apostiapostila físicala física
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1
FIS 191
INTRODUO A MECNICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIOSA
CENTRO DE CINCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FSICA
-
2
NDICE
REVISO DE MATEMTICA BSICA ----------------------------------------------------------------------- 03
EQUO DO SEGUNDO GRAU--------------------------------------------------------------------------------------- 03
TRINGULO RETNGULO--------------------------------------------------------------------------------------------- 04
CAPTULO 1- VETORES ---------------------------------------------------------------------------------------- 06
EXERCCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 06
EXERCCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 10
CAPTULO 2- MOVIMENTO RETILNEO ------------------------------------------------------------------- 12
EXERCCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 12
EXERCCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 23
CAPTULO 3- MOVIMENTO EM DUAS OU TRS DIMENSES------------------------------------- 28
EXERCCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 28
EXERCCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 39
CAPTULO 4- LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO ---------------------------------------------------- 41
CAPTULO 5- APLICAES DASLEIS DE NEWTON -------------------------------------------------- 41
EXERCCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 41
EXERCCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 62
CAPTULO 6- TRABALHO E ENERGIA CINTICA ------------------------------------------------------ 69
EXERCCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 69
EXERCCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 74
CAPTULO 7- ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAO DA ENERGIA ------------------------ 76
EXERCCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 76
EXERCCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 85
CAPTULO 8- MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISES ----------------------------------------- 88
EXERCCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 88
EXERCCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 99
CAPTULO 11- EQUILBRIO ------------------------------------------------------------------------------------ 101
EXERCCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 101
EXERCCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 114
-
3
1. Equao do Segundo Grau: Uma equao quadrtica ou equao do segundo grau uma equao polinomial de grau dois. A forma geral deste tipo de equao :
, onde x uma varivel, sendo a, b e c constantes, com a 0 (caso contrrio, a equao torna-se linear). As constantes a, b e c, so chamadas respectivamente de coeficiente quadrtico, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre. A varivel x representa um valor a ser determinado, e tambm chamada de incgnita. A equao quadrtica , antes de tudo, um polinmio do segundo grau, isto , tem como termo de maior grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definio "adiferente de zero (a 0)" o que caracteriza a equao de segundo grau, visto que a incgnita diretamente multiplicada pelo coeficiente a, e
portanto se a fosse igual a zero, anular-se-ia o e assim a equao passaria a ser linear. Para a resoluo de uma equao do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer frmula geral de resoluo:
Esta frmula tambm conhecida como frmula de Bhaskara. Na frmula acima, a expresso que aparece sob a raiz quadrada chamada de discriminante da equao quadrtica, e comumente denotada pela letra grega delta maisculo:
Dessa forma, pode-se reescrever a frmula resumidamente como:
Uma equao quadrtica com coeficientes reais tem duas razes reais, ou ento duas razes complexas. O discriminante da equao determina o nmero e a natureza das razes. H apenas trs possibilidades: (Lembrando que todo polinmio de grau n, tem n razes; Como uma equao do 2 grau de grau 2, logo ela possui duas razes.)
Se a equao tem duas razes reais distintas. No caso de equaes quadrticas com coeficientes inteiros, se o discriminante for um quadrado
perfeito, ento as razes so nmeros racionais em outros casos eles podem ser irracionais.
Se a equao tem duas razes reais e iguais, ou popularmente "uma nica raiz", algumas vezes chamada de raiz dupla:
Se a equao no possui qualquer raiz real. Em vez disso, ela possui duas razes complexas distintas, que so conjugadas uma da outra:
e
onde i a unidade imaginria.
REVISO DE MATEMTICA BSICA
http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_polinomialhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_de_um_polin%C3%B4miohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_(matem%C3%A1tica)http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_linearhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnitahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_linearhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Deltahttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_perfeitohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_perfeitohttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionaishttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Unidade_imagin%C3%A1ria
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4
Assim as razes so distintas se e somente se o discriminante no nulo, e so reais se e somente se o discriminante no-negativo.
Exemplo de resoluo de uma equao do segundo grau: 1) Encontre as razes da equao: 2x2 - 6x - 56 = 0 Aplicando a frmula geral de resoluo equao temos:
Observe que temos duas razes reais distintas, o que j era de se esperar, pois apuramos para o valor 484, que maior que zero. Logo: As razes da equao 2x2 - 6x - 56 = 0 so: -4 e 7.
