1

Notas de Aula: Operadores Diferenciais Antes de falarmos de operadores diferencias, vamos relembrar alguns conceitos fundamentais. Embora os exemplos aqui evidenciados sejam no R2 e R3, os conceitos podem ser generalizados para o Rn.

Função Escalar Relação que associa a cada ponto do espaço, um e somente um escalar (número real). O conjunto assim formado é definido como Campo Escalar. Ex. Campo de temperaturas no interior de uma peça sendo tratada termicamente; Campo de pressões num duto durante o escoamento de um fluido; Massa específica em função da altitude (atmosfera); Campo eletrostático.

2 2( 2) ( 2)2 2 4( , ) 4[( 2) ( 3) ]. 20

x y

T x y x y e

Figura 1: Ex. de campo de temperaturas numa superfície (Maple)

2

Função Vetorial

Relação que associa a cada ponto do espaço um e somente um vetor . O conjunto assim formado é definido como Campo Vetorial. Ex. Campo de tensões durante um processo de resfriamento de um peça; Campo de velocidades num duto durante o escoamento de um fluido; Campo elétrico e magnético durante a passagem de corrente elétrica num condutor.

Figura 2: Função vetorial e sua representação gráfica mostrando o campo (Maple)

Figura 3: Carta mostrando a predominância de ventos

2[ , 1 ]r x y x

3

Obs.: Veja que na grande maioria da situações práticas os campos escalares e vetoriais coexistem. Quando resolvemos tratar uma peça termicamente, surge um campo térmico (escalar) com temperaturas diferentes para diversos pontos do domínio (peça), com isso, por efeito de dilatação, acaba provocando um campo de tensões (vetorial), chamado de tensões térmicas. Num escoamento de um fluido, naturalmente tem-se um campo de pressões (escalar) associado a um campo de velocidades (vetorial). Num processo de usinagem, o ato de cortar o metal, imprime um campo de deformações (vetorial) gerando calor e conseqüentemente um campo de temperaturas (escalar) associado. Vetor Unitário A princípio, vetor unitário é qualquer vetor que tenha intensidade (norma) igual a um. O vetor unitário representa uma ferramenta fantástica dentro do cálculo vetorial, uma vez que carrega consigo a orientação (direção e sentido), fundamental para construção e decomposição de vetores.

Dado um vetor qualquer V , podemos obter um vetor unitário associado fazendo a normalização (dividir pela norma).

,V

u VV

= norma (aqui definida como módulo 2 2 2 ....V Vx Vy Vz )

Ex. Dado o vetor força [ 40 ; 30]F N , determine o vetor unitário associado a F

2 2

[ 40 ,30 ] ( ) 4 3[ ; ]

5 540 30 ( )

Nu u

N

Veja que neste caso o vetor unitário é um adimensional, porém carrega consigo a orientação. Assim podemos produzir com ele outro vetor de interesse multiplicando ao vetor u a intensidade necessária. Ex. Caso tenhamos o interesse de construir um vetor velocidade de intensidade 10 cm/s que tenha

a mesma orientação da força F .

Então: .v v u ou 4 3

10.[ , ] / [8 ,6 ] /5 5

v cm s v cm s

Agora vamos falar sucintamente de duas operações entre vetores, fundamentais para o entendimento do conteúdo: Operadores Diferenciais.

4

Produto Escalar

O produto escalar é uma operação específica entre dois vetores com o objetivo de gerar um escalar de interesse científico, dentro da geometria, engenharia, desenvolvimento matemático, enfim... Assim, dados dois vetores não nulos v e w , define-se produto escalar entre v e w como:

. cosv w v w

Geometricamente representa o produto do comprimento do vetor de v pelo comprimento da projeção ortogonal de w em v .

Veja, é fácil ver que o produto escalar é comutativo, isto é . .v w w v Uma conseqüência importante do que falamos é que se . 0v w então v w

Daí surge a evidência conceitual em relação aos versores da base canônica:

. 1 ; . 0 ; . 0

. 0 ; . 1 ; . 0

. 0 ; . 0 ; . 1

i i i j i k

j i j j j k

k i k j k k

veja que:

Conhecendo as componentes dos vetores, o produto escalar é facilmente determinado por: Se [ , ] [ , ]x y x yv v v e w w w então . x x y yv w v w v w

Veja o porque desta evidência: Considere os vetores dados na formato de combinação linear:

x y x yv v i v j e w w i w j no R3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

