local de rede! http://mathforum.org/dr.math /

SIMPLIFICANDO A RAIZ QUADRADA

Aqui esta uma raiz quadrada típica:

Este é um número irracional, desde que não existe nenhum número racional que multiplicado por si próprio leve ao resultado de 32. De fato, a raiz quadrada de 32 tem este valor:

Este é um número irracional. Sempre cresce, e nunca há um padrão repetido completo. Isto significa que se você quiser usar a raiz quadrada de 32 em um cálculo, você terá que arredonda-lo. Por exemplo, você poderia escolher arredondar a raiz quadrada de 32 para aproximadamente 5.7, ou talvez 5.657 Porém para trabalhar com isto, você terá que tomar a decisão de como arredonda-lo.

Suponha entretanto, você estava trabalhando com uma fórmula. Aqui esta um exemplo:

Você propôs esta fórmula, e quer que seja usada para achar a altura de algo. O problema acontece se você decide avaliar a raiz quadrada de 32, e arredondar seu valo. Sem saber que estará usando a fórmula, ou quão grande o valor de t será, não há nenhum espaço para que você possa tomar uma decisão para quanto arredondar a raiz quadrada de 32!

Por exemplo, se você decide arredondar para uma casa decimal e usar 5.7, e alguém que esteja usando a fórmula define um valor de 973 para t, a resposta não será tão precisa quanto se você estivesse usando 5.657. Você não tem um modo de saber para quanto arredondar a raiz quadrada com antecedência!

Você poderia deixar a raiz quadrada de 32 intacta. Suponhamos que sempre criaremos expressões tão simples quanto possível.

Uma melhor solução para este dilema é simplificar a raiz quadrada de 32, mas sem avaliar.

Vamos lhe mostrar como simplificar uma raiz quadrada.

Vejamos a raiz quadrada de 32 novamente:


Altura


Nós vamos trocar 32 para um par de números que multiplicados dão32.

Há várias possibilidades. Aqui esta um par escolhido:

Nós escolhemos 16 e 2 por uma razão. 16 é um quadrado perfeito e um fator de 32. O que significa isto? Bem, você já sabe que raízes quadradas se multiplicam juntas. Assim nós podemos fazer isto:

E agora, por 16 ser um quadrado perfeito, sua raiz é 4:

A nós fizemos uma mudança a raiz quadrada de 32 é igual a 'quatro vezes a raiz quadrada de 2':

Porque o número debaixo do sinal radical é menor, é considerado que a raiz é mais simples.

Claro que, não todas as raízes quadradas podem ser extraídas.

Aqui temos uma que não se simplificará:

(Não há nenhum par de fatores de 30 que sejam é quadrado perfeito) façamos outro exemplo...

Aqui é um radical diferente, também uma raiz quadrada,:



Nós queremos dois números que multiplicados seja iguais a 75, onde um deles seja o mais possível perfeito. Aqui estão eles:

Estes números foram escolhidos porque a raiz quadrada de 25 é perfeita. Que nos deixou fazer isto:

A resposta decisiva é então:

Porque o número debaixo do sinal radical é menor (' 3 ' em vez de ' 75 '), é considerado que a raiz é mais simples.

Aqui temos outro...

Olhemos o que acontece se você escolhe os números errados:

Como você poderia separar 48 em dois números que multiplicados dão 48? Há muitos modos... aqui temos um:

Infelizmente, isto não ajudará a simplificar o radical, porque nem a raiz quadrada de 8 nem a raiz quadrada de 6 são perfeitas, assim você não pode ir mais distante.

Aqui temos o modo formal de fazer a pergunta:

Note que 16 vezes 3 também é 48, mas neste caso 16 é um quadrado perfeito, assim você pode achar sua raiz quadrada facilmente.

Aqui temos outro...



Você provavelmente percebeu que nós estamos omitindo o primeiro passo onde o ' 4 vezes 7 ' está debaixo de um único sinal de raiz. E também que nós pusemos a raiz perfeita primeiro. Assim sendo, quando você trabalhar com isto, o número inteiro virá na frente da raiz. Isso é o modo formal para se escrever um radical misto. Agora examinemos o que fazer quando a raiz já é parte de um radical misturado:

Aqui temos um radical misto:

Ainda assim pode ser simplificado, a raiz quadrada de 8 pode ser se separada:

Advertimos que o '3' já estava lá na frente e permanece, enquanto a raiz é separada. Agora nós vamos calcular a raiz quadrada de 4:

O passo final é combinar os dois números inteiros: O.K., nós estamos quase acabando. Vejamos se você tem isto...

Nós mostramos que o primeiro dos dois números a serem usados para se separar a raiz deve ser perfeito. Mas o que acontece se você escolher o maior possível? Aqui temos o que nós queremos dizer: Há muitos pares de números que multiplicados dão 200. Nós queremos um par onde o primeiro número seja perfeito. Como 25 e 8?

Tudo parece funcionar. Mas você vê o problema? Nossa resposta pode ser simplificada um pouco mais!



... e aqui temos a solução completa:

Esta é a resposta correta, mas deu muito trabalho, principalmente porque nós não procuramos um quadrado perfeito maior que multiplicado de 200. De fato, 200 = 100 X 2, e 100 é um quadrado perfeito e maior que 25. Além disso, 100 alem de ser um quadrado perfeito maior é um fator de 200. Aqui temos a solução de maneira mais rápida:

Compare com as cincos soluções anteriores. Para procurar o fator perfeito maior!

Agora que você sabe simplificar uma raiz quadrada. Nossa fórmula original: pode ser substituído por isto: Esta versão é mais simples, embora possa não aparecer daquele modo, porque o número debaixo do sinal radical é menor.

Sempre que você encontra um radical, espera-se que você o avalie e o arredonde e o simplifique (se possível).

BEATCALC: Diferença entre quadrados - Detone a Calculadora e calcule de cabeça

Diferença dos quadrados de dois números de 2 dígitos consecutivos.

Selecione dois números de 2 dígitos consecutivos. Some os dois números. 24 + 25 = 49. (24 2 = 576, 25 2 = 625, 625 - 576 = 49)



63 + 64 = 127. (63 2 = 3969, 64 2 = 4096, 4096 – 3969 = 127)

Diferença dos quadrados de dois números de 2 dígitos diferentes

Selecione dois números de 2 dígitos, um não mais que 10 maior que o outro. Subtraia o número maior de menor. Some os dois números. Multiplique a primeira resposta pela segunda. 1. Se selecionarmos 71 e 64: 71 - 64 = 7. 71 + 64 = 135 Multiplique estes resultados: 7 x 135 = 945 Assim a diferença entre 71 2 e 64 2 é 945.

2. Se selecionarmos 27 e 36: 36 - 27 = 9. 36 + 27 = 63 Multiplique estes resultados: 9 x 63 = 567 Assim a diferença entre 27 2 e 36 2 é 567.

Raiz quadrada de um número terminado em 1.

Selecione um número de 2 dígitos e eleve ao quadrado. Despreze os dois últimos dígitos do quadrado. Ache a maior raiz quadrada dos dígitos restantes. Este é primeiro dígito da raiz quadrada. O segundo dígito é 1.

1. Se o quadrado for 2601: Despreze os dois últimos dígitos: 26 Ache a raiz mais próxima em 26: 5 x 5 = 25 O primeiro dígito é 5. O segundo dígito é 1. Assim a raiz quadrada de 2601 é 51.

2. Se o quadrado for 8281: Despreze os dois últimos dígitos: 82 Ache a raiz mais próxima em 82: 9 x 9 = 81 O primeiro dígito é 9. O segundo dígito é 1. Assim a raiz quadrada de 8281 é 91.

Este processo também funciona para quadrados de número de 3 dígitos (ou mais). Para o quadrado 22801, ache a maior raiz em 228: 15 x 15 = 225. Os dois primeiros dígitos são 15, o último dígito é 1, e a raiz quadrada de 22801 é 151.

Raiz quadrada de quadrados perfeitas que terminam em 5.

Selecione um número de 2 dígitos e eleve ao quadrado. Descarte os dois últimos dígitos do quadrado. Ache a raiz quadrada mais próxima dos dígitos restantes. Este é primeiro dígito da raiz. O segundo dígito é 5. 1. Se o quadrado for 9025: Descarte os dois últimos dígitos: 25 Ache a mais próxima em 90: 9 x 9 = 81 O primeiro dígito é 9. O segundo dígito é 5.



Assim a raiz quadrada de 9025 é 95.

2. Se o quadrado for 4225: Descarte os dois últimos dígitos: 25 Ache a raiz mais próxima em 42: 6 x 6 = 36 O primeiro dígito é 6. O segundo dígito é 5. Assim a raiz quadrada de 4225 é 65.

Este processo também funciona em quadrados de números de 3 dígitos (ou mais). Para o quadrado 15625, ache a raiz mais próxima de 156: 12 x 12 = 144 . Os primeiros dois dígitos são 12, o último dígito é 5, e a raiz quadrada de 15625 é 125.



BEATCALC: Dividindo Números - Livre-se da calculadora, aprenda uma cabeça de calcular!

http://mathforum.org /

Dividindo números de 2 ou 3 dígitos por 2 ½. Selecione um número de 2 ou 3 dígitos. Multiplique por 4 (ou por 2 duas vezes). Divida por 10. Exemplo: O número escolhido é 86. Multiplique por 4: 4 x 86 = 344 Divida por 10: 34,4 Assim 86 dividido por 2 1/2 = 34,4. O número escolhido é 624. Multiplique por 2: 2 x 624 = 1248 Multiplique por 2: 2 x 1248 = 2496 Divida por 10: 249,6 Assim 624 dividido por 2 1/2 = 249,6. Multiplique por 4 quando for fácil; caso contrário use dois passos, multiplique duas vezes por 2. Dividindo um número de 2 dígitos por 3 ½. Multiplique o número por 2. Divida o produto por 7. Exemplo: 1. O número escolhido é 42. Multiplique por 2: 2 x 42 = 84 Divida por 7: 84/7 = 12 Assim 42 dividido por 3 1/2 = 12. 2. O número escolhido é 61. Multiplique por 2: 2 x 61 = 122 Divida por 7: 122/7 = 17 3/7 Assim, 61 dividido por 3 1/2 = 17 3/7. Se o número escolhido for divisível por 7, a resposta será um número inteiro. Para números não divisíveis por 7, uma calculadora mostrará decimal repetido, mas sua resposta fracionária será exata. Dividindo um número de 2 dígitos por 15. Multiplique por 2. Divida o resultado por 3. Divida por 100 decimal uma casa à esquerda. Exemplo: 1. O número escolhido é 68. Multiplique por 2: 2 x 68 = 120 + 16 = 136 Divida o resultado por 3: 136/3 = 45 1/3 Mova uma casa decimal no inteiro, à esquerda: 4.5 1/3 Assim, 68 dividido por 15 = 4.5 1/3. 2. O número escolhido é 96. Multiplique por 2: 2 x 96 = 180 + 12 = 192 Divida o resultado por 3: 192/3 = 64 Mova uma casa decimal no inteiro, à esquerda: 6.4 Assim 96/15 = 6.4. Com este método você poderá para dividir números por 15 com dois cálculos rápidos - uma multiplicação e uma divisão. Dividindo um número de 2 ou 3 dígitos por 25. (Escolha números maiores quando você seguramente domina o método.) Multiplique por 4 (ou por 2 duas vezes). Divida por 100, isto é, mova duas casas decimais à esquerda. Exemplo: 1. O número escolhido é 38. Multiplique por 4: 4 x 38 = 152 Mova duas casas decimais à esquerda (divida por 100): 1,52 Assim 38 dividido por 25 = 1,52 2. O número escolhido é 641. Multiplique duas vezes por 2: 2 x 2 x 641 = 2564. Mova duas casas decimais à esquerda: 25,64. Assim 641 dividido por 25 = 25,64. Dividindo um número de 2 ou 3 dígitos por 35. Multiplique por 2. Divida o número resultante por 7. Divida o inteiro por 10, isto é, mova uma casa decimal à esquerda. Exemplo: 1. Se o número escolhido é 61: Multiplique por 2: 2 x 61 = 122. Divida por 7: 122/7 = 17 3/7 Divida o inteiro por 10 : 1,7 3/7 Assim 61 dividido por 35 = 1,7 3/7. 2. Se o número escolhido é 44: Multiplique por 2: 2 x 44 = 88 Divida por 7: 88/7 = 12 4/7 Divida o inteiro por 10: 1,2 4/7 Assim 44 dividido por 35 = 1,2 4/7. Divisão feita via calculadora dará valores repetidos (a menos que o número original seja um múltiplo de 7), truncados pelos limites da exibição. A resposta exata deve ser expressa como um número fracionário. Dividindo um número de 2 dígitos por 45. Divida por 5. Divida o número resultante por 9. Exemplo: 1. Se o número escolhido para dividir por 45 é 32: Divida por 5: 32/5 = 6,4 Divida o resultado por 9: 6,4/9 = 0,71 1/9 Assim 32 dividido por 45 = 0,71 1/9. 2. Se o número escolhido é 61: Divida por 5: 61/5 = 12.2 Divida o resultado por 9: 12.2/9 = 1.35 5/9 Assim 61 dividido por 45 = 1.35 5/9. Dividindo um número de 2 ou 3 dígitos por 75. Multiplique por 4 (ou por 2 duas vezes). Divida por 100, isto é, mova duas casas decimais à esquerda. Divida por 3 (o resto fica expresso como fração). Exemplo: 1. O número escolhido é 82. Multiplique por 4: 4 x 82 = 328. Divida por 100: 3,28 Divida por 3: 3,28/3 = 1,09 1/3 Assim 82 dividido por 75 = 1,09 1/3.2. O número escolhido é 631. Multiplique por


