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EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Parte 3
Formulação integral
das equações de transporte para sistemas
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
As leis físicas e o conceito de sistema
“As leis da natureza não foram inventadas pelo homem, mas sim forçadas sobre ele pelo próprio mundo natural. Elas são a expressão de uma ordem racional do mundo“; Max Planck
As leis físicas para fluidos foram desenvolvidas para sistemas: um conjunto de partículas (massa) com identidade fixa.
No sistema não há fluxo de massa na fronteira, mas pode haver forças (pressão, tensão) e energia na forma de calor ou trabalho cruzando sua fronteira.
O volume de controle é uma região do espaço onde massa, forças e energia podem cruzar a fronteira.
Nesta aula vamos escrever as equações da massa, 2ª lei de Newton e a 1ª e 2ª leis da termodinâmica para um sistema.
Sistema Volume
Controle
Massaentra
Massasai
SistemaVolume Controle
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
SistemasUm sistema pode ser caracterizado pela sua Massa, Quantidade de Mov. Linear, Energia, Entropia, e por outras propriedades.
A taxa de variação no tempo de uma propriedade (M, M.V, E, S) é avaliada seguindo o sistema. Porque
A massa do sistema é constante. Tratando de fluido, que é continuamente deformável, é um desafio avaliar como varia no tempo as propriedades (M, M.V, E, S) seguindo o sistema.
Este será o assunto da próxima aula: o Teorema de Transporte de Reynolds.
Esta aula apresenta as equações da massa, 2ª lei de Newton, 1ª e 2ª lei da termodinâmica para sistemas.
sis sis sissis
D MV D E D SDM, , ,
Dt Dt Dt Dt
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Os postulados físicos para sistemas são aplicados com sucesso para partículas e corpos rígidos.
Aplicação do Conceito de Sistema
No entanto encontra-se dificuldade para aplicá-los em corpos que se deformam continuamente (FLUIDOS)!
Considere o exemplo da aula 1. Veja se você conseguiria identificar, de um instante para o seguinte, onde todas as partículas deverão estar.
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
SistemasO sistema pode ser caracterizado pela massa, 2ª lei Newton, 1ª e 2ª leis termo.
Observe, o lado esquerdo é sempre uma taxa de variação do tempo de uma propriedade do sistema. O lado direito é específico para cada lei, ele é genericamente denominado por termo fonte. (M, M.V, E, S)
0Dt
DM
sis
ext
sis
FDt
VMD
WQ
Dt
ED
sis
S
sis
PT
Q
Dt
SD
• Variação da Massa de um sistema é, por definição, nula:
• Variação da Quant. de Movimento de um sistema - 2a lei de Newton
• Variação da Energia de um sistema - 1a Lei da Termodinâmica
• Variação da Entropia de um sistema - 2a Lei da Termodinâmica
M, E e S – massa, energia e entropia do sistema.
Q, W, T e Ps – calor, trabalho, temperatura e produção de entropia
Sinal Q & W: Q>0 se entra no sistema, W>0 se sai do sistema.
Fext – somatória das forças externas agindo no sistema
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Forma genéricaSe considerarmos B uma propriedade extensiva de um sistema, a taxa variação no tempo de B é expressa genericamente por:
SDt
DB
sis
Todas equações de transporte fluidos possuem esta forma genérica.
O termo D/Dt possui um significado especial: é uma derivada no tempo que avalia a taxa de variação de B seguindo o sistema. Note que este conceito é de um referencial Lagrangeano!
O termo à direita, S, são os termos fonte (não confunda c/ entropia)
Verifique as definições abaixo, elas reconstituem as eqs. slide anterior.
• Massa, B = M e S = 0;
• Q. Mov. B = MV e S = Fext;
• 1ª lei B = E e S = Q – W e,
• 2ª lei B = S e S = Q/T + Ps
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Sistema com propriedades não-uniformes
A propriedade genérica B (massa, q. movimento, energia etc) do sistema, em geral, não é uniforme no espaço.
A equação de transporte genérica do sistema para propriedades não uniformes é dada por: sis
Dd S
Dt
O valor de B no sistema passa a ser determinado por: sis
B d
m 0
Blim
m
Ela é avaliada definindo uma propriedade intensiva (ou específica) :
Sendo intensiva e dV = dm então outra forma de ver a integral de volume é: sis
B dm
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Propriedades de Sistemas
As equações que descrevem as variações das propriedades conservadas nos sistemas são postulados ou leis da física.
Para constituirmos estas equações devemos especificar:- e, - os termos fonte, isto é, S.
sis sis
DB Dd S
Dt Dt
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Equação da massa para um sistema
A equação da massa é obtida fazendo-se =1 e S = 0,
Note que não há termo fonte de massa, S=0. Pressupõe-se ausência de efeitos nucleares.
A massa de um sistema se conserva por definição de sistema!
sis sis
DM Dd 0
Dt Dt
SdDt
D
sis
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Equação da q. mov. (ref. Inercial) p/ sistema - 2ª Lei de Newton
A equação da Q. Movimento para um referencial inercial é obtida fazendo-se = V, e S = Fext.
SdDt
D
sis
A taxa variação M.V do sistema resulta numa equação vetorial, com três componentes para cada direção do vetor velocidade.
As forças externas são dividas em forças que agem na superfície e aquelas agem no volume do sistema.
