apresentação geometria analítica
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GEOMETRIA ANALÍTICA
“Penso, logo existo”
René Descartes (1596 - 1650)
Pai da Geometria Analítica
Figura 1
Prof. Luiz Gustavo da Silva
O Plano Cartesiano
Figura 2
Eixos
• X eixo das abscissas• Y eixo das ordenadas• Z eixo das cotas (3ª dimensão)
OBS: No momento vamos trabalhar somente com duas dimensões (x,y).
Sinais dos Quadrantes
• 1º Quadrante: x > 0 e y > 0• 2º Quadrante: x < 0 e y > 0• 3º Quadrante: x < 0 e y < 0• 4º Quadrante: x > 0 e y < 0
Distância entre dois pontos
Figura 3
Razão de Secção
Figura 4
Ponto Médio
Figura 5
2,
3CbaCba yyyxxx
G
2,
2BABA yyxx
P
Baricentro de um triângulo
Figura 6
3,
3CBACBA yyyxxx
G
Condições de Alinhamento de 3 pontos
0
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
3 pontos alinhados horizontalmente
Gráfico 1
3 pontos alinhados verticalmenteGráfico 2
3 pontos numa reta não-paralela aos eixos
Gráfico 3
Se 0
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo!
Gráfico 4
Área de um Triângulo
Figura 7
2
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Área
Mediatriz
Figura 8
O coeficiente angular da mediatriz é igual ao inverso negativo do coeficiente angular da reta que contém o segmento AB.
ABcontémqueretamediatriz mm
___
1
Simetria
A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou outros objetos
Figura 9
Figura 10
Figura 11 Figura 12
Figura 13
Figura 14
Figura 15 Figura 16
Figura 17
Figura 18
Equações da Reta
Equação Geral da Reta
0
1
1
1
BB
AA
yx
yx
yx
ax+by+c=0
Equação Segmentária da Reta
1q
y
p
x
q = 3
p = 1
Gráfico 5
Equações Paramétricas da Reta
Se y = f(x), temos:
x = f(t)
e
y = g(t)
Rt
Exemplo
Se ax + by + c = 0 ,
Vamos parametrizá-la!
Escolhendo x = t ,
Teremos,
at + by + c = 0
by + c = -at
by = -at – c
Portanto,
y = (-a/b)t – c/a
Equação Reduzida da Reta
y = mx + q
Onde,
m= -a/b
q (o mesmo da equação segmentária) = -c/b
Coeficiente angular da reta
x
y
xx
yy
b
atgm
AB
AB
)(
)(
Equação de uma reta r
(conhecidos o coeficiente angular e um ponto P de r)
)(
)(
P
P
xx
yym
Pra que servem essas Equações?
• Usadas na Química;
• Usadas na Física (Sxt no MU, vxt no MUV, etc....)
• Usadas em diversas disciplinas das mais variadas engenharias;
• Usadas em qualquer tipo de problema onde há um constante crescimento ou decrescimento;
• E muito mais!
Representação gráfica de Retas
Basta plotarmos 2 pontos no plano cartesiano!
É aconselhável usarmos a equação Reduzida para isso!
Assim,
Teremos y = f(x) , que é uma função do 1º grau.
E sabemos que toda função do 1º grau gera uma reta!
Coordenadas do ponto de intersecção entre duas ou mais retas
Nada mais é do que o ponto comum entre elas!
Basta pegarmos a equação de cada reta e fazermos um sisteminha entre elas!
Posições relativas entre retas
• Duas ou mais retas são paralelas, se e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais!
• Duas ou mais retas são concorrentes, se e somente se, tiverem coeficientes angulares diferentes!
• Duas retas são perpendiculares quando o produto entre seus coeficientes angulares for ( - 1 )! Você pode dizer também que o coeficiente angular de uma reta é o inverso negativo do coeficiente angular da outra reta!
Ângulo entre duas Retas
sr
sr
sr
sr
mm
mmarctg
mm
mmtg
11
Distância entre um Ponto e uma reta
²²,
ba
cbyaxd PP
rP
Bissetrizes de duas retas
Figura 19
EXERCÍCIOS...
Figura 20
Referências Bibliográficas• Figura 1:
http://sumateologica.files.wordpress.com/2010/09/frans_hals_portreit_rene_descartes.jpg• Figura 2: http://www.brasilescola.com/upload/e/1(25).jpg• Figuras 3, 4 e 5: http://www.google.com/images• Figura 6: http://www.somatematica.com.br/emedio/retas/Image36.gif• Gráficos 1,2,3 e 4: Software Graphmatica• Figura 7: http://www.mundoeducacao.com.br/upload/conteudo/AREA%20TRI1.JPG• Figura 8: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/constfundamentais/mediatriz01.gif• Figuras 9,10,11, 12 e 13: http://www.google.com/images• Figura 14: http://2.bp.blogspot.com/_vNhEHA-Xo0U/• Figuras 15 e 16: http://parafernaliaartesanal.blogspot.com/• Figura 17: http://www.google.com/images• Figura 18: http://seraksei.blogspot.com/2009/02/simetria.html• Figura 19: http://alfaconnection.net/images/GAN020117a.gif• Figura 20: www.dialogocomosfilosofos.com.br/category/metodo/
• VIVEIRO, Tânia, CORRÊA, Marlene. Minimanual Compacto de Matemática. 1. ed. São Paulo, 1999.
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