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Aula 8

Fótons e ondas de matéria II

Física Geral F-428

1

2

Resumo da aula anterior:

• Planck e o espectro da radiação de um corpo negro: introdução

do conceito de estados quantizados de energia para os

osciladores nas paredes, e de emissão/absorção de quanta de luz

de energia E=h ;

• Einstein e a explicação do efeito fotoelétrico: h = Ecin +(conceitos de quantum de luz, frequência/comprimento de onda

de corte, potencial de corte);

• Compton e o espalhamento de raios-X em alvo de carbono:

’- = = h/mc (1-cos). Os quanta de radiação têm

momento. Comprimento de onda Compton do elétron

• O nome ‘fóton’ para o quantum de energia h só foi introduzido

por G. Lewis em 1926 .

A experiência de Young

A teoria ondulatória da radiação eletromagnética nos ensinou que,

depois de passar radiação eletromagnética de um dado por duas

fendas, ela apresenta uma figura de interferência ao ser detectada

num anteparo.

3

A experiência de Young

Como conciliar a teoria ondulatória com a corpuscular ?

Por outro lado, corpúsculos clássicos apresentariam uma figura

da forma:

I=I1+I2

4

A experiência de Young

1- feixe de luz intenso:

figura de interferência na

medida de intensidade no

anteparo

5

A experiência de Young

2- feixe de luz intenso +

detector no anteparo:

figura de interferência na

medida de intensidade no

anteparo, mas...

contagem discreta da

chegada dos fótons;

apesar de muitos por

segundo

detector 6

A experiência de Young

3- feixe de luz não intenso

+ detector no anteparo:

1 fóton por segundo

atravessa uma das fendas

e 1 fóton por segundo é

registrado em algum ponto

do anteparo.

(Experiência de 1 fóton)

detector 7

A experiência de Young

Mas, no decorrer de um

intervalo de tempo muito longo:

o histograma apresenta um

perfil de interferência...

... compatível com a sobreposição

dos resultados de N >>1

experiências envolvendo

apenas 1 fóton!

8

A experiência de Young

Por onde passou o fóton?

Bloqueador de

fenda

A informação (bloqueada) destrói a figura de interferência!9

• Interpretação probabilística: é a

densidade de probabilidade de se encontrar um fóton (ou

partícula) no ponto , de modo que:

A teoria quântica

O objeto principal da teoria é a função de onda, ou amplitude

de probabilidade , com as seguintes propriedades:),( tr

r

Então, no caso de fótons, não podemos somar as probabilidades

dele ser oriundo de uma fenda ou outra. Devemos somar as

amplitudes de probabilidade (superposição) para depois tomar o

seu módulo quadrado (intensidade) !

),(),(),(21

trtrtr

+=• Princípio da superposição:

1),( 3 =V

rdtr

2|),(|),( trtr

=

10

A hipótese de de Broglie

Baseado no fato da radiação eletromagnética propagar-se como

onda e, ao interagir com a matéria, apresentar características

corpusculares, Louis de Broglie (em 1924) considerou a

possibilidade de partículas materiais também apresentarem, em

determinadas circunstâncias, um comportamento ondulatório.

Louis de Broglie (7.º duque de Broglie, 1892 – 1987)

11

de Broglie associou um comprimento de onda e uma freqüência

a uma partícula de momento p e energia E, através das relações:

p

h=

h

E=

Usando as relações de Planck – Einstein:

kp

= =E

Louis de Broglie recebeu o prêmio Nobel em 1929

A hipótese de de Broglie

12

Difração de elétrons

• A confirmação da hipótese de de Broglie veio

em 1927, através das observações de C. J.

Davisson e L. H. Germer; e de G. P. Thomson,

que fizeram experimentos com feixes de

elétrons incidindo sobre amostras cristalinas de

níquel (os dois primeiros) ou amostras

policristalinas de vários materiais (o segundo).

Thomson

Davisson e Germer

13

Difração de elétrons

mE

hmEp

m

pE

22

2

2

===

s.J106.6

kg101.9

eV1J106.1

34

31

19

−

−

−

=

=

==

h

m

E

ο

)eV1(A2.12=

= sind

οο

ο

A65.150A15.2 ===d

Experimento de Davisson-Germer

Difração de Bragg:

( ~ 54 eV)2

2

2 m

hE =

14

Difração de elétronsExperimento

de Thomson

Davisson e Thomson

receberam o prêmio

Nobel em 1937

• Os resultados aqui

apresentados para

elétrons são compatíveis

com os dos fótons

através da fenda dupla

raios – X elétrons

15

A experiência de Young

• Os experimentos de difração eletrônica indicam que, depois de

passar por duas fendas, partículas suficientemente pequenas (como

elétrons, por exemplo) apresentam uma figura de interferência ao

serem detectadas num anteparo.