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4 : 4 x 631 = 2524. Divida por 100: 25,24. Divida por 3: 25,24/3 = 8,41 1/3 Assim 631 dividido por 75 = 8,41 1/3. Dividindo um número de 2 dígitos por 125. Multiplique por 8. Divida por 1000 isto é, mova 3 casas decimais à esquerda. Exemplo: 1. O número escolhido é 72. Multiplique por 8: 8 x 72 = 560 + 16 = 576. Divida por 1000: 0,.576 Assim 72 ÷ 125 = 0, 576. 2. O número escolhido é 42. Multiplique por 8: 8 x 42 = 320 + 16 = 336. Divida por 1000: 0,336 42 dividido por 125 = 0,336. Dividindo um número de 2 dígitos por 375. Multiplique por 8. Divida o produto por 3 (remanescente expresso como uma fração). Divida a parte inteira por 1000, isto é, mova 3 casas decimais à esquerda. Exemplo: 1. O número escolhido é 32. Multiplique por 8: 8 x 32 = 240 + 16 = 256 Divida por 3: 256/3 = 85,3 1/3 Divida por 1000: 0,0853 1/3 Assim 32 dividido por 375 = 0,0853 1/3. 2. O número escolhido é 61. Multiplique por 8: 8 x 61 = 480 + 8 = 488 Divida por 3: 488/3 = 162 2/3 Divida a parte inteira por 1000: 0,162 2/3 Assim 61 dividido por 375 = 0,162 2/3. Dividindo um número de 2 dígitos por 625. Multiplique por 8. Divida o produto por 5. Divida por 1000. Exemplo: 1. O número escolhido é 65. Multiplique por 8 = 8 x 65 = 480 + 40 = 520 Divida por 5: 520/5 = 104 Divida por 1000: 0,104 Assim 65 dividido por 625 = 0,104. 1. O número escolhido é 32. Multiplique por 8: 8 x 32 = 240 + 16 = 256 Divida por 5: 256/5 = 51.2 Divida por 1000: 0,0512 Assim 32 ÷ 625 = .0512. Dividindo um número de 2 dígitos por 875. Multiplique por 8 = Divida por 7. Divida por 1000. Exemplo: 1. O número escolhido é 31. Multiplique por 8: 31 x 8 = 248 Divida por 7: 248/7 = 35 3/7 Divida por 1000: 0,035 3/7 Assim 31 dividido por 875 = 0,035 3/7. 2. O número escolhido é 63. Multiplique por 8 = 8 x 63 = 504 Divida por 7: 504/7 = 72 Divida por 1000: 0,072 Assim 63 ÷ 875 = 0,072. Dividindo um número composto de 3 dígitos repetidos por 37 e somando 41. Selecione um número de 3 dígitos repetidos. A resposta é 3 vezes um dos dígitos mais 41! Exemplo: 1. Selecione 999. Multiplique o dígito por 3: 9 x 3 = 27. Some 41: 27 + 41 = 68. Assim (999 ÷ 37) + 41 = 68. Dividindo um número composto de 6 dígitos repetidos por 15873. Selecione um numero de 6 dígitos. A resposta é 7 vezes o primeiro dígito do número! Exemplo: 777777/15873 = 7 x 7 = 49. 555555/15873 = 7 x 5 = 35. 999999/15873 = 7 x 9 = 63. Dividindo um número composto de 6 dígitos repetidos por 7, então por 13. Número escolhido de 3 dígitos. Repita os dígitos para obter um outro número de 6 dígitos. Divida estes 6 dígitos por 7, então por 13. OU A resposta é 11 vezes o numero de 3 dígitos escolhido originalmente. Exemplo: 1. Se o número de 3 dígitos for 234: O novo número de 6 dígitos é 234234. Divida por 7, então por 13 = 234234 / 7 / 13 = 2574 Multiplique 234 por 11 : último dígito à direita = _ _ _ 4 Próximo dígito à esquerda = 3 + 4 = 7: _ _ 7 _ Próximo dígito para esquerda = 2 + 3 = 5: _ 5 _ _ Último dígito em esquerda = 2 _ _ _ Assim 234234 ÷ 7, e por 13 é 2574.2. Se o número de 3 dígitos for 461: O novo número é 461461. Divida 461461 por 7, então por 13 = 5071 OU Multiplique 461 por 11, trabalhe da direita para a esquerda:Último dígito à direita = _ _ _ 1Próximo dígito à esquerda = 6 + 1 = 7: _ _ 7 _ Próximo dígito à esquerda = 4 + 6 = 10 (vai 1): _ 0 _ _ Último dígito em esquerda = 4 + 1(vai) = 5: 5 _ _ _Assim 461461 ÷ 7, e por 13 dá 5071. Dividindo um número 6 dígitos (2 centenas repetidas) por 13, então por 11. Selecione um número de 3 dígitos. Repita os dígitos para obter um novo número de 6 dígitos. Divida estes 6 dígitos por 13, então por 11. OU A resposta é 7 vezes o numero de três dígitos escolhido! Dedução : O numero de 6 dígitos é gerado pelo numero escolhido multiplicado por 1001 = 231 x 1001 = 231231 Dividindo-se o novo numero por 13 e 11 sucessivamente temos : (Numero original x 1001) / (13 x 11) = Numero original x 1001 /143 = Numero original x 7 Exemplo: 1. Se o número de 3 dígitos for 231: O novo número é 231231. Divida o novo numero por 13, então por 11: 231231 / 13 / 11 = 1617. OU Multiplique o numero escolhido por 7 = 231 x 7 = 1617 2. Se o número é 412: O novo número é 412412. A divisão 13, então por 11: 7 x 412 = 2800 + 70 + 14 = 2884. Assim 412412 ÷ 13, e por 11 dá 2884. Dividindo um número de composto 6 dígitos (2 centenas repetidas), por 7, 11,13. Selecione um número de 3 dígitos. Repita estes dígitos para obter um novo número de 6 dígitos. Divida este número por 7, então 11, então 13. A resposta é o número original. Exemplo: 1. Se o número for 289: O novo número é 289289. ( 289 x 1001 ou x 7 x 11 x 13) Multiplicamos por 1001 ou por 7 x 11 x 3 Divida por 7, então por 11, então por 13: a resposta é 289. Dividimos por 1001 ou por 7 x 11 x



3 Por isso voltamos a calcular o numero original escolhido Assim 289289 dividido por 7, então 11, então 13 dá 289. 2. Se o número for 983: O novo número é 983983. Divida por 7, então por 11, então por 13: a resposta é 983. Assim 983983 dividido por 7, então 11, e então 13 dá 983. Altere somar ou subtrair outros números para o último passo e você criará muitos exercícios novos. Dividindo um número composto de 6 dígitos repetidos por 37037, multiplicando por n. Selecione um número composto de 6 dígitos repetidos. Multiplique o dígito único do multiplicando por 3, então por n. Exemplo: Multiplicando por 5: Se o número repetido for é 555555: (55555 = 1001 x 555 37037 = 37 x 1001 )555/37 x 4 = 60Multiplique 5 x 3 = 15. Multiplique 15 x 4 = 60 Assim 555555 ÷ 37037 e multiplicado por 4 é 60. Multiplicando por 4: Se o número for 444444: 444 / 37 x 4= 48 OU Multiplique 4 x 3 = 12. Multiplique 12 x 4 = 48 Assim 444444 ÷ 37037 e multiplicado por 4 é 48. Multiplicando por 3: Se o número for 333333: 333/37 x 3 = 27 OU Multiplique 3 x 3: 9 Multiplique 9 x 3: 27 Assim 333333 dividido por 37037 e multiplicado por 3 dá

27. Mudando o último passo (multiplique o dígito único do multiplicando por 3, então por n , onde n representa o digito do multiplicador), você pode criar muitas versões deste exercício. Seja inventivo e crie alguns cálculos Diferença dos quadrados de dois números de 2 dígitos consecutivos. Selecione dois números de 2 dígitos consecutivos. Some os dois números. Exemplos: 24 + 25 = 49. (24 x 24 = 576, 25 x 25 = 625, 625 - 576 = 49.) 63 + 64 = 127. (63 x 63 = 3969, 64 x 64 = 4096, 4096 – 3969 = 127) Diferença dos quadrados de dois números de 2 dígitos diferentes Selecione dois números de 2 dígitos, cuja diferença seja =< que 10. Subtraia o número maior de menor.Some os dois números.Multiplique a primeira resposta pela segunda. Exemplos: 1. Se selecionarmos 71 e 64: Subtraia o número maior de menor.= 71 – 64 = 7 Some os dois números. 71 + 64 = 135Multiplique estes resultados: 7 x 135 = 945 (7 x 135) = 7 x (100+30+5) = 700+210+35 = 910 + 35 = 945 Assim a diferença dos quadrados de 71 e 64 é 945. 2. Se selecionarmos 36 e 27: Subtraia o número maior de menor = 36 - 27 = 9. Some os dois números = 36 + 27 = 63 Multiplique estes resultados = 9 x 63 = 567 Assim a diferença das quadrados de 27 e 36 é 567. Achando a raiz quadrada de números que terminam em 1. Selecione um número terminado em 1. Despreze os dois primeiros dígitos do quadrado. Ache a raiz quadrada maior dos dígitos restantes. Este é primeiro dígito da raiz quadrada. O segundo dígito é 1. Exemplos: 1. Se o quadrado for 2601: Despreze os dois últimos dígitos: 26 Ache a raiz maior em 26 = 5 x 5 = 25 O primeiro dígito é 5. O segundo dígito é 1. Assim a raiz quadrada de 2601 é 51. 2. Se o quadrado for 8281: Despreze os dois últimos dígitos: 82 Ache a maior raiz em 82: 9 x 9 = 81 O primeiro dígito é 9. O segundo dígito é 1. Assim a raiz quadrada de 8281 é 91. Este processo também funciona para quadrados de número de 3 dígitos (ou mais). Para o quadrado 22801, ache a maior raiz em 228: 15 x 15 = 225. Os primeiros dois dígitos = 15, o último dígito é 1, e a raiz quadrada de 22801 é 151. Achando a raiz quadrada de quadrados perfeitas que terminam em 5. Selecione um número de 2 dígitos e eleve ao quadrado. Descarte os dois últimos dígitos do quadrado. Ache a raiz quadrada mais próxima dos dígitos restantes. Este é primeiro dígito da raiz. O segundo dígito é 5. Exemplos: 1. Se o numero ao quadrado for 9025: Descarte os últimos dois dígitos: 90 Ache a mais próxima em 90: 9 x 9 = 81 O primeiro dígito é 9. O segundo dígito é 5. Assim a raiz quadrada de 9025 é 95. 2. Se o quadrado for 4225: Descarte os últimos dois dígitos: 42 Ache a raiz mais próxima em 42: 6 x 6 = 36 O primeiro dígito é 6. O segundo dígito é 5. Assim a raiz quadrada de 4225 é 65. Este processo também funciona em quadrados de números de 3 dígitos (ou mais). Para o quadrado 15625, ache a raiz mais próxima de 156: 12 x 12 = 144 . Os primeiros dois dígitos = 12, o último dígito é 5, e a raiz quadrada de 15625 é 125.



BEATCALC: Somando Números- Livre-se da calculadora, aprenda a calcular de cabeça!

1 – Soma de números de 2 pares de dígitos até um número par de dois dígitos escolhido. Divida o número por 2 (ou multiplique por 1/2).

1. Multiplique este resultado pelo próximo número sucessivo.

Exemplo:

1. O numero escolhido é 24: 2. Divida 24 por 2 (24/2 = 12) ou multiplique por 1/2 (1/2 x 24 = 12). 3. O próximo número sucessivo é 13; 12 x 13 = 156.

Modos de multiplicar 13 por 12:

Quadrado de 12, então some 12: 12 2 = 144, 144 + 12 = 156.

Ou pode ser feito em passos: 12 x (10+3) = (12 x 10 ) + ( 12 x 3 ) =120+36= 156.

Logo temos : 2 + 4 + 6 + 8 + 1 0 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 = 156

Assim a soma de todos os números pares a partir de 2 até 24 é 156.

Exemplo:

1. O numero escolhido é 42: 2. Divida 42 por 2 ( 42 / 2 = 21 ). 3. Multiplique o resultado pelo próximo numero 22; 21 x 22 = 462.

Modos de multiplicar 22 por 21:

Quadrado de 21, então some 21: 21 2 = 441, 441 + 21 = 462.

Ou 21 x ( 20 + 2 ) = (21 x 20) + (21 x 2) = 420 + 42 = 462

4. Assim a soma de todos os números pares de dois até 42 é 462.

2 – Soma dos dígitos do quadrado de números compostos de 1´s.

1. Eleve ao quadrado o número formado por 1´s (111, 11111, etc.). 2. Some os dígitos do resultado do quadrado.

Exemplo:

1. Se o número selecionado é 1111: 2. Quadrado do número: 1111 x 1111 = 1234321 3. Some os dígitos do resultado do quadrado : 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 4. A resposta é o quadrado do número de 1´s (4) em 1111.

Exemplo: Página 26 de 92

http://mathforum.org/dr.math /



1. Se o número selecionado é 111111: 2. Quadrado do número: 111111 x 111111 = 12345654321 3. Some os dígitos do resultado do quadrado: 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1= 36 4. A resposta é o quadrado do número de 1´s (6) em 111111.

3 - Soma da sucessão de números impares sucessivos.

1. Escolha um número de 2 dígitos impar. 2. Some 1 ao número de dois dígitos. 3. Divida o resultado da soma por 2. 4. Eleve este numero ao quadrado. 5. Esta é a soma de todos os números impares de 1 até o numero escolhido.

Exemplo:

1. Se o número impar selecionado for 35: 2. Some 1 ao numero 35+1 = 36. 3. Divida por 2 = 36/2 = 18. 4. Eleve este número ao quadrado = 18 2 = 324 5. Ou 18 x 18 = (20 - 2) (18) = (20 x 18) - (2 x 18) = 360 - 36 = 360 - 30 - 6 = 324. 6. Assim a soma de todos os números impares de 1 até 35 é 324.

Na verdade temos a soma da progressão aritmética de 18 termos, com primeiro termo igual à 1 e ultimo termo igual à 35, e de razão 2, onde:

Soma dos termos da PA = ( a 1 + a n ) x n/2 = (1 + 35) x 18/2 = 36 x 9 = 324

Exemplo:

1. Se o numero impar selecionado for 79: 2. Some 1 = 79 + 1 = 80. 3. Divida por 2 = 80/2 = 40. 4. Eleve este numero ao quadrado = 40 2 = 1600. 5. Assim a soma de todos os números impares desde 1 até 79 é 1600.

Soma de números sucessivos entre dois números.

1. Escolha dois números menores do que 20 (nenhum limite para peritos)2. Some os números escolhidos 3. Subtraia os números entre si e some 1;4. Multiplique a metade da soma por esta diferença + 1, 5. Ou multiplique a soma pela metade da diferença + 1.

Exemplo:

1. Se os dois números selecionados forem 6 e 19: 2. Some os números escolhidos: 6 + 19 = 25. 3. Subtraia os números entre si: 19 - 6 = 13. Some 1: 13 + 1 = 14. 4. Multiplique a metade de 25 (12,5) pela diferença 14 = 12,5 x 14 = 175 5. Ou multiplique a soma pela metade da diferença + 1 = 26 + 14/2 = 25 x 7 = 175 . 6. Assim a soma dos números entre 6 e 19 é 175.



Exemplo

1. Se os dois números selecionados são 4 e 18: 2. Some os números: 4 + 18 = 22. 3. Subtraia os números: 18 - 4 = 14. Some 1: 14 + 1 = 15. 4. Multiplique a metade de 22 por 15: 11 x 15 = 165.5. Ou multiplique a soma pela metade da diferença +1 = 22 + 15/2 = 165 6. Assim a soma dos números de 4 até 18 é 165.

Pratique com números menores que 20, então avance para números maiores.

Soma de uma sucessão de 1 até um numero de 2 dígitos escolhido.

1. Escolha um número de 2 dígitos e o próximo numero sucessivo. 2. Multiplique o número de 2 dígitos pela metade do número sucessivo, 3. Ou multiplique a metade do numero pelo próximo número sucessivo.

Exemplo:

1. Se o número selecionado é 51: 2. O próximo número é 52. Multiplique 51 pela metade de 52. 3. 51 x 26: (50 +1)(20 + 6) = (50 x 20) + (50 x 6) + 20 +6) = 1000 + 300 + 26 = 1326 4. Assim a soma de todos os números de 1 até 51 é 1326.

Exemplo

1. Se o número selecionado for 34: 2. O próximo número é 35. Multiplique a metade de 34 por 35. 3. 17 x 35: (10 x 35) + (7 x 30) + (7 x 5) = 350 + 210 + 35 = 560 + 35 = 595 4. Assim a soma de todos os números de 1 até 34 é 595.

Soma da sucessão ascendente/descendente de um número de 1 digito

1. Escolha um número de 1 digito. 2. Some os dígitos da sua seqüência ascendente/descendente até 13. Eleve-o ao quadrado.

Exemplo:

1. Se o número selecionado for 7: 2. Some 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 3. Quadrado de 7 = 7 2 = 49 4. Assim a soma dos os números da sucessão ascendente/descendente de 1 até 7 é 49.

Exemplo

1. Se o número selecionado for 9: 2. Some 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 3. Quadrado de 9 = 81 4. Assim a soma dos os números da sucessão ascendente/descendente de 1 até 9 é 81.

Soma da sucessão de números das dezenas 10

1. Escolha uma dezena menor do que 20. 2. Some todas as dezenas a partir de 10 até o numero e vice versa: 3. Ache o quadrado do 2º dígito do número escolhido (mantenha o vai x) _ _ X



4. O número de termos é 2 x (2º dígito + 1). 5. Os primeiros dígitos = número de termos + (vai x) . X X _

Exemplo:

1. Dezena escolhida: 162. Some as dezenas a partir de 10 até o numero e vice-versa:

(10+11+12+13+14+15+16+15+14+13+ 12+ 11+.10) 3. Ache o quadrado do 2º dígito do número selecionado : 6 x 6 = 36 (vai 3) _ _ 6 4. Numero de termos = 2 x (2º dígito + 1) : 2 x 6 + 1 = 13 5. Os primeiros dígitos=Número de termos + (vai 3): 13 + 3 = 16 1 6 _ 6. Assim a soma da sucessão é 166.

Exemplo:

1. Dezena escolhida 182. Some as dezenas a partir de 10 ...e vice versa : (10+11+12+...18 17+16+15...10) 3. Quadrado do 2º dígito do número: 8 x 8 = 64 (vai 6) _ _ 4 4. Número de termos = 2 x (2º dígito + 1): 2 x 8 + 1 = 17 5. Primeiros dígitos = Número de termos + (vai x) : 17 + 6 = 23 2 3 _ 6. Assim a soma da sucessão é 234.

