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_________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 1 2 Faltas Balanceadas 2.1 Introdução O problema consiste em determinar as tensões de barra e as correntes nas linhas de transmissão para diferentes tipos de faltas. As faltas podem ser do tipo balanceada (trifásica) e desbalanceada (monofásica, bifásica, bifase-terra). Os estudos de curto-circuito trifásico servem para ajustar os relés de fase, enquanto que os monofásicos, servem para ajustar os relés de terra. Estudos de falta, também servem para dimensionar disjuntores. O comportamento do gerador, para estudos de faltas, pode ser dividido em três períodos: subtransitório, transitório, e regime permanente. 2.2 Curto-circuito trifásico Não ocorre com frequência e é o tipo de falta mais severa. Considerando a rede balanceada, este tipo de falta pode ser resolvido por fase. Nas outras duas fases, fluem correntes com mesmo módulo, porém defasadas de 120°. Durante o curto-circuito, a X do gerador varia no tempo. A X''d descreve os 1 os ciclos, a X'd, 30 ciclos e a Xs, daí para frente. Como a duração do curto-circuito é função do tempo de atuação da proteção, não é fácil decidir qual tipo de reatância utilizar nos estudos. Geralmente, a X''d é utilizada quando se deseja determinar a capacidade de interrupção de disjuntores. A X'd é tipicamente utilizada em estudos de proteção e estabilidade transitória. Exemplo 2.1 Determine a corrente de falta no ponto de falta, as correntes de falta nas linhas de transmissão e tensões pós-falta nas barras, para Zf=0,16 pu. Fazer para a barra 1, 2 e 3 do sistema representado na Figura 2.1. Figura 2.1 – Sistema de potência. a) Curto-circuito na barra 3:

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Estudo de Falta de fases Balanceadas

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2 Faltas Balanceadas

2.1 Introdução O problema consiste em determinar as tensões de barra e as correntes nas linhas de

transmissão para diferentes tipos de faltas. As faltas podem ser do tipo balanceada (trifásica) e desbalanceada (monofásica, bifásica, bifase-terra). Os estudos de curto-circuito trifásico servem para ajustar os relés de fase, enquanto que os monofásicos, servem para ajustar os relés de terra. Estudos de falta, também servem para dimensionar disjuntores.

O comportamento do gerador, para estudos de faltas, pode ser dividido em três períodos: subtransitório, transitório, e regime permanente.

2.2 Curto-circuito trifásico Não ocorre com frequência e é o tipo de falta mais severa. Considerando a rede balanceada,

este tipo de falta pode ser resolvido por fase. Nas outras duas fases, fluem correntes com mesmo módulo, porém defasadas de 120°.

Durante o curto-circuito, a X do gerador varia no tempo. A X''d descreve os 1os ciclos, a X'd, 30 ciclos e a Xs, daí para frente. Como a duração do curto-circuito é função do tempo de atuação da proteção, não é fácil decidir qual tipo de reatância utilizar nos estudos. Geralmente, a X''d é utilizada quando se deseja determinar a capacidade de interrupção de disjuntores. A X'd é tipicamente utilizada em estudos de proteção e estabilidade transitória.

Exemplo 2.1

Determine a corrente de falta no ponto de falta, as correntes de falta nas linhas de transmissão e tensões pós-falta nas barras, para Zf=0,16 pu. Fazer para a barra 1, 2 e 3 do sistema representado na Figura 2.1.

Figura 2.1 – Sistema de potência.

a) Curto-circuito na barra 3:

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Figura 2.2 – (a) Curto-circuito na barra 3. (b) Equivalente de Thévenin.

A corrente de falta na barra 3 é:

Onde V3(0) é a tensão de Thévenin ou tensão pré-falta na barra 3. Essa pode ser obtida por

meio de estudos de fluxo de potência. Neste exemplo, as cargas foram desprezadas e as tensões internas dos geradores foram consideradas como sendo iguais. Portanto, todas as tensões pré-falta são iguais a 1 pu e estão em fase, ou seja:

V1(0) = V2(0) = V3(0) = 1,0 pu

Z33 é a impedância equivalente de Thévenin vista a partir da barra em falta.

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Figura 2.3 – (a) Transformação ∆-Y. (b,c) Redução da rede para encontrar o equivalente de Thévenin.

Por meio da Figura 2.3 (c), pode-se calcular a corrente de falta no ponto de falta.

