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Aula 08: ModelagemOtimização Linear e Inteira
Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br
BCC464/PCC174 –2018/2Departamento de Computação –UFOP
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Aulas anteriores:
Modelagem (básico)
Método gráfico
Algoritmo Simplex (Parte 2)
Dualidade
Análise de sensibilidade
... e um pouco de prática (implementação)
2 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Aula de Hoje
1 Dicas de Modelagem
2 Exemplo 1: Fábrica de brinquedos
3 Exemplo 2: Transporte
4 Aula Prática
3 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Aula de Hoje
1 Dicas de Modelagem
2 Exemplo 1: Fábrica de brinquedos
3 Exemplo 2: Transporte
4 Aula Prática
3 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Passo-a-passo para modelar um problema:
1 Elabore um esquema do problema.
2 Encontre e escreva uma solução qualquer para o problema.
3 Olhando para a solução, defina as variáveis de decisão.
4 Observando as variáveis de decisão, defina a função objetivo, ouseja, o que deve ser maximizado ou minimizado.
5 Finalmente, defina as restrições do problema.
4 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Aula de Hoje
1 Dicas de Modelagem
2 Exemplo 1: Fábrica de brinquedos
3 Exemplo 2: Transporte
4 Aula Prática
5 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Exemplo 1: Fábrica de brinquedos
Fonte: [1] Luís Herique Rodrigues et al. (2014), Pesquisa Operacional -Programação Linear Passo a Passo, Editora Unisinos.
Uma pequena oficina de brinquedos produz dois tipos de brinquedos: caminhãode madeira e boneca de pano. O lucro do caminhão é de R$ 10,00 por unidade eda boneca de pano é de R$ 8,00 por unidade. São necessárias seis pessoaspara fazer um lote de dez caminhões por dia e quatro pessoas para fazer um lotede 14 bonecas por dia. Há 18 pessoas disponíveis para produzir os itens,podendo ser alocadas em qualquer um dos dois, em qualquer etapa. Devido àdemanda existente é necessário fazer ao menos um lote de caminhões e um lotede bonecas por dia.
Formule um modelo de Programação Linear que maximize a lucratividade diária.
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Passo 1: Esquema
Figura 3 – Esquema simplificado do problema 1 – Oficina de brinquedos.
Nessa Figura é possível observar que, conforme tomamos a decisão de fazer maisou menos lotes de caminhões ou bonecas, precisaremos alocar mais ou menos pessoasda empresa na produção de um produto, resultando em um lucro maior ou menor deacordo com a nossa decisão.
Passo 2 – Definindo uma solução para o problema
Definir uma solução para o problema nos ajudará a entender qual é a variável dedecisão. Nesse exemplo, para decidir quantos lotes de caminhões ou bonecas poderemosfazer, precisaremos considerar as restrições quanto à mão de obra disponível, bem comoa quantidade mínima de produtos a vender. O Quadro 3 representa uma possível soluçãopara o problema.
Quadro 3 – Solução para o problema 1 – Oficina de brinquedos
Produto Quantidade de lotes aproduzir
Lucro resultante
Bonecas 1 R$ 112,00Caminhões 2 R$ 200,00
Totais - R$ 312,00
Lucro: R$ 100,00 por lote (10 caminhões) Lucro: R$ 112,00 por lote (14 bonecas)
Figura: Esquema (imagem extraída de Rodrigues et. al [1])
7 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Passo 2: Solução
Qual seria uma solução para o problema?
Produzir 1 lote de caminhões e 1 lote de bonecas?
Utilizaríamos neste caso 10 pessoas (6 + 4)
Lucraríamos R$ 212,00 (R$ 100,00 + R$ 112,00)
Solução parece ok... não utilizamos mais de 18 pessoas eatendemos à demanda mínima de fazer ao menos um lote decaminhões e um lote de bonecas.
Solução viável!
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Passo 3: Variáveis
Solução: 1 lote de caminhões e 1 lote de bonecas!
Qual decisão foi tomada?
Número de lotes de caminhões: x1
Número de lotes de bonecas: x2
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Passo 4: Função objetivo
O que estamos minimizando/maximizando?
Maximizando o lucro!
Ou seja: max 100x1 + 112x2
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Passo 5: Restrições
Quais são as restrições?