Soma da sucessão de números das dezenas dos 20's

1. Escolha um número de 2 dígitos das dezenas dos 20's. A partir de 20, somar todas as dezenas dos 20's até o numero escolhido e vice versa:

2. Quadrado do 2º dígito do número (vai x) _ _ X 3. O número de termos é 2 x o 2º dígito + 1. 4. Primeiros dígitos = 2 x Numero de termos + ( vai x). X _

Exemplo:

1. Se o número das dezenas dos20's selecionado é 23: (20+21+22+23+22+21+20) 2. Quadrado do 2º dígito do número: 3 x 3 = 9 ( via 0) _ _ 9 3. Números de termos = 2 x 2º dígito + 1: 2 x 3 + 1 = 7 4. Primeiros dígitos = 2 x Número de termos: 2 x 7 + 0 = 14 1 4 _ 5. Assim a soma da sucessão é 149.

1. Se o número na dezena dos 20's é 28: (20 + 21+22 .+ 28+27+.. 22+21+20) 2. Quadrado do 2º dígito do número: 8 x 8 = 64 (vai 6) _ _ 4 3. Números de termos = 2 x 2º dígito + 1: 2 x 8 + 1 = 17 4. Primeiros dígitos = 2 x Numero de termos + ( vai 6 ): 2 x 17 + 6 = 40 4 0 _ 5. Assim a soma da sucessão é 404.

Soma sucessões de números das dezenas YY's

1. Escolha número de dois dígitos na casa dos xx's. 2. Some as dezenas a partir de xx até o numero escolhido e vice-versa: 3. Quadrado o 2º dígito do número (mantenha o vai x) _ _ X 4. Os primeiros dígitos = Y x Número de termos + (vai x). onde Y representa o primeiro

digito da dezena alvo do calculo. 5. Para 10; Y = 1, para 20; Y = 2, para 30; Y = 3, e assim sucessivamente.

Exemplo:



1. Se o número da dezena da casa dos 30's for 34: 2. Some as dezenas a partir de YY : (30+31+32+33+34+33+32+31+30) 3. Quadrado o 2º dígito do número: 4 x 4 = 16 (vai 1) _ _ 6 4. Número de termos = 2 x 2º dígito + 1: 2 x 4 + 1 = 9 5. Y x Número de termos + vai x: 3 x 9 + 1 = 28 2 8 _ 6. Assim a soma da sucessão é 286.

1. Se o número da dezena da casa dos 40's for 48: 2. Some (40 + 41 + 42 + 43 +... 48 ... 47 + 46 + ... + 40) 3. Quadrado o 2º dígito do número: 8 x 8 = 64 (vai 6) _ _ 4 4. Número de termos = 2 x 2º dígito + 1: 2 x 8 + 1 = 17 5. Y x Número de termos + vai x : 4 x 17 + 6 = 74 7 4 _ 6. Assim a soma da sucessão é 744.

Viu o padrão?

1. Repita o procedimento do item 1 até o item 4 2. Repita o procedimento do item 5 usando diferentes valores para Y de acordo com a

dezena sujeita ao calculo : 3. Para 10; Y = 1, para 20; Y = 2, para 30; Y = 3 e assim sucesivamente.

Soma de uma série com razão 2 (dobro do anterior)

1. Peça a um amigo escolher um número de dígito. (Nenhuma restrição para peritos.) 2. Peça seu amigo que anote rapidamente uma série onde o próximo termo é sempre igual

ao dobro do anterior, e peça que lhe conte o último termo. 3. Peça para seu amigo que some todos estes termos. 4. Você dará a resposta antes que ele possa terminar: 5. A soma dos termos desta série será 2 vezes o último termo menos o primeiro termo.

Exemplo:

1. Se o número selecionado for 9: 2. A série anotada é: 9, 18, 36, 72, 144,. 3. Duas vezes o último termo (144) menos o primeiro (9): 2 x 144 = 288; 288 - 9 = 279. 4. Assim a soma da série de 9 até 144 é 279.

1. O número selecionado é 32: 2. A série anotada é: 32, 64, 128, 256, 512. 3. Duas vezes o último termo menos o primeiro (64): 2 x 512 = 1024; 1024 - 32 = 992. 4. Assim a soma da serie 32 até 512 é 992.

Soma de uma série de razão 4 (quádruplos)

1. Peça um amigo para escolher um número de 1 dígito.2. Peça para seu amigo que anote uma série onde o próximo termo é sempre quatro vezes

o anterior, e que lhe diga apenas o último termo. 3. Peça para seu amigo que some todos estes termos. 4. Você dará a resposta antes dele terminar: 5. A soma dos termos será quatro vezes o último termo menos o primeiro termo, dividido

por 3.

Exemplo:

1. Se o número selecionado for 5:



2. A série anotada é: 5, 20, 80, 320, 1280,. 3. (4 vezes o último termo menos o primeiro) / 3: (4 x 1280 -5) / 3 = 5115 / 3 = 1705 4. Assim, a soma de 5 e seus quádruplos até 1280, vale 1705.

1. O número selecionado é 32: 2. A série anotada é: 32, 128, 512, 2048. 3. (4 x último termo menos o primeiro) / 3 = (4 x 2048 – 32)/ 3 = 8160/3 = 2720. 4. Assim a soma de 32 e seus quádruplos até 2048 vale 2720.

Soma de uma série de dez números

1. Peça um amigo para escolher um número de 1 dígito. (Dois dígitos para peritos.) 2. Peça a seu amigo para anotar um terceiro número somando os primeiros dois. 3. Que crie um quarto somando o segundo com o terceiro. Continue deste modo até que

tenha alcançado um total de dez números. 4. Peça para somar os dez números. Você dará a resposta antes dele terminar:

A soma de todas os termos desta série será o sétimo número vezes 11.

Exemplo:

1. Se os números selecionados forem 4 e 7: 2. A série anotada é: 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322,. 3. O sétimo número é 76. 11 x 76 = 836. 4. Assim a soma dos dez números é 836.



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Multiplicação de dezenas com dígitos das dezenas iguais, dígitos das unidades somam 10.

Ambos os números devem ter o mesmo dígito das dezenas.

Escolha os dígitos das unidades cuja soma é 10.

Multiplique o dígito da dezena por ele mesmo + 1; este número será a primeira parte da resposta: X X _

Multiplique os dois dígitos das unidades, esta será a última parte da resposta: _ _ X X.

Nota: Se os 2 dígitos das unidades são 1 e 9 (ou, um produto menor que dez), insira 0 (zero) para o primeiro X em passo 4.

Exemplo:

Se a dezena for 47, escolha 43 como a segunda dezena.

Multiplique o dígito da dezena, por ele mesmo+ 1): 4x (4+1)=20

a primeira parte da resposta é: 2 0 _ _.

Multiplique os dígitos das unidades 7 x 3 = 21; a última parte da resposta é: _ _ 2 1.

Assim 47 x 43 = 2021.

Se a dezena for 62, escolha 68 como segunda dezena.

Digito da dezena por ele mesmo + 1 = 6 x (6+1) = 42, a 1a parte da resposta é 4 2 _ _.

Multiplique os dígitos das unidades = 2 x 8 = 16; a última parte da resposta é _ _ 1 6.

Assim 62 x 68 = 4216.




Multiplicação de duas dezenas com digito da unidades iguais

Ambos os números deveriam ter o mesmo dígito da unidades .

Escolha dígitos das dezenas cuja soma seja 10.

Multiplique os dígitos das dezenas e some o digito unidade: X X _ _.

Multiplique os dígitos das unidades: _ _ X X.

Exemplo:


Multiplique os dígitos das dezenas, some o dígito da unidade: 6 x 4 = 24, 24+7 = 31 3 1 _ _.

Multiplique os dígitos das unidades. 7 x 7 = 49 _ _ 4 9

Assim 67 x 47 = 3149.


9 x 1 = 9; 9 + 3 = 12. 1 2 _ _

3 x 3 = 9 _ _ 0 9

Assim 93 x 13 = 1209.

Multiplicação de centenas digito das centenas iguais,dezenas iguais à zero, unidades somam 10.

Selecione uma centena com o dígito das dezenas em Zero.

Escolha um multiplicador conforme a regra acima.

O primeiro dígito(s) será o quadrado do dígito da centena: X _ _ _ _ ou XX _ _ _ _.

O próximo dígito será o dígito da centena dos números: _ X _ _ _ ou _ _ X _ _ _.

O próximo dígito é zero: _ _ 0 _ _ ou _ _ _ 0 _ _.

Os últimos dois dígitos será o produto dos dígitos das unidades: _ _ _ X ou _ _ _ _ X X.

Exemplo:

Se a centena é 407, escolha 403 como a segunda dezena.

Quadrado do digito da centena 4 x 4 = 1 6 1 6 _ _ _ _.

O próximo dígito será o próprio dígito das centenas : _ _ 4 _ _ _.

O próximo dígito é zero: _ _ _ 0 _ _.



Os últimos dois dígitos será o produto dos dígitos das unidades 7 x 3 = 2 1. _ _ _ _ 2 1.

Assim 407 x 403 = 164021.

Se a centena for 201, escolha 209 como a segundo centena.

2 x 2 = 4: 4 _ _ _ _.

Próximo dígito 2 _ 2 _ _ _.

Próximo dígito 0 _ _ 0 _ _.

Ultimo dígito 1 x 9 = 9: _ _ _ 0 9.

Assim 201 x 209 = 42009.

Multiplicando centenas com dígitos das centenas iguais, dezenas igual a 1, unidades somam 10.

Selecione uma centena com o dígito das dezenas em 1.

Escolha um multiplicador conforme regra.

Os últimos dois dígitos será o produto dos dígitos das unidades: _ _ _ 0 X ou _ _ _ _ X X.

O próximo dígito a esquerda será 2: _ _ 2 _ _ ou _ _ _ 2 _ _.

O próximo dígito à esquerda 3 x o dígito das centenas do número (vai x): _ X _ _ _ .

Os primeiros dígitos serão a quadrado do primeiro dígito mais o vai: X _ ou X _ _ .

Exemplo:


Multiplique os dígitos das unidades (últimos dígitos): 4 x 6 = 24 _ _ _ _ 2 4.

O dígito a esquerda é 2: _ _ _ 2 _ _.

O próximo dígito é 3 vezes o dígito das centenas: 8 x 3 = 24 (vai 2) _ _ 4 _ _ _.

Primeiros dígitos = quadrado do dígito das centenas + o vai: 8x8= 64+2=66 6 6 _ _ _ _.

Assim 814 x 816 = 664224.

Se a centena é 317, escolha 313 como o multiplicador.

7 x 3 = 21 _ _ _ 2 1.

O próximo dígito é 2: _ _ 2 _ _.

3 x 3 = 9; _ _ 9 _ _ _.



3 x 3 = 9 9 _ _ _ _.

Assim 317 x 313 = 99221.

Multiplicação de centenas de mesma classe, digito das dezenas igual a 2, unidades somam 10.

Selecione uma centena com dígito das dezenas igual a 2.

Escolha um multiplicador com as mesmas regras acima.

Os últimos dois dígitos será o produto dos dígitos das unidades: _ _ _ _X X.

O próximo dígito a esquerda será 6: _ _ 6 _ _.

O próximo dígito à esquerda será 5 x o dígito das centenas do número (vai x): _ _ X _ _ _.

Os primeiros dígitos serão a quadrado do primeiro dígito mais o vai: X X _ _ _ _.

Exemplo:


Multiplique os dígitos das unidades. 2 x 8 - últimos dois dígitos: _ _ _ 1 6.

O próximo dígito a esquerda é 6: _ _ 6 _ _ .

O próximo dígito à esquerda 5 x dígito das centenas 5 x 6 = 30 (vai 3): _ _ 0 _ _ _

Os primeiros dígitos = (dígito das centenas) 2 mais o vai: 6 x 6 = 36; 36 + 3 = 3 9.

Assim 622 x 628 = 390616.

A centena é 221, escolha 229 como a segunda dezena.

1 x 9 = 9: _ _ _ 0 9

O próximo dígito é 6: _ _ 6_ _.

5 x 2 = 10 (vai 1): _ 0_ _ _

2 x 2 = 4; 4 + 1 = 5_ _ _ _

Assim 221 x 229 = 50609.

Multiplicação de centenas de mesma classe, digito das dezenas igual a 3 , unidades somam 10.

Selecione uma centena com dígito das dezenas igual a 3. Escolha um multiplicador com as regras acima.



Os últimos dois dígitos serão o produto dos dígitos das unidades: _ _ _ _ X X.

O próximo dígito a esquerda será 2: _ _ 2 _ _.

O próximo dígito à esquerda 7 vezes o dígito das centenas mais 1 (vai): _ _ X _ _ _.

O primeiro dígito será o quadrado do primeiro dígito mais o vai: X X _ _ _ _.

Exemplo:

Se a centena é 631, escolha 639 como a outra dezena.

1 x 9 = 09 (multiplique os dígitos das unidades): _ _ _ _ 0 9.

O próximo dígito a esquerda é 2: _ _ _ 2_ _.

7 x 6= 42, 42+1 = 43 (próximo dígito 7 vezes o dígito das centenas + 1 (vai 4): _ _ 3 _ _.

O primeiro dígito é: (dígito das centenas) 2 mais 4: 6 x 6 = 36; 36 + 4 = 4 0.

Assim 631 x 639 = 403209.

Se a centena é 236, escolha 234 como a outra dezena.

Multiplique os dígitos das unidades: 6 x 4 = _ _ _ _ 2 4.

O próximo dígito a esquerda é 2: _ _ _ 2 _ _ .

Próximo dígito 7 x 2 = 14, 14 + 1 = 15 (vai 1): _ 5 _ _ _ _.

Primeiro dígito = 2 x 2 = 4; 4 + 1 = 5 1: 5 _ _ _ _ _.

Assim 236 x 234 = 55224.

Multiplicação de centenas de mesma classe, digito das dezenas igual a 4, unidades somam 10.

Os últimos 3 dígitos será o produto dos terceiros dígitos com zeros à esquerda: 0XX.

O terceiro dígito da direito será 9 vezes o primeiro dígito + 2 + vai: _ _ X _ _ _

O primeiro dois dígitos será o quadrado do primeiro dígito mais vai: X _ _ _ _.

Exemplo:

Se o primeiro número for 541, escolha uma centena de mesma classe, classe dos 500 , 549 por exemplo.

Últimos três dígitos: Zero(s) acompanhado do produto das unidades: 1 x 9 = 9: _ _ _ 0 0 9

Próximo dígito: 9 x dígito das centenas + 2: 9 x 5 = 45, 45 + 2 = 47 (vai 4): _ _ 7 _ _ _.

Primeiro dos dígitos: (digito das centenas) 2 e vai 4: 5 x 5 = 25, 25 + 4 = 29: 2 9 _ _ _ _.



Assim 541 x 549 = 297009.

Se o primeiro número é 344, escolha 346 como multiplicador.

Últimos 3 dígitos: 4 x 6 = 24: _ _ _ 0 2 4

Próximo dígito: 9 x 3 = 27, 27+2 = 29 (vai 2): _ _ 9 _ _ _.

Primeiro dois dígitos: 3 x 3 = 9, 9 + 2 = 11: 1 _ _ _ _.

Assim 344 x 346 = 119024.

Multiplicando dois números de 3 dígitos (dígito das dezenas somam 10)

Os últimos três dígitos serão 0`s seguido do produto dos terceiros dígitos: _ _ _ 0 X X.

O terceiro dígito da direito será o primeiro dígito + 3: _ _ X _ _.

O primeiro dígito será o primeiro dígito vezes ele mesmo + 1 + vai: X _ _ _ _.

Exemplo:

Se o número é 752 multiplicado por 758

Últimos três dígitos: 0 seguido do produto dos terceiros dígitos: 2 x 8 = 16: _ _ 0 1 6

Próximo dígito: primeiro dígito + 3: 7 + 3 = 10 (vai 1): _ _ 0 _ _ _

Primeiro dois dígitos: primeiro dígito vezes ele mesmo + 1 + vai: 7 x 8 = 56, 56 + 1 = 57: 5 7 _ _ _ _.

Assim 752 x 758 = 570016.

Se o número é 654 multiplicado por 656.

Últimos três dígitos: 0 seguido do produto dos terceiros dígitos: 4 x 6 = 24: _ _ _ 0 2 4

Próximo dígito: primeiro dígito + 3: 6 + 3 = 9: vai 0 _ _ 9 _ _ _

Primeiro dois dígitos: primeiro dígito vezes ele mesmo +1; +vai: 6x7+0 = 42: 4 2 _ _ _ _.

Assim 654 x 656 = 429024.