A Figura 2.3 (a) permite calcular a contribuição dos geradores, ou seja:

As mudanças nas tensões de barras, de acordo com a Figura 2.3 (b) são:

As tensões pós-falta das barras podem ser obtidas por superposição das tensões pré-falta e

variação das tensões devido ao curto-circuito, como mostrado em Figura 2.2 (b), ou seja:

As correntes de curto-circuito nas linhas de transmissão são:

a) Curto-circuito na barra 2:

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Figura 2.4 – (a) Curto-circuito na barra 2. (b) Equivalente de Thévenin.

A corrente de falta na barra 2 é:

Figura 2.5 – (a,b) Redução da rede para encontrar o equivalente de Thévenin.

Por meio da Figura 2.3 (a), pode-se calcular a contribuição dos geradores.

A Figura 2.3 (a) permite calcular a contribuição dos geradores, ou seja:

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As variações nas tensões de barras, de acordo com a Figura 2.3 (b) são:

As tensões pós-falta das barras podem ser obtidas por superposição das tensões pré-falta e

variação das tensões devido ao curto-circuito, como mostrado em Figura 2.2 (b), ou seja:

As correntes de curto-circuito nas linhas de transmissão são:

a) Curto-circuito na barra 1:

Figura 2.6 – (a) Curto-circuito na barra 1. (b) Equivalente de Thévenin.

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Figura 2.7 – (a,b) Redução da rede para encontrar o equivalente de Thévenin.

A corrente de falta na barra 2, de acordo com a Figura 2.6 é:

Por meio da Figura 2.7 (a), pode-se calcular a contribuição dos geradores.

As variações nas tensões de barras, de acordo com a Figura 2.7 (b) são:

As tensões pós-falta das barras podem ser obtidas por superposição das tensões pré-falta e

variação das tensões devido ao curto-circuito, como mostrado em Figura 2.2 (b), ou seja:

As correntes de curto-circuito nas linhas de transmissão são:

Neste exemplo as tensões nodais pré-falta foram consideradas como sendo 1 pu. Uma maior

precisão nos resultados pode ser obtida por meio do uso da tensão de pré-falta obtida em estudo de fluxo de potência.

O procedimento a ser usado, quando se deseja incluir os efeitos da carga nos estudos de curto-circuito é descrito a seguir:

• Obter as tensões de barra pré-falta por meio do fluxo de potência; • Converter as cargas em impedância constante, sendo para tal utilizada a tensão pré-falta do

fluxo de carga; • Encontrar o equivalente de Thévenin; • Encontrar as variações de tensão em cada barra; • Encontrar as tensões pós-falta para cada barra por meio do método da superposição; • Encontrar as correntes de falta na rede elétrica.

2.3 Potência de curto-circuito A potência de curto-circuito de uma barra expressa a sua capacidade de escoamento e é

usada para dimensionar a barra e a capacidade de interrupção de disjuntores.

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a Scc (MVA) de uma barra é definida como sendo:

Eq. 2.1

onde VLk é a tensão de linha em kV e Ik(F) é expressa em A. A corrente de curto-circuito trifásica em pu é:

Eq. 2.2

onde, Vk(0) é a tensão pré-falta em pu e Xkk é a reatância em pu no ponto de falta. A resistência do sistema é desprezada e somente a X é utilizada. Este cenário implica em uma menor impedância e portanto, na maior corrente de falta (bastante conservador).

A corrente base é:

Eq. 2.3

onde, SB é a base em MVA e VB é a tensão de linha em kV. Deste modo, a corrente de falta em A é:

Eq. 2.4 Substituindo Ik(F) na equação 2.1 tem-se:

Eq. 2.5 Se a tensão base for igual a tensão nominal do sistema, VL = VB, então:

Eq. 2.6

Normalmente, a tensão pré-falta da barra é considerada como sendo 1 pu. Logo, a equação 2.6 pode ser aproximada por,

Eq. 2.7

2.4 Análise de faltas por Zbus Esta seção apresenta um meio de se calcular as correntes de falta por meio do método nodal.

É mostrado que as correntes e tensões pós-falta nas barras podem ser facilmente obtidas por meio dos elementos que constituem a matriz Ybus.

Considere o sistema n-barras mostrado na Figura 2.8. O sistema opera em condições balanceadas e o modelo por fase é utilizado.

Uma falta trifásica com Zf é aplicada na barra k. As tensões pré-falta da barras são obtidas do fluxo de carga e estão representadas pelo vetor coluna V(0).

