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Aula 05: 09/03/2012Cálculo da energia de atritoenergia de atrito.

Atrito de parede de fluidos Newtonianos e não-Newtonianos.

Fator de atrito de Darcy e de FanningFator de atrito de Darcy e de Fanning. Gráfico de Moody.

Gráfico de Dodge-Metzner.

TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS ITA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I

Quais são os termos do balanço Quais são os termos do balanço de energia mecânica? de energia mecânica?

(P1/ρ + v12/2α + Z1) + Weixo

We = (P2-P1)/ρ + (v22-v1

2)/2α + (Z2 – Z1) + Ef

= (P2/ρ + v22/2α + Z2) + Ef

O trabalho mecânico gera uma mudança na Energia de pressão, na Energia cinética e na Energia potencial do fluido e libera calor devido ao atrito com o meio.

Energia que entra com o fluido + Energia mecânica

= Energia que sai com o fluido + Calor

onde: Zi = hi * g

Energia gasta no atrito no escoamento de um Energia gasta no atrito no escoamento de um fluido em um tubo horizontalfluido em um tubo horizontal

(Êp1 + Êh1 + Êk1) + We = (Êp2 + Êh2 + Êk2) + Êf

Ponto 1 Ponto 2

Como: Assim:

Balanço de Energia Mecânica Êm1 + We = Êm2 + Êf

Expandindo os termos de Êm:

Êh1= Êh2

We = 0

h1 = h2

Êf = ∆P/ρ

Êf = f(L, vz ,ε, µ, ρ, D)

Êk1 = Êk2 v1 = v2

Êf = Êp2 -Êp1 = (p2–p1)/ρ

Energia de atrito:

Perda de pressão

ρ = constante 4

1.CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO1.1. Fluidos Newtonianos1.1. Fluidos Newtonianos

1.1.1. Regime Laminar1.1.1. Regime Laminar

Fazemos um balanço de forças em um elemento de volume de raio r dentro do tubo onde o fluido escoa na direção horizontal z:

Em primeiro lugar vamos fazer a análise do escoamento de um fluido newtoniano viscoso em uma tubulação horizontal de seção constante.

RrRegime laminar

Fluido incompressível

Não há efeitos terminais

Considerações:

Para que haja escoamento é necessário aplicar uma força ao fluido. Geralmente eleva-se a pressão do fluido no ponto inicial da tubulação usando uma bomba.

Figura 1.1. Balanço de forças no equilíbrio em um tubo

P P-∆P

Figura 1.1.b. Análise de forças na tubulação

LComprimento

Direção do escoamento R

Desenvolvimento gradual do perfil de velocidades do regime laminar e escoamento do fluido.

Pressão aplicada

Figura 1.1.c. Movimento e resistência no elemento de volume

P P-∆P

Pressão * Área transversal = Tensão * Área longitudinal

∆P*An = ∆ *At

Onde:P = pressão em um ponto z ao longo da tubulaçãoP-dP = pressão em um ponto z + dz ao longo da tubulaçãor = um ponto entre o centro e a parede, ao longo do raio = tensão de cisalhamentodz = elemento de distância ao longo do comprimento do tubo

[P (P dP)] r2 = 2 r dz (1.1)

Em estado estacionário:Força normal= Força de cisalhamento

É interessante expressar a perda de carga linear (dP/dz) em função da tensão de cisalhamento:

2dP dzr

r 2dP dz

Rearranjando, para expressar

a tensão de cisalhamento

[P (P dP)] r2 = 2 r dz (1.1)

A tensão de cisalhamento máxima se dá na parede (p ) quando r=R e pode ser expressa como:

Considerando o comprimento L :

onde: R= raio do tubo

Onde: ∆P= diferença de pressão no comprimento de tubulação L D = diâmetro da tubulação

Substituindo (1.6) em (1.5) tem-se:

De acordo com a equação (1.8), a tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo do raio do tubo, variando desde zero em r = 0 até um valor máximo na posição r = R.

Como os fluidos newtonianos obedecem à lei de Newton:

µ = viscosidade newtoniana

dvz / dr = variação de velocidades ao longo do raio do tubo

2P Prr

• No interior de uma tubulação a medida que o raio aumenta, a velocidade diminui, e por isso dvz/dr é negativo.

P zr dv

Pzdv rdr

Rearranjando os termos de (1.10):

(1.10)

(1.11)

• A transferência de impulso é feita da região de maior concentração de movimento para a de menor concentração.