Multiplicando números de 2 dígitos (diferença entre eles é de 1)

Escolha um número, some ou diminua 1 do numero original.

Calcule o quadrado do número maior. Subtraia o número maior do resultado do quadrado. OU

Calcule o quadrado do número menor Some o número menor ao resultado.

Exemplo:



Se o primeiro número é 32, escolha 31.

32 x 32 = 1024 (quadrado do maior). 1024 - 32 = 992 (subtraia o numero maior do produto).

Assim 32 x 31 = 992


75 x 75 = 5625 (quadrado menor). 5625 + 75 = 5700 (some o numero menor ao produto).

Assim 76 x 75 = 5700.

Multiplicando número de 2 dígitos (diferença entre eles é de 2)

Ou selecione um número some 2 ou diminua 2 do numero original.

Calcule o quadrado da média dos dois números. Subtraia 1 deste quadrado.

Exemplo:

Se o primeiro número é 29, o outro é 31.

A média entre 29 e 31 é 30. Quadrado de 30: 30 x 30 = 900.

Subtraia 1: 900 - 1 = 899 Assim 29 x 31 = 899.

Se o primeiro número for 76, escolha 74 como o segundo número.

A média de 76 e 74 é 75. Quadrado 75: 75 x 75 = 5625.

Subtraia 1: 5625 - 1 = 5624 Assim 76 x 74 = 5624.

Números de 2 dígitos (diferença entre eles é de 3)

Some 1 ao menor número Calcule o quadrado deste número. Subtraia 1 do número menor.

Some resultado ao quadrado calculado.

Exemplo:


Some 1 ao número menor: 24 + 1 = 25. Calcule o quadrado deste número: 25 x 25 = 625.

Subtraia 1 do número menor: 24 - 1 = 23. Some ao quadrado calculado: 625 + 23 = 648.

Assim 27 x 24 = 648.




Some 1 ao número menor: 31 + 1 = 32. Calcule o quadrado deste número: 32 x 32 = 1024.

Subtraia 1 do número menor: 31 – 1 = 30. Some isto ao quadrado calculado: 1024 + 30 = 1054.

Assim 34 x 31 = 1054.


Ache a média dos números. Calcule o quadrado da média. Subtraia 4 deste quadrado.

Exemplo:


A média é 65. O quadrado da média: 65 x 65 = 4225.

Subtraia 4 deste quadrado: 4225 - 4 = 4221 Assim 63 x 67 = 4221.

Se o primeiro número é 38, escolha 42 como o segundo número.

A média é 40. O quadrado da média: 40 x 40 = 1600. Subtraia 4 deste quadrado: 1600 - 4 = 1596.

Assim 38 x 42 = 1596.


Ache a média dos números. Calcule o quadrado da média. Subtraia 9 deste quadrado.

Exemplo:


A média é 75. Quadrado da média: 75 x 75 = 5625. Subtraia 9 deste quadrado: 5625 - 9 = 5616.

Assim 78 x 72 = 5616.


A média é 34. O quadrado da média: 34 x 34 = 1156. Subtraia 9 deste quadrado: 1156 - 9 = 1147.

Assim 31 x 37 = 1147.


Ache a média dos dois. Calcule o quadrado da média. Subtraia 16 deste quadrado.

Exemplo:




A média é 30. O quadrado da média: 30 x 30 = 900. Subtraia 16 do quadrado: 900 - 16 = 884.

Assim 34 x 26 = 884.


A média é 68. O quadrado da média: 68 x 68 = 4624. Subtraia 16 do quadrado: 4624 - 16 = 4608.

Assim 64 x 72 = 4608.


Ache a média dos dois números. Calcule o quadrado da média. Subtraia 25 do quadrado.

Exemplo:


A média é 31. O quadrado da média: 31 x 31 = 961. Subtraia 25 desta quadrado: 961 - 25 = 936.

Assim 36 x 26 = 936.

Se o primeiro número é 78, escolha 88 (10 maior).

A média é 83. O quadrado da média: 83 x 83 = 6889. Subtraia 25 do quadrado: 6889 - 25 = 6864

Assim 78 x 88 = 6864.

Multiplicando número de 2 dígitos por 1 1/9

Multiplique por 10 (adicione um zero) ao número. Divida o resultado por 9.

Exemplo:

O número escolhido é 32.

Some zero: 320 Divida por 9: 320/9 = 35 5/9 Assim 32 x 1 1/9 = 35 5/9.

Se número escolhido é 74:

Some zero: 740 Divida por 9: 740/9 = 82 2/9 Assim 74 x 1 1/9 = 82 2/9.

Multiplicando um número de 2 dígitos por 15

Multiplique por 10 (adicione um zero) a ele. Divida por 2.

Some o número obtido dividindo por 2 ao último número.

Exemplo:




Multiplique por 10 (adicione um zero): 620. Divida por 2: 620/2 = 310. Some: 620 + 310 = 930.

Assim 62 x 15 = 930.

Se o número 36:

Multiplique por 10 (adicione um zero): 360. Divida por 2: 360/2 = 180. Some: 360 + 180 = 540.

Assim 36 x 15 = 540.

Multiplicando número de 2 dígitos por 18

Multiplique por 2. Multiplique por 10 Subtraia o número obtido multiplicando por 2

Do último número.

Exemplo:


Multiplique por 2: 28x2 = 56. Multiplique por 10 (adicione um zero): 560. Subtraia: 560 - 56 = 504.

Assim 18 x 28 = 504.

Se o número a ser multiplicado for 46: 2 x 46 = 92 (multiplique por 2).

Multiplique por 10 (adicione um zero): 920. Subtraia: 920 - 92 = 828 Assim 46 x 18 = 828.


Selecione um número. Multiplique o número por 2. Multiplique por 10 (adicione um zero).

Some o número original.

Exemplo:

O número escolhido for 23.

Multiplique por 2: 2 x 23 = 46 Multiplique por 10 = 460 Some o número original: 460+23 = 483

Assim 21 x 23 = 483.


Multiplique por 2: 2 x 74 = 148 Multiplique por 10 (adicione um zero): 1480

Some o número original: 1480 + 74 = 1554 Assim 21 x 74 = 1554. Página 41 de 92




Multiplique por 2.

O último dígito será o mesmo. _ _ _ X

Some os dígitos a partir da direita.

Exemplo:


Multiplique por 2: 78 x 2 = 156.

Por último dígito vale 6. _ _ _ 6.

Some dígitos a partir da direita. 6 + 5 = 11 (vai 1) _ _ 1 _

5 + 1 + 1 (vai 1) = 7 (vai 0) _ 7 _ _

O primeiro dígito 1 + vai 0, é ele mesmo. 1 _ _ _

Assim 22 x 78 = 1716.


34 x 2 = 68 (multiplique por 2).

Por último dígito vale 8. _ _ 8.

Some os dígitos a partir da direita. 8 + 6 = 14 (vai 1) _ 4 _

Primeiro dígito + vai 1: 6 + 1 = 7 _ _

Assim 22 x 34 = 748.

Multiplicando números de 2 ou 3 dígitos por 25

Divida o numero por 4 ou multiplique por 100.

Se dividiu por 4, multiplique por 100 ou mova o ponto da fração à direita duas casas, se multiplicou por

100 divida por 4.

Exemplo:


Divida por 4: 78/4= 19.5 Mova o ponto da fração decimal à direita 2 casas: 1950

Assim 78 x 25 = 1950.




Multiplique por 100: 78 x 100 = 7800 Divida por 4: 7800 / 4 = 1950 Assim 78 x 25 = 1950


Selecione um número. Multiplique por 3. Adicione um zero.

Subtraia o número obtido do resultado da multiplicação por 3.

Exemplo:

O número escolhido é 42. Multiplique por 3: 3 x 42 = 126. Adicione um zero: 1260

Subtraia o número obtido da multiplicação por 3: 1260 – 126 = 1134. Assim 42 x 27 = 1134.

O número escolhido é 63: Multiplique por 3: 3 x 63 = 189. Multiplique por 10 = 1890.

Subtraia: 1890 - 189 = 1701. Assim 63 x 27 = 1701.


Multiplique por 3. Adicione um zero.

Subtraia o número original duas vezes.

Exemplo:


Multiplique por 3: 3 x 21 = 63 Adicione um zero: 630

Subtraia do resultado o dobro do número original: 630 - 21 - 21 = 630 - 42 = 588

Assim 28 x 21 = 588.


Multiplique por 3: 3 x 67 = 180 + 21 = 201 Multiplique por 10 (adicione um zero): 2010

Subtraia o número original duas vezes: 2010 - 67 - 67 = 1876 Assim 28 x 67 = 1876.

Multiplicando um número de dois dígitos por 33

Multiplique por 3. Some os dígitos de direito para esquerda.

Exemplo:


Multiplique por 3: 3 x 38 = 90 + 24 = 114 O último dígito é 4: _ _ _ 4.

Some 114 da direita para esquerda. 4 + 1 = _ _5



1 + 1 = _ 2

1 + 0 = 1

Assim 33 x 38 = 1254.

O número escolhido é 82:

Multiplique por 3: 3 x 82 = 246 O último dígito é 6: _ _ _ 6.

Some 246 da direita para esquerda. 6 + 4 = 10 (vai 1) _ _ 0_

4+2+1 (vai 1) = _ 7_ _

2 + 0 = 2 _ _ _

Assim 33 x 82 = 2706.


Multiplique por 11 (some os dígitos do resultado da direita para esquerda).

Multiplique por 3 Some o número original.

Exemplo:


Multiplique por 11: 11 x 21 = último dígito é 1; próximo dígito é 1+2 = 3; primeiro dígito é 2+0: 231.

Multiplique por 3: 3 x 231 = 693 Some o número original: 693 + 21 = 714 Assim 34 x 21 = 714.

O número de 2 dígitos escolhido para se multiplicar por 34 é 52.

Multiplique por 11: 11 x 52 = último dígito é 2; próximo dígito é 2+5 = 7; primeiro dígito é 5: 572.

Multiplique por 3: 3 x 572 = 1500 + 210 + 6 = 1710 + 6 = 1716

Some o número original: 1716 + 52 = 1768 Assim 34 x 52 = 1768.


Multiplique por 7. Divida por 2. Multiplique por 10, isto é , Adicione um zero.

Exemplo:


Multiplique por 7 7 x 28 = 196. Divida por 2: 196/2 = 98. Multiplique por 10 = 980.

Assim 35 x 28 = 980.



O número escolhido 68.

7 x 68 = 476. Divida por 2: 476/2 = 238 Multiplique por 10 = 2380 Assim 35 x 68 = 2380.


Multiplique por 4. Multiplique por 10.

Subtraia do resultado o valor obtido na multiplicação por 4.

Exemplo:

O número de 2 dígitos escolhido é 52.

Multiplique por 4 x 52 = 208. Multiplique por : 2080. Subtraia do resultado o valor obtido na

multiplicação por 4 = 2080 - 208 = 1872 Assim 52 x 36 = 1872.


Multiplique por 4 = 4 x 86 = 344 Multiplique por 10 = 3440.

Subtraia do resultado o valor obtido na multiplicação por 4 = 3440-344=3096 Assim 86x36 = 3096.


Multiplique por 4. Multiplique por 10. Subtraia o número original.

Exemplo:


Multiplique por 4: 4 x 21 = 84 Multiplique por 10 = 840

Subtraia o número original: 840 - 21 = 819 Assim 21 x 39 = 819.

O número de 2 dígitos escolhido multiplicar por 39 é 71.


Subtraia o número original: 2840- 71 = 2769 Assim 71 x 39 = 2769.




Multiplique por 4. Some os dígitos da direita para esquerda.

Exemplo:


4 x 36 = 120 + 24 = 144. O último dígito é 4: _ _ _ 4

Some os dígitos em 144 direito para esquerda: 4 + 4 = 8 _ _ 8 _

4 + 1 = 5 = _ 5 _ _

Primeiro dígito é 1+0 = 1 _ _ _

Assim 44 x 36 = 1584.


4 x 69 = 240 + 36 = 276.

O último dígito é 6 : _ _ _ 6

Some os dígitos em 276 da direita para a esquerda: 6 + 7 = 13 (vai 1): _ _ 3 _

7 + 2 + 1 (vai) = 10(vai 1)= _ 0 _ _

O primeiro dígito + 1 (vai) = 2 + 1 = 3 = 3 _ _ _

Assim 44 x 69 = 3036.


Multiplique por 5. Multiplique por 10 (adicione um zero). Ache a diferença entre estes dois números

Exemplo:


Multiplique por 5 5 x 54 = 270. Multiplique por 10 (adicione um zero): 2700.

Subtraia: 2700 - 270 = 2430 (2700 - 200 - 70 = 2500 - 70 = 2430) Assim 54 x 45 = 2430.


Multiplique por 5 5 x 27 = 135 Multiplique por 10 (adicione um zero): 1350.

Subtraia um numero do outro = 1350 - 135 = 1215 Assim 27 x 45 = 1215.




Multiplique por 5. Multiplique por 10 (adicione um zero). Subtraia 3 vezes o número original.

Exemplo:


Multiplique por 5: 5 x 21 = 105. Multiplique por 10 = 1050

Subtraia 3 vezes o número original: 1050 - 63 = 987 Assim 21 x 47 = 987.


Multiplique por 5: 5 x 52 = 250 + 10 = 260 Multiplique por 10 (adicione um zero): 2600.

Subtraia 3 vezes (52 x 3 ) o número original: 2600 - 156 = 2500 - 56 = 2444.

Assim 52 x 47 = 2444.


Multiplique por 5. Multiplique por 10 (adicione um zero). Subtraia o número original.

Exemplo:



Subtraia o número original: 1050 - 21 = 1030 - 1 = 1029 Assim 21 x 49 = 1029.



Subtraia o número original: 3550 - 71 = 3500 - 21 = 3479 Assim 71 x 49 = 3479.


Multiplique por 5. Multiplique por 10 (adicione um zero). Some o número original.

Exemplo:





Multiplique por 5: 5x61 = 305 Multiplique por 10= 3050

Some o número original: 3050+61 = 3100 + 11 = 3111



Assim 51 x 61 = 3111.


Multiplique por 5. Multiplique por 10 (adicione um zero). Some o número original duas vezes.

Exemplo:


Multiplique por 5: 5 x 21 = 105 Adicione um zero= 1050

Some o número original duas vezes = 1050 + 21 + 21 = 1050 + 42 = 1092 Assim 52 x 21 = 1092.



Some o número original: 3550 + 71 + 71 = 3550 + 142 = 3692 Assim 52 x 71 = 3692.

Multiplicando um número de 2 dígitos por 55 (método 1)

Multiplique por 50. (Um modo fácil de fazer esta conta é pegar a metade do da segunda dezena

escolhida (divida por 2), então multiplique por 100, isto é, adicione 2 zeros.).

Divida o resultado por 10 e some ao resultado anterior. (Retire o último zero do produto e some-o ao produto.).

Exemplo:


50 x 28 = 1400 (a metade de 28 é 14; Adicione 2 zeros). 1400 + 140 = 1540 (Retire zero 1400= 140)

(e some ao produto 1400). Assim 28 x 55 = 1540.


50 x 62 = 3100 (a metade de 62 é 31; some 2 zeros) 3100 + 310 = 3410 (some 1/10 do produto - se

vá último zero).

Assim 62 x 55 = 3410.

Multiplicando um número de 2 dígitos por 55 (método 2)

Multiplique por 5 Some os dígitos a partir da direita para a esquerda.





Multiplique por 5: 5 x 42 = 210

O último dígito é 0: _ _ _ 0

Somando da direita para esquerda: 0 + 1 = 1 _ _ 1_

_ 1 + 2 = 3: _ 3 _

O primeiro dígito é o mesmo: 2 + 0 2 _ _

Assim 55 x 42 = 2310.


Multiplique por 5: 5 x 86 = 400 + 30 = 430


Somando da direita para esquerda: 0 + 3 = 3 _ _ 3 _

3 + 4 = 7: _ 7 _ _

O primeiro dígito é o mesmo: 4 + 0 4 _ _ _

Assim 55 x 86 = 4730.


Multiplique por 6. Multiplique por 10 (adicione um zero). Subtraia o número selecionado 2 vezes.

Exemplo:

O número escolhido é 21 Multiplique por 6: 6x21= 126 Multiplique por 10 (adicione um zero): 1260

Subtraia o número selecionado 2 vezes: 1260 - 42 = 1218 Assim 58 x 21 = 1218.



