aulatema0102 eletromagnetismo

Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

Sumário

Análise VetorialIntrodução para Eletromagnetismo

Sérgio Antenor de Carvalho1

1Departamento de Engenharia de TeleinformáticaCentro de Tecnologia

Universidade Federal do Ceará

2010

Carvalho Análise Vetorial

Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

Sumário

Tópicos

1 Sistemas de Coordenadas

2 Sistema de Coordenadas Retangulares

3 Sumário

Carvalho Análise Vetorial

Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

Sumário

Tópicos

1 Sistemas de Coordenadas

2 Sistema de Coordenadas Retangulares

3 Sumário

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Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

Sumário

Tópicos

1 Sistemas de Coordenadas

2 Sistema de Coordenadas Retangulares

3 Sumário

Carvalho Análise Vetorial

Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

SumárioIntrodução

Necessidade de um sistema de coordenadas

para modelar um problema físico precisamos estabelecerum referêncial

todas as características do problema são representadas nosistema de coordenadas

Figura: Exemplos de geometrias de problemas

Carvalho Análise Vetorial

Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

SumárioIntrodução

Necessidade de um sistema de coordenadas

para modelar um problema físico precisamos estabelecerum referêncial

todas as características do problema são representadas nosistema de coordenadas

Figura: Exemplos de geometrias de problemas

Carvalho Análise Vetorial

Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

SumárioIntrodução

Necessidade de um sistema de coordenadas

para modelar um problema físico precisamos estabelecerum referêncial

todas as características do problema são representadas nosistema de coordenadas

Figura: Exemplos de geometrias de problemas

Carvalho Análise Vetorial

Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

SumárioIntrodução

Objetivos

estudar os sistemas de coordenadasdesenvolver a capacidade de escolher um sistema decoordenadasdomínio das manipulações algébricas nos sistemas decoordenadas

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Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

SumárioIntrodução

Objetivos

estudar os sistemas de coordenadasdesenvolver a capacidade de escolher um sistema decoordenadasdomínio das manipulações algébricas nos sistemas decoordenadas

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Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

SumárioIntrodução

Objetivos

estudar os sistemas de coordenadasdesenvolver a capacidade de escolher um sistema decoordenadasdomínio das manipulações algébricas nos sistemas decoordenadas

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Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

Sistema de Coordenadas Retangulares

é o sistema de coordenadas mais simples

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Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

Vetores Unitários Fundamentais

formam uma base sobre a qual qualquer vetor é definidosão linearmente independentesseu módulo é unitário

Carvalho Análise Vetorial

Sistemas de CoordenadasSistema de Coordenadas Retangulares

Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

Vetores Unitários Fundamentais

formam uma base sobre a qual qualquer vetor é definidosão linearmente independentesseu módulo é unitário

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Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

Vetores Unitários Fundamentais

formam uma base sobre a qual qualquer vetor é definidosão linearmente independentesseu módulo é unitário

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Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

Variáveis independentes e vetores Unitários

variáveis independentes(x , y , z)

vetores base(~ax , ~ay , ~az)

vetor genéricoAx ~ax + Ay ~ay + Az ~az

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Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

Variáveis independentes e vetores Unitários

variáveis independentes(x , y , z)

vetores base(~ax , ~ay , ~az)

vetor genéricoAx ~ax + Ay ~ay + Az ~az

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Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

Variáveis independentes e vetores Unitários

variáveis independentes(x , y , z)

vetores base(~ax , ~ay , ~az)

vetor genéricoAx ~ax + Ay ~ay + Az ~az

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Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