16

A experiência de Young

Como conciliar a teoria ondulatória com a corpuscular ?

Mas corpúsculos clássicos apresentariam uma figura da forma:

I = I1+I2

I1

I2

17

A experiência de Young

1- feixe eletrônico intenso: figura

de interferência na medida do

número de partículas que chegam

no anteparo

18

A experiência de Young

2- feixe eletrônico intenso +

detector no anteparo: figura de

interferência na medida de

intensidade no anteparo,

mas...contagem discreta da

chegada dos elétrons, apesar de

muitos por segundo

detector

19

A experiência de Young

3- feixe eletrônico não intenso +

detector no anteparo: 1 elétron por

segundo atravessa uma das fendas

e 1 elétron por segundo é

registrado em algum ponto do

anteparo.

detector

20

A experiência de Young

Mas, no decorrer de um intervalo de tempo muito longo:

o histograma apresenta um perfil de interferência...

... compatível com a sobreposição dos resultados de N >>1

experiências envolvendo apenas 1 elétron!21

A experiência de Young

Intensidade do

feixe de

elétrons

wavemechanics-duality

22

A experiência de Young

Por onde passou o elétron?

Bloqueador de

fenda

Esta informação destrói a figura de interferência!

23

Interferência de objetos complexos

Em 1999, foi mostrado que moléculas

com um grande número de átomos

também podem apresentar uma figura

de interferência.

24

Interferência de objetos complexos

Nature 401 (1999) 1131

25

Em 2012 :

Interferência, com moléculas bem maiores !

26

27

PcH2 (58 atoms)

t = 0 t = 2 min

t = 20 min t = 40 min

t = 90 min

28

PcH2 (58 atoms) F24PcH2 (114 atoms)

29

Dualidade e complementaridade

• Propriedades ondulatórias e corpusculares podem

coexistir. Esta é a chamada dualidade partícula – onda

• Entretanto, não há nenhuma forma dessas duas

propriedades serem testadas simultaneamente.

• Ou fazemos um esquema de medida onde o aspecto

corpuscular seja evidenciado, ou um que revele o caráter

ondulatório do sistema em questão.

• Este é o chamado princípio da complementaridade.

30

• Interpretação probabilística: é a

densidade de probabilidade de se encontrar um fóton (ou

partícula) no ponto , de modo que:

A teoria quântica

O objeto principal da teoria é a função de onda, ou amplitude

de probabilidade , com as seguintes propriedades:),( tr

r

Então, no caso de fótons, não podemos somar as probabilidades

dele ser oriundo de uma fenda ou outra. Devemos somar as

amplitudes de probabilidade (superposição) para depois tomar o

seu módulo quadrado (intensidade) !

),(),(),(21

trtrtr

+=• Princípio da superposição:

1),( 3 =V

rdtr

2|),(|),( trtr

=

31

32

Radiação Eletromagnética

Partículas

( ) ( )t.sintz,y,x, −= rkEE

0

( ) ( )tkxsintz,y,x, −= 0EE

I eintensidad , Poyting de vetor S

kp

hE

=

==

kp

E

h

=

==

???????

_____________________________________________________

33

Introduzindo a função de onda

( )tz,y,x,Ψ

a qual é uma solução de uma equação diferencial,

a equação de Schrödinger.

,

• Em resumo, dada uma partícula atômica, este objeto pode ser

descrito pela chamada amplitude de probabilidade , ou

função de onda, à qual podemos aplicar:

A função de onda

),( tr

),(),(),(21

trtrtr

+=

2|),(|),( trtr

=

• Princípio da superposição:

• Interpretação probabilística:

(Max Born)

1),( 3 =V

rdtr

A função de onda carrega a informação máxima

que podemos ter sobre o sistema em questão.34

Max Born

http://www.youtube.com/watch?v=jvO0P5-SMxk 35

1. Max Planck: 1918

2. Albert Einstein: 1921

3. Louis de Broglie: 1929

4. Erwin Schrödinger:1933

5. Arthur Compton: 1927

6. Werner Heisenberg: 1932

7. Clinton Davisson & George Thomson: 1937

8. Max Born: 1954

36

Físicos mencionados no capítulo que receberam o

Prêmio Nobel de Física

Prob. 11:

Uma lâmpada de sódio de 100 W ( = 589 nm) irradia

energia uniformemente em todas as direções.

a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela

lâmpada?

b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente

absorvente absorve fótons à razão de 1,00 fóton/(cm2 s) ?

c) Qual é o fluxo de fótons (número por unidade de área

e de tempo) em uma pequena tela situada a 2,00 m da

lâmpada?

r

37

Prob. 11:

Uma lâmpada de sódio com potência (P) de 100 W radia energia ( = 589 nm)

uniformemente em todas as direções.

a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela lâmpada?

b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à razão

(ou fluxo F) de 1,00 fóton/(cm2 s) ?

c) Qual é o fluxo de fótons, F (número por unidade de área por unidade de tempo), em

uma pequena tela situada a 2 m da lâmpada?

fótons/s1096,2)m/s103)(sJ1063,6(

)W100()m10589( 20

834

9

==

−

−

hc

PR

s)fótons/(m1089,5m)(24

fótons/s1096,2

4

218

2

20

2

==

r

RFc)

→=24 r

RF

m1085,4

s)fótons/(m104

fótons/s1096,2

4

7

2/1

24

202/1

=

=

F

Rr

onde: F = 1 fóton/(cm2s) = 104 fótons/(m2s)

b)

→===

c

hRhRERP f

a)

r

38

Prob. 22:

Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos

luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontramos

um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de

onda de 3000 Å e de 0,82 V para um comprimento de onda

de 4000 Å. Destes dados determine:

a) O valor da constante de Planck.

b) A função trabalho do sódio.

c) O comprimento de onda de corte do sódio.

39

0

2

02

0

1

01

−=

−=

hceV

hceV

)(

)()()(

1

2

1

1

02011

2

1

10201 −−

−−

−

−=→−=−

VV

c

ehhcVVe

a) e b)

seV10136,4)083,0(103

eV03,1

10)43(103

eV82,0eV85,1 15

157118

−

−−

=

−

−=h

eV28,2eV85,1103

10310136,47

815

01

1

0 −

=−=

−

−

eVhc

→==max

00

c

h

c)

0 max

nm544m1044,528,2

10310136,4 7815

0max =

== −

−

hc

: frequência de corte : comprimento de onda de corte

Prob. 22:

Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos luz monocromática e um fotocatodo

de sódio, encontramos um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de onda de 3000

Å e de 0,82 V para um comprimento de onda de 4000 Å. Destes dados determine:

a) O valor da constante de Planck.

b) A função trabalho do sódio.

c) O comprimento de onda de corte do sódio. m 104 V82,0

m 103 V85,1

7

0202

7

0101

−

−

==

==

V

V

40

Efeito Compton:

Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de

1,00 Å. Se a radiação espalhada pelos elétrons livres é observada

a 90o do feixe incidente, determine:

a) O deslocamento Compton.

b) A energia cinética fornecida ao elétron.

c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao

elétron.

41

Efeito Compton:

Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de 1,00 Å. Se a radiação espalhada

pelos elétrons livres é observada a 90o do feixe incidente, determine:

a) O deslocamento Compton.

b) A energia cinética fornecida ao elétron.

c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao elétron.

a)

→=−=cm

h

cm

h

00

)90cos1( pm43,2m1043,2)m/s103)(kg1011,9(

Js1063,6 12

831

34

=

= −

−

−

== − 90;m10 10 i if −=

0; +→+=+ i

ecinfi

f

e

f

f

i

e

i

f EEhhEEEE b)

( ) ( ) 1101083411 0243,11010)103)(1063,6(−−−− −=+−=

−=

ii

fi

cin hccc

hE

eV295eV102,95J1072,41037,210989,1 217215 = −−−

cinE

c) Variação da energia do fóton:

−=

−=

−=

−

−

111

1

f

i

i

f

i

f

i

f

f

f

fhc

hc

E

EEE

( ) %4,21976,01001100243,1

10100(%)

10

10

−−

−

−

−

fE (cedida ao elétron)42

Prob. 42:

Se o comprimento de onda de de Broglie de um próton é 100 fm,

a) qual é a velocidade do próton?

b) A que diferença de potencial deve ser submetido o próton para chegar a esta

velocidade?

a) p

pm

hv

hvmp =→==

b)e

vmV

vmeV

pp

22

22

=→=

43