apostila funções

UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA

Campus Cornelio Procopio

FUNCOES

ARMANDO PAULO DA SILVA

FERNANDO BRITO

GABRIELA CASTRO SILVA CAVALHEIRO

MARCIA REGINA PIOVESAN

THIAGO DE SOUZA PINTO

Cornelio Procopio - PR, 2012

Sumario

1. Funcoes 4

1.1. Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Funcoes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Funcao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Funcao identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3. Funcao do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.4. Funcao modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.5. Funcao quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.6. Funcao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.7. Funcao racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.28. Funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.9. Funcao logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1. Funcao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2. Funcao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3. Funcao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.4. Funcao cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.5. Funcao secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.6. Funcao cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Funcoes hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.1. Seno hiperbolico e cosseno hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.2. Funcoes tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbolicas . . 22

1.5. Funcao periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

1.6. Funcao par e funcao ımpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7. Funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.1. Funcao sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.2. Funcao injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.3. Funcao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Aplicacoes 31

Referencias 35

1. Funcoes

Antes de definirmos formalmente o que e uma funcao, podemos pensar em um valor

que depende de outro. Por exemplo:

1. Uma relacao que expresse a area de um quadrado em funcao do comprimento do

lado.

2. A area A de um cırculo depende de seu raio r. A lei que conecta r e A e dada pela

equacao A = πr2. A cada numero real r positivo existe associado um unico valor

de A, e dizemos que A e uma funcao de r.

Definicao: Sejam A e B subconjuntos de R. Uma funcao f : A → B e uma lei ou

regra que a cada elemento de A faz corresponder um unico elemento de B. O conjunto

A e chamado domınio de f e e denotado por D(f). B e chamado de contra-domınio ou

campo de valores de f .

Escrevemos: f : A → B

x 7→ f(x)

IMPORTANTE:

a) nao deve haver excecoes: se f tem o conjunto A como domınio, a regra deve fornecer

f(x) para todo x ∈ A;

b) nao deve haver ambiguidades: a cada x ∈ A, a regra deve fazer corresponder um unico

5

f(x) ∈ B.

Exemplos:

1. Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.

(a) f : A → B dada pelo diagrama abaixo e uma funcao.

(b) g : A → B e uma funcao de A em B.x 7→ x + 1

2. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.

(a) f : A → B dada pelo diagrama abaixo nao e uma funcao de A em B.

(b) g : A → Bx 7→ x − 3

Nao e uma funcao de A em B, pois o elemento 3 ∈ A nao tem correspondente

em B.

6

Definicao: Seja f : A → B.

i) Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B e chamado de valor da funcao f no ponto x ou

de imagem de x por f .

ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela funcao e chamado conjunto imagem

de f e e denotado por Im(f).

CUIDADO!

a) Nao se deve confundir f com f(x): f e a funcao, enquanto que f(x) e a imagem que

a funcao assume em x.

b) Nao confunir f(x) com f(A): f(x) e a imagem de x ∈ A por f , enquanto f(A) e o

conjunto

{f(x) ∈ B|x ∈ A}

que e a imagem direta de A por f (ou simplesmente, a imagem de f).

Definicao: Seja f uma funcao. O grafico de f e o conjunto de todos os pontos (x, f(x))

de um plano coordenado, onde x pertence ao domınio de f .

G(f) = {(x, f(x)) | x ∈ D(f)}.

1.1. Operacoes

Definicao: Dadas as funcoes f e g, sua soma f + g, diferenca f − g, produto f · g e

quociente f/g, sao definidas por:

i) (f + g)(x) = f(x) + g(x)

ii) (f − g)(x) = f(x) − g(x)

7

iii) (f · g)(x) = f(x) · g(x)

iv) (f

g)(x) =

f(x)

g(x), desde que g(x) 6= 0.

O domınio das funcoes f + g, f − g, f · g e a interseccao dos domınios de f e g.

O domınio de f/g e a interseccao dos domınios de f e g, excluindo-se os pontos onde

g(x) = 0.

