apostila_fundamentos

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Autores: Profa. Adriana Rodrigues de Matos Prof. Alcides Martinelli Esquilache Prof. Amrico Augusto Barbosa Prof. Geraldo Magela Barbosa

Prof. Ivan Pegoretti

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Plano de ensino 1 - Conjuntos numricos. Expresses numricas. 2 - Nmeros reais. Expresses algbricas. Operaes. 3 - Equaes de 1. Grau. Resoluo. 4 - Equaes de 2. Grau. Resoluo. 5 - Funes do 1. Grau. Resoluo. 6 - Funes do 2. Grau. Resoluo. 7 - Aplicaes das funes de 1 e 2 graus na Economia; representao grfica das funes: demanda e oferta. 8 - Determinao algbrica e grfica do ponto de equilbrio 9 - Aplicaes das funes de 1 e 2 graus na Economia: receita total, custo total, custo fixo, custo varivel, lucro total, prejuzo. 10 - Determinao algbrica e grfica do ponto crtico (Break even point).

APRESENTAO

Caro aluno,

O objetivo deste material preparar o discente para a vida acadmica, despertando-lhe o

desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes

aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como

objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos prticos, o conceito dos Fundamentos

da Matemtica e suas aplicaes, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fcil compreenso.

Vale lembrar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros,

apostilas, sites, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material

serve como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreenso, dessa forma, no

substitui, em hiptese alguma, a pesquisa em livros especficos.

Os autores.

Jamais considere seus estudos como uma obrigao, mas como uma oportunidade invejvel para aprender a conhecer a influncia libertadora da beleza do reino do esprito, para seu

prprio prazer pessoal e para proveito da comunidade qual seu futuro trabalho pertencer."

Albert Einstein

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Nenhuma parte desta apostila, sem autorizao prvia por escrito do autor, poder ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrnicos, mecnicos, fotogrficos, gravao ou quaisquer outros.

Regra de Sinais

A grande maioria dos alunos erram em sinais e em fraes, talvez porque no entenderam bem ou

por no ter sido bem explicado, um dos casos, talvez, seja a maneira pela qual apresentada a regra

de sinais, que muitas vezes confundem o aluno: "mais com mais", etc. Apresentamos aqui, a mesma e

velha regra de sinais tentando diminuir as chances de erros do aluno. Primeiro, vamos lembrar que o

erro se d no sinal, ento devemos lembr-los que antes de efetuar a conta eles devem obter qual

ser o sinal, aps o qual deve calcular o resultado obedecendo a operao em questo.

REGRA DE ADIO E SUBTRAO

Pense em dbito (-) e crdito (+)

Primeiro devemos informar que no h necessidade de se "decorar" uma regra, se pensarmos em

dbito(-) e crdito(+) no erramos nunca, pois podemos dizer que se temos por exemplo R$ 10,00

(dez reais) e recebemos mais R$ 5,00 (cinco reais), ficamos com R$ 15,00 (quinze reais); ou se

devemos R$ 10,00 (dez reais) a algum e devemos R$ 5,00 (cinco reais) a outra pessoa ento

devemos ao todo R$ 15,00 (quinze reais) (sinais iguais soma-se e repete o sinal); agora se temos

os mesmos R$ 10,00 (dez reais) e gastamos R$ 5,00 (cinco reais) ficamos com R$ 5,00 (cinco reais);

ou se temos R$ 5,00 (cinco reais) e devemos a algum R$ 10,00 (dez reais), s podemos pagar o que

temos, isto , os R$ 5,00 (cinco reais), e ainda assim ficamos devendo R$ 5,00 (cinco reais) (sinais

diferentes subtra-se e d o sinal do maior nmero em valor absoluto).

4

REGRA DE MULTIPLICAO E DIVISO

Para no esquecer a regra de sinais de produtos e divises vamos considerar um nmero positivo como amigo e um nmero negativo como inimigo. Assim: O amigo (+) de meu amigo (+) meu amigo (+). O amigo (+) de meu inimigo (-) meu inimigo (-). O inimigo (-) de meu amigo (+) meu inimigo (-). O inimigo (-) de meu inimigo (-) meu amigo (+). Portanto, sinais iguais, resultado positivo; sinais diferentes, resultado negativo.

EXPRESSES NUMRICAS

As expresses numricas so expresses matemticas que envolvem nmeros. Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expresso numrica.

Resumidamente: 1) Parnteses ( ) 2) Colchetes [ ] 3) Chaves { } 4) Potncia ou Radiciao 5) Multiplicao ou Diviso 6) Soma ou Subtrao

Sempre da esquerda para a direita

Veja o exemplo abaixo:

1 exemplo: [6 + (9 / 3) . (2 + 2 + 42) - 170 . (40 : 8 -3)] / (1 2)

[6 + 3 . (4 + 16) - 1 . (5 -3)] / -1

[6 + 3 . (20) - 1 . 2] / -1

[6 + 60 - 2]/ - 1

64 / -1

- 64

5

Exerccios: Calcule o valor de cada expresso numrica: 1) 2-(-7+2.5):(-1) Resposta 5 2) 16-30:[6-2.(3-1)+3] Resposta: 10 3) [(+23)+(-5)]:[12-(+3).(-2)] Resposta:1 4) -15-(-8).(+4)-(+20):(-5) Resposta: 21 5) {86-[-(3-10+4)+(13-20+4)]}-36 Resposta: 50 6) 51-{[46+(6-7)]-[32-(5+6+18)]} Resposta: 9 7) -11.(-3)-5+(-32):4-[16:(-2)-(-8):4] Resposta: 26 8) {-[-2-5.(-2)]+(-3).(-2)-(7-3-1)}:(-5) Resposta: 1 9) -32-3.{-9-3.4-[4.(-8)-2.(- 4+28:7)]} Resposta:-65 Nmeros Racionais Efetue:

1) 4

2

5

4

8

1 Resposta:

40

17

2) 2

7

8

2

4

5

Resposta: 2

3) 5

2

4

1

Resposta:

20

13

4)

6

1

5

1

2

1 Resposta:

15

8

5)

4

3

2

1

4

5

10

72

5

2 Resposta:

5

6

6)

5

62

2

128 Resposta:

10

103

7)

3

2.

