aula quinze calculo um 2015 aluno

Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/

Email:

Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA

QUINZE

Porque toda a lei se cumpre em só preceito, a saber:Amarás o teu irmão como a ti mesmo.

Gálatas, 5-14

APLICAÇÕES DA DERIVADA

TAXA DE VARIAÇÃO

Toda derivada pode ser interpretada como uma

taxa de variação.

Dada uma função y = f(x), quando a variável

independente varia de x a x+Δx, a

correspondente variação de y será:

Δy = f(x + Δx) – f(x).

APLICAÇÕES DA DERIVADA

O quociente

representa a taxa média de variação de y em

relação a x.

x

xfxxf

x

y

APLICAÇÕES DA DERIVADA

é a taxa instantânea de variação ou simplesmente

taxa de variação de y em relação a x.

A interpretação da derivada como uma razão de

variação tem aplicações práticas nas mais

diversas ciências.

,lim'0 x

xfxxfxf

derivadaA

x

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Exemplo 1

Sabemos que a área de um quadrado é função

de seu lado. Determinar:

a) a taxa de variação média da área de um

quadrado em relação ao lado quando este

varia de 2,5 a 3 m;

b) a taxa de variação da área em relação ao

lado quando este mede 4 m.

SOLUÇÃO (A)

SOLUÇÃO (B)

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Exercício 1: Uma cidade X é atingida por uma moléstia

epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de

pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t

(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é,

aproximadamente, dado por:

a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?

b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?

c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º

dia?

.3

643t

ttf

SOLUÇÃO

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Exercício 2: Analistas de produção verificaram

que, em uma montadora x, o número de peças

produzidas nas primeiras t horas diárias de

trabalho é dada por:

a) Qual a razão de produção (em unidades por

hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 horas?

b) Quantas peças são produzidas na 8ª hora de

trabalho?

.84,1200

40,50 2

tparat

tparatttf

SOLUÇÃO

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Exercício 3: Um reservatório de água está sendo esvaziado para a

limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas

após o escoamento ter começado é dada por:

Determinar:

a) A taxa de variação média do volume de água no

reservatório durante as 10 primeiras horas de

escoamento.

b) A taxa de variação do volume de água no reservatório

após 8 horas de escoamento.

c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5

primeiras horas de escoamento.

.80502

tV

SOLUÇÃO

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Em muitas situações práticas a quantidade

em estudo é dada por uma função

composta.

Nestes casos, para determinar a taxa de

variação, devemos usar a regra da cadeia.

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Exemplo

A área de um quadrado de lado l está se

expandindo segundo a equação

Determinar a taxa de variação da área desse

quadrado no tempo = 2.

.,2 2 tempoorepresentatondetl

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Exercício 4:

O raio de uma circunferência cresce à razão de

21 cm/s. Qual a taxa de crescimento do

comprimento da circunferência em relação ao

tempo?

SOLUÇÃO

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Exercício 5

Um ponto P(x, y) se move ao longo do gráfico da

função y = 1/x. Se a abscissa varia à razão de 4

unidades por segundo, qual é a taxa de variação

da ordenada quando a abscissa é x = 1/10?

SOLUÇÃO

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Exercício 6

Acumula-se areia em um monte com forma de

um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se

o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h,

a que razão aumenta a área da base quando a

altura do monte é de 4 m?

SOLUÇÃO

ANÁLISE MARGINAL

A interpretação da derivada como uma taxa de

variação é amplamente utilizada em Economia,

englobando os conceitos de custo marginal,

receita marginal, elasticidade etc.

A denominação “marginal” utilizada pelos

economistas indica uma variação “na margem”,

significando que é considerada como um limite.

Apresentamos, a seguir, os principais conceitos

utilizados.

