aula_03_estado plano de deformações_prof. ulisses
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EEN XXX – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Prof.: Ulisses A. Monteiro, D.Sc.
ulisses@oceanica.ufrj.brPeríodo: 2013-1
03. Estado Plano de Deformações (Específicas)
O estado geral de deformações num certo ponto “Q”, pode ser representado por
seis componentes:
• Deformações (Específicas) Normais:
Estado Geral de Deformações num Corpo
• Deformações de Cisalhamento:
Lei de Hooke Generalizada:
Estado Geral de Deformações num Corpo
E = Módulo de Elasticidade; G = Módulo de Elasticidade Transversal; ν ν ν ν = Coef. Poisson;
Como se Transformam as Componentes das Deformações quando ocorre uma
Rotação dos Eixos Coordenados?
• Estado Plano de Deformações:
Estado Plano de Deformações
Há uma analogia formal entre as Eqs. de Transformação das Deformações no Plano e as Eqs. de Transformação das Tensões no Plano
Apenas relações trigonométricas são utilizadas
na derivação das relações de transformação
Queremos determinar a Deformação Específica Normal ε(θ) em qualquer
direção AB, em função das Componentes de Deformação εx, εy e γxy
• Pelas considerações geométricas, lei dos cosenos, supondo pequenas deformações e
desprezando termos de ordem superiores:
Estado Plano de Deformações
• Fazendo θ = 0o, 90o e 45o, teremos:
Queremos expressar as Deformações Específicas relativas aos eixos x’y’, em
função de “θ” e das Componentes de Deformação εx, εy e γxy
• Usando relações trigonométricas, podemos escrever a eq. ε(θ) na forma alternativa,
abaixo:
Estado Plano de Deformações
• Substituindo θ por (θ + 90o), vamos obter:
• Somando membro a membro as duas equações:
A soma das Deformações Específicas Normais numelemento submetido a um Estado Plano de Deformaçõesindepende da orientação desse elemento.
Queremos expressar as Deformações Específicas relativas aos eixos x’y’, em
função de “θ” e das Componentes de Deformação εx, εy e γxy
• Por outro lado, se substituirmos θ por (θ + 45o), na eq. para εx’ e, lembrando que,
cos(2θ + 90o) = -sin(2θ) e sin(2θ + 90o) = cos(2θ), teremos:
Estado Plano de Deformações
• Como:
• e:
• Obteremos:
Queremos expressar as Deformações Específicas relativas aos eixos x’y’, em
função de “θ” e das Componentes de Deformação εx, εy e γxy
• Resumindo:
Estado Plano de Deformações
Há uma analogia formal entre as Eqs. de Transformação das Deformações no Plano e as Eqs. de Transformação das Tensões no Plano
O Círculo de Mohr
Estado Plano de Deformações
• Fazendo,
• Teremos:
Representação Gráfica do EstadoPlano de Deformações
Deformações Principais & Direções Principais no Círculo de Mohr
• Ponto “A”: valor máximo de εx’;
• Ponto “B”: valor mínimo de εx’;
Estado Plano de Deformações
x’
• Pontos “A” & “B”: Correspondem a γx’y’ nulo;
• Fazendo γx’y’ igual a zero, na eq. de transformação:
• Esta eq. define dois valores 2θP separados por 180o; ou
• Dois valores θP separados por 90o;
• OBS: No Círculo de Mohr, representa-se o ângulo 2θ; Representação Gráfica do Estado
Plano de Deformações
Deformações Principais & Direções Principais no Círculo de Mohr
• As deformações normais, εmax e εmin, são chamadas de Deformações Principais no
Ponto “Q”;
Estado Plano de Deformações
• Direções Principais: definidos pelos dois valores de θP;
• Planos Principais de Deformação: contém as faces dos elementos para εmax e εmin, ;
• OBS: A Deformação de Cisalhamento, γγγγx’y’, não atua nos Planos Principais;
Deformação de Cisalhamento Máxima (no Plano) no Círculo de Mohr
• Pontos “D” e “E”: valores absolutos máximos de γγγγx’y’;
• A abcissa dos pontos “D” e “E” é dada por:
Estado Plano de Deformações
• A eq. abaixo define dois valores 2θS separados por 180o;
• Ou, dois valores θS separados por 90o; Representação Gráfica do EstadoPlano de Deformações
Deformação de Cisalhamento Máxima (no Plano) no Círculo de Mohr
• O valor máximo da deformação de cisalhamento, γγγγx’y’, é igual ao raio do círculo, no Ponto “Q”;
• A deformação normal, εεεεmed, corresponde à condição de deformação de cisalhamento
máxima;
Estado Plano de Deformações
máxima;
Tensão de Cisalhamento Máxima no Ponto “Q”
Os ângulos θθθθS e θθθθP estão separados por 45o, logo, os Planos da Deformação de Cisalhamento Máxima estão a 45o dos
Planos Principais (no círculo de Mohr estão a 90o);
Análise Tridimensional das Deformações Específicas
• A transformação das deformações no plano se limitou à
rotação em torno do eixo z;
Estado Plano de Deformações
• Para os outros eixos (x e y), as faces do cubo podem estar
sujeitas a deformação de cisalhamento maior do que o
calculado para o eixo z;
• Isto ocorre quando as Deformações Principais são ambas
de Tração ou de Compressão;
• Nesse caso, γγγγmax é dada por:
Exercício 01
• Para o EPD da figura ao lado, calcule:
• a) Os Eixos Principais;
• b) As Deformações Principais;
Estado Plano de Deformações
• b) As Deformações Principais;
• c) A Def. Máxima de Cisalhamento e a Def. Normal;
• d) As direções correspondentes ao item c);
• e) Desenhe o círculo de Mohr correspondente;
Exercício 01
EEN XXX – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Prof.: Ulisses A. Monteiro, D.Sc.