2

14 Resposta: 3

8) 2

1

6

3.

4

5

8

1

Resposta:

16

3

9)

2

1.

8

2:

8

13

5

2 Resposta:

5

141

10)

2

1.

12

3:

4

1

3

2

8

1 Resposta:

3

7

6

EXPRESSES ALGBRICAS So expresses matemticas que apresentam letras e podem conter nmeros. So tambm denominadas expresses literais. Exemplos A = 2a + 7b B = (3c + 4) 5 C = 23c + 4 As letras nas expresses so chamadas variveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituda por um valor numrico. Prioridade das operaes numa expresso algbrica Nas operaes em uma expresso algbrica, devemos obedecer a seguinte ordem: Potenciao ou Radiciao Multiplicao ou Diviso Adio ou subtrao Observaes: Antes de cada uma das trs operaes citadas anteriormente, deve-se realizar a operao que estiver dentro dos parnteses, colchetes ou chaves. A multiplicao pode ser indicada por x ou por um ponto ( . ) ou s vezes sem sinal, desde que fique clara a inteno da expresso. Muitas vezes devemos utilizar parnteses quando substitumos variveis por valores negativos. Exemplos: Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim P = 2(5) + 10 P = 10 + 10 P = 20 Aqui A a varivel da expresso, 5 o valor numrico da varivel e 20 o valor numrico da expresso indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos: A = 2(9) + 10 A = 18 + 10 A = 28 Quando A=9, o valor numrico de P=2A+10 igual a 28. Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo: X = 4.(5) + 2 + 7 7 X = 20 + 2 0 X = 22 Quando A=5 e B=7, o valor numrico de X = 4A + 2 + B - 7, igual a 28. Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Ento : Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2) Y = 18 + 2 + 9 + 1 16 Y = 30 16 Y = 14 Se C=-2 e D=1, o valor numrico de Y=18-C+9+D+8C, 14. Operaes Algbricas Adio e Subtrao Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes. Ex: 7xy xy + 5xy. Os termos xy so semelhantes, portanto basta adicionar ou subtrair a parte numrica e conservar a parte literal. Soluo: (7-1+5).xy = 11xy. OBS: Quando a expresso algbrica tiver sinais de associao e for precedido por um sinal negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parnteses, colchetes ou chaves. Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x 5x = 3x b) 7x ( 4x 5) = 7x 4x + 5 = 3x + 5

7

EXERCICIOS EXPRESSES 1) Calcule o valor das expresses numricas: a) (-3)

2 4 (-1) + 5

2 =

b) 15 + (-4) . (+3) 10 =

c) 52 + 9 - [(+20) : (-4) + 3] =

d) 5 + (-3)2 + 1 =

e) 10 + (-2)3 4 =

f) 18 - (+7) + 32 =

g) (-2)3 + ( 3)

2 25 =

h) (-3)2 . (+5) + 2 =

i) 49 + 23 1 = j) 40:[(-1)

9 + (-2)

3 11] =

k) 10 [5 + (-2) + (-1)] = l) 2 {3 + [4 (1 -2) + 3] -4} = m) 50:{-5 + [-1 (-2)

5 + (-2) + 3]} =

n) 72 [6 (-1)

5 2

2] =

2) Resolva as expresses algbricas: a) 5ab 2ab + ab = b) 3y + (-2y) = c) 4xy + (-3xy) + 5xy = d) 5y + 4y 3 = e) 6a + 2ab + (-3a) = f) 19x

3 34x

3 + (-2y) =

g) 5x9 + 12 x

9 =

h) 4x5y

6 6 x

5y

6 =

i) (6x3 + 2x

2 3x + 1) + (2x

3 - 4x

2 + 2x - 2) =

j) (x5 - 3x

2 + 2) - (4x

5 + x

3 - 4x

2 + 2) =

3) Para as expresses a seguir se, x = 2 e y = - 3, encontre o valor de A. a) A = 3x + 2y b) A = - 4x + 3y c) A = y + 3x d) A = - 5x + y 4) Calcule o valor numrico das expresses algbricas: a) (x + 1). (x + 2). (x + 3), para x = - 4

b)22 ba , para a = 3 e b = 4

c) 12 x + 37 x , para x = 4 d) 3

x + x , para x = 2

e) yx

yxyx

22 2, para x = 1 e y = 3

f) x = a

cabb

.2

..42 , calcule x, para a = 3,b = - 7 e c = 2

8

POTENCIAO

Conceito: Potncia um produto de fatores iguais.

Seja a um nmero real e n um nmero natural, logo fatoresnaaaaaa n ......

Obs: a = base e n = expoente

Da definio decorre que:

a) aaaa ..3 c) 11 a b) 10 a

Exemplos:

a) 130

b) 551

c) 2433.3.3.3.335

d) 4)2).(2()2( 2

e) 8)2).(2).(2()2( 3

Base Negativa:

Expoente par = resultado positivo

Expoente mpar = resultado negativo Propriedades:

1) nmnm aaa .