• Tensões (pressão termodinâmica e de natureza viscosa) agem na superfície do sistema.
• Forças de campo que agem em todo o volume do sistema.
A 2ª lei de Newton para um sistema é:
sis sis
D DVd Vdm
Dt Dt
ext
A A
F
S p ndA ndA gd
ext
sis
D Vd F
Dt
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Equação da q. mov. (ref. não-inercial) p/ sistema - 2ª Lei de Newton
A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se = VNI,
• As velocidades, VNI , são medidas de um refe. não-inercial;
• A aceleração do ref. NI em relação ao ref. Inercial é aNI.
• A Fext permanece a mesma do slide anterior,
o Tensão viscosa não depende do referencial mas do deslocamento dos
seus vizinhos.
o Pressão é isotrópica, também não depende do referencial.
NI ext NI
sis
DV d F a d
Dt
SdDt
D
sis
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Equação da energia para um sistema
A equação da energia é obtida fazendo-se = e, onde ‘e’ é a energia específica e S = Q – W.
As formas de energia ‘e’ serão: cinética, interna e potencial, porém ainda não serão especificadas neste estágio,
• Q e W são os termos fonte da equação da energia,
• Q e W só existem na superfície do sistema,
• O calor é exclusivamente devido a condução térmica.
• O trabalho é realizado pelas tensões que atuam na fronteira do sistema.
sis sissis
sis
D E Ded D
ed Q WDt DtDt
S Q W
SdDt
D
sis
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2a Lei para um Sistema
A 2a Lei é obtida fazendo-se, = s, e S = Q/T + Ps
• O lado esquerdo refere-se a taxa de variação da entropia no sistema.
• O 1º termo do lado direito refere-se ao fluxo de calor que cruza a asuperfície do sistema
• O 2º termo do lado direito refere-se a produção de entropia dentro do sistema. Este termo está associado às irreversibilidades do sistema, Ps 0.
sissisS
sis
S
D S Dsd
Dt Dt D Q sd P
Dt TQS P
T
SdDt
D
sis
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Forma integral generalizada das
equações para um sistema
Eqs. Transporte escritas a partir do sistema (referencial Lagrangeano!)
Fonte
Massa 1 0
Movimento
1a Lei e
2a Lei s
extF
SdDt
D
sis
V
Q W
SQ T P
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
O Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) permite que se calcule a taxa de variação de uma propriedade seguindo um Sistema (conceito Lagrangano) a partir do conceito de campo aplicado aoVolume de Controle (conceito Euleriano)!
Sistema x Volume de Controle
• O Volume de controle, V.C. , é uma região do espaço onde se deseja realizar determinar o campo das propriedades (P, T, V, e etc) – um conceito Eueriano.
• A sua fronteira com o meio externa é delimitada pela Superfície de Controle, S.C.: massa, força e energia podem cruzar a S.C.
• O Volume de Controle pode ser estacionário ou móvel no espaço; fronteiras fixas ou deformáveis ou qualquer outra combinação;
Identifique:
- S.C. estacionária e fronteiras fixas;
- S.C. móvel e fronteiras fixas;
- S.C. estacionária com fronteiras
deformável e fixas
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
O Teorema de Transporte de Reynolds, TTR
As eqs. de Transporte são escritas a partir do sistema. Para manter a
identidade de cada partícula que compõe o sistema é necessário seguir
todas as partículas do sistema (referencial Lagrangeano!)
O TTR permite escrever as eqs. de transporte para um fluido a partir
do conceito de Volume de Controle, usando um referencial Euleriano!
Objetivo da próxima aula: expressar a equação acima em função
das propriedades do volume de controle.
SdDt
D
sis
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
FIM
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Calculo da vazão mássica que cruza uma superfície
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
Fluxo e vazão mássica que cruza uma superfície
Fluxo está associado a uma propriedade (massa, quantidade de movimento, energia etc) que cruza uma superfície por unidade de área da superfície.
Nota: deveríamos expressar fluxo de vazão mássica, fluxo da taxa no tempo q. movimento, fluxo de potência mas se omite o termo ‘a variação no tempo’.
2
2 2
2
kg sfluxo de massa =
m
V m Nfluxo q. mov. =
m m
J sfluxo de energia =
m
O fluxo de massa é expresso pelo produto .Vr:
Verifique que o fluxo de q. movimento, energia e entropia que cruzam uma área são dados pelo produto de (.Vr) por uma propriedade intensiva.
Nota: V é a razão quant. Movimento pela massa, portanto intensiva!
r 2
r 2
r 2
r 2
kg sfluxo de massa = V
m
Nfluxo q. mov. = V V
m
J sfluxo de energia = e V
m
J s.Kfluxo entropia = s V
m
EM 461 – Prof. Eugênio Rosa
A vazão mássica, quantidade de movimento, energia e
entropia que cruza uma superfície
Por exemplo: massa, q. mov., energia e 2ª ( = 1; V; e; s) lei temos que:
r
S
r
S
r
S
r
S
vazão massica = V n dA kg s
quant. mov. = V V n dA N
energia = e V n dA J s
entropia = s V n dA J s K
r
S
V n dA unidades de B tempo
dm
A integral da variável genérica abaixo expressa a taxa de B por tempo que cruza a superfície S :
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FIM
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