ulisses@oceanica.ufrj.brPeríodo: 2013-1
04. Caso Particular do Estado Plano de Tensões
Situação encontrada numa placa fina, na superfície livre de um elemento
estrutural ou de um componente de máquina
• Nesse caso:
• Se o material for homogêneo e isotrópico (Lei de Hooke):
Caso Particular do Estado Plano de Tensões
• Se o material for homogêneo e isotrópico (Lei de Hooke):
• Assim, o eixo z também é um eixo principal de deformação;
• Mas, isso não implica que:
• Mesmo assim, pode-se utilizar o Círculo de Mohr para fazer a análise das
transformações de deformações no plano xy;
Chamando de “a” e “b” os eixos principais no plano das tensões, e de “c“ o
eixo perpendicular a esse plano, a Lei de Hooke é dada por:
Caso Particular do Estado Plano de Tensões
• A eq. para εεεεc define a terceira deformação principal;
• Ponto B entre A e C: γγγγmax é igual ao diâmetro CA;
• Equivale a uma rotação em torno do eixo b;
Exercício 02
• Um strain gage do tipo roseta foi colado na superfície um componente de máquina e
foram calculadas as deformações específicas principais na superfície livre, como
mostrado no círculo de Mohr. Sabendo que νννν = 0,3, calcule:
Caso Particular do Estado Plano de Tensões
mostrado no círculo de Mohr. Sabendo que νννν = 0,3, calcule:
• a) A Def. Máx. de Cisalhamento no Plano das Deformações;
• b) O valor máximo da Deformação de Cisalhamento;
Def. de Cisalhamento Máxima
Exercício 03
• Para o EPT da figura ao lado, calcule:
• a) Os Planos Principais;
• b) As Tensões Principais;
Caso Particular do Estado Plano de Tensões
• b) As Tensões Principais;
• c) A Tensão Máxima de Cisalhamento e a Tensão Normal;
• d) As direções correspondentes ao item c);
• e) Desenhe o círculo de Mohr correspondente;
• f) Considerando νννν = 0,3 e E = 210 GPa, verifique que γγγγmax = γγγγxy ;
Exercício 03
EEN XXX – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
05. Utilização dos SG Roseta na Determinação
Prof.: Ulisses A. Monteiro, D.Sc.
ulisses@oceanica.ufrj.brPeríodo: 2013-1
05. Utilização dos SG Roseta na Determinação das Deformações Principais
Para qualquer tipo de Strain Gage Roseta:
• 1) Deve-se obter as deformações específicas normais em 3 direções diferentes:
Utilização dos SG Tipo Roseta na Determinação das Deformações Principais
• 2) Obter as Componentes de Deformação εεεεx, εεεεy e γγγγxy;
• 3) Obter as Deformações Principais & Direções Principais;
• 4) Obter a Deformação (e a Direção) de Cisalhamento Máxima;
• 5) Obter as Tensões Principais e a Tensão de Cisalhamento Máxima;
• 5) Comparar os resultados com os Critérios de Ruptura para o EPT;
SG do Tipo Roseta
Para o Caso Particular do Strain Gage Roseta Retangular:
• 1) As deformações específicas normais são dadas por:
Utilização dos SG Tipo Roseta na Determinação das Deformações Principais
• 2) Obter as Componentes de Deformação εεεεx, εεεεy e γγγγxy;
• 3) Obter as Deformações Principais & Direções Principais;
• 4) Obter a Deformação (e a Direção) de Cisalhamento Máxima;
• 5) Obter as Tensões Principais e a Tensão de Cisalhamento Máxima;
• 5) Comparar os resultados com os Critérios de Ruptura para o EPT;
SG Roseta Retangular
Referências Bibliográficas
Resistência dos Materiais:
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS_1ed_Beer_Johnston;
- MECHANICS OF MATERIALS_5ed_Beer_Johnston;
- MECHANICS OF MATERIALS_6ed_Gere;- MECHANICS OF MATERIALS_6ed_Gere;
-STRAIN GAGE ROSETTES: SELECTION, APPLICATION AND DATA REDUCTION_Tech
Note 515_Vishay Group;
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