(0,15)2 . (0,15)3 = (0,15)2 + 3 = (0,15)5

2)nm

n

m

aa

a

(0,19)6 : (0,19)2 = (0,19) 6 2 = (0,19)4

3) nnn baba .. (2 . 5 ) 3 = 2 3 . 5 3

Respostas: 1-) a) 31 h) 47 b) - 7 i) 14 c) 30 j) - 2 d) 15 k) 8 e) - 2 l) - 5 f) 20 m) 50/27 g) - 24 n) 46 2-) a) 4ab f) - 15x

3 2y

b) y g) 17x9

c) 6xy h) - 2x5y

6

d) 9y 3 i) 8x3 2x

2 x - 1

e) 3a + 2ab j) - 3x5 x

3 + x

2

3-) a) A=0 b) A =-17 c) A=3 d) A = -13 4-)

a) -6 b) 5 c) 8 d) 81 e) -8 f) 2

9

4)n

nn

b

a

b

a

9

64

3

8

3

82

22

5) nmnm aa . [(0,32)3]2 = (0,32) 3 . 2 = (0,32) 6 Potncia de expoente negativo

6) n

n

aa

1

Sendo a um nmero real no-nulo e n um nmero inteiro.

Exemplos:

2 2 = 1_ = 1_ 22 4

( - 3) 4 = 1__ = 1_ (- 3)4 81 Exerccios: 1) Calcule o valor das potncias: a) 35= b) 04= c) -33=

d)

3

4

1

e)

4

5

2

f) (-3)4= g) 26=

h)

5

3

2

i) 13

j) 13 k) 25

l)

2

3

4

m)

2

2

1

n) 34 2) Reduza a uma nica potncia usando as propriedades:

a) 22 yx b) 343 yx c) 44245 . yxyx

10

d) 32332 . yxyx e) 32324 .. yxyx f) 265 2.2 g) 225 3.3

h)

6

24

4

4.4

i)

2

15

5

j)

65

43

3.3

3.3

k)

2236

2355

5.5

5.5

Respostas exerccios:

1) a) 243 b) 0 c) 27 d) 64

1 e)

625

16 f) 81 g) 64

h) 243

32 i)

3

1 j)

3

1 k)

25

1 l)

16

9 m)4 n)

64

1

Exerccio 2: a) x4.y2 b) x9.y12 c) x26.y12 d) x15.y9 e) x15.y12 f) 22 g) 3 h) 44 i) 54 j) 3-2 k) 517

FUNO DO 10 GRAU

Chamamos de funo do 1o grau ou afim a qualquer funo IR em IR definida por f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais e a no nulo.

Definio: f: IR IR definida por f(x) = ax + b, a IR* e b IR OBS.:

a) O grfico da funo do 1o grau uma reta. b) O conjunto imagem da funo do 1o grau IR. c) A funo do 1o grau com b = 0, ou seja f(x) = ax chamada linear.

Exemplo Construa o grfico e d o conjunto imagem das seguintes funes de IR em IR. Considerar x = 0 e 1. a) f(x) = x +2

x f(x) = x +2

0 0 + 2 = 2

1 1 + 2 = 3

f(x)

3

2 Im = IR

1

0 1 x

11

b) f(x) = 5x

x f(x) = 5x

0 5 . 0 = 0

1 5 . 1 = 5

Observe que a funo f(x) = 5x, uma funo linear, e uma reta que passa pela origem (0, 0), pois para x = 0 temos f(x) = 0, para construirmos o grfico basta obter apenas mais um ponto. Raiz ou zero da funo do 1o grau Dada a funo do 1o grau f(x) = ax + b, chama-se raiz ou zero da funo, o valor de x para qual ax + b = 0, ou seja o valor de x que anula a funo. Ento, para determinarmos a raiz ou zero da funo, fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equao. Exemplo Determine a raiz das seguintes equaes: a) f(x) = 3x - 6

Resoluo: 3x 6 = 0 3x = 6

x = 6/3 x = 2 Observe que em f(x) = 3x 6, f(x) = 0 e x = 2, calculado anteriormente, o ponto (2, 0) a interseco da reta com o eixo x .

FUNO QUADRTICA (FUNO DO 2O

GRAU)

As funes do segundo grau, utilizando-se os mesmos critrios de equivalncia das funes do primeiro

grau, reduzem-se seguinte expresso:

f(x) = ax2 + bx + c

Esta maneira de apresentar a equao de segundo grau recebe o nome de forma ou frmula geral.

Temos trs coeficientes: onde a, b e c so nmeros reais, com a 0, e x a incgnita. Os nmeros a, b e

c so os coeficientes da funo.

Exemplos:

a) f(x) = 5x2 + 3x 2 a = 5 b = 3 c = 2

b) f(x) = x2 + 4x a = 1 b = 4 c = 0

c) f(x) = x2 5 a = 1 b = 0 c = 5

Observe que o coeficiente de a, nunca ser zero, pois se isto ocorrer no teremos mais uma funo do 2o

grau e sim uma funo do 1o grau.

f(x)

5

Im = IR

1 x

b) f(x) = 8x Resoluo: 8x = 0 . (1) x = 0/8 x = 0

12

Clculo das razes da funo do 2o grau

A existncia e o nmero de solues da funo f(x)= ax2

+ bx + c = 0 dependem do nmero b2 - 4ac, a

que chamaremos discriminante e representaremos pela letra grega (delta maiscula). Sempre ter duas

razes, elas at podem ser iguais.