• No centro do tubo, dvz/dr=0, a tensão de cisalhamento é nula,

zv r rP

dv rdrR

Integrando a relação (1.11) entre um ponto r e a parede R:

Para a integração deve-se observar que trata-se de um

integral indefinidaintegral indefinida; vz(r) e r não são pontos conhecidos.

Surge, assim, uma constante arbitrária que chamaremos

de C1.

As condições de contorno deste caso são:

(a) r = R vz = 0(b) r = r vz = vz (r)

C1 é obtido da aplicação da condição de contorno (a) para a qual são conhecidos os valores de vz e de r.

Então:

Da substituição de C1 na resultante da integral indefinida, obtém-se a equação do perfil parabólico de velocidade para um fluido newtoniano em escoamento laminar.

2 2( ) ( )2

Pzv r R r

(1.12)

rrv PP

Rearranjando os termos da equação acima temos:

Por outro lado, a velocidade média pode ser calculada pela definição:

vA v A

v A v A

Ou ainda:

Onde:dA = elemento diferencial de área = 2r dr

(1.13)

Integrando (1.13) do centro do tubo (r=0) até a parede (r = R):

v r rdr

12 ( )

Rv r R r drR

Substituindo vz(r), equação (1.12), na expressão acima temos:

(1.14)

(1.15)

Rv rR dr r drR

2 4 2P R R

4 8P PR D

(1.16)

(1.18)

(1.17)

(1.19)

Chegamos a expressão da velocidade média:

Substituindo (1.7) em (1.19) para incluir o termo ∆P:

.32P v L

Rearranjando (1.20) e dividindo tudo por :

(1.20)

(1.21)

4 8P PR D

(1.19)

.32. .2 2

P v v L v

Multiplicando ambos os lados por

Lembrando que o número de Reynolds (Re) para fluidos Newtonianos em tubulações cilíndricas é definido como:

(1.22)

Rearranjando para separar o termo 1/Re da expressão (1.22):

232 2.

P vL v

(1.23)

v tem-se que:

Finalmente, chegamos a expressão geral para cálculo da energia gasta no atrito para fluidos newtonianos em regime laminar:

Geralmente usa-se o termo Êf para expressar a energia perdida por atrito por unidade de massa (J/kg)

(1.24) -------- = -------------= -------------∆∆P 32 L vP 32 L v22

ρρ Re D Re D

-------- = f= fFF ---- ----- ---- -----∆∆P L 2vP L 2v22

ρρ D D

ffFF = ----- = ----- 16 16

Então:

(1.25)ffFF= fator de atrito de Fanning = fator de atrito de Fanning

ÊÊff = = ffFF ---- ----- ---- -----L 2vL 2v22

D D 22

A expressão define o fator de atrito de Fanning (fF) como:

A literatura cita o fator de atrito de Darcy (fD):

Os dois podem ser usados. Porém, na bibliografia recente tem-se empregado principalmente fF e, por isso, quando se menciona ao fator de atrito refere-se geralmente à fF.

16 fF = Re

(1.25)

(1.26)

64 fD = Re

1. CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1.1. Fluidos Newtonianos1.1. Fluidos Newtonianos

1.1.2. Região de transição1.1.2. Região de transição

O fator de atrito na região de transição, ou seja, quando 2100< Re< 4000, não pode ser predito, com o qual deve-se usar a solução gráfica.

No caso de fluidos Newtonianos,emprega-se o Diagrama Diagrama de Moody (Figura 1.2).de Moody (Figura 1.2). Neste gráfico deve-se destacar que o fator de atrito é função da rugosidade relativa ( / D).

Segue-se a tradução dos materiais de tubos que estão escritos em inglês:

ffFF = f(---- , ) = f(---- , )εε DD

Em inglês Em portuguêsSmooth pipes Tubos lisos

Drawn tubing Tubos estirados

Commercial steel Aço comercial

Wrought iron Ferro forjado

Asphalted cast iron Ferro fundido asfaltado

Galvanized iron Ferro galvanizado

Cast iron Ferro fundido

Wood stove Aduela de madeira

Concrete Concreto

Riveted Steel Aço rebitado 25

Materiais de construção do Diagrama de Moody

Figura 1.2. Diagrama de Moody

f = 16/Re

1. CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO

1.1. Fluidos Newtonianos1.1. Fluidos Newtonianos1.1.3. Regime turbulento1.1.3. Regime turbulento

14,0 log Re 0,4F

a) Equação de Blasius que só é válida para tubos lisos(2.103 < Re < 105):

fF = 1,28. Re -0,25 (1.27a) fD = 0,32. Re -0,25 (1.27b)

b) Correlação de von Karman válida para tubos lisos:

(1.28)

Quando o regime de escoamento é turbulento, ou seja, Re> 4000, existem várias maneiras de se obter fF. Existem algumas equações para tubos lisos e rugosos e solução gráfica.

c) Equação de Churchill válida para tubos rugosos:

No site do professor Ortega, encontra-se um applet em JAVA útil para o cálculo de bomba centrífuga para água no qual aplicou-se a equação de Churchill.

http://www.unicamp.br/fea/ortega/info/cursojava/CalcBomba.htm

c) Solução gráfica por meio do Diagrama de Moody, visto no item anterior.

Os dados necessários são:

• As propriedades do fluido:densidade e viscosidade à temperatura de trabalho;

• Velocidade média do fluido: obtém-se conhecendo (volume/tempo/área);

• Diâmetro interno da tubulação;• A rugosidade relativa da tubulação (/D);

no caso do processamento de alimentos e de instalações sanitárias, usa-se tubo liso, ou seja, rugosidade igual a zero ( ε =0 ).

1.2. Fluidos não-newtonianos1.2.1. Fluidos lei da potência1.2.1. Fluidos lei da potência

1.2.1.1. Regime laminar1.2.1.1. Regime laminar

Para obter expressões para cálculo do fator de atrito foram usadas as mesmas considerações da dedução do item 1.1.Sabendo que a tensão de cisalhamento para esses fluidos é definida como:

zdvkdr

A variação da velocidade do fluido ao longo do raio se expressa como a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser escrita como:

( 1) / ( 1) /( )2 1

n n n nz

P nv r R r

( 1) /

n nP nv R

Por outro lado, a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser escrita como:

Neste caso, a perda de carga por unidade de comprimento pode ser expressa como:

(3 1) /

n nP nV R

4 2 6nn

P v k n

4 2 6 16

v k n Df

(1.33)

A equação (1.33), quando inserida na expressão do fator de atrito, proporciona uma expressão do tipo:

(1.34)

Ou ainda:

(1.32)

Onde o número de Reynolds da lei da potência é definido como:

(1.35)

A equação (1.34) é apropriada para o escoamento de fluidos lei da potência em regime laminar, que ocorre quando a seguinte desigualdade é satisfeita:

2100(4 2)(5 3)Re Re

3(1 3 )LP LP crítico

(1.36)

Dados experimentais indicam que a equação (1.34) superestima o fator de atrito para muitos fluidos lei da potência. Isso pode ser devido ao escorregamento na parede ou mudanças nas propriedades reológicas em emulsões e suspensões. 33

(1 ( / 2))100,75 1,2

1 4 0,4log Re n

(1.37)

1.2. Fluidos não-newtonianos1.2.1. Fluidos lei da potência1.2.1. Fluidos lei da potência

1.2.1.2. Regime turbulento1.2.1.2. Regime turbulento

O fator de atrito nessa região, para fluidos lei da potência, pode ser predito pela Equação de Dodge-Metzner. Essa equação só é válida para tubos lisos.

Figura 1.3.Figura 1.3. Diagrama de Dodge-Metzner Diagrama de Dodge-Metzner35

1.2. Fluidos não-newtonianos1.2.2. Fluidos plásticos de Bingham1.2.2. Fluidos plásticos de Bingham 1.2.2.1. Regime laminar1.2.2.1. Regime laminar

2( ) 1 1

RPR r rv r

L R R R

(1.38)

para R0 r R.

O raio crítico (R0), que define o contorno externo do pistão, pode ser calculado a partir da tensão de cisalhamento inicial ( ): 0

(1.39)

O perfil de velocidades de um fluido plástico de Bingham pode ser escrito como:

É interessante levar em consideração que o fluido não sofrerá tensão de cisalhamento na região empistonada central, ou seja, quando < 0 . Então, a função tensão de cisalhamento será integrada entre a tensão de cisalhamento inicial (0) e a tensão de cisalhamento na parede (p ).

1 4 / 3 / 3plVP

L R c c

(1.40)

pode ser calculada a partir da vazão volumétrica vazão volumétrica de uma maneira similar àquela usada para fluidos pseudoplásticos:

A perda de carga por unidade de comprimento de fluidos plásticos de Bingham, cujo modelo reológico é:

Onde c é uma função implícita do fator de atrito e quanto maior for esse valor, mais difícil será iniciar o escoamento:

0 0 02

D P f v

(1.41)

Escrito em termos de velocidade médiaem termos de velocidade média, a equação (1.40) torna-se:

1 4 / 3 / 3plvP

L D c c

(1.42)

Portanto, o cálculo do fator de atrito fica:

F 2 4 2 4

32 161 1.

