aula 14 - ulisboa · operador laplaciano ou nabla quadrado 2 2 2 e m (14.1) \\ (14.2) (14.3) xr sen...
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Aula 14Rotação a 3 Dimensões
(Modelo da Partícula numa Esferaou Rotor Rígido 3D)
-
Rotação a 3 dimensões
Aplicação:
O movimento rotacional a 3 dimensões inclui o movimento dos eletrões em torno dos
núcleos e das moléculas em torno de si próprias.
O seu estudo é, por isso, essencial para:
• Descrever a estrutura eletrónica de átomos e moléculas
• Usando espectroscopia rotacional, obter informação estrutural
(distâncias e ângulos de ligação) sobre moléculas em fase gasosa
-
Modelo da Particula numa Esfera
Condições:
• Partícula livre (V = 0)
• Massa: m
• Esfera de raio r
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2V E
m x m y m z
− − − + =
Equação de Schrödinger a 3 dimensões:
V = 02 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2E
m x m y m z
− − − =
2 2 22
2 2 2x y z
= + +
Operador laplaciano
ou nabla quadrado
22
2E
m − =
(14.1)
(14.2)
(14.3)
-
sen cosx r =
É mais conveniente resolver o problema em coordenadas esféricas:
22 2
2 2
2 1
r r r r
= + +
sen seny r =
cosz r =
2 2 2+ r x y z= +
2 2 2cos
+
z
x y z =
+
tany
x =
Em coordenadas esféricas o operador nabla escreve-se:
Legendriano
22
2 2
1 1sen
sen sen
= +
(14.4)
(14.5)
(14.6)
-
Uma vez que r é constante:
2 2
2
1
r =
2
20
r
=
0
r
=
2
2 2
1 2mE
r = −
A equação de Schrödinger fica:
22
2
2mr E = −
2I mr=2
2
2IE = −
2 = −2
2IE = (14.6)
(14.7)
-
A função de onda depende de e :
Dividindo
por
Mas é separável num produto de duas funções,
cada uma delas dependendo apenas de de ou :
( , )
( , ) ΘΦ =
Usando uma estratégia semelhante ao utilizada no caso
da partícula na caixa bidimensional:
2
2 2
1 (ΘΦ) 1 (ΘΦ)sen ΘΦ
sen sen
+ = −
2
2 2
Θ d Φ Φ d dΘsen ΘΦ
sen d sen d d
+ = −
2
2 2
1 d Φ 1 d dΘsen
Φsen d Θsen d d
+ = −
Multiplicando
por sen22
2
2
1 d Φ sen d dΘsen sen 0
Φ d Θ d d
+ + =
Só depende
de :
Só depende
de
(14.9)
(14.8)
-
A função de onda é, assim, separável em duas funções,
cada uma delas dependendo apenas de de ou :
( , ) ΘΦ =
22
2
1 d Φ sen d dΘsen sen 0
Φ d Θ d d
+ + =
Só depende
de :
Só depende
de
Uma vez que a soma A+B deve ser igual a zero, as duas partes da equação
podem ser igualadas a constantes simétricas:
A B
2 2sen d dΘsen senΘ d d
lm
+ =
2
2
2
1 d Φ
Φ dlm
= −
Usa-se ml2 como constante de separação antecipando o aparecimento de
em equações posteriores.
2
lm
(14.12)
(14.11)
(14.13)
(14.10)
-
Resolução de A:
22
2
1 d Φ
Φ dm
= −
Esta equação tem por soluções
Φ ll
im
mA e
=
Φ ll
im
mA e−
−=
O requisito que seja uma função unívoca implica que:
Φ( +2 ) Φ( ) =
donde:( 2 )l l
l l
im im
m mA e A e +
=( 2 )l l
l l
im im
m mA e A e − + −
− −=
Estas duas equações implicam que:
21l
me
=
cos(2 ) sen(2 ) 1l lm i m =
ou seja:
o que implica:
0, 1, 2,...lm =
Tal como no caso da partícula no anel, o número quântico
magnético ml surge naturalmente das condições fronteira a que a
rotação em torno do equador deve obedercer.
(14.15)
(14.14)
(14.16)
(14.17)
(14.18)
(14.19)
(14.20)
(14.21)
(14.22)
-
O valor de
Donde:
2
2
0
Φ d 1
=
1Φ
2
lime
= 0, 1, 2,...lm =
𝐴𝑚𝑙 pode ser encontrado a partir da condição de normalização:
22
0
d 1lm
A
=2
2 1lm
A =
1
2lmA
=
(14.22)
(14.23)
-
Resolução de B:
Esta equação é muito mais difícil de resolver do que a (14.13), porque nem todos os
coeficientes são constantes. Quando é resolvida conclui-se que:
2 2sen d dΘsen sen 0Θ d d
lm
+ − =
(14.24)
(14.25)( 1)l l = +
Existe uma relação entre l e o númeo quântico magnético, ml:
onde l representa o número quântico de momento angular orbital, tal que:
0,1,2...l =
ml = 0, 1, 2, …,l
sendo que para cada valor de l há 2l+1 valores de ml.