Portanto, = b2 4ac

No entanto, utilizaremos a frmula de Bskara:

Logo,

Exemplos:

Resolver as seguintes equaes:

a) x2 8x + 12 = 0

a = 1, b = 8 e c = 12

(primeiro vamos calcular o valor de delta)

(substitumos a por 1, b por 8 e c por 12)

(Delta positivo)

(frmula de Baskara)

x = (8) + 16 (substitumos b por 8, delta por 16 e a por 1)

2(1)

x = 8 + 4

2

x = 12 / 2 = 6

x = 4 / 2 = 2

S = {6 ; 2}

13

b) x2 12x + 36 = 0

a = 1, b = - 12 e c = 36

(Delta igual a zero)

S = {6}

c) 2x2 4x + 3 = 0

a = 2, b = - 4 e c = 3

(Delta negativo)

S = { }, no existe raiz de nmero real negativo

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REPRESENTAO GRFICA DA FUNO DO 2O

GRAU

O grfico desta funo uma curva plana denominada parbola, o domnio :Dom(f)=R e a imagem:

Im(f)=R.

O sinal do coeficiente do termo dominante (concavidade da parbola) : COEFICIENTE a

O sinal do coeficiente do termo dominante desta funo indica a concavidade da parbola ("boca

aberta").

O coeficiente "a" desempenha no grfico a propriedade de concavidade da parbola. Significa que se o

"a" for positivo (a>0), a parbola ter concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo:

Se este for negativo (a < 0), a parbola teria concavidade para baixo (boca triste). Veja o exemplo:

Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais os valores de x que a parbola "corta" o eixo dos

X. Veja no exemplo o que "raiz" graficamente:

15

COEFICIENTE "c" : A funo do coeficiente "c" nos indicar onde a parbola "corta" o eixo Y.

Se ele for positivo ela ir "cortar" o eixo Y acima da origem; se for negativo ir "cortar" abaixo da

origem e; se for ZERO, ir cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0). Veja o exemplo:

Veja voc que os coeficiente no dependem um do outro. Podemos ter "a" positivo com "b"

negativo; "a" positivo com "b" positivo, ou seja, qualquer combinao de sinais.

COEFICIENTE "b"

A anlise do coeficiente "b" nos diz a inclinao que a parbola toma aps passar o eixo Y.

Primeiro olhe a figura abaixo:

16

Neste exemplo, o "b" negativo (b

17

Exemplo: Faa o esboo do grfico da seguinte funo

:

Resoluo:

Vamos primeiro calcular as razes usando BSKARA. Os coeficientes so: A=1, B= 1 e C= 2. Colocando na frmula, temos:

As duas razes so 2 e 1, ento j sabemos os pontos por onde a parbola corta o eixo X. No grfico, fica:

Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o c. Ele vale 2, ento o grfico da parbola com certeza corta o eixo Y no ponto 2. Vamos marc-lo:

Pelo coeficiente a sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo b sabemos que logo aps o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traando o esboo, temos o seguinte:

18

Estudo do Vrtice

O que vrtice de uma parbola?

- o ponto em que a parbola atinge seu valor mximo ou mnimo.

Veja os exemplos abaixo:

O vrtice de todas as parbolas tem uma caracterstica prpria, ele sempre se encontra "eqidistante"

de ambas as razes, ou seja, a coordenada "x" do vrtice fica exatamente no meio das coordenadas

das duas razes. A coordenada "x" do vrtice a mdia aritmtica das coordenadas "x" das razes,

isto , a soma das duas dividido por dois. Esta a frmula para encontrarmos o Xv.

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Agora que j sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vrtice). Portanto a frmula para o

clculo de Yv :

Observando os grficos que representam a funo quadrtica f(x) = ax2 + bx + c:

Exemplo

Determinar os vrtices (Xv e Yv) da funo y = x2 - 2x + 3, escreva se a funo admite um

mximo ou um mnimo e determine esse mximo ou esse mnimo.

Resoluo: Vrtices

Xv = - (-2)/2 . 1 = b2 - 4ac Yv = -(-8)/4 . 1

Xv = 2/2 = (-2)2 - 4 . 1 . 3 Yv = 8/4

Xv = 1 = 4 - 12 = -8 Yv = 2

S = (1, 2)

a > 0 , a funo assume um valor mnimo

Yv = - a4

= - (-8) = 2

(4 . 1)

Resumidamente temos:

FUNO QUADRTICA

Chamamos de funo quadrtica, qualquer funo de IR em IR definida por f(x) = ax2 + bx + c, onde a

IR*, b IR e c IR. Observe que o coeficiente de a, nunca ser zero, pois se isto ocorrer no teremos mais uma funo do 2 grau, e sim uma funo do 1 grau. CONCAVIDADE DA PARBOLA

a > 0 concavidade da parbola voltada para cima

a < 0 concavidade da parbola voltada para baixo

Se a > 0, a funo assume um valor de mnimo:

Yv = - a4

Assim o conjunto imagem da funo quadrtica ser:

Im = {y IR | y > - a4

}

Se a < 0, a funo assume um valor de mximo:

Yv = - a4

Assim o conjunto imagem da funo quadrtica ser:

Im = {y IR | y < - a4

}

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RAZES OU ZEROS DA FUNO QUADRTICA

Razes ou zeros da funo quadrtica f(x) = ax2 + bx + c so os valores de x para os quais a funo se anula (y = 0) Determinamos as razes da funo quadrtica resolvendo a equao: ax2 + bx + c = 0 o que pode ser feito aplicando a frmula resolutiva:

a

bx

2

onde: acb 42

INTERPRETAO GEOMTRICA DAS RAZES

Se 0 a funo tem dois zeros reais desiguais ( x e x ). Se 0 a funo tem um zero real duplo ( x= x ). Se 0 a funo no tem zero real.