1 Há 18 pessoas disponíveis:
6x1 + 4x2 ≤ 18
2 Devemos produzir no mínimo 1 lote de caminhões:
x1 ≥ 1
3 Devemos produzir no mínimo 1 lote de bonecas:
x2 ≥ 1
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Modelo
Logo, devemos resolver o modelo de programação linear a seguir:
max 100x1 + 112x2
s.a. 6x1 + 4x2 ≤ 18
x1 ≥ 1
x2 ≥ 1
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Aula de Hoje
1 Dicas de Modelagem
2 Exemplo 1: Fábrica de brinquedos
3 Exemplo 2: Transporte
4 Aula Prática
13 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Exemplo 2: Transporte
Fonte: [1] Luís Herique Rodrigues et al. (2014), Pesquisa Operacional -Programação Linear Passo a Passo, Editora Unisinos.
Você possui três fábricas localizadas em regiões geográficas distintas, e precisasaber quanto deve produzir e transportar para quatro diferentes mercados a umcusto mínimo. As informações do custo de transporte unitário entre as fábricas eos mercados estão no quadro a seguir.
Xij – Quantidade de unidades de produto produzidos na fábrica i a ser enviado parao mercado j
Passo 4 – Identificando o que deve ser minimizado ou maximizado
Esse problema indica que “Você possui três fábricas localizadas em regiõesgeográficas distintas e precisa saber quanto deve produzir e transportar para quatrodiferentes mercados, a um custo mínimo”. Dessa maneira, podemos entender que oproblema trata-se da minimização dos custos, e sua função objetivo pode ser definida daseguinte forma:
MINIMIZAR CUSTO
Onde o custo é: custo de transporte da fábrica i para o mercado j multiplicadopela quantidade de unidades de produto produzidos na fábrica i a ser enviado para omercado j.
Passo 5 – Identificando classes de restrições
Ao observar o quadro que apresenta os dados do problema, identificam-se duasclasses de restrições, destacadas a seguir:
Quadro 9 – Classes de restrições do problema 3 – transporte
Custo de transporteMercados
Capacidade Produtiva1 2 3 4
FábricasA $ 0,90/un $ 1,00/un $ 1,80/un $ 1,05/un 22.500 unB $ 2,10/un $ 0,80/un $ 0,70/un $ 1,15/un 21.000 unC $ 1,10/un $ 1,00/un $ 1,20/un $ 1,50/un 19.500 un
Demanda mínima 10.000un 15.000un 11.000un 10.000un
Demanda mínima: Para cada um dos mercados deve ser expedido uma quantidade
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Passo 1: Esquema
Deve-se definir quantas produtos de cada fábrica devem ser enviados acada mercado, considerando capacidade e demanda mínima...
Figura 6 – Esquema do Problema 3 – Transporte.
Passo 2 – Definindo uma solução para o problema
Uma proposta de solução para o problema deve indicar quantas unidades deproduto devem ser enviadas de cada fábrica para cada mercado, atendendo tanto àscapacidades produtivas máximas quanto às demandas mínimas de cada mercado. Umasolução possível para o problema é evidenciada no Quadro 8.
Quadro 8 – Solução para o problema 3 – transporte
Unidades enviadasPara o mercado...
1 2 3 4
Da Fábrica...A 5000 5000 5000 5000B 5000 5000 5000 5000C 4000 5000 4000 4000
Passo 3 – Definindo variáveis de decisão
Ao definirmos quantas unidades devem ser enviadas de cada fábrica para cadamercado, deparamo-nos com a própria variável de decisão, que pode ser expressa daseguinte maneira:
Figura: Esquema (imagem extraída de Rodrigues et. al [1])
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Passo 2: Solução
Uma solução para o problema deve indicar quantas unidades de produtodevem ser enviadas de cada fábrica para cada mercado, atendendo tantoàs capacidades produtivas quanto às demandas mínimas de cadamercado.
Eis uma solução possível (extraída de [1]):
Figura 6 – Esquema do Problema 3 – Transporte.
Passo 2 – Definindo uma solução para o problema
Uma proposta de solução para o problema deve indicar quantas unidades deproduto devem ser enviadas de cada fábrica para cada mercado, atendendo tanto àscapacidades produtivas máximas quanto às demandas mínimas de cada mercado. Umasolução possível para o problema é evidenciada no Quadro 8.