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Figura 2.8 – Barramento típico de um sistema de potência.

Eq. 2.8 Os valores das correntes de curto-circuito são muito maior que aquelas que fluem pelo

sistema em regime permanente, e portanto a carga pode ser desprezada. Porém, uma boa aproximação é representar a carga como impedância constante, calculada para a tensão pré-falta na barra onde está conectada, ou seja:

Eq. 2.9 O circuito equivalente de Thévenin pode ser obtido zerando as fontes de tensão e

representando todos os componentes e cargas por suas impedâncias, conforme mostra a Figura 2.9. As variações de tensão causadas pela falta são representadas pelo vetor coluna.

Eq. 2.10

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Figura 2.9 – Barramento típico de um sistema de potência.

As tensões de barra pós-falta pode ser obtidas por superposição, considerando as tensões pré-falta nas barras.

Eq. 2.11 A equação nodal para n-barras com as correntes injetadas nas barras expressas em termos

das tensões de barras (com a barra zero como referência).

Eq. 2.12 onde, Ibus é o vetor que contém as correntes injetadas nas barras e Ybus é a matriz de

admitância. Os elementos da diagonal são formados por:

Eq. 2.13 Os fora da diagonal são:

Eq. 2.14 onde yij é a admitância real do equipamento entre i-j. No circuito equivalente de Thévenin mostrado na Figura 2.9 a corrente injetada em cada

barra é zero com exceção da barra em falta. Como a corrente está saindo da barra em falta, essa é considerada como sendo uma corrente negativa injetada na barra k.

Eq. 2.15

Eq. 2.16 resolvendo para ∆Vbus

Eq. 2.17 O vetor que contém as tensões pós-falta é

Eq. 2.18

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Eq. 2.19

A k ésima equação é

Eq. 2.20 Da Figura 2.9 tem-se:

Eq. 2.21 Para falta sólida, Zf = 0 e Vk(F) = 0, assim,

Eq. 2.22 Portanto, para uma falta na barra k, é necessário conhecer o elemento Zkk. Esse elemento é

a impedância equivalente de Thévenin vista pela barra em falta. A i-ésima eq. 2.18 é

Eq. 2.23

Substituindo Ik(F)

Eq. 2.24

As correntes pós-falta (positivo na direção i-j) em todas as linhas podem ser calculadas com base nas tensões de barra pós-falta.

Eq. 2.25 A matriz Zbus pode ser obtida por meio da inversão de Ybus (não é factível para sistemas de

grande porte). Outro meio é montagem direta de Zbus.

Exemplo 2.2

Calcule a corrente de falta no ponto de falta, as tensões pós-falta e as correntes nas linhas para um curto-circuito trifásico com Zf = j0,16 pu na barra 3 do sistema da Figura 2.1.

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Note que os elementos da diagonal principal são os equivalentes de Thévenin encontrados no exemplo 2.1. Com a vantagem de evitar a redução de rede para cada local da falta.

A corrente de falta no ponto de falta pode ser calculada por meio da equação 2.22.

Figura 2.10 – Diagrama de admitância do sistema da Figura 2.2(b).

As tensões pós-falta são calculadas por meio da equação 2.23.

As correntes de curto-circuito que fluem pelas linhas são calculadas por meio da equação

2.25.

2.5 Algoritmo para formação da matriz Zbus Utiliza a teoria do grafo Grafo: o grafo de uma rede descreve a estrutura geométrica da rede elétrica. Consiste em

redesenhar a rede, onde a linha (aresta) representa cada elemento de rede. O grafo da Figura 2.2(a)

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antes da falta é mostrado na Figura 2.11(a). As barras são representadas por nós ou vértices e impedâncias por segmentos de linhas chamadas elementos ou aresta.

Árvore: é um subgrafo que conecta todos os nós sem formar um laço. Os elementos de uma árvore são chamados de ramos. Um grafo contém múltiplas árvores. O número de ramos b de uma árvore é

Eq. 2.26 onde n é o número de nós incluindo o de referência 0. Uma vez definida a árvore do grafo, os elementos restantes são os links. A linha cheia da

Figura 2.11(b) define a árvore. Co-árvore: é um conjunto de links. Se e é o número total de elementos do grafo, então o

número de co-árvore é

Eq. 2.27 A linha tracejada da Figura 2.11(b) define a co-árvore.

Figura 2.11 – Grafo, árvore e co-árvore do sistema da Figura 2.2(b).