0

0

0

2x 1x

x

y

2x 1x

x

y

21xx x

y

21xx x

y

x

y

x

y

21

VRTICE DA PARBOLA As coordenadas do vrtice so adquiridas atravs das frmulas:

a

bx

v2

e a

yv

4

IMAGEM DA FUNO QUADRTICA Observando os grficos que representam a funo quadrtica f(x) = ax2 + bx +c :

Exerccios: 1. Determine os coeficientes de a, b e c nas funes do 2 grau: a) y = x2 25 b) y = x2 + 2x 1 c) y = 5x2 + 13x d) y = 3x2 6x + 9 e) y = x2 18 f) y = x2 10x + 25 2. Dada a funo do 2 grau: y = 2x2 6 determine: a) f(5) b) f(- 2) c) f(0) 3. Construa o grfico da funo definida por cada uma das funes:

a) y = x2 4x + 3 b) y = 2x2 4x + 6 c) y = x2 + 6x d) y = x2 + 2 e) y = 2x2 + 2x 1 f) y = x2 4

vx

x

y 0a

vy

vx

Se a > 0, a funo assume um valor de

mnimo: a

yv

4

.

Assim o conjunto imagem da funo quadrtica ser:

Im = { y IR |a

y4

}

x

y

vy

0a Se a < 0, a funo assume um valor de

mximo: a

yv

4

.

Assim o conjunto imagem da funo quadrtica ser:

Im = { y IR |a

y4

}

22

Respostas dos exerccios. 1. a) a = 1, b = 0 e c = - 25 b) a = 1, b = 2 e c = 1 c) a = 5, b = 13 e c = 0 d) a = 3, b = 6 e c = 9 e) a = 1, b = 0 e c = 18 f) a = 1, b = 10 e c = 25 2. a) 44 b) 2 c) 6 APLICAES ECONMICAS DAS FUNES DO 1 e 2 GRAU

Se pensarmos nos conjuntos A e B e aplicarmos a teoria das funes, podemos relacionar as variveis x e y como:

a) Custo de produo de um dado produto e a matria-prima utilizada; b) Quantidade do produto vendido e o preo de venda desse produto; c) Custo total de produo e a quantidade produzida. OFERTA A B Indstria Comrcio Prest. De servios Mercado Diverses DEMANDA

O administrador dever ter como objetivo estabelecer as funes econmicas e procurar maximizar lucros e minimizar custos. LEI DA DEMANDA OU DA PROCURA

A quantidade de um produto demandado depende de vrias variveis, dentre elas, podemos citar: renda do consumidor, preo unitrio do produto, gosto do consumidor, etc. A lei da procura determina em quanto menor o preo de um determinado produto, mais ser a quantidade demandada por unidade de tempo, ou seja, mantidas constantes as demais condies. Configuremos os conjuntos A e B e chamaremos o conjunto A de p( preo) e o conjunto B de qd(

quantidade de demanda). Na teoria das funes podemos associar (qd) com a varivel y e (p), com a varivel x, ou seja:

qd = ap + b (linear afim) ou qd = ap2 + bp + c (quadrtica)

23

Verificamos que, normalmente o grfico de qd em funo de p uma reta decrescente, pois as duas grandezas so inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior for o preo, menor ser a quantidade de demanda, e vice-versa. qd

p

INTERCEPTOS

Os pontos da forma (x, 0) e (0, y) so chamados de interceptos da funo. Os pontos de forma(p, 0), so os interceptos de p, pois se um valor qd zero, a reta intercepta(corta) o eixo de p (eixo das abscissas, por analogia) e quando temos o ponto (0, qd) a reta intercepta o eixo de qd ( eixo das ordenadas). EXEMPLOS 1) Determine os interceptos, dada funo demanda: a) qd = -p + 1 Resoluo: p=0 qd = 0 qd q = ? p=?

qd = - p + 1 qd = - p + 1 qd = 0 + 1 0 = -p + 1 qd = 1 -1 = -p . (-1) 1 (p, qd) (p, qd) (0, 1) (1, 0)

Se p = 0, temos que qd = 1 Se qd = o, temos que p =1 p Interceptos: A = { 0, 1} 0 1 B = {1, 0}

2) A quantidade de demanda de televisores da marca KW-20 dada pela lei qd = 100 - 20p, onde qd representa a quantidade de demanda e o p o preo em reais. Represente graficamente a funo qd em funo do preo p. Resoluo: Encontrando os interceptos:

Se p = 0 qd = 100 20 . 0 qd = 100

Se qd = 0 0 = 100 20p -100 = -20p . (-1) 100 = 20p

p = 100 p = 5 20 Interceptos:

p = 0 qd = 100

qd = 0 p = 5

qd

100

p

0 5

24

Obs.: 1) A funo demanda( procura) qd decrescente, isto , aumentando o preo a demanda diminui.

2) O preo positivo (p 0) e a quantidade tambm positiva (qd 0), pois no h sentido em algum deles ser negativo. 3) Se p R$ 5,00 (valor mximo) a procura nula. 3) Quando o preo de venda de um videocassete de marca KW de R$ 120,00, nenhum vdeo vendido, porm quando o preo liberado gratuitamente, 100 vdeos so vendidos. Sabendo-se que a representao uma reta, determinar: a) A funo demanda. b) Esboar o grfico. c) Dar a demanda se o preo for R$ 60,00. d) Qual o preo de vdeo se a demanda de 75 unidades. Resoluo: (a) Vamos resolver por sistema de duas equaes:

Se p = 0 qd = 100

Se qd = 0 p = 120 A funo demanda qd = ap + b

I 100 = a . 0 + b Substituindo

II 0 = a . 120 + b multiplica-se a 2a por ( -1), temos: 100 = a . 0 + b (+) 0 = a . 120 - b 100 = -120

a

a = - 100 a = - 5 120 6

Se a = -5 100 = a . 0 + b 6 100 = -5 . 0 + b 6 b = 100 Ento: qd = - 5 p+ 100 funo demanda 6

25

(b)Grfico Interceptos: A( 0, 100)

B( 120, 0)