Quadro 8 – Solução para o problema 3 – transporte
Unidades enviadasPara o mercado...
1 2 3 4
Da Fábrica...A 5000 5000 5000 5000B 5000 5000 5000 5000C 4000 5000 4000 4000
Passo 3 – Definindo variáveis de decisão
Ao definirmos quantas unidades devem ser enviadas de cada fábrica para cadamercado, deparamo-nos com a própria variável de decisão, que pode ser expressa daseguinte maneira:
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Passo 3: Variáveis
Estamos decidindo quanto enviar de cada fábrica para cada mercado...
Seja F o conjunto de fábricas
Seja M o conjunto de mercados
Variáveis:
xi,j : quantidade a enviar da fábrica i ∈ F para o mercado j ∈M .
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Passo 4: Função objetivo
Devemos minimizar o custo de transporte...
Seja ci,j o custo de enviar uma unidade do produto produzido nafábrica i ∈ F para o mercado j ∈M
Função objetivo:
min∑i∈F
∑j∈M
ci,jxi,j
18 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Passo 5: Restrições
Xij – Quantidade de unidades de produto produzidos na fábrica i a ser enviado parao mercado j
Passo 4 – Identificando o que deve ser minimizado ou maximizado
Esse problema indica que “Você possui três fábricas localizadas em regiõesgeográficas distintas e precisa saber quanto deve produzir e transportar para quatrodiferentes mercados, a um custo mínimo”. Dessa maneira, podemos entender que oproblema trata-se da minimização dos custos, e sua função objetivo pode ser definida daseguinte forma:
MINIMIZAR CUSTO
Onde o custo é: custo de transporte da fábrica i para o mercado j multiplicadopela quantidade de unidades de produto produzidos na fábrica i a ser enviado para omercado j.
Passo 5 – Identificando classes de restrições
Ao observar o quadro que apresenta os dados do problema, identificam-se duasclasses de restrições, destacadas a seguir:
Quadro 9 – Classes de restrições do problema 3 – transporte
Custo de transporteMercados
Capacidade Produtiva1 2 3 4
FábricasA $ 0,90/un $ 1,00/un $ 1,80/un $ 1,05/un 22.500 unB $ 2,10/un $ 0,80/un $ 0,70/un $ 1,15/un 21.000 unC $ 1,10/un $ 1,00/un $ 1,20/un $ 1,50/un 19.500 un
Demanda mínima 10.000un 15.000un 11.000un 10.000un
Demanda mínima: Para cada um dos mercados deve ser expedido uma quantidadeSeja pi a capacidade produtiva da fábrica i ∈ F
∀i ∈ F :∑j∈M
xi,j ≤ pi
Seja dj a demanda mínima do mercado j ∈M
∀j ∈M :∑i∈F
xi,j ≥ dj
19 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Exemplo 2: Transporte
Eis o modelo de programação linear:
min∑i∈F
∑j∈M
ci,jxi,j
s.a.∑j∈M
xi,j ≤ pi ∀i ∈ F
∑i∈F
xi,j ≥ dj ∀j ∈M
xi,j ≥ 0 ∀i ∈ F,∀j ∈M
20 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Aula de Hoje
1 Dicas de Modelagem
2 Exemplo 1: Fábrica de brinquedos
3 Exemplo 2: Transporte
4 Aula Prática
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Exercício
Exercício 1
Uma empresa mineradora deve exportar 6000 toneladas de minério deferro atendendo as especificações a seguir:
Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB Departamento de Computação – DECOM Disciplina: BCC464 / PCC174 – Otimização Linear e Inteira Professor: Túlio A. M. Toffolo
BCC464 / PCC174 Data: 17/04/2018 Página 1 de 5
Aluno: __________________________________________ CPF ou Matrícula: ______________
Prova 01 – 20,0 pontos
Questão 01 Questão 02 Questão 03 Questão 04 Nota Total
• A interpretação das questões faz parte da avaliação, por isso faça as observações que achar
necessário, por escrito; • Utilize o espaço abaixo de cada questão para responde-la. Se necessário, utilize o verso das
folhas disponibilizadas.
