árvores balanceadas - avl
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Árvores BalanceadasAVL
Prof: Sergio Souza Costa
Sobre mim
Sérgio Souza CostaProfessor - UFMADoutor em Computação Aplicada (INPE)
prof.sergio.costa@gmail.com
https://sites.google.com/site/profsergiocosta/home
https://twitter.com/profsergiocosta
http://gplus.to/sergiosouzacosta
http://www.slideshare.net/skosta/presentations?order=popular
Introdução
● As árvores binárias de busca permitem a organização da informação com o objetivo a otimizar as buscas.
Introdução
● As árvores binárias de busca permitem a organização da informação com o objetivo a otimizar as buscas.
● Ela permite o acesso mais rapido aos elementos dado que os elementos estão organizados na árvore, obedecendo uma certa propriedade.
■ Esquerda são os menores que a raiz■ Direita são os maiores que a raiz
Introdução
● As Árvores binárias de busca (ABB) estudadas têm uma séria desvantagem que pode afetar o tempo necessário para recuperar um item armazenado.
Introdução
Insiram os seguintes valores em uma árvore binária de busca (ABB):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4, 6, 2, 5, 1, 7, 3
O que vocês concluem com isso ?
IntroduçãoA desvantagem é que o desempenho da ABB depende da ordem em que os elementos são inseridos.
IntroduçãoA desvantagem é que o desempenho da ABB depende da ordem em que os elementos são inseridos.
Idealmente, deseja-se que a árvore esteja balanceada, para qualquer nó p da árvore.
IntroduçãoA desvantagem é que o desempenho da ABB depende da ordem em que os elementos são inseridos.
Idealmente, deseja-se que a árvore esteja balanceada, para qualquer nó p da árvore.
Como saber se a árvore está balanceada ?
IntroduçãoA desvantagem é que o desempenho da ABB depende da ordem em que os elementos são inseridos.
Idealmente, deseja-se que a árvore esteja balanceada, para qualquer nó p da árvore.
Como saber se a árvore está balanceada ?
A altura dos nós é um importante dado.
AVL
● O nome AVL vem de seus criadores Adelson Velsky e Landis (1962).
● Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se:
○ Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade.
20
3010
40
35
20
3010
4035
Qual é AVL ? Que nó esta desbalanceado ?
a) b)
AVL
● Como saber se a árvore está desbalanceada?
AVL
● Como saber se a árvore está desbalanceada?○ Verificando se existe algum nodo “desregulado”.
AVL
● Como saber se a árvore está desbalanceada?○ Verificando se existe algum nodo “desbalanceado”.
● Como saber se um nodo está desbalanceado ?
AVL
● Como saber se a árvore está desbalanceada?○ Verificando se existe algum nodo “desbalanceado”.
● Como saber se um nodo está desbalanceado ?○ Subtraindo-se as alturas das suas sub-árvores.
Fator de balanceamento
● O fator de balanceamento é dado por:○ altura (SAE) – altura(SAD)
● Ou,○ altura (SAD) – altura(SAE)
Fator de balanceamento
● O fator de balanceamento é dado por:○ altura (SAE) – altura(SAD)
● Ou,○ altura (SAD) – altura(SAE)
● O fator de balanceamento de um nodo é dado pelo seu peso em relação a sua sub-árvore.
○ Um nodo pode ter um fator balanceado de 1, 0, ou -1.○ Um nodo com fator de balanceamento -2 ou 2 (diferença de
2 elementos) é considerado desbalanceado e requer um balanceamento.
AVL - Calculando o fator
20
3010
40
35
Coloque as alturas de cada nó
AVL - Calculando o fator
20
3010
40
35
0
1
Coloque as alturas de cada nó
2
3
0
-1 -1
-1 -1
-1
-1
AVL - Calculando o fator
20
3010
40
35
0
1
Coloque as alturas de cada nó
Calcule o fator de balanceamento
altura (SAE) - altura (SAD)
2
3
0
-1 -1
-1 -1
-1
-1
AVL - Calculando o fator
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3010
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0
1
altura (SAE) - altura (SAD)
2
3
0
-1 -1
-1 -1
-1
-1
0 - 2 = -2
AVL - Calculando o fator
20
3010
40
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0
1
altura (SAE) - altura (SAD)
2
3 (-2)
0
-1 -1
-1 -1
-1
-1
0 - 2 = -2
AVL - Calculando o fator
20
3010
40
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1
altura (SAE) - altura (SAD)
2
3 (-2)
0
-1 -1
-1 -1
-1
-1
-1 - 1 = -2
AVL - Calculando o fator
20
3010
40
35
0
1
altura (SAE) - altura (SAD)
2 (-2)
3 (-2)
0
-1 -1
-1 -1
-1
-1
-1 - 1 = -2
AVL - Calculando o fator
20
3010
40
35
0 (0)
1 (1)
altura (SAE) - altura (SAD)
2 (-2)
3 (-2)
0 (0)
-1 -1
-1 -1
-1
-1
AVL - Calculando o fator
20
3010
40
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0 (0)
1 (1)
altura (SAE) - altura (SAD)
2 (-2)
3 (-2)
0 (0)
-1 -1
-1 -1
-1
-1
Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se:
○ Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade.