1 4 / 3 / 3 2 1 4 / 3 / 3pl plv D

fD c c v Dv c c

(1.43) 38

O fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de Bingham (ReB) e o número de Hedstrom (He):Hedstrom (He):

Re 16 6 Re 3 ReF

B B F B

f He He

(1.44)

Onde202pl

(1.45)

(1.46)

As equações (1.43) e (1.44) poderiam ser usadas para estimar fF em estado estacionário no regime laminar, que ocorre quando se satisfaz a desigualdade:

44 1Re 1 Re

8 3 3B c c B críticoc

(1.47)

onde cc é o valor crítico de c definido como:

3 168001c

(1.48)

cccc varia de 0 a 1 e o valor crítico do número de

Reynolds de Bingham aumenta com o número de Hedstrom. 40

1.2. Fluidos não-newtonianos1.2.2. Fluidos plásticos de Bingham1.2.2. Fluidos plásticos de Bingham 1.2.2.2. Regime turbulento1.2.2.2. Regime turbulento

14,53log (1 ) 4,53log Re 2,3B F

(1.49)

O fator de atrito para escoamento em regime turbulento de um fluido plástico de Bingham pode ser considerado um caso especial de um fluido Herschel-Bulkley e pode-se usar a seguinte relação:

14,53log Re 2,3B F

(1.50)

Com o aumento dos valores de tensão de cisalhamento inicial, o fator de atrito aumenta significativamente.

Neste caso, quando a perda de carga é muito alta, c poderia ser muito pequeno, nesse caso a equação (1.49) se simplifica, ela ficaria da seguinte forma:

1.2. Fluidos não-newtonianos 1.2.3. 1.2.3. Fluidos Herschel-BulkleyFluidos Herschel-Bulkley 1.2.3.1. 1.2.3.1. Regime laminarRegime laminar

2 Pr( )

(1 1/ ) 2

P n k L

(1.51)

A velocidade de um fluido Herschel-Bulkley em função do raio pode ser descrita como:

A velocidade do pistão se obtém substituindo r= R0 na equação (1.51).

0 . nk

a) Solução numérica

Há duas maneiras de se calcular o fator de Há duas maneiras de se calcular o fator de atrito para fluidos do tipo Herschel-Bulkley, atrito para fluidos do tipo Herschel-Bulkley, cujo moedelo reológico é:cujo moedelo reológico é:

O fator de atrito de Fanning para escoamento laminar de fluidos Herschel-Bulkley

pode ser calculado a partir das seguintes relações:

(1.52)

2 21 1 2 1

1 3 11 3 1 2 1

n n c c c cn c

(1.53)

c pode ser expresso como uma função implícita de ReLP e uma forma modificada do número de Hedstrom (HeM):

Re 21 3

(1.54)

(1.35)

(1.55)

Para encontrar fF para fluidos Herschel-Bulkley, c é determinado através de uma iteração da equação (1.54) usando a equação (1.53) e o fator de atrito poderia ser calculado a partir da equação (1.52).

b) Solução gráfica

Existem soluções gráficas que facilitam os problemas computacionais.

Essas figuras(Figuras 1.6-1.15) indicam o valor do número de Reynolds crítico a diferentes HeM

para um valor particular de n.

O número de Reynolds crítico é baseado em princípios teóricos e tem pouca verificação experimental.

Figura 1.6. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,1. 48

Figura 1.8. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,3.50

Figura 1.14. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,9.56

1.2. Fluidos não-newtonianos 1.2.3. 1.2.3. Fluidos Herschel-BulkleyFluidos Herschel-Bulkley 1.2.3.2. Regime turbulento1.2.3.2. Regime turbulento

Utilizam-se as Utilizam-se as soluções gráficassoluções gráficas vistas no vistas no item anterior. item anterior.

As equaçõesequações são úteis para:

desenvolvimento de modelos computacionais para aplicações diversas cuja solução gráfica não esteja pronta!

Recordando outras soluções gráficas:

-Fluido Newtoniano, Diagrama de Moody

-Pseudoplásticos, Gráfico de Dodge-Metzner

Como calcular o fator de atrito fator de atrito para cada caso?