(c) Se p = 60, ento :

qd = -5 p+ 100 pela lei 6 qd = -5 . 60 + 100

6 qd = -5 . 60 + 100 6 qd = -5 (10) + 100 qd = -50 + 100

qd = 50 50 vdeos sero vendidos se o preo for R$ 60,00 (d) Se qd = 75, ento: qd = -5 p+ 100 pela lei 6 75 = -5 p + 100 6 75 - 100 = -5 p 6 -25 = -5 p . (-1)

6 25 = 5 p 6

25 . 6 = 5p 150 = 5p p = 150/5 p = 30,00 se foram vendidos 75 vdeos, o preo foi R$ 30,00 4) Se uma concessionria compra sempre 10 carros para qualquer preo do mercado, esboar o

grfico. Resoluo:

qd

100

0 120 p

26

A demanda ser sempre constante, ou seja, para qualquer preo p 0, sempre q = 10. neste caso temos uma funo constante. qd 10

0 p

5) A quantidade demandada de bolas de futebol da marca Penalty dada pela lei qd = 1600 p2: a) Esboar o grfico; b) Qual a demanda se o preo for R$ 30,00 a unidade. Resoluo: (a) A funo de demanda uma equao do 20 grau (quadrtica), portanto devemos encontrar as razes da equao. Atravs dos interceptos podemos calcular como:

Se p = 0 Se qd = 0 qd = 1600 p 0 = 1600 p2 (equao incompleta) qd = 1600 0 p2 = 1600 a > 0

qd = 1600 p = 1600

p = 40 Interceptos: qd A (0, 1600) B (40, 0) 1600 C (-40, 0) - 40 0 40 p

(b) Se p = 30, ento:

qd = 1600 p2 qd = 1600 (30)2 qd = 1600 900 qd = 700 sero vendidas 700 bolas, se o preo unitrio for de R$ 30,00.

27

Exerccios

1. Num estacionamento para automveis, o preo por dia de permanncia R$ 20,00. A esse

preo estacionam 50 automveis por dia. Se o preo cobrado for R$ 15,00, estacionaro 75 automveis. Admitindo linear a curva de demanda, obtenha sua equao e esboce o grfico. 2. Em um supermercado, a quantidade de demanda de CDs de Chitozinho e Xoror dada pela lei qd=225 p2, para o preo de R$ 10,00 a unidade, qual a quantidade de demanda? 3. Uma empresa vende 200 unidades de um produto por ms. Se o preo unitrio de R$ 5,00.

A empresa acredita que, reduzindo o preo em 20%, o nmero de unidades vendidas ser 50% maior.

a) Obter a equao de demanda admitindo-se ser uma equao de 10 grau; b) Esboce o grfico atravs dos interceptos.

LEI DA OFERTA

Analogamente lei da demanda, a quantidade de ofertada pelo produtor depende de vrios fatores, como: o preo da matria-prima, o preo do bem, tecnologia, etc. A lei da oferta determina que quanto maior o preo de um determinado produto, maior ser a quantidade maior ser a quantidade procurada por unidade de tempo, ou seja, mantidas constantes as demais condies. Configuremos os conjuntos A e B e chamemos o conjunto A de p(preo) e o conjunto B de qo( quantidade ofertada). Na teoria das funes podemos associar (qo) com a varivel y e (p), com a varivel x, ou seja:

qo = ap + b (linear afim) ou qo = ap2 + bp + c (quadrtica)

No grfico verificamos que qo em funo de p uma reta crescente,( ao contrrio da quantidade de demanda), pois as grandezas so diretamente proporcionais, ou seja, quanto maior for o preo(p), maior ser a quantidade ofertada(qo) e vice-versa.

qo

P EXEMPLOS 1) Quando o preo unitrio de um produto R$10,00, 5000 unidades de um produto so

colocados no mercado por ms; se o preo for R$12,00, 5500 unidades estaro disponveis. Admitindo que a funo ofertada seja do 10 grau e linear afim, obtenha suas equaes e esboce o grfico. Resoluo: Se uma funo do 10 grau, linear afim, teremos: f(x) = ax + b (funo linear afim) qo = ap + b (funo quantidade oferta) Pelo problema temos:

Se p = 10 qo = 5000u (I)

Se p = 12 qo = 5500u (II)

28

Devemos montar o sistema de equaes lineares, para encontrar os termos a e b.

I 5000 = 10a + b multiplicando a 1a equao por (-1), temos,:

II 5500 = 12a + b -5000 = -10a - b (+) 5500 = 12a + b 500 = 2a

a = 500 a = 250 2

Substituindo em I ou II, temos: 5000 = 10 . 250 + b 5000 = 2500 + b 5000 2500 = b b = 2500

Portanto a equao da leida oferta ser: qo = 250p+ 2500 Interceptos: Se p = 0 qo = 2500 Se qo = 0 p = - 10 A(0, 2500) B(-10, 0)

2) A funo dada por qo = -5 + 1/2p, com 10 < p < 20, onde p o preo por unidade e qo a

correspondente oferta de mercado. Construa o grfico. Resoluo:

p = 0 qo = - 5

p = 10 qo = 0

p = 20 qo = 5

qo

2500

-10 0 p

qo

5

0 10 20 p

-5 (oferta) 10 < p < 20, (qo > 0)

29

Exerccios lei da oferta 1. Seja a oferta de mercado de um produto dada por: qo = p2 11p + 28, com p < 60 (reais). Qual o valor da oferta para p = R$ 50,00? 2. Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por: qo = -20 + 2p, com p < 270 (reais).

a) Qual o valor da oferta para p = R$ 270,00? b) A que preo a oferta ser de 180 unidades? 3. A empresa WP, analisou a venda do produto lanterna pilha, e verificou-se que ao se fazer

investimentos em propaganda desse produto, suas vendas seriam 20% maiores a cada aumento de R$ 2,00 no preo unitrio da lanterna. Quando o preo de R$ 12,00 a empresa vende 500 unidades. Sabendo-se que a representao uma reta qual a lei da oferta?