Subtraia o número selecionado 2 vezes: 3240 - 54 - 54 = 3240 - 108 = 3140 - 8 = 3132

Assim 58 x 54 = 3132.


Multiplique por 6. Multiplique por 10 (adicione um zero).

Some o número original.



Exemplo:






Some o número original: 3240 + 54 = 3290 + 4 = 3294 Assim 61 x 54 = 3294.


Multiplique o número por 7 Multiplique por 10 Subtraia o número maior do menor.

Exemplo:


Multiplique o numero por 7 = 7 x 28 = 196 Multiplique por 10 = 1960

Subtraia o maior do menor: 1960 - 196 = 1764 Assim 28 x 63 = 1764.


Multiplique o numero por 7 = 7 x 83 = 581 Multiplique por 10 = 5810

Subtraia o maior do menor: 5810 - 581 = 5229 Assim 83 x 63 = 5229.


Multiplique por 11 Multiplique por 6. Subtraia o número escolhido.

Exemplo:


Multiplique 21 por 11: primeiro digito 1, segundo 1+2 = 3, ultimo digito é 2+0 = 2 = 2 3 1.

Multiplique por 6: 6 x 231= 1386 Do resultado subtraia o número escolhido: 1386 - 21 = 1365

Assim 65 x 21 = 1365.


Multiplique por 11: dígito a direita é 2, do meio 2+5 = 7, dígito à esquerda é 5: 572.

Multiplique por 6 = 6 x 572 = 3000 + 420 + 12 = 3432 Subtraia o número escolhido: 3432 - 52 = 3380



Assim 65 x 52 = 3380 .


Multiplique por 6. Multiplique por 11 (Some os dígitos da direita para a esquerda).

Exemplo:




Próximo digito = 4 + 2 = 6 _ _ 6 _

Próximo digito = 2 + 3 = 5: _ 5 _ _

O primeiro dígito é 3: 3 _ _ _

Assim 66 x 54 = 3564.




2 + 5 = 7: _ _ 7 _

5 + 5 = 10 (vai 1): _ 0 _ _

O primeiro dígito + vai: 5 + 1 = 6: 6 _ _ _

Assim 66 x 92 = 6072.


Multiplique por 7. Multiplique por 10 (adicione um zero). Subtraia o número escolhido.

Exemplo:



Subtraia o número escolhido: 1470-21=1450-1 = 1449 Assim 21 x 69 = 1449.

O número é 53escolhido é 53.




Subtraia o número escolhido: 3710 - 53 = 3660 - 3 = 3657 Assim 53 x 69 = 3657.


Multiplique por 8. Multiplique por 10 (adicione um zero). Subtraia o primeiro número do segundo.

Exemplo:



Subtraia o primeiro numero do segundo: 4320 - 432 = 3888 Assim 54 x 72 = 3888.



Subtraia: 1680 - 168 = 1512 (Subtraia partido para corrigir: 1680 - 100 - 60 - 8 = 1580 - 60 - 8 = 1520 - 8 = 1512)

Assim 21 x 72 = 1512.

Multiplicando um número de 2 ou 3 dígitos por 75

Multiplique por 3 Some dois zeros Divida por 4.

Exemplo:


Multiplique por 3: 3 x 62 = 186 Some dois zeros: 18600

Divida por 4 (ou por 2 duas vezes): 18600/2 = 9300, 9300/2 = 4650 Assim 75 x 62 = 4650.


Multiplique por 3: 3 x 136 = 390 + 18 = 408 Some dois zeros: 40800

Divida por 4 (ou por 2 duas vezes): 40800/2 = 20400, 20400/2 = 10200. Assim 75 x 136 = 10200.


Multiplique por 7 Some os dígitos da direita para esquerda (veja exemplos, debaixo de).

Exemplo:

O número escolhido é 42 Multiplique por 7: 7 x 42 = 280 + 14 = 294

O último dígito é o mesmo: _ _ _ 4 Página 52 de 92



Some direito para esquerda. 4 + 9 = 13: _ _ 3 _

9 + 2 + 1(vai) = 12: _ 2 _ _


Assim 77 x 42 = 3234.

Se o número é 84:


O último dígito é o mesmo: _ _ _ 8

Some direito para esquerda. 8 + 8 = 16: _ _ 6 _

8 + 5 + 1(vai) = 14: _ 4 _ _


Assim 77 x 84 = 6468.


Multiplique por 9 Multiplique por 10 (adicione um zero) Subtraia o primeiro número do segundo.

Exemplo:



Subtraia: 2790 - 279 = 2511 (Pensa: 2790-200-70-9 = 2590-70-9 = 2520-9 = 2511)

Assim 31 x 81 = 2511.


Multiplique por 9: 9 x 68 = 612 (Pensa: 9 x 60 + 9 x 8 = 540 + 72 = 612) Multiplique por 10 (adicione um zero): 6120

Subtraia: 6120 - 612 = 5508 (Pensa: 6120 - 600 - 10 - 2 = 5520 - 10 - 2 = 5510 - 2 = 5508) Assim 68 x 81 = 5508.


Multiplique por 8 Some os dígitos da direita para a esquerda.

Exemplo:


Multiplique por 8: 8 x 43 = 320 + 24 = 344.



O último dígito é o mesmo 4: _ _ _ 4

Some os dígitos em 344 da direita para a esquerda: 4 + 4 = 8 _ _ 8 _

3 + 4 = 7 _ 7 _ _

O primeiro dígito é o mesmo: 3 3 _ _ _

Assim 88 x 43 = 3874.


Multiplique por 8: 8 x 82 = 640 + 16 = 656.

O último dígito é o mesmo: _ _ _ 6

Some os dígitos em 656 da direita para esquerda: 6 + 5 = 11 _ _ 1 _

5 + 6 + 1 (vai) = 12 = _ 2 _ _

O primeiro dígito + 1 (vai) = 6 + 1 = 7 = 7 _ _ _

Assim 88 x 82 = 7216.


Multiplique por 100 ou adicione dois zeros ao número Subtraia o número original do cálculo anterior.

Exemplo:


Some dois zeros: 7900 Subtraia o número de 2 dígitos: 7900 - 79 = 7900 - 80 + 1 = 7820 + 1 = 7821.

Assim 79 x 99 = 7821.


Some dois zeros: 4200 Subtraia o número de 2 dígitos: 4200 - 42 = 4200 - 40 - 2 = 4160 - 2 = 4158.

Assim 42 x 99 = 4158.


Subtraia do numero escolhido seu dígito das centenas mais 1. X X X _ _

Subtraia os últimos dois dígitos do número de 100. _ _ _ X X

Exemplo:




Subtraia do numero escolhido seu digito da centena + 1 do número: 274 – (2+1) = 271: 2 7 1 _ _

Subtraia de 100 a dezena do numero escolhido: 100 - 74 = 26 = _ _ _ 2 6.

Assim 274 x 99 = 27126.


Subtraia do numero escolhido seu digito da centena + 1 = 924 - 10 = 914 9 1 4 _ _

Subtraia de 100 a dezena do numero escolhido: 100 - 24 = 76 = _ _ _ 7 6.

Assim 924 x 99 = 91476.


Escreva o numero duas vezes!

Exemplos:

47 x 101 = 4747.

38 x 101 = 3838.

96 x 101 = 9696.


Selecione um número.

A soma dos primeiro e terceiros dígitos será o dígito mediano: _ _ X _ _.

Os primeiros dois dígitos mais o VAI serão os 2 primeiros dígitos: XX _ _ _.

Os últimos dois dígitos do número serão os últimos dígitos: _ _ X X.

Exemplo:


3 + 8 = 11 (soma do primeiro e terceiros dígitos) = 1 _ _ 1 _ _ (vai, 1).

31 + 1 = 32 (primeiro 2 dígitos mais o VAI = 3 2 _ _ _

Os últimos dois dígitos são os mesmos do numero escolhido _ _ _ 1 8

Assim 318 x 101 = 32118.

Se o número escolhido é 728:

7 + 8 = 15 (soma de primeiro e terceiros dígitos) = _ _ 5 _ _ (vai, 1).



72 + 1 = 73 (primeiro dois mais o VAi) = 7 3 _ _ _.

Os últimos dois dígitos são os mesmos = _ _ _ 2 8.

Assim 728 x 101 = 73528.


Divida o número por 8 Mova o ponto de fração decimal à direita 3 casas (some três zeros).

Exemplo:


Divida por 8: 34/8 = 4.25 Mova o ponto de fração decimal à direita 3 lugares: 4250

Assim 125 x 34 = 4.250.


Divida por 8: 78/8 = 9.75 Mova o ponto de fração decimal à direita 3 lugares: 9750

Assim 125 x 78 = 9,750.


Repita os 3 dígitos para criar um numero de 6 dígitos Divida por 7.

Exemplo:


Repita 3 dígitos: 123123 Divida por 7: 123123/7 = 17589 Assim 143 x 123 = 17,589.


Repita 3 dígitos: 765765 Divida por 7: 765765/7 = 109395 Assim 143 x 765 = 109,395.


Dobre o número Se o dobro tem 2 dígitos, subtraia 1: X X _ _

De 100 subtraia o dobro do numero selecionado de 100: _ _ X X

Se o dobro tem 3 dígitos, subtraia 2: X X X _ _ (se tem 2 zeros, subtraia o primeiro dígito) Subtraia os

De 100 subtraia o dobro do digito das unidades do numero escolhido : _ _ _ X X

Exemplo:




Dobre o número escolhido e subtraia 1 (dobro tem 2 dígitos) = 2 x 21 - 1 = 41 _ _

De 100 subtraia o dobro do numero escolhido = 100 - ( 21 x 2) = 58 _ _ 58

Assim 198 x 21 = 4158.


Dobre: 2 x 56 = 112 Subtraia 2 ( dobro tem 3 dígitos) do dobro apurado = 112 - 2 = 110 = 110 _ _

De 100 subtraia o dobro do digito das unidades do numero escolhido = 100 – (6 x 2 ) = 88 = __ _ 8 8

Assim 198 x 56 = 11088.


Divida o número por 4 Insira 3 zeros à direita(isto é, multiplique por 1000).

Exemplo:

O número escolhido 250 é 96.

Divida por 4: 96/4 = 24 Adicione três zeros: 24000 Assim 96 x 250 = 24,000.


Divida por 4: 37/4 = 9.25 Mova o ponto de fração decimal à direita 3 casas: 9250 Assim 37 x 250 = 9.250.


Multiplique por 3 Se o produto tem 2 dígitos, subtraia 1: X X _ _

Subtraia o produto de 100: _ _ X X

Se o produto tem 3 dígitos, some 1 ao primeiro dígito: X X X _ _

Subtraia de 100 o resultado da multiplicação por 3: _ _ _ X X

Exemplo:


Multiplique por 3: 3 x 33 = 99 Subtraia 1 do produto (produto 99 tem 2 dígitos) : 99 – 1 = 9 8 _ _

100 - produto: 100 - 99 = 1: _ _ 0 1

Assim 297 x 33 = 9801.




Multiplique por 3: 3 x 92 = 276 Some 1 ao primeiro dígito (2) do produto de 3 dígitos = 2 + 1 = 3

Do produto subtraia o novo valor apurado: 276 - 3 = 273: 273 __

De 100 subtraia os 2 últimos dois dígitos do produto: 100-76 = 24 ___ 24

Assim 297 x 92 = 27324..


Selecione um número de 2 dígitos Multiplique por 3 Divida por 8 Multiplique por 1000.

Exemplo:


Multiplique por 3: 3 x 38 = 90 + 24 = 114 Divida por 8: 114/8 = 14 2/8 14.25

Multiplique por 1000 : 14250 Assim 375 x 38 = 14250.


Multiplique por 3: 3 x 64 = 180 + 12 = 192 Divida por 8: 192/8 = 24

Multiplique por 1000 = 24000 Assim 375 x 64 = 24000.


Multiplique por 10, subtraia 1 = X X X _ _

De 100 subtraia o número original = _ _ _ X X

Exemplo:


Multiplique por 10 (adicione um zero) e subtraia 1: 640 - 1 = 639 = 6 3 9 _ _

De 100 subtraia 64 de 100 = 100 - 64 = 36 X X X 3 6

Assim 64 x 999 = 63.936.


Multiplique por 10 e subtraia 1: 750 - 1 = 749 = 7 4 9 _ _

De 100 subtraia 75 = 100 - 75 = 25: X X X 2 5

Assim 64 x 999 = 74925.

Multiplicando um número de 2 dígitos por 10001 e somando 21



Produto de um número de 2 dígitos e 10001 + 21 é:

O numero escolhido Dois zeros O numero escolhido Some 21.

Exemplo: O numero escolhido é 29

29 x 10001 + 21

29 x 10001 = 29 00 29

290029 + 21 = 290050

Multiplicando um número de 3 dígitos por 10001 e somando 201

Produto de um número de 3 dígitos por 10.001 + 201 é:

O numero escolhido Hum zero , O numero escolhido Some 201.


437 x 10001 + 201

437 x 10001 = 437 0 437

4370437 + 201 = 4370638

Multiplicando um número de 4 digito por 10001 e somando 2001

Produto de um número de 4 dígitos por 10.001 + 2001 é:

O numero escolhido O numero escolhido Some 2001.


6741 x 10001 + 2001

6741 x 10001 = 6741 6741

67416741 + 2001 = 67418742

Multiplicando um numero de 2, 3, 4 ou 5 dígitos por 100001.

12345 X 100001 = 1234512345 98765 X 100001 = 9876598765

Multiplicando um número composto de digito 1 por um número composto de 9's

Escolha um numero (111 etc.).



Multiplique por um número formado de 9's (999 etc.).

O produto é : Tantos dígitos 1 quanto o numero deles no original menos 1

Multiplique este resultado por 10 ( anexe um zero)

Tantos dígitos 8´s quanto o numero de 1´s contidos no numero original menos 1

Um final 9.

Exemplo:

Se o primeiro número é 111 multiplicado por 999.

O produto é:

1 - Tantos dígitos 1 quanto o numero de dígitos do original (111= 3) menos 1 ( 3 -1 = 2 dígitos 1) = 11

2 - Anexe um zero: 110

3 - Tantos dígitos 8 quanto o numero de 1´s apurados em 1 ( 111= 3 - 1 = 2 = 88 = 11088

4 - Um nove no final = 110889

Assim 111 x 999 = 110889.

Multiplique 11111 por 99999. O produto é 1111088889. Assim 11111 x 99999 = 1111088889.

1 - Tantos dígitos 1 quanto o numero de dígitos do original (11111= 5) menos 1 ( 5-1=4 dígitos 1)=1111

2 - Anexe um zero: 11110

3 - Tantos dígitos 8 quanto o numero de 1`s apurados em 1 ( 5 - 1 = 4 = 8888)

4 - Um nove no final = 1111088889

Multiplicando um numero composto de dígitos 1 por 22

Escolha um numero formado de 1's (111 etc.).

O primeiro dígito é 2

Próximo dígito é 4 = Tantos dígitos 4 quanto a quantidade de 1´s no numero original menos 1

Último dígito é 2. ·.

OU Multiplique o número por 2. e Multiplique por 11.

Exemplo:

Se o primeiro número é 1111: Página 60 de 92



Multiplique por 22.

O produto é:

Primeiro dígito é 2 = 2

Próximos dígitos = 4's (1111 = 4 = 4 - 1 = 3 = 444.

No final = 2

Assim 1111 x 22 = 24442.

Se o primeiro número é 111111:

Multiplique por 2: 222222

Multiplique por 11. Começando primeiro a usar o dígito 2 a direita , então some pares de dígitos da

direita para esquerda, então use último dígito 2: 2444442

Assim 111111 x 22 = 2444442.


Escolha um numero composto de dígitos 1 (111, etc.)

Multiplique por 33

O produto é:

Primeiro dígito é 3

Próximos dígitos são 6's - numero de 1's do número composto menos 1.

Último dígito é 3.

Exemplo:

Se o número composto é 111:

Multiplique por 33.

O produto é: primeiro dígito é 3

3 próximos dígitos são 6's, ( 111= 3 3-1= 2) = 66

Um final = 3

Assim 111 x 33 = 3663.

Se o numero composto é 11111:

Multiplicado por 33. O produto é 366663.



Assim 11111 x 33 = 366663.


Escolha um numero composto de 1's (111, etc.)