( ) . ( )

. . . . . . . . .

x y z x y z

x x x y x z y x y y y z z x z y z z

v i v j v k w i w j w k

v w i i v w i j v w i k v w j i v w j j v w j k v w k i v w k j v w k k

Agora sim fica claro que:

( ) . ( ) [ , , ] . [ , , ]x y z x y z x y z x y z x x y y z zv i v j v k w i w j w k ou v v v w w w v w v w v w

Obs.: Saber o porque das coisas é o que faz a diferença.

v

w

cosw

w

Quando perpendiculares o resultado é nulo; Quando paralelos o resultado é 1, sim pois todos apresentam modulo igual a 1.

5

De forma mais generalizada: 1

.n

i i

i

v w v w

para o Rn

O produto escalar apresenta inúmeras aplicações, entre elas a quantificação do trabalho realizado por uma força para deslocar um corpo num certo caminho, permite também obter a projeção de um vetor numa direção de interesse representada por um vetor unitário.

Ex. Dados os vetores 1 3

[ 6 ; 8 ] [ ; ]2 2

v e u , determine a projeção de v na direção de u

1 3. [ 6 ; 8 ] . [ ; ] 3 4 3

2 2projv v u projv E isso pode ser feito em 3D

Veja, que é uma maneira muito prática, evitando as inúmeras operações com triângulos no espaço. Produto Vetorial

O produto vetorial é uma operação entre vetores definida por:

v w v w sen n

Neste caso, produzimos um vetor com orientação n , vetor unitário normal ao plano definido por v e w , segundo a regra da “mão direita” (orientação positiva).

Figura 4 : Conceito gráfico do produto vetorial

Veja que o produto vetorial não é comutativo: v w w v Baseado no que vimos, podemos concluir que se os vetores são paralelos, então o produto vetorial é o vetor nulo, isto é:

v

w

v

w

v w

w v

6

0 //v w w v v w Uma vez que (0) 0sen Assim, usando a base canônica podemos definir:

0 ; 0 ; 0

; ;

; ;

i i j j k k

i j k j k i k i j

j i k k j i i k j

Conhecendo as componentes dos vetores envolvidos, podemos determinar o produto vetorial se apropriando da operação similar ao cálculo do determinante de uma matriz. Se [ ; ; ] [ ; ; ]x y z x y zv v v v e w w w w

Então: x y z

x y z

i j k

v w v v v

w w w

= y z x yx z

y z x z x y

v v v vv vi j k

w w w w w w

Obs.: Aqui vemos a aplicação da redução de ordem de um determinante (Laplace) O resultado acima pode também ser deduzido, se considerarmos os vetores na forma de combinação linear:

x y z x y zv v i v j v k e w w i w j w k no R3

Assim,

0 0 0

( ) ( )x y z x y z

x x x y x z y x y y y z z x z y z z

jj i ik k

v i v j v k w i w j w k

v w i i v w i j v w i k v w j i v w j j v w j k v w k i v w k j v w k k

Organizando o resultado de forma conveniente, temos:

( ) ( ) ( )y z y z x z x z x y x yv w w v i v w w v j v w w v k

Veja que a expressão acima sugere a expansão de um determinante do tipo:

x y z

x y z

i j k

v w v v v

w w w

Não é genial?

O produto vetorial tem inúmeras aplicações, como por exemplo, o torque de uma força em relação a um ponto. Valendo-se de sua propriedade, podemos determinar a rotação de um escoamento conhecendo o campo de velocidades ou ainda para obter um vetor normal a uma superfície parametrizada no espaço. Obs.: O produto vetorial é definido somente para o R3 (teoria clássica)

Veja novamente o resultado nulo para os versores paralelos.

