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Aula 2

Vetores de força

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Escalares e vetores

Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que

pode ser completamente especificada por sua intensidade.

Exemplos de quantidades escalares:

Comprimento

Massa

Tempo

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Escalares e vetores

Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade

e uma direção para sua completa descrição.

Exemplos de vetores:

Força

Posição

Momento

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Operações vetoriais

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Operações vetoriais

Adição de vetores

Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo da

adição.

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Operações vetoriais

Adição de vetores

Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo:

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Operações vetoriais

Adição de vetores

No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, a

lei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou escalar

R = A + B:

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Subtração de vetores

R' = A – B = A + (–B)

Operações vetoriais

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Determinando uma força resultante

Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo

a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção.

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Determinando as componentes de uma força

Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas

componentes para estudar seu efeito de ‘empurrão’ ou ‘puxão’ em

duas direções específicas.

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As componentes da força Fu e Fv são estabelecidas simplesmente

unindo a origem de F com os pontos de interseção nos eixos u e v.

Determinando as componentes de uma força

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Esse paralelogramo pode então ser reduzido a um triângulo, que

representa a regra do triângulo.

Determinando as componentes de uma força

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Procedimento para análise

Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser

resolvidos da seguinte maneira:

Lei do paralelogramo:

Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei

do paralelogramo, dando uma força resultante FR que forma a

diagonal do paralelogramo.

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Procedimento para análise

Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao

longo de dois eixos u e v, então, iniciando na extremidade da

força F, construa linhas paralelas aos eixos, formando, assim, o

paralelogramo. Os lados do paralelogramo representam as

componentes, Fu e Fv.

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Procedimento para análise

Rotule todas as intensidades das forças conhecidas e

desconhecidas e os ângulos no esquema e identifique as duas

forças desconhecidas quanto à intensidade e à direção de FR ou

às intensidades de suas componentes.

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Trigonometria

Redesenhe metade do paralelogramo para ilustrar a adição

triangular ‘extremidade-para-origem’ das componentes.

Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é determinada

pela lei dos cossenos, e sua direção, pela lei dos senos. As

intensidades das duas componentes de força são determinadas

pela lei dos senos.

Procedimento para análise

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Pontos importantes

Escalar é um número positivo ou negativo.

Vetor é uma quantidade que possui intensidade, direção e sentido.

A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a

intensidade do vetor. O sentido dele mudará se o escalar for

negativo.

Como um caso especial, se os vetores forem colineares, a resultante

será formada pela adição algébrica ou escalar.

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Exemplo 01

O gancho da figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a

intensidade e a direção da força resultante.

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Exemplo 01

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Exemplo 02

Decomponha a força horizontal de 600 N nas componentes que

atuam ao longo dos eixos u e v e determine as intensidades dessas

componentes.

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Exemplo 02

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Exemplo 03

Determine a intensidade da força componente F e a intensidade da

força resultante se FR estiver direcionada ao longo do eixo y

positivo.

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Exemplo 04

Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola

e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x. Resposta: FR = 6,8 kN e = 103°

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Exemplo 05

Duas forças atuam sobre o gancho. Determine a intensidade da

força resultante. Resposta: FR = 666 N

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Exemplo 06

Determine a intensidade da força resultante e sua direção, medida

no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. Resposta: FR = 721 N e = 43,9°

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Exemplo 07

Decomponha a força de 300 N nas componentes ao longo dos eixos

u e v, e determine a intensidade de cada componente. Resposta: Fu = 219,6 N e Fv = 155,3 N

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Exemplo 08

A força F = 900 N atua sobre a estrutura. Decomponha essa força

nas componentes que atuam ao longo dos membros AB e AC, e

determine a intensidade de cada componente. Resposta: FAB = 1738,8 N e FAC = 1272,8 N

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Exemplo 09

Se a força F precisa ter uma componente ao longo do eixo u com

Fu= 6 kN, determine a intensidade da força F e de sua componente

Fv, ao longo do eixo v. Resposta: F = 3,11 kN e Fv = 4,39 kN

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Adição de um sistema de forças coplanares

Quando uma força é decomposta em duas componentes ao longo dos

eixos x e y, as componentes são, então, chamadas de componentes

retangulares.

notação escalar.

notação de vetor cartesiano.

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Notação escalar

Como essas componentes formam um triângulo retângulo, suas

intensidades podem ser determinadas por:

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No entanto,

Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado sãosemelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece:

e

Notação escalar

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Resultante de forças coplanares

Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para

determinar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo:

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Resultante de forças coplanares

Se for usada a notação escalar, temos então

(→ + ) FRx = F1x – F2x + F3x

(+↑) FRy = F1y + F2y – F3y

As componentes da força resultante de qualquer número de forças

coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma

algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja,

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Resultante de forças coplanares

Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser

esquematizadas ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção

apropriados, e a força resultante pode ser determinada pela adição

vetorial.

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Resultante de forças coplanares

Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema de

Pitágoras, ou seja,

Além disso, o ângulo θ, que especifica a direção da força resultante, é

determinado através da trigonometria:

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Pontos importantes

A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada

facilmente se for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e

as forças forem decompostas ao longo dos eixos.

A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de

ação forma com um dos eixos, ou por um triângulo da inclinação.

A orientação dos eixos x e y é arbitrária.

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Pontos importantes

As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma

algébrica das componentes de todas as forças coplanares.

A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de

Pitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos

x e y, a direção é determinada por meio da trigonometria.

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Exemplo 01

Determine as componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a

lança mostrada.

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Exemplo 02

O olhal está submetido a duas forças F1 e F2. Determine a

intensidade e direção da força resultante.

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Exemplo 03

A ponta de uma lança O na figura está submetida a três forças

coplanares e concorrentes. Determine a intensidade e a direção da

força resultante.

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Exemplo 04

Decomponha cada força que atua sobre o poste em suas

componentes x e y.

Resposta: F1x = 0 e F1y = 300 N

F2x = -318 N e F2y = 318 N

F3x = 360 N e F3y = 480 N

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Exemplo 05

Determine a intensidade e a direção da força resultante.

Resposta: FR = 567 N e = 38,1°

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Exemplo 06

Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a

cantoneira e sua direção, medida no sentido anti-horário a partir do

eixo x positivo. Resposta: FAB = 6,272 kN e = 258,68°

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Exemplo 07

Se a força resultante que atua sobre o suporte for 750 N

direcionada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade de

F e sua direção . Resposta: F = 236 N e = 31,76°

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Exemplo 08

Se a intensidade da força resultante que atua sobre o suporte for

400 N direcionada ao longo do eixo u, determine a intensidade de F

e sua direção . Resposta: F = 312,5 N e = 14,29°

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Exemplo 09

Determine a intensidade da força resultante e sua direção , medida

no sentido anti-horário a partir do eixo x.

Resposta: F = 31,2 kN e = 39,8°