Definicao: Se f e uma funcao e k e um numero real, definimos a funcao kf por

(kf(x)) = kf(x).

O domınio de kf coincide com o domınio de f .

Definicao: Dadas duas funcoes f e g, a funcao composta de g com f , denotada por

g ◦ f , e definida por

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

O domınio de g ◦ f e o conjunto de todos os pontos x no domınio de f tais que f(x) esta

no domınio de g.

Simbolicamente,

D(g ◦ f) = {x ∈ D(f) | f(x) ∈ D(g)}.

Veja o diagrama abaixo:

8

1.2. Funcoes especiais

Veremos agora algumas funcoes importantes, bem como suas principais caracterısticas.

1.2.1. Funcao constante

E toda funcao do tipo f(x) = k, que associa a qualquer numero real x um mesmo

numero real k. A representacao grafica sera sempre uma reta paralela ao eixo dos x,

passando por y = k.

• O domınio da funcao f(x) = k e D(f) = R.

• O conjunto imagem e o conjunto unitario Im(f) = {k}.

1.2.2. Funcao identidade

E a funcao f : R → R definida por f(x) = x.

• O grafico desta funcao e uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

• O domınio de f(x) = x e D(f) = R

9

• O conjunto imagem e Im(f) = R.

1.2.3. Funcao do primeiro grau

Funcao do primeiro grau e toda funcao que associa a cada numero real x o numero

real ax + b, a 6= 0. Os numeros reais a e b sao chamados, respectivamente, de coeficiente

angular e linear.

Uma funcao f e crescente quando, a medida que x cresce, f(x) tambem

cresce. Quando f(x) decresce a medida que x cresce, dizemos que a funcao e

decrescente.

Quando a > 0, a funcao f(x) = ax + b e crescente e quando a < 0, a funcao

f(x) = ax + b e decrescente.

A funcao f(x) = ax + b, a, b ∈ R e chamada de funcao afim por muitos autores. Os

seguintes casos sao casos particulares:

i) Funcao do primeiro grau, quando a 6= 0.

ii) Funcao linear, quando a 6= 0 e b = 0.

iii) Funcao constante, quando a = 0.

10

1.2.4. Funcao modulo

A funcao definida por y = |x| chama-se funcao modulo. O seu domınio e o conjunto

D(f) = R e o conjunto imagem e Im(f) = [0, +∞].

• O grafico de f(x) = |x| e

1.2.5. Funcao quadratica

A funcao f : A → B dada por f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, e chamada funcao do

segundo grau ou funcao quadratica.

• O domınio de f e D(f) = R.

• O grafico de uma funcao quadratica e uma parabola com eixo de simetria paralelo ao

eixo dos y. Se o coeficiente de x2 for positivo (a > 0), a parabola tem a concavidade

voltada para cima. Se a < 0, a parabola tem a concavidade voltada para baixo.

• A interseccao do eixo de simetria com a parabola e um ponto chamado vertice, o qual

e dado por

V = (−b

2a,−

∆

4a).

11

• A interseccao da parabola com o eixo dos x define os zeros da funcao. No quadro

seguinte caracterizamos as diversas possibilidades.

1.2.6. Funcao polinomial

E a funcao f : R → R definida por f(x) = a0 + ax

1 + a2x2 + . . . + anx

n, onde

a0, a1, a2, . . . , an, a0 6= 0, sao numeros reais chamados coeficientes e n inteiro nao negativo,

determina o grau da funcao.

• O domınio e sempre o conjunto dos numeros reais.

• O grafico da funcao polinomial e uma curva que pode apresentar pontos de maximos e

mınimos.

12

Exemplos:

1. A funcao constante f(x) = k e uma funcao polinomial de grau zero.

2. A funcao f(x) = ax + b, a 6= 0 e uma funcao polinomial de 10 grau.

3. A funcao quadratica f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, e uma funcao polinomial do 20

grau.