EQUILBRIO DE MERCADO

Ponto de equilbrio de mercado o ponto de interseco do grfico entre a qd e a qo, ou seja o ponto onde ocorre a igualdade entre qd e qo. Suas coordenadas so preo de equilbrio (pe) e a quantidade de equilbrio (qe). Podem ocorrer grficos como:

1) q

qo

PE qd

p

2) q qo

PE qe

qd

pe p

3) q

qo

qd

pe

p

qe PE

O grfico tem PE(pe, qe), localizado no 1o quadrante. Isso quer dizer que podemos consider-lo como ponto de equilbrio significativo.

Neste grfico temos um preo negativo, dizemos que um PE no significativo.

Neste grfico temos uma quantidade negativa, dizemos

que um PE no significativo.

30

Exemplos: 1) Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas obedecem respectivamente as funes lineares de preo abaixo: qd = 24 p qo = -20 + 10p Pede-se:

a) o preo e a quantidade de equilbrio b) esboar o grfico da situao

Resoluo:

a) Se PE a igualdade entre qo e qd, ento:

PE qo = qd ou qd = qo, teremos o PE: 24 p = 10p + p 24 + 20 = 10p + p

44 = 11p 44/11= p p = 4 Substituindo em qd ou qo, temos: qd = 24 p qo = -20 + 10(4) qd = 24 4 qo = -20 + 40 qd = 20 qo = 20 Logo, pe = 4 e qe = 20

b) Grfico p q

interceptos de qd p = 0 qd = 24 A(0, 24)

qd = 0 p = 24 B(24, 0)

interceptos de qo p = 0 qo = -20 C(0, -20)

qo = 0 p = 2 D(2, 0)

qo, qd 24 qo

20 PE(4, 20) qd

2 4 24 p -20

31

2) Dadas: qd = 16 p

2 e qo = -3,5 + 3,5p, determinar o preo de equilbrio e a quantidade de

equilbrio (qe).

Resoluo:

pe qd = qo 16 p

2 = -3,5 + 3,5p

16 + 3,5 = p2 + 3,5p

19,5 = p2 + 3,5p

p2 + 3,5p 19,5 =0

= b2 4ac

= 3,52 4(1)(-19,5)

= 12,25 + 78

= 90,25

qe = ? Substituindo em qd ou qo, temos: qd = 16 (3)

2 qo

= -3,5 + 3,5p

qd = 16 9 qo = -3,5 + 3,5(3)

qd = 7 qo = -3,5 + 10,5

qo

= 7

Logo, pe = 3 e qe = 7

Exerccios Equilbrio de Mercado

1. Determinar o preo de equilbrio em cada um dos seguintes casos:

a) qd = 20 - 5p e qo= 2p 8 b) qd = 10 0,2p e qo = 1/2p - 11

2. Determinar o preo de equilbrio, a quantidade de equilbrio. qd = 34 5p qo = -8 + 2p

3. Em uma certa localidade, a funo oferta anual de um produto agrcola 0,01qo = p + 3, onde p o preo por Kg e qo expresso em toneladas:

a) que preo induz uma produo de 500 toneladas? b) Se o preo por kg for R$ 3,00, qual a produo anual? c) Qual o ponto de equilbrio de mercado, se a funo demanda anual for 0,01qd = -p + 10?

RECEITA TOTAL Poderemos definir receita total como sendo o valor em moeda que o produtor recebe pela venda de x unidades se um determinado produto. Assim sendo, se chamarmos de p, (o preo constante) do produto a ser vendido e q, a quantidade produzida, teremos uma funo linear do tipo:

f(x) = a . x RT = p . q

OBS.: o domnio da funo na receita total q (quantidade) e RT a imagem.

p = - b 2a

p = - 3,5 90,25 2.1

p = - 3,5 9,5 2

p = -3,5 + 9,5 p = 6 = 3 2 2

p = -3,5 - 9,5 p = -13 = -6,5 2 2

32

Exemplos: 1) Se o preo de um fogo da marca KW de R$ 280,00, determine a receita total para venda de 22 foges. Resoluo: p = 280 q = 22 RT = ? RT = p . q RT = 280 . 22 RT = 6160 (receita total para o fabricante) Representao grfica A semi-reta linear do grfico de RT ter origem no ponto de interseco das retas, portanto na origem dos eixos coordenados, pois q = 0.

Se p = 0 RT = 0 A (0, 0)

q = 0 RT = 0 B(0, 0) OBS.: Se o preo for varivel, a quantidade de demanda ir variar com o preo e a receita, sendo o produto do preo pela quantidade, tambm ir variar, o que significa que o grfico no necessariamente uma reta. 2) Se a demanda de um determinado produto dada por qd = -p/4 + 20, teremos que p = - 4q + 80. Resoluo: RT= p .q RT = (-4q + 80) . q RT = - 4q

2 + 80q

- 4q2 + 80q = 0 (equao incompleta)

- 4q2 + 80q (dividir por (-4))

q2 - 20q = 0

Por Bhskara: q=20

a.2

bq

=

)1.(2

400)20( =

2

2020 = q=0

Grfico:

RT 400 V

0 10 20 q

Coordenadas do vrtice: qv = -b = -(-20) = 20 = 10 2a

2(1) 2

clculo de

= b2 4ac

= (-20)2 4(1) . 0

= 400

V(10, 400)