7

Ex. Dados os vetores [10 ;5 ;0] [2 ;3 ;1]F e d , determine F d

10 5 0 5 10 20 5 ; 10 ; 202 3 1

i j k

F d i j k ou k

Agora sim, podemos falar com mais fundamentação sobre Operadores Diferenciais. Operador de Hamilton Um operador, de forma mais simplificada, é um símbolo que adotamos para representar alguma operação relevante de forma a simplificar o entendimento conceitual, facilitar a algebrização de equações de interesse. Vamos começar por uma idéia brilhante desenvolvida pelo matemático irlandês Willian Rowan Hamilton (1805 – 1865). Operador de Hamilton ( conhecido também como Operador Nabla)

Definido como: i j jx y z

ou ; ;

x y z

(coordenadas cartesianas)

De forma mais generalizada: 1

n

iii

ex

, para o Rn

Na realidade o operador nabla representa um vetor simbólico. Esse formato permite seu uso em operações vetoriais convencionais. A sua aplicação em campos escalares e vetoriais, produz ferramentas matemáticas indispensáveis para a quantificação e entendimento conceitual de diversos campos da ciência. Vamos ver algumas delas:

8

Gradiente de campo escalar Seja o campo escalar gerado pela função ( , , )F F x y z . O gradiente de F é definido como a

aplicação:

[ ; ; ]F F F

grad F ou Fx y z

Sua importância se deve ao fato de ser uma função vetorial que estabelece a intensidade, direção e sentido da maior taxa de crescimento da função F num dado ponto do espaço, neste caso o R3. O gradiente tem uma propriedade geométrica de grande importância, veja: Considere a superfície equipotencial (de nível) definida por ( , , )F x y z k , o gradiente de F para

qualquer ponto da superfície é o vetor ortogonal (normal) a mesma, veja a figura. Figura 5 : Conceito gráfico do gradiente mostrando sua ortogonalidade com a superfície de nível Para não perdemos foco, deixarei a prova da ortogonalidade do vetor gradiente para o final desta seção. Quanto a parte operacional, dominando derivadas parciais, se torna muito simples:

Ex. Dado o campo escalar definido pela função de temperatura 32

4 40 ( )20 300

z oyxT x e C ,

Determine o gradiente de temperatura para o ponto (5 , 4 ,1)P m .

Assim, vamos compor o vetor gradiente aplicando o “nabla” sobre T:

[ ; ; ]T T T

Tx y z

ou

2

[ 4 ; ; 4 ]10 100

z zyxT e x e

Para o ponto específico, temos: ( ) [ 0,97 ; 0, 16 ; 7,36 ] ( / )oT P C m

9

Podemos ainda, achar sua intensidade determinando seu módulo, fazendo isso, descobriríamos que em P a temperatura varia numa taxa de 7,42 oC/m segundo a orientação do vetor gradiente. Aliás, essa é a maior taxa local. O conceito de gradiente é bem intuitivo e podemos verificá-lo na natureza tanto no crescimento de uma planta como no comportamento dos animais. Como exemplo, vamos imaginar um cachorro que enterrou um osso dias atrás e não lembra mais do fato (veja figura abaixo). Certa hora tem fome e de repente sente o cheiro de osso, então começa a farejar sempre na direção onde o cheiro é mais intenso. Seguindo essa lógica, contorna o prédio e acaba encontrando o apetitoso osso. Agora, vamos observar o mesmo fenômeno de forma mais científica: A partir do osso temos um campo escalar de concentração aromática, que tem maior intensidade no osso. Saindo deste, podemos imaginar uma série de superfícies de nível de concentração, provocada pela difusão de moléculas aromáticas no ar. Vemos que quando o cachorro sente o cheiro, ele está inserido numa determinada curva de nível e ao se voltar para o lado de maior intensidade do cheiro, na realidade está se alinhando com o vetor gradiente local que por sua vez é perpendicular aquela curva de nível. Figura 6: Caminho motivado pelo vetor gradiente, sempre ortogonal à superfície de nível. Embora o gradiente de campos vetoriais não seja foco de estudo, é importante que saibamos pelo menos como ele é construído.

Dado um campo definido pela função vetorial [ , , ]x y zV V V V o gradiente de V será dado por :

1 1 1

2 2 2

3 3 3

V V V

x y z

V V VV V VV i j k

x y z x y z

V V V

x y z

Logo, o gradiente de função vetorial gera um elemento mais complexo que um vetor, chamado de “tensor” e apresenta larga aplicação na engenharia, como por exemplo, na determinação de forças viscosas durante o escoamento de um fluido ( veja equação: Navier-Stokes ).