4. A funcao f(x) = 5x2 − 6x + 7 e uma funcao polinomial de grau 5.

1.2.7. Funcao racional

E a funcao definida como o quociente de duas funcoes polinomiais, isto e, f(x) =p(x)

q(x),

onde p(x) e q(x) sao polinomios e q(x) 6= 0.

• O domınio da funcao racional e o conjunto dos numeros reais excluindo aqueles x tais

que q(x) = 0.

Exemplos:

1. A funcao f(x) =x − 1

x + 1e funcao racional de domınio D(f) = R − {−1}.

13

2. A funcao f(x) =(x2 + 3x − 4)(x2 − 9)

(x2 + x − 12)(x + 3)e racional de domınio D(f = R−{−4,−3, 3}

1.2.8. Funcao exponencial

Chamamos de funcao exponencial de base a a funcao f de R em R que associa a cada

x real o numero real ax, sendo a um numero real, 0 < a 6= 1.

• O domınio da funcao exponencial e D(f) = R.

• A imagem da funcao exponencial e Im(f) = (0,∞).

• Com relacao ao grafico da funcao f(x) = ax podemos afirmar:

1. a curva que o representa esta toda acima do eixo das abcissas, pois y = ax > 0 para

todo x ∈ R;

2. corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);

3. f(x) = ax e crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

14

1.2.9. Funcao logarıtmica

Dado um numero real a (0 < a 6= 1), chamamos funcao logarıtmica de base a a funcao

de R∗

+ em R que se associa a cada x o numero logax.

• D(f) = R∗

+ e Im(f) = R.

• Com relacao ao grafico da funcao f(x) = logax, (0 < a 6= 1) podemos afirmar:

1. esta todo a direita do eixo y;

2. corta o eixo das abscissas no ponto (1, 0);

3. f(x) = logax e crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1;

15

1.3. Funcoes trigonometricas

1.3.1. Funcao seno

Seja x um numero real. Marcamos um angulo com medida x radianos na circun-

ferencia unitaria com centro na origem.

Seja P o ponto de interseccao do lado terminal do angulo x, com essa circunferencia.

Denominamos seno de x a ordenada OP1 do ponto P em relacao ao sistema UOV .

Definimos a funcao seno como a funcao de R em R que a cada x ∈ R faz corresponder

o numero real y = sen x.

• O domınio da funcao seno e R e o conjunto imagem e o interevalo [−1, 1]

• Em alguns intervalos sen x e crescente e em outros e decrescente. Por exemplo: nos

intervalos [0,π

2] e [

3π

2, 2π] sen x, e crescente. Ja no intervalo, [

π

2,3π

2] ela e decrescente.

• O grafico da funcao f(x) = sen(x) e denominado senoide.

16

1.3.2. Funcao cosseno

Seja x um numero real. Denominamos cosseno de x a absissa OP2 do ponto P em

relacao ao sistema UOV .

Definimos a funcao cosseno como a funcao f de R em R que a cada x ∈ R faz

corresponder o numero real y = cos x.

• O domınio da funcao cosseno e R e o conjunto imagem e o intervalo [−1, 1]

• Em alguns intervalos cos x e crescente e em outros e decrescente. Por exemplo, no

intervalo [0, π] a funcao f(x) = cos x e decrescente. Ja no intervalo [π, 2π], ela e crescente.

17

• O grafico da funcao f(x) = cos x e denominado cossenoide.

1.3.3. Funcao tangente

Definimos a funcao tangente como a funcao f de R − {π

2+ kπ, k ∈ Z} em R que a

cada x ∈ R faz corresponder o numero real y = tg x.

• O domınio da funcao tangente e R−{π

2+kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem e o conjunto

R

• O grafico da funcao tg x e da seguinte forma:

18

1.3.4. Funcao cotangente

Definimos a funcao cotangente como a funcao f de R−{kπ, k ∈ Z} em R que a cada

x ∈ R faz corresponder o numero real y = cotg x.