Multiplique por 44

O produto é:

- primeiro dígito é 4

- próximos dígitos são 8's ( = número de 1`s do numero composto menos 1)

Por último um dígito 4.

Exemplo:

Se o primeiro número é 111: ( 3 dígitos 1)

Multiplicado por 44. O produto é:

Primeiro dígito é 4: 4

Próximos dígitos são 2 dígitos 8, ( número de 1´s do numero composto menos 111 = 3 - 1 = 2 dígitos = 88

Por último um 4

Assim 111 x 44 = 4884.

Se o primeiro número é 11111: (5 dígitos 1)

Multiplicado por 44. O produto é 488884.

Próximos dígitos são 4 dígitos 8's (numero de 1´s do numero composto menos 1 = 5 - 1 = 4 dígitos) = 8888

Por último um 4

Assim 11111 x 44 = 488884.


Escolha um numero composto de dígito 1 (111, etc.)

Multiplique por 88

O produto é:


- próximos dígitos “ n” 7's = ao numero de 1's no número original – 2 )



Últimos dois dígitos são 68.

Exemplo:


Multiplicado por 88.

O produto é: primeiro dígito é 9

Os próximos dígitos são dois 7's, (numero de 1´s do numero composto (1111 = 4) menos 2 = 2 = 77

Últimos dois numero = 68

Assim 1111 x 88 = 97768.

Multiplicando 88 por 111111 O produto é 9777768 Assim 111111 x 88 = 9777768.

Multiplicando um número composto de 3 dígitos repetidos pelo mesmo número composto de 5's

Escolha um número (222, etc.) com um máximo de 9 dígitos

Multiplique pelo mesmo número de 5's (555, etc.)

O produto é uma sucessão que começa com 1 até o número de repetir 2's, então atrás até 0.

Exemplo:

Se o primeiro número é 222 Multiplicado por 555. O produto é 123210.

Se o primeiro número é 22222 Multiplicado por 55555 O produto é 1234543210.

Multiplicando um numero composto de dígitos 2 por um composto 9's



O produto é:

Tantos 2 quanto o numero deles contidos no numero original menos 1

Um 1.

Tantos 7´s quanto o numero de dígitos 2 contidos no numero original menos 1

No final um 8.



Exemplo:


Multiplique por 999.

Tantos 2 quanto o numero deles contidos no numero original 222 = 3 menos 1 = 3-1 = 2 = 22

Um 1.

Tantos 7´s quanto o numero de dígitos 2 contidos no numero original (222 = 3) menos 1 = 2 = 77

No final um 8.

Assim 222 x 999 é 221778.

Se o primeiro número é 22222: Multiplicado por 99999.

Tantos 2 quanto o numero deles contidos no numero original 22222 = 5 menos 1 = 5-1 = 4 = 2222

Um 1.

Tantos 7´s quanto o numero de dígitos 2 contidos no numero original (22222 = 5) menos 1 = 4 = 7777

No final um 8.

Assim 22222 x 99999 é 2222177778.

Multiplicando um numero composto de dígitos 2's por 44


Multiplique por 44

O produto é:

- o primeiro dígito é 9

- os próximos dígitos são 7's repetidos (dois a menos do que o numero de 2´s no número original)

- os últimos dois dígitos são 68

Exemplo:


Multiplique por 44. O produto é: 9768

Assim 44 x 222 = 9768.




Multiplique por 44. O produto é 977768

Assim 22222 x 44 = 977768.

Multiplicando numero com 2's repetidos por 55:


- segundo digito são 2´s repetidos (tantos 2´s do numero original menos 1 )


Assim 222 x 55 = 12210.

Exemplo, método 2.


Multiplique por 5: 5 x 222 = 1000 + 100 + 10 = 1110

Multiplique por 11: da direita para esquerda, dígito esquerdo. 0,

0+1 = 1, 1+ 1 = 2, 1+ 1 = 2

12210

Assim 222 x 55 = 12210.

Multiplicando um numero composto de dígitos 3 por um composto de 6's



O produto é:

2´s repetidos (mesma quantidade de dígitos do número original menos 1)

Um 1.

7´s repetidos ( mesma quantidade de dígitos do número original menos 1).

Um 8.

Exemplo:

O número é 333 multiplicado por 666.

O produto é:

Dois 2´s = 2 2



Um 1 = 1

Dois 7´s = 7 7

Np final 8 = 8

Assim 333 x 666 é 221778.

Se o primeiro número é 33333 Multiplicado por 66666.

Assim 33333 x 66666 é 2222177778.




O produto é:

3´s repetidos ( mesmo quantidade de dígitos 3´s do numero original menos 1)

Um 2.

6´s repetidos (mesma quantidade de dígitos 3´s do numero original menos 1)

Um 7.

Exemplo:

O número é 333 multiplicado por 999.

O produto é:

Dois 3´s = 3 3

Um 2 = 2

Dois 6´s = 6 6

No final = 7

Assim 333 x 999 é 332667.

Se o primeiro número é 33333 multiplicado por 99999.

Assim 33333 x 99999 é 3333266667.



Multiplique por 66



O produto é:

Primeiro 2 dígitos = 21

9´s repetidos (mesma quantidade de 3´s no número original menos 2)

No final 78

Exemplo:

O número é 3333 multiplicado por 66. O produto é: 219978

Primeiro 2 dígitos = 21

9 repetidos (quantidade de 3´s no número original menos 2 = 4 - 2 = 2 = 99

No final 78

Assim 3333 x 66 = 219978.

Se o primeiro número é 333333 Multiplicado por 66. O produto é 21999978


1. O produto é:2. Sequência de termos pares crescentes iniciada por 2 até o termo correspondente

ao numero de dígitos do numero escolhido e a partir daí decrescente até ZERO..

Example:

1. Assim 444 × 555 is 246420. 2. Sequência de 3 números pares iniciados em 2 = 2463. Sequência de números pares, ordem decrescente = 420.

Assim 4444 × 5555 is 24686420.

1. Sequência de números pares iniciado em 2 com 4 termos = 24682. Sequência de números pares iniciado em 6 terminada em 0 : 6420.

4 repetidos por 55

Exemplo:

1. Se o primeiro numero for 4444: 2. O primeiro digito é 2. 3. Quatro repetidos – ( quantidade de 4´s repetidos no numero menos 1) = 444. 4. Últimos 2 dígitos 20. 5. Assim 4444 x 55 = 244420.

o dígito é 2.



1. Primero digito pe 22. Quatro repetidos – um 4 a menosa que os numero de 4´s no numero original: 44444. 3. Últimos 2 dígitos 20. 4. Assimn 55 × 444444 = 24444420.

Multiplicando um numero composto de dígito 4 por um composto de 9's

Escolha um numero composto por 4's (444, etc.)

Multiplique por número composto de 9's (999, etc.)

O produto é: Um menos 4 que havia dígitos no número original. Um 3. Um menos 5 que dígitos em número original.

Um 6.

Exemplo:



O produto é: Um menos 4 que dígitos em número original: 44 Um 3: 443 Um menos 5 que dígitos em número original: 44355 Um 6: 443556

Assim 444 x 999 é 443556.



O produto é: Um menos 4 que dígitos em número original: 4444 Um 3: 44443 Um menos 5 que dígitos em número original: 444435555 Um 6: 4444355556

Assim 44444 x 99999 é 4444355556.


Escolha um repetindo 5's número (555, etc.) Multiplique por 66

O produto é: - o primeiro dígito é 3 - os próximos dígitos estão repetindo 6's (um menos que repetindo 5's no número original) - os últimos dois dígitos são 30

Exemplo:

Se o primeiro número é 555: Multiplicado por 66.

O produto é: 36630

Assim 555 x 66 = 36630.




Multiplique por 66. O produto é 3666630.

Assim 55555 x 66 = 3666630.


Se o numero for composto de digito 5 repetidos (555, etc.)


O produto é feito para cima de: um menos 5 que repetindo 5's no número original o mesmo número de 4's como lá eram 5's no número original um final 5.

Exemplo:


Multiplique por 999. O produto é: um menos 5 que originalmente: 55 mesmo número de 4's como 5's em

original: 444 um final 5: 5

Assim 555 x 999 = 554445.


Multiplique por 9999. O produto é 55544445.

Assim 5555 x 9999 = 55544445.

Multiplicando um numero composto de dígitos 6s por um composto de 9's

Escolha um repetindo 6's número (666, etc.)


O produto é feito para cima de: um menos 6 que repetindo 6's no número um 5 um menos original 3 que repetindo 6's no número um 4 original.

Exemplo:


Multiplique por 999. O produto é: um menos 6 que originalmente: 66 um 5: 5 um menos 3 que originalmente: 33 um 4.

Assim 666 x 999 = 665334.


Multiplique por 99999. O produto é: um menos 6 que originalmente: 6666 um 5: 5 um menos 3 que originalmente: 3333 um 4.

Assim 66666 x 99999 = 6666533334.





Multiplique por 77

O produto é: - os primeiros dois dígitos são 51 - os próximos dígitos estão repetindo 3's (três menos que repetindo 6's no número original) - os últimos três dígitos são 282

Exemplo:



Assim 666 x 77 = 513282.



Assim 666666 x 77 = 51333282.

Multiplicando um número composto de dígitos 7 por composto de 9's



O produto é feito para cima de: um menos 7 que há dígitos no número um seis o mesmo número de 2's como no primeiro passo um três.

Exemplo:

Se o primeiro número é 777: Multiplicado por 999. O produto é: 776223

Assim 777 x 999 = 776223.

Se o primeiro número é 77777 Multilplicado por 9999e por 99999. O produto é 7777622223

Assim 77777 x 99999 = 7777622223

Multiplicando um numero composto de dígitos 7's por 44


Multiplique por 44

O produto é:

Os primeiros dois dígitos são 34



- Os próximos dígitos é 2 repetido (tantos 2 quantos forem o numero de 7´s do número original menos 3)

- Os últimos três dígitos são 188

Exemplo:



Assim 44 x 7777 = 342188.



Assim 777777 x 44 = 34222188.

Multiplicando um número composto de dígitos 7 por 55


Multiplique por 55

O produto é feito para cima de:

- Primeiros dois dígitos são 42

- 7´s repetidos, tantos 7 quanto a quantidade de 7´s repetidos no número original menos 2


Exemplo:



Assim 777 x 55 = 42735.


Assim 77777 x 55 = 4277735.

Multiplicando um numero composto de dígitos 8 por um número composto de dígitos 9's


Multiplique por outro composto de 9´s (999, etc.)

O produto é :



Tantos 8´s quanto a quantidade de dígitos 8 no numero original menos 1

Um número sete

Tantos 1´s quanto a quantidade de dígitos 8 no numero original menos 1

Um número 2.

Exemplo:



Assim 888 x 999 = 887112.



Assim 88888 x 99999 = 8888711112.

Multiplicando um número composto de 8's por 22

Escolha um número composto de 8's (888, etc.)

Multiplique por 22

O produto é:

- Os primeiros dois dígitos = 19

- Tantos 5´s repetidos quanto a quantidade de dígitos 8 no numero original menos 2

- Os últimos dois dígitos = 36

Exemplo:

Se o número é 8888:


Primeiros dois digito = 19

Quantidade de 8´s = 4 menos 2 = 2 logo Quantidade de 5´s repetidos = 2 = 55)

Últimos 2 dígitos = 36

Assim 8888 x 22 = 195536.


O produto é 19555536



Primeiros dois digito = 19

Quantidade de dígitos 8 = 6 menos 2 = 4 ; logo quantidade de dígitos 5´s repetidos = 4 = 5555

Últimos 2 dígitos = 36

Assim 888888 x 22 = 19555536.

Multiplicando um numero composto de 8's por 66

Escolha um número composto de 8's (888, etc.)

Multiplique por 66

O produto é:


- Os próximos dígitos são dígitos 6's repetidos , Tantos 6´s quanto a quantidade de dígitos 8 no numero original menos 2.

- Os últimos dois dígitos são 08

Exemplo:



Assim 888 x 66 = 58608.




- Os próximos dígitos são dígitos 6's repetidos , Tantos 6´s repetidos quanto a quantidade de dígitos 8 no numero original menos 2. ( 5 dígitos 8 - 2 = 3 ) 666

- Os últimos dois dígitos = 08

Assim 88888 x 66 = 5866608.

Multiplicando um numero composto de 9's por 55


Multiplique por 55

O produto é feito para cima de: - primeiro dois dígitos são 54 - repetindo dígitos logo são 9's, dois menos que repetindo 9's no número original - os últimos dois dígitos são 45






Assim 999 x 55 = 54945.



Assim 99999 x 55 = 5499945.

Multiplicando um numero composto de 3 dígitos repetidos por 2, e dividindo por 37,

Escolha um repetindo um numero de 3 dígitos repetidos (um cujos números são todos os mesmos).

Some seus dígitos (ou multiplica um deles por 3).

Multiplique por 2.

Exemplo:


Some seus dígitos (ou multiplica 5 x 3) = 15.

Multiplique 15 x 2 = 30.

Assim 555 x 2 / 37 = 30.

Some 8 + 8 + 8 ou multiplique 8 x 3 = 24. Multiplique 24 x 2 = 48. Assim 888 x 2 / 37 = 48.

Multiplicando um numero de 3 dígitos repetidos por 5, dividindo por 37,

Escolha um numero de 3 dígitos repetidos (cujos algarismos sejam todos iguais).

Some seus dígitos (ou multiplica um deles por 3).

Multiplique por 5.

Exemplo:


Some seus dígitos (ou multiplique 4 x 3) = 12.

Multiplique 12 x 5 = 60. Assim 444 x 5 / 37 = 60.


Some 7 + 7 + 7 ou multiplique 7 x 3 = 21.



Multiplique 21 x 5 = 105. Assim 777 x 5 / 37 = 105.

Multiplicando um numero de 9 dígitos repetidos por 3, e dividindo por 12345679,

Escolha um numero de 9 dígitos repetidos (cujos algarismos são todos iguais).

Multiplique um dígito por 9.

Multiplique por 3.

Exemplo:


Multiplique um dígito por 9: 3 x 9 = 27.

Multiplique 3: 27 x 3 = 81. Assim 333333333 x 3 / 12345679 = 81.


Multiplique um dígito por 9: 9 x 6 = 54.

Multiplique 3: 54 x 3 = 162.

Assim 666666666 x 3 / 12345679 = 162.

Multiplicando uma sucessão de números por 8 e somando o último dígito

Escolha um número composto de dígitos sucessivos que começam com 1 (123, 1234 etc.).

Multiplique por 8 e some o último dígito do número original.

A resposta terá o mesmo número de dígitos como o primeiro número selecionado; os dígitos estarão

diminuindo dígitos que começam com 9.

Exemplo:

Se o número selecionado é 12345:

Multiplique por 8, some 5:

A resposta é 98765 (5 dígitos).

Assim 12345 multiplicados por 8 mais 5 é 98765.


Multiplique por 8, some 8:

A resposta é 98765432 (8 dígitos).

Assim 12345678 multiplicados por 8 mais 8 é 98765432.



Multiplique uma sucessão de números por 8, somando o ultimo numero da sucessão, subtraia 20

Escolha um número composto de dígitos sucessivos que começam com 1 (123, 1234 etc. - até 9 dígitos).

Multiplique por 8.

Some o último dígito da sucessão original. A resposta será uma sucessão recusando que começa com 9 e

do mesmo tamanho da sucessão original.

Subtraia 20.

Exemplo:


Multiplique por 8, some 3 (sucessão descendente que começa com 9 e com 3 dígitos): 987

Subtraia 20: 987 - 20 = 967

Assim 123 multiplicados por 8 mais 3 - 20 é 967.


A resposta antes da última subtração é 987654 (sucessão descendente de 9 com 6 dígitos)

Subtraia 20: 987654 - 20 = 987634

Assim 123456 multiplicados por 8 + 6 - 20 são 987634.

Estenda o número de exemplos mudando o último passo - ou subtrai ou soma números diferentes

Multiplique um inteiro + 1/2 vezes o número + 1

Escolha um número de um dígito (1-9).

Some 1/2.

Multiplique a soma por um segundo número (fração) isso é maior.

Some 1 ao inteiro (base) do segundo número.

Multiplique através do inteiro (base) do primeiro numero.Este inteiro é (base) a resposta.

Some 3/4. Este é produto de multiplicação.

Exemplo:


Multiplique 2 1/2 por 3 1/2. Página 76 de 92



Some 1 ao segundo inteiro. 3 + 1 = 4

Multiplique pelo primeiro inteiro. 4 x 2 = 8 (Base de resposta)

Some 3/4. Produto é 8 3/4.