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Mas isso vai além dos nossos propósitos. Bom, ficou algo pendente sobre gradiente de campo escalar. Como garantir que o gradiente é normal a superfície de nível? De posse da referida superfície de nível ( figura 7) , podemos imaginar um caminho parametrizado contido nesta, veja: Seja a superfície de nível ( , , )F x y z k e o caminho “C” definido por ( ) [ ( ) , ( ) , ( )]r t x t y t z t

Considerando ( )r t esteja contido em ( , , )F x y z k , podemos afirmar que :

( ( ) , ( ) , ( ))F x t y t z t k

Derivando em relação ao parâmetro t, vem:

. . . 0dyF dx F F dz

x dt y dt z dt

(veja regra da cadeia)

Note que a expressão acima sugere um produto escalar:

[ , , ] . [ , , ] 0dyF F F dx dz

x y z dt dt dt

ou ainda . 0

drF

dt

Isto nos leva a duas considerações:

a) Por definição já vista , dr

dt é tangente a ( )r t , que por sua vez está contida na superfície de

nível. Assim temos garantia que dr

dt é tangente também a superfície ( , , )F x y z k ;

b) Verificando o conceito do produto escalar concluímos que F é perpendicular a dr

dt .

Surge uma pergunta natural: - Mas, Rebello isso garante que F é normal a referida superfície?

Resposta: Neste caso sim, pois a curva parametrizada sobre a superfície ( , , )F x y z k foi tomada

de forma genérica, com orientação qualquer.

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Figura 7: Superfície de nível e um caminho qualquer “C” passando por ”P”. Divergente

Considere o campo vetorial gerado por 1 2 3[ , , ]V V V V . O divergente de V é definido como a

aplicação:

div V V (similar ao produto escalar)

Assim, 1 2 3[ , , ] . [ , , ]divV V V Vx y z

Portanto: 31 2VV V

divVx y z

( veja que não há multiplicação )

Fisicamente, o divergente de um campo vetorial de certa forma mede o grau de dispersão ou como o nome diz divergência dos vetores na vizinhança de um dado ponto. Num escoamento, o divergente da velocidade mostraria que o fluido está se expandindo (caso positivo) ou comprimindo (caso negativo). Pode simbolizar também a perda de massa local (se positivo) ou ganho de massa local (se negativo) para uma região infinitesimal do espaço, isso, quando verificado sobre um campo de vazão mássica. O refrigerador doméstico representa um exemplo interessante para mostrar o efeito do divergente. O sistema básico de um refrigerador envolve ciclos de compressão, dissipação térmica, expansão e absorção térmica do gás, sendo que esta absorção (ganho térmico) provem do calor extraído dos alimentos a serem resfriados.

P

12

Figura 8: Esquema da geladeira (sem análise) obtida do site How Stuff Works. Como objeto de análise, vamos considerar no fluido (gás) dois campos: de velocidade e de temperatura. Com base no esquema, vemos em primeiro momento (1) o gás ser comprimido, neste caso o campo de velocidades apresentará um divergente negativo, simultaneamente ele terá um aumento de temperatura e passará por um radiador (2) com isso teremos um gradiente térmico formado pelo gás (alta temperatura) e o ar (baixa temperatura), veja que aqui temos um campo vetorial chamado de gradiente térmico local com dissipação térmica, logo se analisarmos o divergente do campo gradiente ele se mostrará negativo, pois os vetores gradiente térmico estarão voltados para o centro do tubo (*) . Agora o gás entra numa fase de expansão em (3), com isso, o divergente do campo de velocidades do mesmo será positivo, gerando novo gradiente térmico contrário ao anterior, já que neste processo o gás esfria e para gerar o equilíbrio térmico rouba calor dos alimentos, logo o divergente do gradiente da temperatura formado no gás será positivo. É claro que se em algum momento o gás apresentar escoamento totalmente desenvolvido e laminar (vetores de velocidades constantes paralelos ao eixo do tubo), então teremos um divergente nulo para o campo de velocidades. Obs.: (*) Lembre-se: O fluxo térmico sempre será contrário ao gradiente de temperaturas. Aliás, o gradiente de um modo geral, funciona como força motora para todo e qualquer fluxo.

0divV

( ) 0div gradT

( ) 0div gradT

0divV 1

2

3

4

13

Outro conceito importante envolve a chamada equação da continuidade amplamente usada no meio científico para resolver problemas de escoamentos. É uma equação diferencial parcial que relaciona a massa específica, velocidade, tempo e espaço.

( )div Vt

Note, que em se tratando de um fluido incompressível como a água, a massa específica permanece constante ( tanto no tempo como no espaço). Portanto, a equação assume o seguinte aspecto:

0 ( )div V Assim, conclui-se : ( ) 0div V

Dessa forma todo escoamento de um fluido incompressível tem como equação ( ) 0div V .