• O domınio da funcao cotangente e R − {kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem e o conjunto

R

• O grafico da funcao cotg x e da seguinte forma:

19

1.3.5. Funcao secante

Definimos a funcao secante como a funcao f de R−{π

2+kπ, k ∈ Z} em R que a cada

x ∈ R faz corresponder o numero real y = sec x.

• O domınio da funcao cotangente e R − {π

2+ kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem e o

conjunto (−∞, 1]⋃

[1, +∞)

• O grafico da funcao sec x e da seguinte forma:

20

1.3.6. Funcao cossecante

Definimos a funcao cossecante como a funcao f de R− {kπ, k ∈ Z} em R que a cada

x ∈ R faz corresponder o numero real y = cossec x.

• O domınio da funcao cotangente e R − {kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem e o conjunto

(−∞, 1]⋃

[1, +∞)

• O grafico da funcao cossec x e da seguinte forma:

21

1.4. Funcoes hiperbolicas

As expressoes exponenciais

ex − e−x

2e

ex + e−x

2

ocorrem frequentemente na Matematica Aplicada.

Estas expressoes definem, respectivamnte, as funcoes seno hiperbolico de x e cosseno

hiperbolico de x. O comportamento dessas funcoes nos leva a fazer uma analogia com as

funcoes trigonometricas.

22

1.4.1. Seno hiperbolico e cosseno hiperbolico

A funcao seno hiperbolico, denotada por senh, e a funcao cosseno hiperbolico, deno-

tada por cosh, sao definidas, respectivamente por

senh x =ex − e−x

2e cosh x =

ex + e−x

2.

O domınio e a imagem das funcoes senh e cosh sao:

D(senh) = (−∞, +∞),

D(cosh) = (−∞, +∞),

Im(senh) = (−∞, +∞) e

Im(cosh) = [1, +∞).

1.4.2. Funcoes tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbolicas

As funcoes tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbolicas, denotadas respec-

tivamente pot tgh, cotgh, sech e cosech sao definidas por:

• tgh x =senh x

cosh x=

ex − e−x

ex + e−x,

23

• cotgh x =cosh x

senh x=

ex + e−x

ex − e−x,

• sech x =1

cosh x=

2

ex + e−x,

24

• cosech x =1

senh x=

2

ex − e−x

1.5. Funcao periodica

Dizemos que uma funcao e f e periodica se existe um numero real T 6= 0 tal que

f(x + T ) = f(x) para todo x ∈ D(f).

• O numero T e chamado perıodo da funcao f .

• O grafico de uma funcao periodica se repete a cada intervalo de comprimento |T |.

Exemplos:

1. As funcoes trigonometricas sao periodicas.

2. A funcao constante e periodica e tem como perıodo qualquer numero t 6= 0.

25

3.

1.6. Funcao par e funcao ımpar

Dizemos que uma funcao f e par se, para todo x no domınio de f , f(−x) = f(x).

Uma funcao e ımpar se, para todo x no domınio de f , f(−x) = −f(x).

• O grafico de uma funcao par e simetrico em relacao ao eixo dos y e o grafico de uma

funcao ımpar e simetrico em relacao a origem.

1.7. Funcao inversa

Para falarmos de funcao inversa, precisamos antes estudar os conceitos de funcao

sobrejetora, funcao injetora e funcao bijetora.

26

1.7.1. Funcao sobrejetora

Definicao: Uma funcao f de A em B e sobrejetora se, e somente se, para todo y

pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que f(x) = y.

Em sımbolos:

f : A → B, e sobrejetora ⇔ ∀y, y ∈ B, ∃x, x ∈ A|f(x) = y.

Note que f : A → B e sobrejetora se, e somente se, Im(f) = B.

Teorema: Se duas funcoes f de A em B e g de B em C sao sobrejetoras, entao a funcao

composta g ◦ f de A em C e tambem sobrejetora.

1.7.2. Funcao injetora

Definicao: Uma funcao f de A em B e injetora se, e somente se, quaisquer que sejam

x1 e x2 de A, se x1 6= x2, entao f(x1) 6= f(x2).

Em sımbolos:

f : A → B, e injetora ⇒ (∀x1, x1 ∈ A, ∀x2, x2 ∈ A)(x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)).