Fonte de pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx
2. Tringulo retngulo: Tringulo retngulo, em geometria, um tringulo que possui um ngulo reto (90) e outros dois ngulos agudos, e (Figura 1), e a soma dos trs ngulos internos igual a um ngulo raso (180). uma figura geomtrica muito usada na matemtica, no clculo de reas, volumes e no clculo algbrico. Em um tringulo retngulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ngulo agudo, possvel calcular a medida dos demais lados e ngulos. A rea de um tringulo retngulo dada pela metade do produto dos menores lados (ab/2). A relao entre os lados e ngulos de um tringulo retngulo a base da trigonometria.
2.1 . Teorema de Pitgoras: O Teorema de Pitgoras diz que:
A soma dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da hipotenusa. Pitgoras
ou, em linguagem matemtica, baseado na Figura 1:
hipotenusa (c) = cateto (a) + cateto (b)
Figura 1: Exemplo de um tringulo retngulo.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1ticahttp://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspxhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Geometriahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulohttp://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_retohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
-
5
2.2 . Relaes trigonomtricas do tringulo retngulo: Outra maneira de calcular a medida dos lados de um tringulo retngulo atravs da medida de um ngulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relaes trigonomtricas so: Seno, Cosseno e Tangente. 2.2.1. Seno de um ngulo dado pela razo entre os lados que formam o outro ngulo agudo, dado pela ordem:
Exemplo: Para o tringulo retngulo da Figura 1, teramos:
casen e
cbsen
2.2.2. Cosseno de um ngulo
a razo entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e dado pela razo entre os lados que formam o prprio ngulo agudo, dado pela ordem:
Exemplo: Para o tringulo retngulo da Figura 1, teramos:
cbcos e
cacos
2.2.3. Tangente de um ngulo
dada pela razo entre o Seno e o Cosseno de um ngulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:
Exemplo: Para o tringulo retngulo da Figura 1, teramos:
batg e
abtg
Fonte de pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometriahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Senohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Cossenohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tangentehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo
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6
EXERCCIOS RESOLVIDOS
CAPTULO 1- VETORES
1.
2.
3.
-
7
4.
5.
-
8
6. 7.
-
9
8.
-
10
EXERCCIOS PROPOSTOS
1. Um arco circular centrado no ponto de coordenadas .0,0 yx (a) Uma estudante
caminha ao longo desse arco da posio 0,5 ymx at uma posio final .5,0 myx Determine o vetor deslocamento da estudante. (b) Uma segunda estudante
caminha da mesma posio inicial ao longo do eixo x para a origem e, em seguida, ao longo do eixo y para .05 xemy Qual o vetor deslocamento da segunda estudante?
2. Para os dois vetores A
e B
mostrados na figura abaixo, cujos mdulos so iguais a 2 m,
determine o vetor resultante de: (a) BA
, (b) BA
, (c) BA
2 , (d) AB
, (e) AB
2 . 3. Um vetor A
possui mdulo de 8 m e faz um ngulo de 37 acima do eixo x positivo; o vetor
j(5m) -i3m)(B
; o vetor j(3m)i)6(C m
. Determine os seguintes vetores:
(a) CAD
, (b) ABE
, (c) BAF
2 , (d) um vetor G
tal que GCABG
32 . 4. Uma roda de raio igual a 45,0 cm rola sem deslizar ao longo de um plano horizontal (Figura
abaixo). No instante t1, o ponto P pintado na borda da roda est no ponto de contato entre a roda e o piso. Em um instante posterior t2, a roda girou meia volta. Quais so o mdulo e a orientao do vetor deslocamento do ponto P durante este intervalo de tempo?
5. Um barco a vela navega 2 km para o leste, em seguida 4 km para o sudoeste e, ento, navega
uma distncia adicional em uma direo desconhecida. A sua posio final a 5 km diretamente a leste do ponto de partida. Determine o vetor deslocamento do trecho desconhecido.
6. Um explorador de cavernas anda ao longo de uma passagem de 100 m em direo ao leste, em seguida 50 m em uma direo a 37 a oeste do norte e, enfim, 150 m a 53 a oeste do sul. Aps um quarto deslocamento no medido, ele se encontra no lugar onde iniciou o percurso. Determine o quarto vetor deslocamento.