ANÁLISE MARGINAL

CUSTO MARGINAL

Vamos supor que o custo total para produzir e

comercializar q unidades de um produto é dado

por:

C=C(q)

Se aumentarmos a produção de q para q+Δq, o

acréscimo correspondente no custo total é dado

por:

ΔC=C(q+Δq) – C(q)

ANÁLISE MARGINAL

A taxa média de acréscimo no custo, por

unidade acrescida na produção, no intervalo [q,

q+Δq] é dada por: q

qCqqC

q

C

O custo marginal é definido como o limite:

.lim0 q

C

q

ANÁLISE MARGINAL

Sempre que a função C=C(q) for derivável em q.

e representa a taxa de variação instantânea do

custo total, por unidade de variação da

quantidade produzida, quando esta se encontra

num nível q.

Se denotarmos por CM(q), o custo marginal,

temos: .' qCqCM

ANÁLISE MARGINAL

Receita Marginal

De modo análogo, se denotamos por R(q) a

receita total obtida com a comercialização de q

unidades de um produto, temos que:

ΔR = R(q+Δq) – R(q) é o

acréscimo ocorrido na receita total quando a

demanda aumenta de q para q+Δq unidades.

ANÁLISE MARGINAL

A receita marginal é a taxa de variação

instantânea da receita total por unidade de

variação da demanda, quando esta se encontra

num nível q e é dada por:

Se a função R=R(q) é derivável em q, denotando

a receita marginal por RM(q), vem:

.lim0 q

R

q

.' qRqRM

ANÁLISE MARGINAL

Elasticidade

Dada uma função y = f(x), a elasticidade de y

em relação a x é definida por:

e representa a taxa de variação percentual da

variável dependente y em relação à variação

percentual na variável independente x.

1lim0

x

x

y

y

xEx

ANÁLISE MARGINAL

Podemos reescrever a equação 1, como:

:

lim0

vemderiváveléxfyfunçãoaSe

y

x

x

yxE

x

y

x

dx

dyxE

ANÁLISE MARGINAL

A elasticidade E(x) mede a tendência de

resposta de y a pequenas variações de x.

Se E(x) é positiva, um aumento percentual

em x acarretará uma variação percentual

positiva em y.

Se E(x) é negativa, um aumento percentual

em x acarretará uma variação percentual

negativa em y.

ANÁLISE MARGINAL

Em situações práticas, geralmente, usa-se uma

aproximação da equação (1), como segue:

Sejam Ƭ o acréscimo percentual da variável

independente x e Δ a variação percentual

correspondente em y.

Temos então:

.xE

ANÁLISE MARGINAL

Exemplo 1:

Supor que o gerente de uma empresa de

transporte coletivo deva decidir se oferece uma

viagem diária a mais numa determinada linha.

Essa decisão deve ser tomada numa base

financeira, isto é, a viagem extra só será

implementada se ela gerar lucro para a empresa.

ANÁLISE MARGINAL

Se a empresa realiza 12 viagens diárias nessa

linha, qual deve ser a decisão do gerente, se ele

usar como informação os gráficos da receita total

e do custo total dados na Figura?

SOLUÇÃO

Como a receita marginal é dada por

RM(q) = R’(q), ela representa a inclinação da

curva da receita total R.

Da mesma forma o custo marginal é a inclinação

da curva de custo total C, pois CM(q) = C’(q).

SOLUÇÃO

Agora nas Figuras (a) e (b) estão as

representações das curvas R e C, juntamente com

suas retas tangentes, tR e tC, no ponto

correspondente a q = 12.

SOLUÇÃO

Analisando a Figura (a), vemos que a inclinação

da curva de custo é menor que a da receita, ou

seja, o custo marginal é menor que a receita

marginal.

Portanto nessa situação, a decisão do gerente

deve ser a de implementar a viagem extra.

SOLUÇÃO

Agora quando analisamos a Figura (b), vemos que

a inclinação da curva de custo é maior que a da

receita, ou seja, o custo marginal é maior que a

receita marginal.

SOLUÇÃO

Isso significa que a empresa terá custo adicional

maior que a receita adicional, se ela oferecer

uma viagem a mais.

Portanto, nesse caso, a decisão do gerente deve

ser a de não implementar a viagem extra.