RESUMO DA AULA:

1. Fluidos Newtonianos

1.1. Regime laminar ffFF = ----- = -----

ÊÊff = = ffFF ---- ----- ---- -----L 2vL 2v22

1.2. Região de transição ffFF = f(---- , ) = f(---- , )

εε DD

Diagrama de MoodyDiagrama de Moody

1. Fluidos Newtonianos

1.3. Regime turbulento

3 modos de se obter fF

a) Equação de Blasius válida para tubos lisos (2.103 < Re < 105): ffFF = = 1,28. Re 1,28. Re -0,25-0,25

ffDD = 0 = 0,32. Re ,32. Re -0,25-0,25

14,0 log Re 0,4F

c) Diagrama de Moody

2. Fluidos Não-newtonianos

2.1. Fluidos Lei da Potência

2.1.1. Regime laminar

2100(4 2)(5 3)Re Re

Fluido Lei da potência em regime laminar satifaz a desigualdade:

4 2 6 16

v k n Df

2.1.2. Regime turbulento

2.1. Fluidos não-newtoniano Lei da Potência

Equação de Dodge-Metzner

(1 ( / 2))100,75 1,2

1 4 0,4log Re n

Diagrama de Dodge-Metzner

válida para tubos lisos

2.2. Plástico de Bingham

2.2.1. Regime laminar

F 2 4 2 4

32 161 1.

1 4 / 3 / 3 2 1 4 / 3 / 3pl plv D

fD c c v Dv c c

Ou, o fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de Bingham (ReB) e o número de Hedstrom (He):Hedstrom (He):

Re 16 6 Re 3 ReF

B B F B

f He He

Fluido Plástico de Bingham em regime laminar satifaz a desigualdade:

44 1Re 1 Re

c 3 168001

2.2. Plástico de Bingham

2.2.2. Regime turbulento

14,53log (1 ) 4,53log Re 2,3B F

14,53log Re 2,3B F

Quando a perda de carga é muito alta, c (τ0/τp) pode ser muito pequeno e nesse caso a equação acima se simplifica:

2.3. Fluido Herschel-Bulkley

2.3.1. Regime laminar:

2 modos

a) Solução Numérica: cálculos iterativos

2 21 1 2 1

1 3 11 3 1 2 1

n n c c c cn c

Re 21 3

b) Solução Gráfica: figuras Re crítico, diferentes HeM e n específico

HeM é Hedstrom modificado

Exemplo de gráfico

2.3.2. Regime turbulento: solução gráfica

REGIME LAMINAR

Fanning Ou Darcy Onde:

TRANSIENTE 2100< Re< 4000 Diagrama de Moody

REGIME TURBULENTO

a) Equação de Blasius que só é válida para tubos lisos

(2.103 < Re < 105):

fF = 0.079. Re -0,25

fD = 0,32. Re -0,25

c) Diagrama de Moody

FLUIDO NÃO NEWTONIANO LEI DA POTÊNCIA

REGIME LAMINAR

Onde: Laminar se a condição abaixo for atendida

REGIME TURBULENTO

Ou Diagrama de DODGE METZNER

REGIME LAMINAR onde c:

Verificar se é laminar com:

REGIME TURBULENTO Quando perda de carga muito alta e C ser muito pequeno então:

REGIME LAMINAR Onde:

Para encontrar c e ψ, fazer a interação entre essas 2 últimas equações:

Ou uso do gráfico fF para fluido

Herschel-Bulkley onde o valor do número de Reynolds crítico a

diferentes HeM para um valor

particular de n.

REGIME TURBULENTO uso do gráfico fF para fluido Herschel-Bulkley

onde o valor do número de Reynolds crítico a

diferentes HeM para um valor particular de n.

FLUIDO NÃO NEWTONIANO FLUIDOS HERSCHEL BULKLEY

FLUIDOS NEWTONIANOS

FLUIDO NÃO NEWTONIANO PLÁSTICOS DE BINGHAM

2100(4 2)(5 3)Re Re

(1 ( / 2))100,75 1,2

1 4 0,4log Re n

4 2 6 16

v k n Df

14,53log (1 ) 4,53log Re 2,3B F

14,53log Re 2,3B F

2 21 1 2 1

1 3 11 3 1 2 1

n n c c c cn c

Re 21 3

0 0 02

D P f v

F 2 4 2 4

32 161 1.

1 4 / 3 / 3 2 1 4 / 3 / 3pl plv D

fD c c v Dv c c

Re 16 6 Re 3 ReF

B B F B

f He He

44 1Re 1 Re

3 168001c

64fD = -----

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