33

Exerccios

1) O preo de uma bicicleta de marca x de R$ 190,00, determine a receita total para a venda de: a) q = 12 bicicletas

b) q = 8 bicicletas

c) q = 27 bicicletas

CUSTO TOTAL

Se um fabricante abre uma empresa e se propem a fabricar um determinado produto, no s ter receitas, como tambm ter gastado, que so denominados como custos empresariais. Podemos classific-las como: A) Custo Varivel: o custo que depender da quantidade produzida e em conseqncia do

material utilizado, como: embalagens, matria-prima, mo-de-obra, mquinas, etc. O grfico uma semi-reta que parte da origem e a funo linear representada por: CV = a . q

B) Custo Fixo: o custo que no depende da quantidade produzida. So os custos como:

aluguel, gua, luz, telefone, salrios, etc. O grfico uma semi-reta que ser paralela ao eixo 0q, pelo ponto b(custo no perodo) e a funo constante representada por: CF = b

CF b CF 0 q C) Custo Total: o custo dado pela somatrio do custo varivel, com o custo fixo. calculado pela frmula abaixo: CT = CV+ CF

34

Onde: CF = b CV = p . q Logo, a funo linear f(x) = ax + b

CT = CV + CF CT E o grfico : CT CV b CF 0 q

Exemplo: Esboar o grfico para o CT por CT = 2q + 4 Resoluo:

CV = 2q CF = 4

Logo se q = 0 CV = 0 A(0, 0)

q =1 CV = 2 B(1, 2) CT = 2q + 4

Se q = 1 CT = 2. 1 + 4 CT = 6 C(1, 6)

q = 0 CT = 2 . 0 + 4

CT = 4 D(0, 4) CT CT 6 C CV

D 4 CF

2 B

A

0 1 q

35

Exerccios 1. Suponha que a funo C(q) = 20q + 40 represente o custo total de produo de um determinado objeto, onde C o custo em reais e q o nmero de unidades produzidas. Determine:

a) o custo de fabricao de 6 unidades desse produto b) quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 12.000,00?

2. Uma usina de acar tem um custo total mensal dado pela lei CT(q) = 1/10q2 + 5q + 800, onde q representa a quantidade de toneladas produzidas mensalmente e o custo em reais.

Determinar: a) o custo mensal fixo b) o custo para a produo de 10 toneladas

PONTO CRTICO (BREAK-EVEN POINT)

o ponto de interseco entre o grfico da receita total e do custo total. Nesse ponto ocorre a indicao da quantidade produzida tal que o lucro total zero. a partir desse ponto que se analisa atravs da quantidade mnima produzida para que se tenha lucro positivo. Esse ponto onde o lucro nulo e a receita igual ao custo total (RT = CT). Tambm denominado de ponto de nivelamento. Exemplos

1) Numa empresa, o custo total dado pela funo CT = 500.000 + 10.000q e a receita total pela funo RT = 15.000q. Qual o ponto crtico dessa empresa ? Resoluo: RT = 15.000q CT = 500.000 + 10.000q O ponto crtico ser o valor de q que anula as funes, portanto: RT = CT 15.000q = 500.000 + 10.000q 15.000q 10.000q = 500.000 5.000q = 500.000 q = 500.000 5.000 q = 100 (o ponto crtico dessa empresa ser de 100 quantidades)

2) Se RT e CT so dadas, respectivamente, por RT = 14q e CT = 10q +8. Determine o ponto crtico. Resoluo:

RT = 14q CT = 10q + 8 RT = CT 14q = 10q + 8 14q 10q = 8 4q = 8 q = 8 q = 2 (o ponto crtico dessa empresa ser de 2 quantidades)

4

36

LUCRO TOTAL (Lucro positivo)

Chama-se de funo Lucro Total, a diferena entre a Receita Total e o Custo Total: LT = RT CT. Logo, para uma anlise econmica, se RT > CT, teremos lucro positivo.

Exemplo: Numa empresa, o custo total dado pela funo CT = 500.000 + 10.000q e a receita total pela funo RT = 15.000q. Qual a funo que representa o lucro total e o valor do lucro total para q

=100 e q = 120? Resoluo: RT = 15.000q CT = 500.000 + 10.000q LT = RT - CT LT = 15.000q - (500.000 + 10.000q) LT = 15.000q 500.000 10.000q LT = 5.000q 50.000 Funo Lucro Total PREJUZO (Lucro negativo) Chama-se de funo prejuzo, a diferena entre Custo Total e Receita Total: PR = CT RT. Para uma anlise econmica, se RT < CT, haver prejuzo. No exemplo anterior, se q < 100,

teremos: Resoluo:

CT = 500.000 + 10.000q RT = 15.000q PR = CT - RT PR = 500.000 + 10.000q 15.000q PR = 500.000 - 5.000q (funo prejuzo) Exerccios 1. Determine o Ponto Crtico (Break-even-point), nos casos abaixo:

a) CT = 3q + 5 e RT = 4q b) CT = 2q + 10 e RT = 4q

2. Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo R$ 10.000,00 por ms e o custo varivel R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento? 3. Determine a funo que representa o lucro total:

a) CT = 3q + 5 e RT = 4q c) CT = 2q + 10 e RT = 4q

4. Conhecendo-se a funo Custo Total CT = 16.000 + 10q e a Receita Total RT = 14q. Determine:

custo fixo; custo varivel; o preo unitrio do produto; o ponto crtico; o lucro total (expresso).

Se tivermos q = 100 LT = zero Se tivermos q = 120 LT = 5000 . 120 500.000 LT = 600.000 500.000 LT = 100.000 (lucro positivo)

Se q = 90 PR = 500.000 - 5.000q PR= 500.000 5000 . 90 PR= 500.000 450.000 PR= 50.000 Prejuzo (lucro negativo)