A Zbus pode ser montada inserindo um elemento de cada vez. Considere que Zbus de

dimensão m existe para parte do sistema, incluindo a barra de referência 0, como mostrado em

Figura 2.12 - Parte do sistema elétrico.

A equação que corresponde a esse sistema é

Eq. 2.28 Para um sistema de n barras, m barras estão incluidas no sistema parcial, e Zbus é de ordem

mxm. Pode-se agora adicionar um elemento de cada vez, sendo este ramo ou link, conforme segue: ADIÇÃO DE UM RAMO:

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Quando o elemento adicionado é um ramo, uma nova barra é adicionada ao sistema elétrico parcial, adicionado-se uma linha e uma coluna, e a ordem do sistema fica (m+1)x(m+1). Considere que zpq é adicionado, conforme mostra a Figura 2.13.

Figura 2.13 - Adição de um ramo pq.

A equação de rede fica,

Eq. 2.29 A adição de um ramo não afeta a matriz original, mas requer o calculo dos elementos p e q.

Sendo Zqi = Ziq, para q = 1,...,m. Calculo dos elementos Zqi para i = 1,...,m sendo i≠q (com exceção do elemento da

diagonal). Para calcular esses elementos, faça Ii = 1 pu e mantenha as outras barras em circuito aberto (Ik = 0, k = 1,...,m, para k≠i. Da equação 2.29 tem-se,

Eq. 2.30 Da Figura 2.13(a)

Eq. 2.31 onde vpq é a queda de tensão do ramo adicionado

Eq. 2.32 Como o elemento adicionado é um ramo, ipq = 0, e portanto, vpq = 0, logo a equação 2.31

fica

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Eq. 2.33

Para calcular o elemento Zqq, injeta-se um corente de 1 pu na barra q, Iq = 1 pu, e mantem as outras barras em circuito aberto. De 2.29, tem-se,

Eq. 2.34 Como na q-ésima barra, a corrente injetada flui de q para p, ipq = -Iq = -1. Portanto, a eq.

2.32 fica,

Eq. 2.35

Substituindo vpq na equação 2.31

Eq. 2.36 Da eq. 2.20, i =q, Vq = Zqq e Vp = Zpq, logo a eq. 2.36 fica

Eq. 2.37 Se o nó p é o de referencia, como mostra a Figura 2.13 (b), Vp = 0 e tem-se,

Eq. 2.38 Da eq. 2.37, o elemento da diagonal é

Eq. 2.39 ADIÇÃO DE UM LINK:

Quando o elemento a ser adicionado for um link de uma co-árvore, entre as barras p e q, então nenhuma nova barra é criada. A dimensão de Zbus fica a mesma.

Vamos adicionar um link zpq como mostra a Figura 2.14(a)

Figura 2.14 - Adição do link pq.

Se Il é a corrente através do link, com o sentido indicado na figura, tem-se,

Eq. 2.40 ou

Eq. 2.41

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O link adicionado modifica a antiga corrente Ip para (Ip - Il) e a antiga corrente Iq para (Iq+Il), como mostra a Figura 2.14(a), e a equação de rede fica,

Eq. 2.42 Substituindo Vp e Vq da eq. 2.42 em 2.41, tem-se

Eq. 2.43 Adicionando a eq. 2.43 em 2.42, tem-se m+1 equações

Eq. 2.44 onde

Eq. 2.45 e

Eq. 2.46 Agora a corrente Il do link pode ser eliminada. A eq. 2.44 pode ser rescrita na forma

compacta

Eq. 2.47 onde

Eq. 2.48 Expandindo 2.47 tem-se,

Eq. 2.49 e

Eq. 2.50 ou

Eq. 2.51 Substituindo 2.51 por Il na eq. 2.49, tem-se

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Eq. 2.52 ou

Eq. 2.53 onde

Eq. 2.54 Note que a eq. 2.54 reduz a matriz ao seu tamanho original. Isto, pois não se está

adicionando uma nova barra, apenas ligando duas barras pré-existentes. A Zbus pode ser construída adicionando-se ramos ou link em qualquer sequencia. Porém, é melhor selecionar a árvore que contém os elementos ligados á referência. Se mais de um elemento está conectado entre o nó e a referência, somente um deve ser selecionado como ramo, sendo que o outro faz parte da co-árvore. O procedimento passo a passo é descrito a seguir:

Regra 1: adição de um ramo da árvore à referência Inicie com os ramos conectados à referência. A adição de um ramo zq0 entre um novo nó q

e a refência 0 da Zbusold de ordem (mxm) resulta em uma nova matriz Zbusnew de ordem (m+1)x(m+1). Com os resultados da eq. 2.38 e 2.39, tem-se

Eq. 2.55 Essa matriz é diagonal e contém os valores das impedâncias reais dos ramos. Regra 2: adição de um ramo da árvore de uma barra nova para uma velha Conecte os ramos situados entre um nó novo e um já existente. A adição de zpq entre o nó

novo q e o nó existente p a uma Zbusold de ordem (mxm) resulta em uma Zbus

new de ordem (m+1)x(m+1). Com base nos resultados das eq. 2.33 e 2.37 tem-se,

Eq. 2.56

Regra 3: adição de um link de uma co-árvore entre duas barras existentes A adição de um link zpq entre dois nós existentes implica em aumentar em uma coluna e

uma linha a Zbusold. Das eq. 2.44 e 2.45 tem-se:

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Eq. 2.57 onde

Eq. 2.58 A nova linha e coluna é eliminada por meio da eq. 2.54, a qual é repetida aqui

Eq. 2.59 e ∆Z é definido como,

Eq. 2.60 Quando a barra q for a de referência, Zqi = Ziq = 0 (para i = 1,m), e a eq. 2.57 reduz para

Eq. 2.61 onde Zll = zpq + Zpp, e

Eq. 2.62 O algoritmo de construção da Zbus, onde um elemento de rede é adicionado por vez, pode

ser utilizado para remover linhas ou geradores (equipamentos de rede) do sistema. O procedimento é o mesmo, com exceção de que o elemento a ser removido possui impedância negativa, de modo a cancelar o seu efeito.

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Exemplo 2.3

Construa a Zbus do sistema mostrado na Figura 2.15(a).

Figura 2.15 - Diagrama de impedância do exemplo 2.1 e a árvore representativa.

Os elementos conectados à referência são incluídos na árvore conforme mostra a Figura 2.15(b).

Adicionar ramos ligados á referência: Adicionar o ramo 1, z10 = j0,2 (q = 1, referência = 0) De acordo com a regra 1,

Adicionar o ramo 2, z20 = j0,4 (q = 2, referência = 0)

De acordo com a regra 2, adicionar o ramo 3, z13 = j0,4 (q = 3, p = 1)

De acordo com a regra 3, adicionar o link 4, z12 = j0,8 (q = 2, p = 1) Da Eq. 2.57,

Da eq. 2.58,

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Da eq. 2.59, a nova Zbus é

Finalmente, adiciona-se o link 5, z23 = j0,4 (q = 3, p = 2). Da eq. 2.57,

Da eq. 2.58,

e

Da eq. 2.59, tem-se,

Essa é a mesma matriz obtida no exemplo 2.2, por inversão da Ybus.

Exemplo 2.4

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Determine a nova Zbus do sistema da Figura 2.16, supondo que a linha de transmissão 1-3 seja removida.

Figura 2.16 - Diagrama de impedância do exemplo 2.3.

A remoção do elemento 1-3 equivale a conectar um link com Z = -j0,56 entre o nó q =3 e o nó p=1.

Da eq. 2.57 tem-se

De onde se tem,

Da eq. 2.58

e

A nova Zbus é obtida a partir da eq. 2.59.

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2.6 Programa Zbuild e Symfault

Exemplo 2.5

Uitilize zbus para montar a matriz do exemplo 2.3

Exemplo 2.6

Uma falta trifásica com Zf = j0,16pu ocorre na barra 3 do sistema do exemplo 2.1. Utilize a função symfault para calcular as correntes e tensões de falta.

Exemplo 2.7

Simule uma falta franca na barra 8 do sistema 11 barras mostrado na Figura 2.17. Desconsidere a influência dos capacitores shunt e cargas

Figura 2.17 - Diagrama de impedância do exemplo 2.3.

Assim, ver CHP9EX7.M

Exemplo 2.8

Simule uma falta franca na barra 8 do sistema 11 barras mostrado na Considere a influência dos capacitores shunt e despreze as cargas.

Assim, ver CHP9EX8.M

Exemplo 2.9

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Simule uma falta franca na barra 8 do sistema 11 barras mostrado na Considere a influência dos capacitores shunt e das cargas.

Assim, ver CHP9EX9.M