Note que esta definicao e equivalente a: uma funcao f de A em B e injetora se, e

somente se, quaisquer que sejam x1 e x2 de A, se f(x1) = f(x2), entao x1 = x2.

Em sımbolos:

f : A → B, e injetora ⇒ (∀x1, x1 ∈ A, ∀x2, x2 ∈ A)(f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2).

27

Teorema: Se duas funcoes f de A em B e g de B em C sao injetoras, entao a funcao

composta g ◦ f de A em C e tambem injetora.

1.7.3. Funcao bijetora

Definicao: Uma funcao f de A em B e bijetora se, e somente se, f e sobrejetora e

injetora.

Esta definicao e equivalente a: uma funcao f de A em B e bijetora se, e somente se,

para qualquer elemento y pertencente a B, existe um unico elemento x pertencente a A

tal que f(x) = y.

Reconhecimento atraves do grafico: Pela representacao cartesiana de uma funcao f

podemos verificar se f e injetora ou sobrejetora ou bijetora. Para isso, basta analisarmos

o numero de pontos de interseccao das retas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cada

ponto (0, y) em que y ∈ B (contradomınio de f).

• se nenhuma reta corta o grafico mais de uma vez, entao f e injetora.

• se toda reta corta o grafico, entao f e sobrejetora.

• se toda reta corta o grafico em um so ponto, entao f e bijetora.

Exemplos:

1. Dado a ∈ R, 0 < a 6= 1, as funcoes f : R → R∗

+, onde f(x) = ax, e g : R∗

+ → R,

onde g(x) = logax, sao inversas uma da outra.

2. Funcao arco seno

Seja f : [−π

2,π

2] → [−1, 1], a funcao definida por f(x) = sen x. A funcao inversa

de f(x) sera chamada arco seno e denotada por

f−1 : [−1, 1] → [−π

2,π

2], onde f−1(x) = arc sen x.

28

Simbolicamente, para −π

2≤ y ≤

π

2,

y = arc sen x ⇔ sen y = x

3. Funcao arco cosseno

Seja f : [0, π] → [−1, 1], a funcao definida por f(x) = cos x. A funcao inversa de

f(x) sera chamada arco cosseno e denotada por

f−1 : [−1, 1] → [0, π], onde f−1(x) = arc cos x.

Simbolicamente, para 0 ≤ y ≤ π,

y = arc cos x ⇔ sen y = x

4. Funcao arco tangente

A inversa da funcao tangente e definida para todo numero real.

Seja f : (−π

2,π

2) → R, a funcao definida por f(x) = tg x. A funcao inversa de f(x)

29

sera chamada arco tangente e denotada por

f−1 : (−π

2,π

2) → R, onde f−1(x) = arc tg x.

Simbolicamente, para −π

2< y <

π

2,

y = arc tg x ⇔ tg y = x

5. Outras funcoes trigonometricas inversas

Podemos definir a funcao inversa da cotangente como

y = arc cotg x =π

2− arc tg x,

onde 0 < y < π.

As inversas da secante e da cossecante serao funcoes de x no domınio |x| ≥ 1, desde

que adotemos as definicoes:

y = arc sec x = arc cos (1

x)

y = arc cosec x = arc sen (1

x)

30

2. Aplicacoes

Nas mais diversas areas utilizam-se funcoes para a compreensao de fenomenos e re-

solucao de problemas. Formalmente podemos dizer que estamos modelando o mundo

ao nosso redor. E claro que essa afirmacao nao e completamente verdadeira, pois o

mundo ao nosso redor e altamente complexo e ao trabalharmos com um modelo fazemos

simplificacoes para reduzir essa complexidade.

Em geral, os modelos sao validados para que sejam efetivamente aplicaveis como

ferramentas para entender e analisar diferentes fenomenos. Os exemplos apresentados

aqui sao didaticos e, portanto, nao foram necessariamente validados.