ANÁLISE MARGINAL

Exemplo 2: Supor que o custo total, no período

de um mês, de uma empresa que produz q

unidades de um produto é dado por:

E que a receita total é dada:

500.1,500.1330.1

500.1600,600300.1

6000,2100

2

qq

qq

qq

qC

.32,1 qqR

ANÁLISE MARGINAL

Determinar:

a) O custo médio por unidade produzida a um

nível de produção q = 1.000.

b) O custo marginal para q = 1.000.

c) O nível de produção q para o qual o custo

marginal iguala a recita marginal.

d) O intervalo em que você pode variar o nível de

produção de forma a manter a empresa viável,

isto é, tal que a receita total é maior que o custo

total.

Solução (a) O custo médio por unidade produzida a um nível de produção q = 1.000.

500.1,500.1330;1

500.1600,600300.1

6000,2100

2

qq

qq

qq

qC

Solução (b) O custo marginal para q = 1.000

500.1,500.1330;1

500.1600,600300.1

6000,2100

2

qq

qq

qq

qC

Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.

500.1,500.1330;1

500.1600,600300.1

6000,2100

2

qq

qq

qq

qC

Como o custo

marginal é dado por

CM(q) = C’(q), vem:

Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.

Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.

Como C’(q) é definido de forma distinta nos

intervalos (0, 600), (600, 1.500) e (1.500, +∞)

devemos analisar em cada um desses intervalos

separadamente.

Temos:

Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.

Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.

Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.

Solução (c) O nível de produção q para o qual o custo marginal iguala a recita marginal.

Observamos que nos pontos q = 600 e q = 1.500

a função C não é derivável, não sendo possível,

portanto, determinar os custos marginais para

esses níveis de produção.

Na prática isso pode ocorrer, por exemplo,

quando um recurso tecnológico só pode ser

utilizado para uma determinada faixa do nível de

produção.

Solução (d) O intervalo em que você pode variar o nível de produção de forma a manter a empresa viável, isto é, tal que a receita total é maior que o custo total.

É interessante, nesse item,

fazer uma análise gráfica.

Na Figura ao lado,

apresentamos os gráficos das

funções custo total C(q) e

receita total R(q).

Analisando esses gráficos observamos que o gráfico de

R(q) está acima do gráfico de C(q) no intervalo

1.000<q<1.530, aproximadamente.

Determinando analiticamente esse intervalo usando as

expressões que definem o custo e a receita, obtemos que

Solução (d) O intervalo em que você pode variar o nível de produção de forma a manter a empresa viável, isto é, tal que a receita total é maior que o custo total.

.26,526.1000.1 qparaqRqC

ANÁLISE MARGINAL

Exemplo 3

A quantidade de televisores demandada numa

cidade C, num determinado período, é função

de seu preço e é expressa por:

Calcular e interpretar o valor da elasticidade

para um nível de preço p = 400 unidades

monetárias.

pq 1,0300

SOLUÇÃO

Observamos que a

elasticidade deu um valor

negativo, como intuitivamente

poderíamos esperar, já que,

em condições normais, o

aumento de preço de um

produto inibe a sua demanda.

O valor obtido significa que um

aumento percentual no preço, por exemplo Ƭ=20%,

acarretará uma diminuição percentual aproximadamente

de:

SOLUÇÃO

ANÁLISE MARGINAL

Exemplo 4: A elasticidade da demanda em

relação à tarifa do sistema de transporte

público de uma cidade x é – 0,30, quando a

tarifa média é de 80 centavos por viagem.

Supor que o sistema transporta 200.000

passageiros no período de pico diário.

a) Estimar a queda na demanda se a tarifa

média cresce 2,5%.

b) Ilustrar a sensibilidade desse resultado em

relação ao valor da elasticidade.

SOLUÇÃO (a)

SOLUÇÃO (a)

Portanto, haverá

uma queda de

1.500 passageiros

na demanda.

SOLUÇÃO (b)

Para simular a sensibilidade do resultado obtido

em relação ao valor da elasticidade, vamos

simular duas situações:

E(Tar) = – 0,2 e E(Tar) = – 0,4

Podemos ver, assim, que, quanto maior é a

elasticidade, em valor absoluto, maior é a variação na

demanda.

FIM

DA AULA

QUINZE