Assim, resolução da equação (14.11) faz surgir o número quântico de
momento angular orbital, l, que, por razões apresentadas adiante, impõe
limites aos valores aceitáveis de ml
(14.27)
(14.26)
-
Soluções de (,):
As soluções aceitáveis de
( , ) ΘΦ =
depois de normalizadas designam-se por harmónicas
esféricas. Representam-se por
(14.10)
, ( , )ll mY
e estão tabeladas em função de l e ml
Harmónicas Esféricas
-
Quantificação de E
Da equação (14.6) vem:
(14.28)2
2E
I
=
(14.29)
2I mr=
( 1)l l = +
2
22E
mr
=
2
2( 1)
2E l l
mr= + (14.30)0,1,2...l =
2
2 2( 1)
8
hE l l
mr= + 0,1,2...l =
2
h
=
(14.31)
As equações (14.30) ou (14.31) mostram que:
• A energia da partícula está quantificada.
• Depende de l mas não de ml
-
Quantificação de J e Jz
Projetando J no eixo dos z conclui-se que:
Figura 1
(14.32)2
2
JE
I=
2I mr=
2 22J mr E=2
2( 1)
2E l l
mr= +
0,1,2...l =v (14.33)
Tanto o momento angular total J como a sua projeção segundo o eixo dos z, Jz,
estão quantificados. De facto, vimos na aula anterior que:
22
22 ( 1)
2J mr l l
mr= +
( 1)J l l= +
O momento angular é um vector:
• O comprimento é dado pela equação (14.33)
• Conforme mostra a Figura 1, a direção depende da orientação do
movimento da partícula
z lJ m=
-
Quantificação de Jz
A projeção do momento angular total J segundo o eixo dos z, Jz, também está
quantificada verificando-se :
Figura 2
(14.34)z lJ m=
Uma vez conhecido Jz, as components do momento angular segundo x e y ficam
indeterminadas (resultado do Princípio de Incerteza).
Por essa razão J é normalmente representado como existindo algures na superfície de
um cone (Figura 2) em que:
( 1)J l l= +
• A componente z é conhecida: z lJ m=
• O comprimento tabém é conhecido:
• Jx e Jy são desconhecidas
O número quântico ml está limitado a valores que dependem de l
porque o momento angular em torno de um único eixo (i.e. Jx )
não pode ser superior ao momento angular total (J)
ml = 0, 1, 2, …,l
ml = 0, 1, 2, …,l
-
l = 0, 1, 2… (número quântico de momento angular orbital)
1. O movimento de rotação de uma partícula confinada à superfície de uma esfera é
equivalente ao seu movimento através de uma pilha de anéis de diâmetros diferentes
que em conjunto formam a superfície da esfera, com a condição adicional de que a
partícula pode mover-se entre anéis.
2
2( 1)
2E l l
mr= +
Ideias e Equações Chave
(Para cada valor de l há 2l+1 valores de ml)
2. a) A energia da partícula (que é apenas cinética pois foi assumido que V = 0) está
quantificada
b) Depende de l mas não de ml, porque o seu valor não é afetado pela orientação da
rotação
3. a) O momento angular J está quantificado
b) Depende de l mas não de ml
0,1,2...l =v ( 1)J l l= +
4. a) A projeção do momento angular Segundo z está quantificada
b) Depende apenas de ml
z lJ m= ml = 0, 1, 2, …,l
5. O número quântico ml está limitado a valores que dependem de l porque o momento angular em
torno de um único eixo (i.e. Jx ) não pode ser superior ao momento angular total (J)
-
Problema 7.D.2 (p. 345)
Considere uma partícula em rotação a 3 dimensões num estado com l = 4
a) Calcule o valor correspondente de J.
b) Indique os valores possíveis de ml associados a esse estado.
c) Represente vectorialmente J.
ħ = 1.055 10-34 kg·m2·s-1 (J.s)
34 344.47 1.055 10 4(4 1) 4.71 10J − −= = + =
0,1,2...l =v ( 1)J l l= +
l = 4
l = 4; ml = 0
l = 4; ml = 1
l = 4; ml = -1
l = 4; ml = 2
l = 4; ml = 3
l = 4; ml = 4
l = 4; ml = -2
l = 4; ml = -3
l = 4; ml = -4
a)
b)
c)
2l+1 valores possíveis de ml: l = 4 9 valores de ml
Representação vectorial
top related