aula 22 densidade e massa, momentos e centro de massa e momento de inércia
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Aplicações: Densidade e Massa
( , ) - função densidade (em unidades de massa por unidade de área)no ponto ( , ) .
x y
x y D
lâmina
Aplicações: Momentos e Centro de Massa
( , ) 0 fora de .x y D
é a massa da parte lâmina que ocupa ,
onde A é a área de ij
ij
R
R
massa total da lâmina
Massa total da lâmina
Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3 Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloOutro tipo de densidadeSe uma carga elétrica está distribuída sobre
uma região e a densidade de carga
(em unidades de carga por unidades de
área) é dada por em um
ponto então a carga total
é dada por
( , ) .D
Q x y dA
( , )x y
D
( , ) ,x y D Q
Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3 Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 1Uma carga está distribuída sobre uma
região da figura de modo que a
densidade de carga em seja
medida em coulombs por
metro quadrado Determine a
carga total.
2(C / m ).
D
( , )x y
( , ) ,x y xy
Exemplo 1
Exemplo 1
Momentos e Centro de Massa
MomentosMomento em torno do eixo
Momento em torno do eixo
x
y
Centro de MassaAs coordenadas do centro de massa de uma lâmina são dadas por
onde (massa) e
é a função densidade.
( , )x y
Exemplo 2Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices
se a função
densidade é
(0,0),(1,0) e (0,2),
( , ) 1 3 .x y x y
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 3A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo. Determine o centro de massa da lâmina.
Exemplo 3
Exemplo 3Função densidade
onde é uma constante.Conversão para coordenadas polares
e a região é dada por D
Exemplo 3
Exemplo 3 (pois tanto a lâmina como a função densidade são simétricas com relação ao eixo ).y
Momento de InérciaO momento de inércia (segundo momento) de uma partícula de massa em torno de um eixo é definido como
onde é a distância da partícula ao eixo.
m2 ,mr r
Momento de InérciaMomento de inércia da lâmina em torno do eixo
Momento de inércia da lâmina em torno do eixo
x
y
Momento de InérciaMomento de inércia em torno da origem, também chamado momento polar.
Exemplo 4Determine os momento de inérciado disco homogêneo com densidade centro na origem e raio
Note que a fronteira de é o círculo que em coordenadas polares é descrito como
0, e x yI I ID
( , ) ,x y .a
D2 2 2x y a
D
Exemplo 4
Exemplo 4 e (da simetria do problema)
Portanto
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