Aqui também, a parte operacional se mostra fácil, veja:

Considere o campo vetorial definido pela função 2 3[ 3 , , 4 ]V xy z y z xyz , determine o

divergente de V no ponto (1 ,2 , 1)P .

Assim, 2 2. 3 ( 2 ) 12 5 12div V V y y xyz y xyz

Onde seu valor em P será : ( ) 10 24 14divV P (temos um fluxo para fora em P)

Analisando o lado direito da equação da continuidade vemos o termo ( )div V . Fazendo uma

investigação da unidade gerada, novamente, reforça o conceito de divergente, veja:

3 31

. ( ) . ( )kg kgm

Vm sm m s

Ou seja : Perda de massa em kg por m3, por s. Observe que se trata de uma ferramenta indispensável, em escoamento e difusão, para fazer balanço de massa de um fluido numa região infinitesimal. Extraordinário não é? Meu sonho é ver todo engenheiro compreendendo bem estes conceitos! Vamos continuar.

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Rotacional

Considere o campo vetorial gerado por 1 2 3[ , , ]V V V V . O rotacional de V é definido como a

aplicação:

rot V V ou 1 2 3[ , , ] [ , , ]rotV V V Vx y z

Lembre-se que 1 1( , , )V f x y z o mesmo vale para as outras componentes.

Aqui, fazemos a operação lembra a técnica do produto vetorial, mas tome cuidado, não multiplicamos e sim derivamos, veja:

1 2 3

i j k

rotVx y z

V V V

agora, é só desenvolver ( lembre-se: deve gerar um vetor)

Obs.: Para um campo vetorial no plano xy, fica subtendido que 3 0V (única alteração).

Assim, o rotacional mede num campo vetorial, a rotação dos vetores numa vizinhança de um

ponto, isto é, a intensidade será dada pelo comprimento do vetor rotV , o eixo de rotação será

definido pela direção do vetor e o sentido de rotação será positivo (regra da mão direita). O rotacional do campo de velocidades traduz de forma brilhante o estado de rotação local, isto é, seu valor é exatamente igual ao dobro da velocidade angular.

Figura 9 : Vetor rotV e a orientação de giro (regra da mão direita) (maple)

Isto é realmente notável!

2rotV w

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Ex.2 Dado o campo vetorial definido por 2[ ; 4 ; ]V xy y z xyz determine o rotacional para o ponto

(1 ,2 , 1)P .

2 4

i j k

rotVx y z

xy y z xyz

( 1) ( 0) (0 2 )rotV xz i yz j xy k

Para (1 ,2 , 1)P temos: 0 2 4rotV i j k ou [0 ; 2 ; 4]rotV

Usando seu módulo 2 5rotV

Como 2rotV w , podemos determinar que 5 /rad s com eixo de rotação sobre a reta que

passa por P e é paralela ao vetor rotV .

Obs.: Assim, o escoamento irrotacional (sem redemoinhos) tem rotacional nulo. Veja a riqueza de detalhe técnico que podemos obter com esta ferramenta. Laplaciano Deve-se ao matemático francês Pierre Simon de Laplace (1749-1827) Considere o campo escalar definido pela função ( , , )F F x y z uma função escalar, chamamos

Laplaciano de F a seguinte operação:

2( )Laplaciano de F div grad F ou F F

2 2 2

2 2 2. [ , , ] . [ , , ]

F F F F F FF

x y z x y z x y z

Portanto é um escalar.

Ex. Dado o campo escalar definido pela função de temperatura 32

10 40 ( )20 210

z oyxT e C ,

16

Determine o Laplaciano de temperatura para o ponto ( 4 ,3 ,1)P m .

21

1010 35

zyT e ou 12 213

( ) 10 3, 49 /70

oT P e C m

Já vimos os conceitos do campo gradiente e da divergência, então o Laplaciano nada mais é do que a divergência do campo gradiente. No nosso exemplo, o valor positivo traduz uma “fuga” do campo gradiente local, com isso uma convergência do fluxo térmico promovendo obviamente o aquecimento local. Veja exemplo do refrigerador, lá temos o Laplaciano como ( )div gradT .