Exemplos:

1. O preco de uma corrida de taxi, em geral, e constituıdo de uma parte fixa, chamada

bandeirada, e de uma parte variavel, que depende do numero de quilometros roda-

dos. Em uma cidade X a bandeirada e de R 10,00 e o preco do quilometro rodado

e de R 0,50.

(a) Determine a funcao que representa o preco da corrida.

(b) Se alguem pegar um taxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa,

situada a 8 km de distancia, quanto pagara pela corrida?

2. Um aviao com 120 lugares e fretado para uma excursao. A companhia exige de

cada passageiro R 900,00 mais uma taxa de R 10,00 para cada lugar vago. Qual

o numero de passageiros que torna maxima a receita da companhia?

32

3. Restricao orcamentaria: Em nosso paıs, um dos problemas que os governos

enfretam diz respeito a alocacao de verbas para programas sociais e pagamento de

funcionarios. Vamos supor que existe um montante fixo M, a ser repartido entre os

dois propositos. Se denotarmos po x o montante a ser gasto com o pagamento de

funcionarios e por y o montante destinado aos programas sociais, temos

M = x + y.

Essa equacao e conhecida como restricao orcamentaria. Seu grafico e uma reta.

Como as variaveis x e y sao nao negativas, so a parte do primeiro quadrante e de

interesse para a analise.

(a) Qual a leitura pratica que podemos fazer desse grafico?

(b) Suponha que numa cidade X existam 200 funcionarios que ganham um salario

medio de R 800,00 mensais e que o montante M e de R 300.000,00 mensais.

Qual o montante mensal disponıvel para programas sociais? Os funcionarios

reivindicam 13% de aumento em seus salarios. Qual o impacto desse aumento

sobre os programas sociais?

33

4. Crescimento populacional: Para prever a populacao de um dado paıs numa

data futura, muitas vezes e usado um modelo de crescimento exponencial.

Para isso, observa-se o valor real da populacao em intervalos de tempo iguais,

por um dado perıodo de tempo. Calcula-se, a seguir, a razao entre a populacao

observada em perıodos consecutivos. Se a razao for aproximadamente constante,

em cada observacao, a populacao e dada pela populacao anterior multiplicada por

esta razao, que e chamada fator de crescimento.

A tabela a seguir apresenta dados da populacao brasileira no perıodo de 1940 a

1980.

Ano Populacao absoluta Razao

1940 41.165.289

1950 51.941.76751.941.767

41.165.289∼= 1, 26

1960 70.070.45770.070.457

51.941.767∼= 1, 35

1970 93.139.03793.139.037

70.070.457∼= 1, 33

1980 119.002.706119.002.706

93.139.037∼= 1, 2

(a) Usando esses dados, obter uma previsao para a populacao brasileira no ano

2000.

(b) Sabendo que a populacao brasileira no ano 2000 era de 169.799.170, qual o

erro cometido, em percentual, na previsao?

5. Decaimento radioativo: A massa de materiais radioativos, tais como o radio, o

uranio ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual

de expressar a taxa de decaimento da massa e utilizando o conceito de meia-vida

desses materiais.

A meia-vida de um material radioativo e definida como o tempo necessario para

que sua massa seja reduzida a metade.

Denotamos por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a

massa presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela funcao exponen-

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cial dada por

M = M0e−kt

sendo K > 0 uma constante.

A equacao acima e conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante

K depende do material radioativo considerado e esta relacionada com a meia-vida

dela.

Sabendo que a meia-vida do carbono-14 e de aproximadamente 5.730 anos, deter-

minar:

(a) a constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;

(b) a quantidade de massa presente apos dois perıodos de meia-vida, se no instante

t = 0 a massa era M0;

(c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presenca do carbono-

14 neste e 80% da quantidade original.

Referencias

FLEMMING, Diva M.; GONCALVES, Mirian Buss. Calculo A: Funcoes, limite, derivacao

e integracao. 6 ed. Sao Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

Apostila de Pre-Calculo - Unochapeco

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matematica Elementar.

Vol 1. Sao Paulo: Atual, 1993.