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CÁLCULO 1
LIMITES
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
ENGENHARÍA DE PRODUÇÃO
CÁLCULO 1
LIMITES: NOÇÕES INTUITIVA; DEFINIÇÃO; LIMITES LATERAIS CONTINUIDADE.
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
Noção Intuitiva
Sucessões numéricas
Dizemos que:
1, 2, 3, 4, 5, ....Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite
x + Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor
x 1
1, 0, -1, -2, -3, ...Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite
x - Os termos oscilam sem tender a um limite
,.....65,
54,
43,
32,
21
,...7,76,5,
45,3,
23,1
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de “a” (um número real), exceto talvez em a.
c a d
Definição de Limites
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a “a” e escrevemos:
lim [f(x)] = L x a
Figura 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 8).
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
y L + L
L -
0 a - a a + x
O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a R, indicado por lim ƒ(x) é a constante real“L“, se para qualquer (épsilon), R, 0, por menor que seja, existir (delta), R, > 0, tal que:
Definição de Limite
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
I x – a I < I ƒ(x) - L I < .
Limites
Aproximação à direita
x y
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
Aproximação à esquerda
Seja y = f(x) = 2x + 1
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
y
x
Limites
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:
Limites
3)12(lim)(lim11
xxfxx
Neste caso o limite é igual ao valor da função. f(x) = f(1) = 3
1limx
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Limites
No caso da função f(x) = é diferente pois f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe e
é igual 3. Ver gráfico a seguir:
122
xxx
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adrianeDisciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
Direitax y0 20,5 2,50,7 2,70,9 2,90,99 2,990,999 2,999
Esquerdax Y1,9 3,91,7 3,71,5 3,51,3 3,31,1 3,11,01 3,01
12)(
2
x
xxxf
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
y
x
Limites
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -
Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a +
Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:
[f(x)] = [f(x)]
Limites Laterais
axlim
axlim
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x f(x) = x + 30 3
0,25 3,25
0,75 3,75
0,9 3,9
0,99 3,99
0,999 3,999
x f(x) = x + 32 5
1,5 4,5
1,25 4,25
1,1 4,1
1,01 4,01
1,001 4,001
1,0001 4,0001
4)(lim1
xfx
4)(lim1
xfx
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1.
Dada a função f: IR IR, definida por f(x) = x + 3.
4
1 x
yPela esquerdaPela direita
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)(lim1
xfx
Determinar, graficamente,
Dada a função f: IR IR, definida por
1,31,1
)(xparaxxparax
xf
4)(lim1
xfx
2)(lim1
xfx
1
Não existe limite de f(x), quando x tende para 1
2
4
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“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.
Noção Intuitiva de Limite
2
x 2lim(x ) =4
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EXERCÍCIO 1
y
x1 5
2
1
O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?
Lim f(x) não existex 1
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
O que ocorre com f(x) quando x = 1?
y
x1 5
3
2
EXERCÍCIO 2
Lim f(x) = L = 2x 1
Disciplina: Cálculo 1 Engenharia de Produção Professor: Jerry adriane
Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1)X 1
x1
y
5
2
1
EXERCÍCIO 3O que ocorre com f(x) quando x = 1?
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Uma função f é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
ba,
Continuidade de uma função em um intervalo aberto
Uma função é continua no ponto x = a se, e somente se, as seguintes condições forem satisfeitas:
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i – existe f(a) ii – existe lim f(x) (devem existir e ser iguais os limites laterais a esquerda e à direita)iii – lim f(x) = f(a)
Obs: Quando uma (ou mais) dessas condições não é satisfeita para x = a, dizemos que a função é descontínua em a .
Uma função f é contínua em um número x0 se
)()(lim 00
xfxfxx
Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.
Continuidade de uma função em um número
a) b) c)
Continuidade
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