Este conceito o ajudará a entender a formulação de uma equação indispensável na engenharia, quando resolvemos estudar a difusão térmica num corpo, chamada equação de Fourier. Vale a pena dar uma olhada:

2p

T KT

t C

onde:

Temperatura

Tempo

massa específica

Calor específico

Condutibilidade térmica

T

t

Cp

K

Obs.: Considerando , pK e C constantes

No lado esquerdo temos a variação da temperatura em relação ao tempo e do lado direito surge o Laplaciano da temperatura, que de certa forma, expressa a disposição do fluxo térmico no espaço. Outro espetacular exemplo de construção intelectual e elegância de formalização matemática, foi dado por Maxwell em 1860, quando unificou os campos magnéticos e elétricos pelo conjunto de equações:

. 0

. 0

EH

c tH

Ec t

E

H

, onde

Campo elétrico

Campo magnético

Constante elétrica

Constante magnética

Velocidade da luz no vácuo

E

H

c

Esse conjunto de equações causou enorme impacto no avanço da ciência teórica e aplicada.

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Assunto complementar: O operador de Hamilton tem seu formato conforme o sistema de coordenadas:

Coordenadas cartesianas: x y ze e ex y z

Coordenadas cilíndricas: r ze e er r z

Coordenadas esféricas: 1 1

e e esen

Vou apresentar algumas propriedades e operações envolvendo operadores diferenciais:

Considere , funções escalares e ,P Q funções vetoriais.

( )

. ( ) . .

( )

P Q P Q

P Q P Q

( )

.( ) . .

( )

Q Q Q

Q Q Q

.( ) . .

0

.( ) 0

P Q Q P P Q

O uso de ferramentas computacionais representa um grande salto no tratamento matemático de problemas ligados a área de engenharia tanto na área numérica como analítica. Abaixo estão listados alguns comandos do Maple7 para a área de cálculo vetorial. > with(plots):

> with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Função escalar: > F:=3*x^2 + 2*y*z - x*y^2 +10;

:= F 3 x2 2 y z x y2 10

Função vetorial: > U := [x+y^3, y-x^2, 1-z*x];

:= U [ ], ,x y3 y x2 1 z x

Gradiente: > gradF:=grad(F,[x,y,z]);

:= gradF [ ], ,6 x y2 2 z 2 x y 2 y

Rotacional: > rotU:=curl(U, [x,y,z]);

:= rotU [ ], ,0 z 2 x 3 y2

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Divergente: > divU:=diverge(U,[x,y,z]);

:= divU 2 x

Laplaciano: > nabla2:=laplacian(F,[x,y,z]);

:= nabla2 6 2 x

Vetores: > v1 := vector([1,2,3]);

:= v1 [ ], ,1 2 3

> v2 := vector([2,3,4]); := v2 [ ], ,2 3 4

Produto vetorial: > prodvet_v1v2:=crossprod(v1,v2);

:= prodvet_v1v2 [ ], ,-1 2 -1

Produto escalar: > prodesc_v1v2:=dotprod(v1, v2);

:= prodesc_v1v2 20

Vetor unitário: > w:=;

:= w

3

-1

4

> normalize(w);

, ,

3 26

26

26

26

2 26

13

Gráfico do campo vetorial: Em 2D > funvet1:=[x/(x^2+y^2+4)^(1/2),-y/(x^2+y^2+4)^(1/2)];

:= funvet1

,x

x2 y2 4

y

x2 y2 4

fieldplot( funvet1,x=-2..2,y=-2..2,arrows=SLIM,grid=[12,12]);

19

Em 3D > funvet2:= [y+x, y-x, z-2];

:= funvet2 [ ], ,y x y x z 2

> fieldplot3d(funvet2,x=-2..2,y=-2..2,z=0..2,arrows=SLIM,grid=[5,5,5]);

Parametrização: > spacecurve([(t/2)*sin(t), sqrt(t)*cos(t),sqrt(t)], t=0..2*Pi);

Obs.: Os comandos acima são válidos para: Maple 11 e Maple 12. Definidos os conceitos fundamentais, passaremos para algumas aplicações que nortearão o nosso estudo sobre operadores diferenciais, mostrando de forma mais ampla sua importância. Aplicações a serem desenvolvidas em sala de aula:

Reta normal e plano tangente à superfície por um ponto dado;

Derivada direcional;

Multiplicadores de Lagrange;

Caminhos conduzidos pelo vetor gradiente;

Demais exercícios envolvendo operadores diferenciais. Não percam o próximo capítulo. Será emocionante! Rebello mai/2008 (rev. out/2009)