Questão 01 (6,0 pontos)
Uma empresa mineradora deve exportar 6.000 toneladas de minério de ferro atendendo as especificações a seguir:
Fe Al2O3 P PPC He Teor mínimo 44,5 0,27 0,035 2,05 38 Teor máximo 49,5 0,37 0,043 2,65 50
A mineradora dispõe de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição, disponibilidade e custo são dados a seguir:
Fe Al2O3 P PPC He Disp. Custo Pilha 1 52,64 0,52 0,084 4,48 45 1500t 10,5 Pilha 2 39,92 0,18 0,029 0,65 97 2000t 12,5 Pilha 3 47,19 0,5 0,05 2,52 52 1700t 12 Pilha 4 49,36 0,22 0,039 1,74 78 1450t 10 Pilha 5 43,94 0,46 0,032 2,36 41 1250t 11,5 Pilha 6 48,97 0,54 0,057 4,34 90 1890t 11 Pilha 7 47,46 0,2 0,047 5,07 9 1640t 10,8 Pilha 8 46,52 0,32 0,039 3,51 4 1124t 11,2 Pilha 9 56,09 0,95 0,059 4,1 80 1990t 10,4 Pilha 10 46 0,26 0,031 2,51 21 900t 12 Pilha 11. 49,09 0,22 0,04 4,2 12 1540t 10,3 Pilha 12 49,77 0,2 0,047 4,81 12 1630t 11,9 Pilha 13 53,03 0,24 0,047 4,17 1 1320t 12,3 Pilha 14 52,96 0,29 0,052 4,81 1 1245t 11,1 Pilha 15 42,09 0,17 0,031 1,38 47 1859t 12,1
A mineradora dispõe de um conjunto de pilhas de minérios, cujacomposição, disponibilidade e custo são dados no próximo slide.
. . .
22 / 23 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 08: Modelagem
Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB Departamento de Computação – DECOM Disciplina: BCC464 / PCC174 – Otimização Linear e Inteira Professor: Túlio A. M. Toffolo
BCC464 / PCC174 Data: 17/04/2018 Página 1 de 5
Aluno: __________________________________________ CPF ou Matrícula: ______________
Prova 01 – 20,0 pontos
Questão 01 Questão 02 Questão 03 Questão 04 Nota Total
• A interpretação das questões faz parte da avaliação, por isso faça as observações que achar
necessário, por escrito; • Utilize o espaço abaixo de cada questão para responde-la. Se necessário, utilize o verso das
folhas disponibilizadas.
Questão 01 (6,0 pontos)
Uma empresa mineradora deve exportar 6.000 toneladas de minério de ferro atendendo as especificações a seguir:
Fe Al2O3 P PPC He Teor mínimo 44,5 0,27 0,035 2,05 38 Teor máximo 49,5 0,37 0,043 2,65 50
A mineradora dispõe de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição, disponibilidade e custo são dados a seguir:
Fe Al2O3 P PPC He Disp. Custo Pilha 1 52,64 0,52 0,084 4,48 45 1500t 10,5 Pilha 2 39,92 0,18 0,029 0,65 97 2000t 12,5 Pilha 3 47,19 0,5 0,05 2,52 52 1700t 12 Pilha 4 49,36 0,22 0,039 1,74 78 1450t 10 Pilha 5 43,94 0,46 0,032 2,36 41 1250t 11,5 Pilha 6 48,97 0,54 0,057 4,34 90 1890t 11 Pilha 7 47,46 0,2 0,047 5,07 9 1640t 10,8 Pilha 8 46,52 0,32 0,039 3,51 4 1124t 11,2 Pilha 9 56,09 0,95 0,059 4,1 80 1990t 10,4 Pilha 10 46 0,26 0,031 2,51 21 900t 12 Pilha 11. 49,09 0,22 0,04 4,2 12 1540t 10,3 Pilha 12 49,77 0,2 0,047 4,81 12 1630t 11,9 Pilha 13 53,03 0,24 0,047 4,17 1 1320t 12,3 Pilha 14 52,96 0,29 0,052 4,81 1 1245t 11,1 Pilha 15 42,09 0,17 0,031 1,38 47 1859t 12,1
1 Apresente um programa linear para encontrar uma mistura dos
minérios disponíveis que atenda à demanda minimizando o custo total.2 Implemente esta formulação (utilizando o solver gurobi).
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