45
30
A
(2m)
B
(2m)
x
y
P
P
No instante t1 No instante t2
-
11
7. Trs vetores A
, B
e C
possuem as seguintes componentes nas direes x e y: Ax = 6 m, Ay = 3 m; Bx = 3 m, By = 4 m; Cx = 2 m, Cy = 5 m. (a) Expresse os vetores A
, B
e C
em
termos de vetores unitrios i
e j
. (b) Determine o vetor resultante CBAR
. (c) Determine o mdulo do vetor resultante. (d) Determine a orientao do vetor resultante.
8. Determine o mdulo, a direo e o sentido dos seguintes vetores: (a) jiA 35
,
(b) jiB 710
, (c) jiC 74
.
RESPOSTAS 1. a) jir 55
NoroesteOrientao
mrr,45:
07,7
b) jir 55
NoroesteOrientao
mrr,45:
07,7
2. a)
lestedonorteaOrientao
mBA
jiBA
5,7:
173,3
414,0146,3
b)
oestedonorteaOrientao
mBA
jiBA
5,82:
435,2
414,2318,0
c)
lestedonorteaOrientao
mBA
jiBA
4,21:
913,42
828,156,42
d)
lestedosulaOrientao
mAB
jiAB
5,82:
435,2
414,2318,0
e)
lestedosulaOrientao
mAB
jiAB
59:
982,32
414,305,22
3.a) lestedonorteaOrientaomD
jiD1,87:81,7
8,74,0
b) oestedosulaOrientaomE
jiE9,70:4,10
8,94,3
c) lestedonorteaOrientaomF
jiF5,88:81,14
8,144,0
d) lestedosulaOrientaomG
jiG9,65:18,3
9,23,1
4. jcmicmr )90()3,141( lestedonorteaOrientaocmrr 5,32:5,167
5. lestedonorteaOrientaokmC
jiC9,25:48,6
83,283,5
6. nordesteOrientaomD
jiD,45:7,70
5050
7. a)
jiC
jiB
jiA
52
43
36
b) jiR 65
c) mR 81,7 d) lestedonorteaOrientao 2,50:
8. oestedosulaOrientaoCc
lestedosulaOrientaoBblestedonorteaOrientaoAa
3,60:06,8)35:21,12)
31:83,5)
-
12
EXERCCIOS RESOLVIDOS 1. Dois carros A e B, movem-se no mesmo sentido. No instante t = 0, suas respectivas velocidades
so v0 e 3v0 e suas respectivas aceleraes so 2a e a. Se no instante t = 0 o carro A est uma distncia D frente do carro B, determine o(s) instante(s) em que eles estaro lado a lado. Expresse sua(s) resposta(s) em funo de v0, a e D.
CAPTULO 2- MOVIMENTO RETILNEO
0
0
XA
XB
D
Carro A x0 (A) = D v0 (A) = v0 aA = 2a
Carro B x0 (B) = 0
v0 (B) =3v0 aB = a
A posio de uma partcula em movimento retilneo com acelerao constante dada por:
200 2
1 attvxx
Para o carro A temos: 20 attvDxA , e para o carro B, 22103 attvxB .
No(s) instante(s) em que os carros A e B estiverem lado a lado, xA = xB.
024
02
3
02
02
21
22
10
20
DtvatDtvat
attvattvD
As razes da equao acima fornecero os possveis instantes em que os mveis estaro lado a lado.
024 02 Dtvat
aaDvv
aaDvv
t
aaDvv
aaDvv
t
2422
24242
)2(842
8164
200
200
200
200
Para os casos em que 2042 vaD haver dois instantes possveis, t1 e t2, iguais a:
aaDvv
ta
aDvvt
242e
242 2002
200
1
Para o caso em que 2042 vaD , o encontro ocorrer
no instante: av
t 02
.
-
13
2. Do alto do terrao de um edifcio de altura H um objeto arremessado verticalmente para cima, num local onde a acelerao da gravidade possui mdulo g. Na descida ele passa rente ao edifcio atingindo o solo com uma velocidade cujo mdulo v1. Determine, em funo de v1, g e H, (a) a velocidade de lanamento do objeto; (b) o instante em que o objeto atinge o solo e (c) a velocidade do objeto no instante em que passa por um ponto localizado na metade da altura do edifcio.
3. Um objeto arremessado verticalmente para cima com velocidade de mdulo 0v , num local onde a
acelerao da gravidade possui um mdulo igual a g. Determine (a) a posio e (b) os instantes em que a velocidade do objeto tem seu mdulo reduzido metade. Expresse suas respostas em termos de v0 e g.