Assim 2 1/2 x 3 1/2 = 8 3/4.


Multiplique 8 1/2 x 9 1/2.

Some 1 a segundo inteiro. 9 + 1 = 10

Multiplique pelo primeiro inteiro. 10 x 8 = 80 (Base de resposta)

Some 3/4. Produto é 80 3/4.

Assim 8 1/2 x 9 1/2 é 80 3/4.

Multiplique a soma e diferença de 2 e um numero de 1 digito

Escolha um múltiplo de 10 com 2 dígitos e um número com um único-dígito (1-9).

Some os dois números

Ache a diferença deles (subtraia o menor do maior).

Multiplique a soma e a diferença quadrando os dois números e achando a diferença.

Exemplo:

Os números selecionados são 80 e diferença 3:

Some os números: 80 + 3 = 83.

Subtraia 3 de 80: 80 - 3 = 77.

80 x 80 - 3 x 3 = 6400 - 9 = 6391.

Assim 83 x 77 = 6391.

Se os números selecionados são 60 e 8:

Some os números: 60 + 8 = 68.

Subtraia 8 de 60: 60 - 8 = 52.

60 x 60 - 8 x 8 = 3600 - 64 = 3536.

Assim 68 x 52 = 3536.

Multiplicando números fracionários



Selecione um número misturado. (1 2/3, 5 1/8, etc.)

Selecione um multiplicador que usa o mesmo número inteiro e uma fração que somam a 1 com a parte

fracionária do primeiro número.

O número inteiro na resposta será os tempos de número inteiros o próximo número.

Achar a fração, multiplique as duas partes fracionárias.

Exemplo:

O primeiro número misturado escolhido é 7 1/4.

Selecione 7 3/4 como o multiplicador (mesmo número inteiro, fração que soma a 1 com a primeira fração).

O número inteiro do produto será 7 x 8 (próximo número) = 56.

A fração do produto será 1/4 x 3/4 = 3/16.

Assim 7 1/4 x 7 3/4 = 56 3/16.


Selecione 8 2/3 como o multiplicador (mesmo número inteiro, fração que soma a 1 com a primeira fração).



Assim 8 1/3 x 8 2/3 = 72 2/9.

Mais um:


Selecione 20 7/8 como o multiplicador (mesmo número inteiro, fração que soma a 1 com a primeira

fração).



Assim 20 1/8 x 20 7/8 = 420 7/64.

Multiplicando um numero de 4 dígitos por 99

Selecione um número.

Subtraia os primeiros dois dígitos mais 1 do número. X X X X _ _ Página 78 de 92



Subtraia os últimos dois dígitos do número de 100. _ _ _ _ X X

Exemplo:

Escolha um numero de 4 dígitos com dígitos do menor para o maior: 2368.

Os primeiros dois dígitos serão o mesmo: 2 3 _ _ _ _.

Subtraia os primeiros dois dígitos + 1 dos últimos dois dígitos: 23 + 1 = 24, 68 - 24 = 44: _ _ 4 4 _ _

Subtraia os últimos dois dígitos de 100: 100 - 68 = 32: _ _ _ _ 3 2

Assim 2368 x 99 = 234432.

Exemplo:

O número escolhido para se multiplicar por 99 é 3512.

Subtraia os primeiros dois dígitos + 1 do número: 35 + 1 = 36, 3512 - 36 = 3512 - 30 - 6 = 3482 - 6 = 3476: 3 4 7 6 _ _

Subtraia os últimos dois dígitos de 100: 100 - 12 = 88: _ _ _ _ 8 8

Assim 3512 x 99 = 347688.

Parta com exemplos mais fáceis e se forme a mais difícil. se lembre de subtrair de partiu para corrigir em incrementos.

Multiplicando um numero de 4 dígitos por 137, depois por 73; subtraia 1200

Escolha um numero de 4 dígitos (cujos algarismos sejam todos iguais).

Multiplique por 137 e multiplique o produto por 73.

O segundo produto é um numero de 8 dígitos: o número original e uma repetição dos dígitos.

Subtraia 1200.

Exemplo:


A resposta para as duas multiplicações é 62416241

Subtraia 1200: 62416241 - 1200 = 62415041

Assim 6241 x 137 x 73 = 62,415,041.



Subtraia 1200: 78347834 - 1200 = 78346634 Página 79 de 92



Assim 7834 x 137 x 73 = 78,346,634.

Você pode ampliar este exercício mudando o passo final a outro cálculo: some ou subtraia um número que é fácil dirigir. Em deste modo você podem criar muitos exercícios novos.

Multiplicando um numero de 5 dígitos por 9091, depois por 11; subtraia 1200

Escolha um número.

Multiplique por 9091 e multiplique o produto por 11.

O segundo produto é um numero de 10 dígitos: o número original mais uma repetição dos dígitos.

Subtraia 1200.

Exemplo:



Subtraia 1200: 3498634986 - 1200 = 3498633786

Assim 34986 x 9091 x 11 = 3, 498, 633,786.



Subtraia 1200: 2285422854 - 1200 = 2285421654

Assim 22854 x 9091 x 11 = 2.285.421.654.

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Regras da Divisibilidade

Para descobrir se um número X é divisível por um certo número, faça um teste consultando as informações da tabela abaixo.

Por 2

1. Todos os números pares são divisíveis por 2. Por exemplo., todos os números que terminam em 0,2,4,6 ou 8.

Por 3 Página 80 de 92



1. Some todos os dígitos do número. 2. Descubra se a soma é divisível por 3, se for o número é divisível3. Por exemplo: 12123 (1+2+1+2+3=9) 9 é divisível por 3, então 12123 também é!

Por 4

1. Os últimos dois dígitos são é número divisível por 4? 2. Nesse caso, o número também é! 3. Por exemplo: 358912 termina em 12 que é divisível por 4, assim 358912 também é.

Por 5

1. Números que terminam em 5 ou 0 sempre são divisíveis por 5.

Por 6

1. Se o Número é divisível por 2 e 3 que também é divisível por 6.

Por 7 (2 Testes)

Pegue o último dígito do número. Dobre o ultimo e subtraia do número restante dos dígitos. Repita o processo para números maiores. Exemplo: 357 (Dobre 7 obter 14. Subtraia 14 de 35 para obter 21 que é divisível por 7 e

nós podemos dizer que 357 é divisíveis por 7.

PRÓXIMO TESTE Multiplique sucessivamente cada dígito iniciando pelo dígito da unidade por 1, 3, 2, 6, 4,

5,. Repita esta sucessão tanto quanto necessário Some os produtos. Se a soma for divisível por 7 - seu número também é. Exemplo: 2016 È divisível por 7? 6(1) + 1(3) + 0(2) + 2(6) = 21 21 é divisível por 7 e podemos dizer agora que 2016 também é.

Por 8

1. Este não é tão fácil, se os últimos 3 dígitos são divisíveis por 8, o número inteiro também é.

2. Exemplo: 6008 - Os últimos 3 dígitos são divisíveis por 8, então, 6008 também é.

Por 9

1. È quase a mesma regra da divisão por 3. Some todos os dígitos no número. 2. Descubra se a soma é divisível por 9, se foro número é divisível por 9. 3. Por exemplo: 43785 (4+3+7+8+5=27) 27 que é divisível por 9, então 43785

também é!

Por 10

1. Se o número termina em 0, é divisível por 10.



Por 11

Aqui o que você faz é providenciar a duas somas de dígitos e subtrai-las. A primeira soma é a soma dos dígitos na posição impar (primeiro,terceiro, quinto, sétimo, etc.) e a outra é a soma dos dígitos na posição par (segundo, quarto, sexto, oitavo, etc). Se quando você subtrai os resultados da soma, se a diferença for divisível por 11, então o número X também é,

Por 12 Se X é divisível por 4 e por 3, X é divisível por 12 Por 13

Regra de This é chamada L+4M. Os que você faz é quadruplicar o último dígito do número X e somar o resultado ao numero, sem seu último dígito. Por exemplo, se o número X você está testando for 345678, você somaria 8 x 4 = 32 a 34567. Repita este procedimento até obter um número que você sabe sem dúvida ser ou não divisível por treze. Então a divisibilidade dos X's serão as mesmas.

Por 14 Se X é divisível por 7 e então por 2, X é divisível por 14


Por 16 Se os últimos quatro dígitos são divisíveis por 16, então X também é

Por 17 * Regra de This é chamada L-5M. Veja regras para 7 e 13 em como aplicar.


Por 19 * Regra de This é chamada L+2M. Veja regras para 7 e 13 em como aplicar.

Por 20 Se X é divisível por 5 e então por 4, X é divisível por 20 Por 21 Se X é divisível por 7 e então por 3, X é divisível por 21



Por 25 Se os últimos dois dígitos de X são divisíveis por 25, então X também é

Curiosidades Matemáticas

O Misterioso 9

Dividir por 9,99,999 e assim por diante gera alguns padrões numéricos interessantes

O Mister M : 142857

a- 142857 x 1 = 142857 b- 142857 x 2 = 285714 ( Mesmos dígitos , ordem diferente )c- 142857 x 3 = 428571 ( Mesmos dígitos , ordem diferente )d- 142857 x 4 = 571428 ( Mesmos dígitos , ordem diferente ) e- 142857 x 5 = 714285 ( Mesmos dígitos , ordem diferente ) f- 142857 x 6 = 857142 ( Mesmos dígitos , ordem diferente )g- 142857 x 7 = 999999 ( Aqui termina o padrão numérico )

O Mister M : 37a- 37 x 3 = 111b- 37 x 6 = 222



c- 37 x 9 = 333d- 37 x 12 = 444e- 37 x 15 = 555f- 37 x 18 = 666g- 37 x 21 = 777h- 37 x 24 = 888i- 37 x 27 = 999

Os Mister M´s : 46 e 96

Há , ao todo , 14 igualdades dessas , a saber :

12 x 42 = 21 x 24 12 x 63 = 21 x 36 12 x 84 = 21 x 48 13 x 62 = 31 x 26 13 x 93 = 31 x 39 14 x 82 = 41 x 28 23 x 64 = 32 x 46 23 x 96 = 32 x 69 24 x 63 = 42 x 36 24 x 84 = 42 x 48 26 x 93 = 62 x 39 34 x 86 = 43 x 68 36 x 84 = 63 x 48 46 x 96 = 64 x 69

O Mister M 1089

456 inverta seus dígitos = 654 Subtraia 654 de 456 = 198 Inverta os dígitos do novo resultado = 891Some 891 à 198 = 1089891 inverta seus dígitos = 198Subtraia 891 de 198 = 693Inverta os dígitos do novo resultado = 396Some 693 à 396 = 1089 Duplique sua alegria

Pegue um número de 3 dígitos e repita-o para formar um de seis .

Triplique sua alegria

Pegue um número de 2 dígitos e repita-o para formar um de seis Quadriplique sua alegria

Pegue um número de 4 dígitos e repita-o para formar um de oito. Quintuplique sua alegria

Pegue um número de 5 dígitos e repita-o para formar um de dez. a - Pegue 73194 e duplique-o : 7319473194 b - Divida sucessivamente por 11 e 9091 = 73194 Uma curiosidade a mais

a ) 1 + 2 = 3b ) 4 + 5 + 6 = 7 + 8 c ) 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15d ) 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24.....etc

O digito desaparecido



Peça a alguém para multiplicar por 999 qualquer número de 3 dígitos Então , peça para fazer um círculo em volta de qualquer um dos dígitos do produto , de 1 à 9 ( zero não vale ) . A pessoa lerá , devagar e fora de ordem , todos os outros dígitos. E você dirá qual foi o dígito circundados. a - 285 x 999 = 284715 b - A pessoa circundou o 4 e ;c - Forneceu os outros dígitos 2 , 8 , 1 , 5 , 7d - Some-os 2 + 8 + 1 + 5 + 7 = 23e - Ache o próximo múltiplo de 9 após o 23 , isto é , 27f - Diminua 27 de 23 = 4 (Aí está o digito )

Temos outra maneira de multiplicar 2 números entre si : o resultado é representado pela diferença entre a soma dos números ao quadrado menos o quadrado da diferença entre eles dividido por 4 .

ab = ( ( a + b ) 2 - ( a - b ) 2 ) / 4 a - 6 x 4 = ( ( 6 + 4 ) 2 - ( 6 - 4 ) 2 ) / 4 = ( 100 - 4 ) / 4 = 24 b - 10 x 5 = ( ( 10 + 5 ) 2 - ( 10 - 5 ) 2 ) / 4 = ( 225 - 25 ) / 4 = 50 c - 13 x 12 = ( ( 13+12 ) 2 - ( 13-12 ) 2 ) / 4 = ( 625 - 1 ) / 4 = 156

Divisibilidade por 11 : da soma dos algarismos que ocupam os postos impares subtrai-se a soma dos algarismos que ocupam os postos pares ; se a diferença for zero , ou múltiplo ( positivo ou negativo ) de onze , o número será múltiplo de onzes. a - Experimentemos o número 8 7 6 3 5 0 6 4 b - Postos impares 8 + 6 + 5 + 6 = 25c - Postos pares 7 + 3 + 0 + 4 = 14d - 25 - 14 = 11 ---> O número é divisível por 11

Outro método de divisibilidade por 11 : consiste em separar , da direita para a esquerda , o número dado em grupos de dois algarismos. Os números são somados ; se essa soma for divisível por 11 , o número original também o será . a - Experimentemos o número 8 7 6 3 5 0 6 4 b - 87 + 63 + 50 + 64 = 264c - Aplique de novo a regra sobre 264d - 2 + 64 = 66 ( é divisível por 11 )e - O número original 87635964 é divisível por 11

Aritmética Veloz

Escolha dois números de um único digito . Por exemplo 3 e 7, Em seguida escreva-os e crie uma série de números abaixo deles,Some-os aos pares até obter 10 números. ( 3+7= 10 ; 10+7= 17 , etc) Peça a alguem para somar os numeros da sequência. Você pode afirmar que pode predizer o resultado e de imediato. 3, 7 , 10 , 17 , 27 , 44, 71 , 115, 186, 301.Soma dos números da sequência = 781.Nesse caso , o truque é multiplicar o sétimo numero da sequência por 11.Ele é 71 que vezes 11 é igual à 781.

A mente que tudo vê

Digite qualquer número de 3 dígitos ( o número secreto),



Multiplique-o por 10 , Subtraia o número secreto ,Divida êsse resultado pelo número secreto , Eleve êsse outro resultado ao quadrado e some 19. 235 ( número secreto)235 x 10 = 23502350 - 235 = 21152115 / 235 = 9 9 x 9 = 8181 + 19 = 100 Escolha um número. Some 2 Multiplique-o por 3 Subtraia 6 Divida por 3 Você volta ao numero inicial.

235 ( número secreto) 235 + 2 = 237 237 x 3 = 711 711 - 6 = 705 705 / 3 = 235

Aí está o número inicial Escolha um número. Eleve-o ao quadrado. Some o número original duas vezes Some um Tire a raiz quadrada

( arredonde o resultado)., Subtraia um Você volta ao numero inicial.

235 235 x 235 = 55225 55225 + 235 + 235 = 55695 55695 + 1 = 55696 Raiz de 55956 = 236

236 - 1 = 235 Aí está o número inicial

Escolha um número. Multiplique-o por 5 Some 6 ao resultado Multiplique por 4 Some 9 Multiplique por 5 Diga-me o resultado Que eu digo o valor do numero original,

235 235 x 5 = 1175 1175+6 = 1181 1181x 4 = 4724 4724+9 = 4732 4732x 5 = 23665

Subtraia 165 do resultado e divida por 100: (23665-165)/100 = 235 Aí está o número inicial

Escolha um número. Eleve-o ao quadrado Some 10 vezes o numero inicial Some 25 Tire a raiz quadrada ( arredonando)

Subtria o numero original Aposto que a resposta é 5.

235 235x235 = 55225 55225+2350= 57575 57575+25= 57600 Raiz 57600 = 240

240 – 235 = 5

Dinheiro, dinheiro ….

Ofereça-se para pagar 100 reais a qualquer um que possa lhe dar 5 reais em dez moedas. As moedas tem que ser de 50 centavos, 25 centavos e 10 centavos, você e a pessoa tem que usar pelo menos u`a moeda de cada. Se a pessoa pudesse lhe dar 10 moedas de 50 centavos, isso somaria R$ 5,00.A exigência de usar outras moedas torna o problema impossível.