Variáveis independentes e vetores Unitários

variáveis independentes(x , y , z)

vetores base(~ax , ~ay , ~az)

vetor genéricoAx ~ax + Ay ~ay + Az ~az

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

Variáveis independentes e vetores Unitários

variáveis independentes(x , y , z)

vetores base(~ax , ~ay , ~az)

vetor genéricoAx ~ax + Ay ~ay + Az ~az

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Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 1

temos dos pontos P1 e P2 que definem o vetor−→V

−→V = (0− 4)~ax + (3− 0)~ay + (3, 5− 2)~az

= −4~ax + 3~ay + 1, 5~az

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 1

temos dos pontos P1 e P2 que definem o vetor−→V

−→V = (0− 4)~ax + (3− 0)~ay + (3, 5− 2)~az

= −4~ax + 3~ay + 1, 5~az

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Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 1

as componentes do vetor−→V são

−→V = −4︸︷︷︸ ~ax +3︸︷︷︸ ~ay +1, 5︸ ︷︷ ︸ ~az

= Vx ~ax + Vy ~ay + Vz ~az

módulo do vetor−→V

|−→V | =

√V 2

x + V 2y + V 2

z

≈ 5, 22

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 1

as componentes do vetor−→V são

−→V = −4︸︷︷︸ ~ax +3︸︷︷︸ ~ay +1, 5︸ ︷︷ ︸ ~az

= Vx ~ax + Vy ~ay + Vz ~az

módulo do vetor−→V

|−→V | =

√V 2

x + V 2y + V 2

z

≈ 5, 22

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Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 1

as componentes do vetor−→V são

−→V = −4︸︷︷︸ ~ax +3︸︷︷︸ ~ay +1, 5︸ ︷︷ ︸ ~az

= Vx ~ax + Vy ~ay + Vz ~az

módulo do vetor−→V

|−→V | =

√V 2

x + V 2y + V 2

z

≈ 5, 22

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 1

as componentes do vetor−→V são

−→V = −4︸︷︷︸ ~ax +3︸︷︷︸ ~ay +1, 5︸ ︷︷ ︸ ~az

= Vx ~ax + Vy ~ay + Vz ~az

módulo do vetor−→V

|−→V | =

√V 2

x + V 2y + V 2

z

≈ 5, 22

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Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 1

unitário do vetor−→V

−→u V =

−→V√

V 2x + V 2

y + V 2z

≈ −0, 77~ax + 0, 57~ay + 0, 29~az

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 1

unitário do vetor−→V

−→u V =

−→V√

V 2x + V 2

y + V 2z

≈ −0, 77~ax + 0, 57~ay + 0, 29~az

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Sumário

IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 2

produto escalar entre os vetores−→A e

−→B

−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az

−→A ·

−→B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

= 2 + 4, 5 = 6, 5

produto escalar entre ~ax , ~ay e ~az~ax · ~ax = ~ay · ~ay = ~az · ~az = 1~ax · ~ay = ~ax · ~az = ~ay · ~az = 0

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 2

produto escalar entre os vetores−→A e

−→B

−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az

−→A ·

−→B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

= 2 + 4, 5 = 6, 5

produto escalar entre ~ax , ~ay e ~az~ax · ~ax = ~ay · ~ay = ~az · ~az = 1~ax · ~ay = ~ax · ~az = ~ay · ~az = 0

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 2

produto escalar entre os vetores−→A e

−→B

−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az

−→A ·

−→B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

= 2 + 4, 5 = 6, 5

produto escalar entre ~ax , ~ay e ~az~ax · ~ax = ~ay · ~ay = ~az · ~az = 1~ax · ~ay = ~ax · ~az = ~ay · ~az = 0

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 2

produto escalar entre os vetores−→A e

−→B

−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az

−→A ·

−→B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

= 2 + 4, 5 = 6, 5

produto escalar entre ~ax , ~ay e ~az~ax · ~ax = ~ay · ~ay = ~az · ~az = 1~ax · ~ay = ~ax · ~az = ~ay · ~az = 0

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 2

produto escalar entre os vetores−→A e

−→B

−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az

−→A ·

−→B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

= 2 + 4, 5 = 6, 5

produto escalar entre ~ax , ~ay e ~az~ax · ~ax = ~ay · ~ay = ~az · ~az = 1~ax · ~ay = ~ax · ~az = ~ay · ~az = 0

