aula 01 - eletro&mag - prof. otoniel mendes

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Análise Vetorial

Otoniel da Cunha Mendes

Engenharias

otoniel.mendes@fucapi.br

Eletricidade e Magnetismo

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Os slides desta aula foram

adaptados de notas de

aulas encontrados na

internet, livros e apostilas.

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Introdução

O eletromagnetismo pode ser considerado como o estudo da interação entre as cargas elétricas em repouso e em movimento.

Os princípios do Eletromagnetismo se aplicam em várias disciplinas afins, tais como: microondas, antenas, máquinas elétricas, comunicações por satélites, bioeletromagnetismo, plasmas, pesquisa nuclear, fibra ótica, interferência etc... Além de muitos avanços nas áreas da saúde precisarem deste ramo, exemplo: Física Médica.

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A análise vetorial é uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo são mais convenientemente explicados e melhor compreendidos.

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Uma grandeza pode ser escalar ou vetorial Um escalar é uma grandeza que só tem magnitude.

Um vetor é uma grandeza que tem magnitude e orientação (direção e sentido)

Grandezas Físicas

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O que é um Vetor?

• É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. E tem algumas características básicas.

• Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta) • Tem uma direção. • E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está apontando).

Módulo

Sentido

Direção da Reta Suporte

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Componentes de um vetor

i

A

iAxˆ

Um vetor pode ser decomposto em uma soma da forma:

jAyˆ

A

jAiAA yxˆˆ

i

j

j

x

y

xA é a componente do vetor na direção do eixo x

yA

A

é a componente do vetor na direção do eixo y

A

Vetor unitário que “marca” direção do eixo x

Vetor unitário que “marca” direção do eixo y

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9 9

Soma de vetores usando suas componentes cartesianas

Se

o vetor será dado em componentes cartesianas por:

jAiAA yxˆˆ

,ˆˆ jBiBB yx

BAC

onde: ,ˆˆ

ˆ)(ˆ)(

jCiC

jBAiBA

yx

yyxx

)ˆˆ()ˆˆ( jBiBjAiAC yxyx

xxx BAC

B

C

A

xA xB

yA

yB

x

y

yyy BAC

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Vetores e o Sistema de Coordenadas Retangulares

O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais também é conhecido por sistema de coordenadas retangulares. Ele é um dos mais importantes sistemas de coordenadas utilizado em Física. Inicialmente, vamos concentrar nossa atenções nele, mas outros sistemas existem, e oportunamente introduziremos tais sistemas durantes nossas aulas.

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Vetores e o Sistema de Coordenadas Retangulares

Existe um modo bastante útil de obter a posição de um

ponto P de coordenadas cartesianas (x, y, z) num dado sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares. Note que a origem

O do sistema de coordenadas está localizada em (0, 0, 0), e sua posição é dada por

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Vetores e o Sistema de Coordenadas Retangulares

Como podemos encontrar o vetor posição na figura abaixo.

A soma de vetores é comutativa

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Produto escalar usando componentes

kkBAjkBAikBA

kjBAjjBAijBA

kiBAjiBAiiBA

kBjBiBkAjAiABA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

)ˆˆˆ()ˆˆˆ(

Podemos escrever o produto escalar de dois vetores em termos das suas componentes cartesianas:

Mas como ,0ˆˆˆˆˆˆe1ˆˆˆˆˆˆ jkkijikkjjii

Zzyyxx BABABABA teremos:

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Sistema e Transformação de Coordenadas

No eletromagnetismo, para descrevermos as variações espaciais dessas quantidades, sejam elas elétricas ou magnéticas, devemos ser capazes de definir todos os pontos de maneira unívoca no espaço de forma adequada.

Um sistema ortogonal é aquele que as coordenadas são mutuamente perpendiculares. Sistemas não-ortogonais são

difíceis de trabalhar.

Coordenadas Retangulares

Coordenadas Cilíndricas

Coordenadas Esféricas

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Coordenadas Retangulares

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Coordenadas Cilíndricas

As coordenadas cilíndricas são particularmente úteis na abordagem de problemas que envolvam simetria de rotação em torno de um eixo.

Por exemplo;

1. O campo elétrico devido a uma distribuição retilínea de carga tem esse tipo de simetria.

2. O cálculo do momento de inércia de um objeto cilíndrico relativamente a um eixo que passa pelo centro das suas bases constitui um outro exemplo, etc.

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Um ponto P, em coordenadas cilíndricas, é representado por:

Os intervalos de variáveis são:

),,( z

0 0 2

z

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Coordenadas Cilíndricas

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Coordenadas Cilíndricas

dV rdrddz

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Coordenadas Esféricas Por sua vez, as coordenadas esféricas são particularmente úteis

na abordagem de problemas que envolvam simetria de rotação em torno de um ponto. Nestas condições, todos os pontos colocados à mesma distância do ponto de referência são indistinguíveis.

Por exemplo;

1. O campo elétrico devido a uma carga pontual

2. O momento de inércia de uma distribuição esférica homogênea de massa são exemplos de problemas em que há uma clara vantagem em considerar a sua resolução em coordenadas esféricas.

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Um ponto P, em coordenadas esféricas, é representado por:

Os intervalos de variáveis são:

r,,

20

0

0

r

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Coordenadas Esféricas

dddrrdV sin2

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Coordenadas Esféricas

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Operador O operador del ou nabla é um operador vetorial cuja representação e definição em coordenadas retangulares são mostradas abaixo.

i x

j y

k

z

O operador não tem significado físico ou geométrico. O significado só ocorre quando ele é aplicado a uma função.

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Gradiente

O gradiente de um campo escalar é um vetor que representa em direção, sentido e módulo a máxima taxa de variação de um campo escalar.

O gradiente de um campo escalar é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função

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Divergente de um vetor e o Teorema da Divergência

O divergente de um vetor é um escalar, expresso por:

i x

j y

k z

A Ax

i Ay

j Az

k

A x

Ax y

Ay z

Az

Fisicamente, o divergente é interpretado como um fluxo pontual por unidade de volume.

Divergente

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Existe uma identidade matemática importante que envolve o divergente de uma função vetorial, chamada de Teorema do Divergente, ou também, Teorema de Gauss.

A integral do divergente de uma função vetorial, dentro de volume A integral da superfície da grandeza

feita sobre toda a área que delimita esse volume

V BdV

S

B ndS

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Rotacional de um vetor e o Teorema de Stokes

O rotacional de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função, ou seja multiplicando-se vetorialmente o operador nabla pela função vetorial.

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Rotacional de um vetor e o Teorema de Stokes

O rotacional de F é um vetor axial (ou girante), cuja magnitude é a máxima circulação de F por unidade de área, à medida que área tende a zero, cuja a orientação é perpendicular a essa área de orientação

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Rotacional de um vetor e o Teorema de Stokes

O teorema de Stokes nos diz o seguinte: Que a circulação de um campo vetorial A em torno de um caminho fechado L é igual a integral de superfície do rotacional deste vetor delimitada pela superfície S

L

A dl S

A dS

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