Raiz quadrada sem calculadora



Como calcular uma raiz quadrada sem uma calculadora? Quanto é a raiz quadrada de 7 com 5 casas decimais? Para fazer isto, você tem que aprender o algoritmo da raiz quadrada. Pegue um pedaço de papel e um lápis. Primeiro, escreva o decimal 7.00000000 e marque pares de dígitos a partir da fração decimal.

Isto produzirá 7.00'00'00'00 '... Vamos começar, vamos simular a raiz quadrada de 7. O inteiro mais próximo é 2. Agora aja como se tivéssemos uma longa divisão. 2 divide 7 em 2 vezes. 2 x 2 = 4. Subtraia de 7 resta 3 e separe os próximos dois dígitos. Agora vem a parte diferente da divisão.

A resposta mostrada anteriormente é 2. Dobre-o e use 4 como o primeiro dígito de um novo divisor. Tudo que aparece neste lugar também tem que entrar na resposta.

Em outras palavras, a pergunta é: quantas vezes 40 e pouco estão em 300. A resposta é 6. Quarenta - seis vezes seis = 276. Subtraia isso de 300 resta 24. Separe os próximos dois zeros. Duplique o que está na resposta (dobre 26). Use 52 como os primeiros dois dígitos de um novo divisor e a pergunta se torna quinhentos e vinte e alguma coisa está contido em 2400quantas vezes? A resposta é 4. 4 vezes 524 = 2096. Subtraia de 2400. Separe mais dois zeros. Duplique a resposta e deixe um dígito vazio e assim por diante e sucessivamente. Você pode continuar indo. Então agora, você sabe que você é mais inteligente que uma calculadora! Descobrindo como a coisa acontece, não é tão difícil. Se você algo difícil, tente o algoritmo para achar uma raiz cúbica (eu não conheço). O Truque da Raiz Cúbica Se alguém elevou ao cubo um número de 2 dígitos na calculadora e lhe deu o resultado - mas não o número original - você poderia extrair a raiz cúbica? Com este truque, você poderá fazer quase que imediatamente! Um pouco trabalho é requerido para processar este truque, mas é o preço do esforço se você gosta de se exibir. Primeiro, memorize os cubos dos dígitos 1 até 9: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. Agora memorize os "últimos dígitos" dos cubos. Por exemplo, o ultimo de 93 é 9, porque 93 = 729. O “final” (ou último dígito) é 9. Assim façamos uma lista. “1 digito final do cubo de 1” 1--> 1”. 1--> 12--> 83--> 74--> 45--> 56--> 67--> 38--> 29--> 9 Estes são facilmente memorizados. 1 e 9 o digito final é representado por eles próprios, como 4, 5, e 6 (ao centro). Os outros envolvem “uma soma 10": 2 final 8 final 2, 3 final 7, e 7 final 3.



Agora como fazer o truque!

Diga a um amigo escolher secretamente qualquer número de 2 dígitos e solicita a ele calcular o cubo do numero na calculadora. Digamos que ele escolheu 76. Usando a calculadora ele computa 76 x 76 x 76. Ele apura então: 438,976. Para determinar o número original imediatamente (ie, computar a raiz cúbica), siga estes passos:

1. Desconsidere os últimos três dígitos e ache o maior cubo contido em 438. Este é 73 = 343, assim o digito das dezenas é 7. (Foi por isso você teve que memorizar os cubos dos dígitos 1 até 9).

2. Agora volte para os últimos três dígitos. Olhe o último dígito, 6. Isso é representa o mesmo final de 63, assim seu digito da unidade é 6. (Foi por isso que você teve que memorizar os “dígitos finais” dos cubos de 1 até 9).

Assim a raiz cúbica de 438.976 é 76 Outro exemplo: Digamos seu amigo escolhe um número de 2 dígitos cujo cubo é 79.507. Como você determina a raiz cúbica imediatamente? 1. Desconsidere os últimos três dígitos e ache o maior cubo maior em 79. Este é 4^3 = 64, assim o dígito das dezenas da raiz cúbica é 4.

2. Agora volte para os últimos três dígitos. Olhe o último dígito, 7. É o mesmo final de 3 ao cubo. Assim o dígito da unidade de sua raiz cúbica é 3. Então, a raiz cúbica de 79.507 é 43. Mentalmente divida qualquer numero de 2, 3 ou 4 dígitos por qualquer numero de 1 digito com precisão decimal. Quando lhe pedirem para fazer a divisão mentalmente, é muito interessante poder levar a cabo a resposta com várias casa decimais. Ao dividir por um numero de 1digito número, não é assim tão difícil. Primeiro você precisa se lembrar de todos os equivalentes decimais possíveis para cada único digito divisor. A maioria das pessoas já sabem dos primeiros equivalentes decimais: 1/2 = .51/3 = .333... 2/3 = .666... 1/4 = .252/4=1/2 = .53/4 = .75 E o resto? Os quintos (5) são fáceis, como você simplesmente dobre o dividendo, e coloque o decimal na frente do número: 1/5 = .22/5 = .43/5 = .64/5 = .8 Com os sextos (6º), você sabe sobre 3 dos 5 decimais de acima: 2/6=1/3 = .333... 3/6=1/2 = .54/6=2/3 = .666...



Você precisa aprender apenas mais dois dos sextos: 1/6 = .1666... 5/6 = .8333... Sétimos têm um padrão muito peculiar! Comecemos com 1/7: 1/7 = .142857142857142857...

Tudo você tem que fazer os sétimos é lembrar da sucessão 142857 (que se repetem inúmeras vezes). Cada sétimo sempre conterá esta mesma sucessão, e só o ponto de partida mudará! Para achar o ponto de partida apropriado, pegue o dividendo e multiplique por 14 (você deveria poder elevar de cabeça 14*6 bem rapidamente).

Ache a posição na sucessão 142857 mais próximo deste número, e você terá o ponto de partida inicial apropriado! Começando novamente com 1/7, simplesmente pensamos (1*14=14 assim 1/7 começa em 14, e é assim sendo igual a.142857142857...). Aqui é como você identifica o resto dos sétimos, com o processo de pensamento entre parênteses. 2/7 (2*14=28) = .2857142857142857... 3/7 (3*14=42) = .42857142857142857... 4/7 (4*14=56) = .57142857142857... 5/7 (5*14=70) = .7142857142857... 6/7 (6*14=84) = .857142857142857... Uma vez descoberto o padrão e praticando, sétimos são coisas muito simples. Oitavos também são coisas muito simples, como eles são meio termo entre os quartos (4).

Simplesmente multiplique o dividendo por 125, e coloque o decimal na frente dele: 1/8 = .1252/8=1/4 = .253/8 = .3754/8=1/2 = .55/8 = .6256/8=3/4 = .757/8 = .875 Nonos (9) parecem que parecem ser difíceis, mas tudo você tem que fazer é repetir o dividendo varias vezes: 1/9 = .111... 2/9 = .222... 3/9 = .333... 4/9 = .444... 5/9 = .555... 6/9 = .666... 7/9 = .777... 8/9 = .888... Como referência, décimos e undécimos não são difíceis, e podem ser feitos facilmente de cabeça, assim.



Para décimos, simplesmente coloque um decimal na frente do dividendo: 1/10 = .12/10 = .23/10 = .34/10 = .45/10 = .56/10 = .67/10 = .78/10 = .89/10 = .9 Para undécimos, você precisa saber da tabela de onzes de 1até 10: 1/11 = .090909... 2/11 = .181818... 3/11 = .272727... 4/11 = .363636... 5/11 = .454545... 6/11 = .545454... 7/11 = .636363... 8/11 = .727272... 9/11 = .818181... 10/11 = .909090... Com um pouco prática, este equivalentes decimais serão memorizados depressa. Mantenha as coisas simples comece a trabalhar com números de 2 dígitos. Quando alguém escolher qualquer numero de 2 dígitos e qualquer número de 1 digito, e você pode anunciar o resultado da divisão do número maior pelo menor. Por exemplo, digamos 59 dividido por 6. Você pode perceber depressa que o múltiplo mais próximo de 6 em 59, sem pestanejar, é 54 (6*9). Assim, a resposta é 9 e 5/6. Em vez de dizer deste modo, porém, você lembra de 5/6 = 0.833, e assim a resposta é 9.833. As pessoas vêem decimais como algo muito complexo, assim sendo isto é muito impressionante, contudo não é difícil de fazer. Para números de 3 e 4 dígitos, você precisa praticar trabalhando pelo problema da divisão a partir da esquerda para direita em sua cabeça. Começando com um numero de 3 dígitos, por exemplo, tentemos 698 dividido por 7.

Começando com o dígito mais a esquerda, vemos depressa que 6 é menor que 7, assim nos movemos para próximo dígito. 7 cabe em 69 nove vezes, assim nossa resposta é algo como 90.

Tomando 63 (7*9), isso nos deixa com 68 para trabalhar. 7 cabe em 68 nove vezes, assim sendo, nos dá 99, com resto 5, ou 99 e 5/7. Lembra do equivalente decimal de 5/7?

Isto significa você pode dar a resposta em resumo como 99.7142857. Com números de 4 dígitos trabalha-se do mesmo modo, com um passo extra. 4732 dividido por 6? temos: 4/6= não cabe47/6=7, levando o resto 5 (47 - 42=5), assim é algo como 700.53/6=8, levando o resto 5 (53 - 48=5), assim é algo como 780.



52/6=8, levando o resto 4 (52 - 48=4), assim é algo como 788 e 4/6, ou 788 2/3. Traduzido em forma decimal, você diz “788,666”. Até mesmo se você nunca fica confortável com números de 4 dígitos, dividindo números de 3 dígitos por números de 1 digito ainda é impressionante, especialmente quando você pode calcular com diversas casas decimais. Dicas:

1) A prática regular ajudará aumentar sua velocidade. Você pode chegar ao ponto de poder fazer isto tão rapidamente quanto (ou possivelmente até mais rápido) uma calculadora! 2) As frações parecem um modo mais humano de dar a resposta, como elas não parecem tão precisas (2/3 é muito mais fácil de entender que. 666..., pois 2/3 não tem aparência de dizima periódica). A resposta em decimais é fortemente associada à precisão, o modo que um computador daria a resposta, assim os decimais dão uma impressão mais forte de um computador. 3) Você verá que as pessoas escolhem 7 como mais freqüência como número de 1 digito, pois parece ser mais difícil para a maioria das pessoas. Como você viu acima, não é só o 7 é mais fácil de lidar, mas a habilidade para levar a cabo o resultado decimal para 6, 7 ou 8 casas decimais fazem isto mais impressionante! Calcule a potencia de qualquer número usando logaritmos Com ajuda de logaritmos, você pode fazer alguns cálculos mentais bem interessantes. Certo, para este método funcionar você precisa saber calcular logaritmos em base 10 de qualquer número.

Eu sugiro a leitura do artigo sobre como calcular qualquer logaritmo mentalmente. Uma vez você entendendo como isto funciona, você deve aprender ou deve achar a lista de logaritmos dos números 1-10 com aproximadamente duas casas decimais. Uma vez sendo capaz de achar o logaritmo de um número com precisão, os passos restantes são simples. Leve sua base e potencia a, a^b, e siga os passos abaixo: 1. Pegue o logaritmo da base a.

2. Multiplique o número a pela potencia b. Se a potencia é uma raiz, você multiplica o número pela fração. Para a raiz quadrada, multiplique o número por 1/2 ou 0.5, para a raiz de cúbica multiplique por 1/3 ou 0.333, e assim por diante.

3. Faça o oposto do anterior para calcular o log pegando o número, da sua tabela ou memória, ache o número que produziria aquele produto quando elevado ao log. Esta é sua resposta.

Exemplo 1 - Quero achar a raiz quadrada de 36275. Dos passos anteriores...

1. Pegue o log de 36725. Existem quatro casas decimais para chegar a 3.6275 assim o primeiro número do log é quatro. Usando a tabela ou de cabeça. Eu sei que o log de 3.63 é aproximadamente 0.56 e assim minha resposta é 4.56.

2. Multiplico 4.56 por 1/2 (porque eu estou elevando a raiz quadrada) que é igual a 2.28. Ultimo passo...

3. Agora quero achar o número que o log seja 2.28. Ignorando o inteiro 2 do princípio observo 0.28 e sei que o log de 1,91 é igual à aproximadamente 0.28. Então movo o decimal para a direita 2 vezes porque este era o inteiro, tenho minha resposta final de 191. Conferindo com a



calculadora, vejo que minha estimativa não estava tão distante. A raiz quadrada de 36725 é 191.6377... que é muito perto de 191.

Exemplo 2 - Ache a raiz 5ª de 2837 e eleve a 7º potência. Embora pareça mais difícil, tudo que você está calculando é 2837^1/5*7 = 1.4..

1. Pegue o log de 2837 que é aproximadamente 3.453

2. Multiplique 3.453 por 1.4 = 4.834

3. Ache que número se renderia 0.834 quando o log é levado, ou log10x e multiplique por 104. anote 6.82 = 0.834 assim 6.82*104 = 68200. A real resposta, 68234.351..., podemos considerar precisa com dois dígitos que são quantas decimais nós usamos!

Exemplo 3

Se você quer impressionar seus amigos, peça a eles para calcular a potencia de um número e pergunte qual era o número. Por exemplo, peça que elevem um numero de 2 dígitos à 5º potencia e rapidamente diga o resultado. Digamos eles escolheram 5 (um numero por acaso) e dá 184528125. Você está computando este número agora à 1/5 potencia, ou 0.2..

1. O log de 184528125 é aproximadamente 8.27.

2. 8.27 multiplicados por 0.2 = 1.65.

3. Você sabe pela tabela de logs (ou quem sabe de cabeça) que o log de 4.5 é muito perto de 0.65, você multiplica por 10 porque 1 em 1.65, e suposta resposta é 45. Seu amigo confirma que 45^5 = 184528125. Você achou a raiz quinta raiz de um número de 9 dígitos sem sequer tocar na calculadora! Lembre-se que quanto mais precisamente você memorizar os logs, mais precisas suas respostas serão. Os números calculados aqui são arredondados e assim eles são mais para estimativas, mas ainda são muito úteis quando você não tem uma calculadora ou simplesmente quer impressionar seus amigos! Para explicar este método você precisa entender algumas propriedades dos logaritmos. Você começa com a^b e obtém o log. O log10a^b = b*log10a. Daqui você sabe que 10b*log10a é igual a sua resposta, x, e assim log10x = b*log10a. Você resolve x achando o número que daria seria o expoente de b*log10a quando o log é escolhido. Eu sei que esta explicação é um pouco prolixa e obscura, esqueçamos seus comentários e criticas e espero poder melhorar meu método.

Calcule Logaritmos de Cabeça Embora possamos chegar a uma resposta satisfatória sem precisar de um cálculo de fato, ainda é um modo rápido de determinar logaritmos sem calculadora.

Aqui está: 1. Quando alguém lhe dá qualquer número positivo, você deve imediatamente escrever de cabeça o numero dado em notação científica. 2. Logo, enfoque apenas o expoente do número (escrito em notação científica). Este número será à base da sua resposta. 3. Calcule a mantissa do logaritmo de cabeça (daqueles números entre 1 e 9.999999..., não a parte do expoente). Nota: você precisará memorizar a tabela abaixo (não é difícil).



4. Some o logaritmo da abscissa ao expoente que você achou em passo 2. O que se segue são os valores dos logs que você precisa ter memorizado para o passo 3... log[1] = 0 log[2] = .30 log[3] = .48 log[4] = .60 log[5] = .70 log[6] = .78 log[7] = .85 log[8] = .90 log[9] = .95 Como exemplo, vamos achar o logaritmo de 29.012. Escrito em notação científica seria 2,9012 X 10^4. Assim, o expoente é 4. Agora, precisamos nos concentrar na mantissa (2.9012 é muito muito perto de 3). Da nossa tabela acima (a qual memorizamos para o truque), o logaritmo de 3 é 0.48. Assim, somamos ao expoente (4), para o log da abscissa (0.48), obtemos o valor de 4.48. Uma calculadora revela como é bom este método (4.46 com duas casas decimais). Este método funciona porque a notação científica é a base 10 do sistema de escrita numérica. Com alguma prática, você obterá habilidades para calcular números que não estão exatamente na tabela (por exemplo: 2.5).


a arte de calcular geral

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