AVL - Calculando o fator
20
3010
40
35
0 (0)
1 (1)
altura (SAE) - altura (SAD)
2 (-2)
3 (-2)
0 (0)
-1 -1
-1 -1
-1
-1
Uma árvore binária de pesquisa T é denominada AVL se:
○ Para todos nós de T, as alturas de suas duas sub-árvores diferem no máximo de uma unidade.
Atividades
Insira os seguintes valores em uma árvore binária, coloque os fatores de balanceamento e diga se é ou não uma AVL e qual nó esta desbalanceado:
a) [30,15, 50, 5,10, 20]b) [ 80, 40, 100, 120, 90, 30]c) [10, 50, 4, 90, 20, 8]
Como balancear ?
Como balancear ?
Através de operações de rotações!!!!
Rotações
Existem quatro operações de rotações:
Rotação simples à EsquerdaRotação simples à DireitaRotação Dupla à EsquerdaRotação Dupla à Direita
Rotações
Existem quatro operações de rotações:
Rotação simples à EsquerdaRotação simples à DireitaRotação Dupla à EsquerdaRotação Dupla à Direita
As duplas são derivadas das simples
Rotações
● Quando usar as Rotações ?○ Na inserção de um elemento○ e na remoção de um elemento
● É provado que no máximo uma rotação é suficiente para realizar o balanceamento de uma árvore quando é inserido ou removido um elemento
Rotações e balanceamento
Vamos ver primeiro as operações de rotação e depois usa-las para balanceamento.
Rotações
Rotação a direitaRotação a direita
Rotação a esquerda
Rotação a direita
Rotação a direita
30
20
10
Imagine a seguinte árvore....
Rotação a direita
30
20
10
30
20
10
Imagine a seguinte árvore....
Rotação a direita
30
20
10
30
20
10
Imagine a seguinte árvore....
Rotação a direita
AtividadesInsiram os seguintes valores e depois rotacione para a direita a partir da raiz:
a) [40,30, 20]b) [40, 30, 20, 35]c) [40, 50, 30, 20, 35]
Rotação a esquerda
Rotação a esquerda
AtividadesInsiram os seguintes valores e depois rotacione para a esquerda a partir da raiz:
a)[40, 50, 60]b) [40, 50, 10, 60]c) [40, 20, 10, 50, 60, 70]
Rotação dupla a esquerda
Rotação dupla a esquerda
AtividadesInsiram os seguintes valores e depois rotacione dupla a esquerda a partir da raiz:
a)[20, 40, 30]b) [20, 40, 30, 50]c) [20, 10, 40, 30, 50, 12]
Rotação dupla a direita
Rotação dupla a direita
AtividadesInsiram os seguintes valores e depois rotacione dupla a direita a partir da raiz:
a) [40, 20, 30]b) [40, 20, 30, 50]c) [40, 20, 30, 10,50, 80]
Como usar as rotações para manter uma árvore balanceada, ou seja, uma AVL ?
Balanceamento
Ao inserir um novo elemento em uma árvore, pode ser que um dos seus nós ascendentes se torne desbalanceado, avô, bisavô ...
Balanceamento
Algoritmo:
A cada inserção, checa-se os nós ascedentes.
Balanceamento
Algoritmo:
● Aplica-se, o mesmo algoritmo de inserção da árvore binária de busca.
● A cada inserção, checa-se os nós ascedentes.
● Caso o nó esteja desbalanceado, existem quatro diferentes configurações, como veremos a seguir.○ Para cada configração, existe uma rotação indicada.
Exemplo
10
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30]
Exemplo
10
20
FB: -1 - 0 = -1 OK
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30]
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30]
30
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30]
30
FB: -1 - 0 = -1 OK
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30]
30
FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30]
30
FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado
Qual a rotação indicada neste caso ?
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30]
30
FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado
Qual a rotação indicada neste caso ?
Rotação simples a esquerda.
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30]
30
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30, 40]
30
40
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30, 40, 35]
30
40
35
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30, 40, 35]
30
40
35
FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30, 40, 35]
30
40
35
FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado
Qual a rotação indicada neste caso ?
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30, 40, 35]
30
40
35
FB: -1 - 1 = -2 Perigo: desbalanceado
Qual a rotação indicada neste caso ?
