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Sólidos Isotrópicos Linearmente Elásticos

William Thiago de Sousa da Silva

2015

Resumo

Empiricamente é possível determinar a variação da tensão pela deformação por meiode ensaios de tração. Em posse dos dados e com curva característica (peculiar paracada material) em mãos a parte do gráfico em que o comportamento é linear, ou bempróximo disto, é denominada região elástica. Elasticidade ou agilidade física trata-seda capacidade que um corpo tem de sofrer deformação e retornar a sua posição inicial.Neste conjunto de pontos aplica-se a Lei de Hooke. Considerando que apenas umadas componentes do vetor tensão normal não é nulo chamamos de estado de tensãouniaxial. Determinados parâmetros foram desenvolvidos com base na deformação dosmateriais por meio de tensão uniaxial a princípio que são eles: módulo de Young,coeficiente de Poisson, módulo de cisalhamento e o módulo de volume.

Palavras-chave: Tensão. Deformação. Sólidos isotrópicos.

IntroduçãoAs análises de deformação juntamente com as equações conhecidas na região elástica

são válidas para corpos isotrópicos. Esses corpos são sólidos contínuos e mantém suascaracterísticas mecânicas independentemente da direção em que são analisados.

1 Sólidos ElásticosUm material diz-se ser isotrópico se suas propriedades mecânicas podem ser descri-

tas, sem referência a direções. Quando isto não é verdade, o material é dito anisotrópico.Muitos metais estruturais, tais como o aço e o alumínio pode ser considerado como isotró-pico sem erro apreciável. Temos, para um sólido elástico linearmente, com relação à baseei,

Tij = CijklEkl (1)

e com relação à base e′i,

T ′ij = C ′

ijklE′kl (2)

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Se o material é isotrópico, em seguida, os componentes do tensor de elasticidadedeve permanecer o mesmo, independentemente de como a base retangular é rotacionada erefletida. Isso é,

C ′ijkl = Cijkl (3)

sob todas as transformações ortogonais de base. Um tensor deve ter as mesmas componentescom respeito a cada base ortonormal é conhecido como um tensor isotrópico. Por exemplo,o tensor de identidade que é, obviamente, um tensor isotrópico desde a suas componentesdij são os mesmos para qualquer base cartesiana. Na verdade, pode ser provada que, excetopara um múltiplo escalar, o tensor δij identidade é o único tensor de segunda ordemisotrópico. Deste tensor δij isotrópico de segunda ordem podemos formar as três seguintestensores de quarta ordem isotrópicos:

Aijkl = δijδkl (4)

Bijkl = δikδjl (5)

eHijkl = δilδjk (6)

Vamos expressar o tensor elasticidade Cijkl em termos de Aijkl, Bijkl e Hijkl.Isso é,

Cijkl = λ ∗Aijkl + α ∗Bijkl + β ∗Hijkl (7)

Assim,Tij = λEkkσij + (α+ β) ∗ Eij (8)

onde α, β e λ são constantes. Substituindo a Eq. 1 na Eq. 7, teremos,

Tij = CijklEkl = λeδij + (α+ β)Eij (9)

Ou, substituindo α+ β por 2µ, temos

Tij = λeδij + 2µEij (10)

ondee = Ekk (11)

indica a dilatação. Na notação direta, 13 lê

T = λeI + 2µE (12)

Esta é equação constitutiva para um sólido isotrópico linearmente elástico. As duasconstantes l e E materiais são conhecidos como coeficientes de lame ou constantes de lame.Desde Eij são adimensionais, L e M são da mesma dimensão que o tensor, com a força porunidade de área. Para um dado material real, os valores das constantes de lame são paraser determinadas a partir de ensaios adequados.