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 3

produto vetorial entre os vetores−→A e

−→B

−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az

−→A ×

−→B =

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~azAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az−2 0 3−1 3 1, 5

∣∣∣∣∣∣= −9~ax − 6~az

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 3

produto vetorial entre os vetores−→A e

−→B

−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az

−→A ×

−→B =

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~azAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az−2 0 3−1 3 1, 5

∣∣∣∣∣∣= −9~ax − 6~az

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 3

produto vetorial entre os vetores−→A e

−→B

−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az

−→A ×

−→B =

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~azAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az−2 0 3−1 3 1, 5

∣∣∣∣∣∣= −9~ax − 6~az

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 3

produto vetorial entre os vetores−→A e

−→B

−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az

−→A ×

−→B =

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~azAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az−2 0 3−1 3 1, 5

∣∣∣∣∣∣= −9~ax − 6~az

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 3

produto vetorial entre os vetores−→A e

−→B

−→A = −2~ax + 3~az−→B = −1~ax + 3~ay + 1, 5~az

−→A ×

−→B =

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~azAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣~ax ~ay ~az−2 0 3−1 3 1, 5

∣∣∣∣∣∣= −9~ax − 6~az

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 3

produto vetorial entre os vetores ~ax , ~ay e ~az

~ax × ~ax = ~ay × ~ay = ~az × ~az = 0

~ax × ~ay = ~az ; ~ax × ~az = −~ay

~ay × ~ax = −~az ; ~ay × ~az = ~ax

~az × ~ax = ~ay ; ~az × ~ay = −~ax

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 3

produto vetorial entre os vetores ~ax , ~ay e ~az

~ax × ~ax = ~ay × ~ay = ~az × ~az = 0

~ax × ~ay = ~az ; ~ax × ~az = −~ay

~ay × ~ax = −~az ; ~ay × ~az = ~ax

~az × ~ax = ~ay ; ~az × ~ay = −~ax

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 3

produto vetorial entre os vetores ~ax , ~ay e ~az

~ax × ~ax = ~ay × ~ay = ~az × ~az = 0

~ax × ~ay = ~az ; ~ax × ~az = −~ay

~ay × ~ax = −~az ; ~ay × ~az = ~ax

~az × ~ax = ~ay ; ~az × ~ay = −~ax

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exemplo de aplicação no 3

produto vetorial entre os vetores ~ax , ~ay e ~az

~ax × ~ax = ~ay × ~ay = ~az × ~az = 0

~ax × ~ay = ~az ; ~ax × ~az = −~ay

~ay × ~ax = −~az ; ~ay × ~az = ~ax

~az × ~ax = ~ay ; ~az × ~ay = −~ax

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IntroduçãoVetores Unitários FundamentaisVariáveis independentes e vetores UnitáriosExemplos

exemplo de aplicação no 3

produto vetorial entre os vetores ~ax , ~ay e ~az

~ax × ~ax = ~ay × ~ay = ~az × ~az = 0

~ax × ~ay = ~az ; ~ax × ~az = −~ay

~ay × ~ax = −~az ; ~ay × ~az = ~ax

~az × ~ax = ~ay ; ~az × ~ay = −~ax

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SumárioAnálise Vetorial

Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema

Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes

Carvalho Análise Vetorial

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Sumário

SumárioAnálise Vetorial

Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema

Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes

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SumárioAnálise Vetorial

Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema

Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes

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Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema

Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes

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SumárioAnálise Vetorial

Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema

Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes

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Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema

Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes

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Sistema de Coordenadasreferêncial para modelar um problema físicotodas as características do problema são representadas nosistema de coordenadastemos que saber escolher o sistema de coordenadasadequado ao problema

Sistema de Coordenadas Retangularesé o sistema de coordenadas mais simplesos seus vetores unitários (~ax , ~ay , ~az) são constantes

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