Rotação dupla a esquerda.
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30, 40, 35]
30
40
35
rotação direita
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30, 40, 35]
30
35
40
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30, 40, 35]
30
35
40
rotação esquerda
Exemplo
10
20
altura (SAE) - altura (SAD)
[10, 20, 30, 40, 35]
35
3040
FB: 0 - 1 = -1 OK
continua a checagem com o no ascendente.
Atividades
A partir de uma árvore AVL, insiram os seguintes valores:
a) [10, 20,15,45,67,81,91,10]b) [1, 5,80,20,67,91,8,10]c) [10,20,30, 50, 5, 15, 30]
Codificação
Transformando uma árvore binária de busca em AVL ...
Codificação
Transformando uma árvore binária de busca em AVL ...
baixem o seguinte código:
https://sites.google.com/site/skosta/teaching/2011-2/sif-120/arquivos/arvore_binaria.c?attredirects=0&d=1
Rotações
Os algoritmos de rotação serão os primeiros a serem codificados:
● rotação a esquerda● rotação a diretia
Rotação a esquerda
BTNode* leftRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getRight(r);setRight(r, getLeft(aux));setLeft(aux, r);return aux;
}
Rotação a esquerda
BTNode* leftRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getRight(r);setRight(r, getLeft(aux));setLeft(aux, r);return aux;
}
Rotação a esquerda
r
10
20
30
5
40
15
BTNode* leftRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getRight(r);setRight(r, getLeft(aux));setLeft(aux, r);return aux;
}
Rotação a esquerda
r
10
20
30
5
40
15
BTNode* leftRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getRight(r);setRight(r, getLeft(aux));setLeft(aux, r);return aux;
}
Rotação a esquerda
r
10
20
30
5
40
15
aux
BTNode* leftRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getRight(r);setRight(r, getLeft(aux));setLeft(aux, r);return aux;
}
Rotação a esquerda
r
10
20
30
5
40
15
aux
BTNode* leftRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getRight(r);setRight(r, getLeft(aux));setLeft(aux, r);return aux;
}
Rotação a esquerda
r
10
20
30
5
40
15
aux
BTNode* leftRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getRight(r);setRight(r, getLeft(aux));setLeft(aux, r);return aux;
}
Rotação a esquerda
r
10
20
30
5
40
15
aux
BTNode* leftRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getRight(r);setRight(r, getLeft(aux));setLeft(aux, r);return aux;
}
Rotação a esquerda
r
10
20
30
5
40
15
aux
BTNode* rightRotation (BTNode* r) {BTNode* aux = getLeft(r);setLeft(r, getRight(aux));setRight(aux, r);return aux;
}
Rotação a esquerda
Rotações duplas
// rotação dupla a direitaBTNode* rightDoubleRotation (BTNode* r) {
setLeft(r, leftRotation(getLeft(r)));return rightRotation (r);
}
// rotação dupla a esquerdaBTNode* leftDoubleRotation (BTNode* r) {
setRight(r, rightRotation(getRight(r)));
return leftRotation (r);}
BTNode* balance (BTNode* r) {int fb;if (r == NULL) return NULL;fb = height (getLeft(r)) - height (getRight(r));
if (fb < -1) { if (height( getRight (getRight(r))) > height( getLeft (getRight(r))))
return leftRotation (r);else
return leftDoubleRotation (r);}else if (fb > 1) {
if (height( getLeft (getLeft(r))) > height( getRight (getLeft(r))))return rightRotation (r);
elsereturn rightDoubleRotation (r); }
return r;}
Como usar o algoritmo de balanceamento ?
Nas operações de inserção e remoção
// inserçãoBTNode *BSTinsert (BTNode *r, int x) { if (r == NULL) r = Node (x, NULL, NULL); else if (x < getElement(r) ) setLeft( r, BSTinsert(getLeft(r), x ) ); else setRight( r, BSTinsert(getRight(r), x ) ); return balance(r);}
Qual o problema SÉRIO com este nosso algoritmo ?
Qual o problema SÉRIO com este nosso algoritmo ?
A operação que calcula a altura da árvore não está eficiente.
Sua complexidade é linear, como torná-la constante ?
Uma verdadeira AVL
A codificação de uma AVL necessita que o cálculo da altura seja constante, caso contrário ela será eficiente na busca porém MUITO ineficiente nas inserções e remoções.
AVLtypedef struct AVL {
int e;int height;struct AVL *l;struct AVL *r;
} AVL;
int height (AVL* r) {if ( r == NULL ) return -1;else return r->height;
}
adiciona mais uma variavel a estrutura
a função altura agora tem complexidade constante
AVL
Contudo, teremos atualizar a altura para cada:
● inserção● remoção● rotações
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