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2 Módulo de Young, coeficiente de Poisson, módulo de cisalhamento emódulo volumétrico

A Eq.9 expressa as componentes de tensão em termos de componentes de deforma-ção. Esta equação pode ser invertida, para dar,

Eij = 12µ [Tij −

λ

3λ+ 2µTkkδij ] (13)

Nós também temos,

e = ( 12µ+ 3λ)Tkk (14)

Se o estado de tensão é tal que apenas uma componente de tensão normal não é zero,nós a chamamos de estado de tensão uniaxial. A tensão uniaxial é uma boa aproximação aoverdadeiro estado da tensão na barra cilíndrica utilizada no ensaio de tração. Se tomarmosa direção e1 para ser axial, com T11 6= 0 e todos os outros Tij = 0, então a Eq. 13 dar

E11 = 12µ [T11 −

λ

3λ+ 2µT11] = λ+ µ

µ(3λ+ 2µ)T11 (15)

E33 = E22 = − λ

2µ(3λ+ 2µ)T11 = − λ

2(λ+ µ)E11 (16)

E12 = E13 = E23 = 0 (17)

a razão T11/E11, correspondente à razão σ/εa, é o módulo de Young ou módulosde elasticidade EY .

EY = µ(3λ+ 2µ)λ+ µ) (18)

O razão −E22/E11 e−E33/E11, correspondente à relação −εd/εa, é o coeficientede Poisson.

ν = λ

2(λ+ µ) (19)

Usando as equações 18 e 19 nós escrevemos na Eq. 13 na forma de engenhariafrequentemente usado

E11 = 1EY

[T11 − ν(T22 + T33)] (20)

E22 = 1EY

[T22 − ν(T33 + T11)] (21)

E33 = 1EY

[T33 − ν(T11 + T22)] (22)

E12 = 12µT12 (23)

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E13 = 12µT13 (24)

E23 = 12µT23 (25)

Mesmo que existam três constantes de material nas Eqs. 20 a 25, é importantelembrar que apenas dois deles são independentes para o material isotrópico. Definindoo módulo de cisalhamento G, tal como a razão entre a tensão de cisalhamento τ emcisalhamento simples para o pequeno decréscimo no ângulo entre os elementos que sãoinicialmente nas direções e1 e e2, temos

τ

2E12≡ G (26)

Uma outra constante elástica é o módulo de compressibilidade cúbica ou módulode elasticidade volumétrica, k, que é a razão da pressão hidrostática pela dilatação queesta produz

k = αm

∆ = −p∆ = 1β

(27)

onde -p é a pressão hidrostática e β a compressibilidade. Várias relações úteispodem ser derivadas entre as constantes elásticas E, G, ν e K, uma dela é

εx + εy + εz = 1− 2νE

(σx + σy + σz) (28)

Considerações finaisOs materiais isotrópicos são aqueles que possuem as mesmas propriedades mecânicas

e térmicas em todas as direções. Os materiais isotrópicos podem ter estruturas microscópicashomogêneas ou não homogêneas. Por exemplo, o aço demonstra comportamento isotrópico,apesar de sua estrutura microscópica ser não homogênea. Em um material isótropo oseixos principais de deformações coincidem com os eixos principais de tensões. No estudo dedeformações são diversos os módulos que regem seu comportamento. O módulo de Poissonpor exemplo, é adimensional e corresponde a relação entre deformações transversais elongitudinais.

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Isotropic Linearly Elastic Solid

William Thiago de Sousa da Silva

2015

Abstract

The isotropic materials are those that have the same mechanical and thermal propertiesin all directions. The isotropic materials may have microscopic homogeneous or inho-mogeneous structures. For example, steel demonstrates isotropic behavior, althoughits microscopic structure is not homogeneous. In a material isotropic deformation ofthe main axes coincide with the principal axes of stress. In the study of deformationare several modules that govern their behavior. The Poisson module for example, isdimensionless and represents the relationship between transverse and longitudinaldeformations.

Keywords: elasticity. isotropic solid. constitutive equations.

Referências

Introduction to Continuum Mechanics, third edition, W. M. Lai, D. Rubin and E. Krempl,Heinnemann/Elsevier, 1994. Fourth edition, to be published in 2009.

Nenhuma citação no texto.

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