+ x
Hv
0v
1v
0
Considerando a origem do eixo x no solo e o sentido do movimento para cima como positivo podemos escrever:
)3()(2
)2(
)1(21
20
2
0
20
Hxgvvgtvv
gttvHx
(a) Sabendo que o objeto atinge o solo
(x = 0) com velocidade v = -v1 , usando a eq. (3) temos:
gHvv
gHvvgHvv
Hgvv
2
2
2
)0(2)(
210
21
20
20
21
20
21
(b) Calculada a velocidade de lanamento e sabendo que o objeto atinge o solo com velocidade v = -v1, usando a eq. (2):
121211
212
vgHvg
t
gtgHvv
(c) Quando o objeto passa por um ponto localizado na metade da altura do edifcio, x = H/2. Usando a eq. (3):
gHvv
gHvgHgHvv
HHggHvv
21
21
21
2
221
2
22
22
0
+ y
0v
1v
2v
)3(2
)2(
)1(21
20
20
2
ygvvgtvv
gttvy o
21 yyH
(a) A velocidade do objeto ter o seu mdulo reduzido a 20v nos
instantes em que passar pela posio y1 = y2 = H, primeiramente
subindo
jvv
20
1 e, posteriormente, descendo
)(
20
2 jvv .
Substituindo v1 e v2 na equao (3), gyvv 2202 temos:
20
20
20
20
20
43
4122
2vvvgHgHv
v
de tal forma que: gv
H83 20
(b) No primeiro instante t1, 20
1vv e no instante t2,
20
2vv .
Substituindo v1 e v2 na equao (2), gtvv 0 , temos:
gvtgtvv22
0110
0 e gvtgtvv
23
20
2200
-
14
4. (a) Na Terra, onde a acelerao da gravidade g, um objeto solto do repouso de uma certa altura, atinge o solo aps um tempo t. Quanto tempo, um objeto solto do repouso num Planeta Z, onde o valor da acelerao da gravidade corresponde metade do valor na Terra, gastaria para atingir o solo, tendo cado da mesma altura? Expresse sua resposta em termos de t. (b) Se o objeto solto na Terra atinge o solo com uma velocidade, cujo mdulo v, com que velocidade (em termos de v) o objeto solto no Planeta Z atinge o solo?
gHtgtH
attvyy
221
21
2
200
5. Uma pedra arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifcio de altura H. A pedra atinge o solo no instante t1 aps o lanamento. A acelerao da gravidade local vale g. (Dados: H, t1 e g).
a) Determine a velocidade de lanamento da pedra.
00 v
v + y
g
Terra 00 v
zv
+ y
g21
Planeta Z 0 0
H H
t tz
gtv
atvv
0
tt
gHttgH
attvyy
z
zz
2
2221
21
21
2
200
vvtgv
atvv
zz 222
210
(b) (a)
0
H
0v
g
+x
A posio x da pedra em um instante t dada por: 2
0 21 gttvHx
Em t = t1 a posio da pedra x = 0.
110
2110
2110
21
21
210
tHgtv
Hgttv
gttvH
-
15
b) Determine a velocidade com que a pedra atinge o cho. c) um esboo dos grficos tx , tv e ta referentes ao movimento da pedra desde o instante
em que arremessada at atingir o cho. 6. Uma bola arremessada verticalmente de cima para baixo com uma velocidade de mdulo 0v , do
alto de um edifcio cuja altura, acima do solo, H. O mdulo da acelerao da gravidade local g. Determine: (a) o instante aps o arremesso que a bola atinge o solo; (b) a velocidade com que a bola atinge o solo. (c) Se a bola tivesse sido arremessada de baixo para cima, do mesmo local, com a mesma velocidade inicial 0v qual seria a sua velocidade ao atingir o solo? Em todos os itens, (a), (b) e (c) d suas respostas em termos das grandezas H, g e 0v que se fizerem necessrias. Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo.
t
x v a
t
t
A velocidade da pedra em um instante t dada por: gtvv 0
No instante t = t1 a velocidade da pedra ser:
11
11
11
1
21
2121
tHgtv
tHgtv
gttHgtv
H t1
v0
t1
t1
-g
0
+ x
cho
H
0v
1v
t = 0
t1
Equaes do movimento:
)(2
21
20
20
20
Hxgvv
gtvv
gttvHx
-
16
7. Uma bola arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifcio cuja altura, acima do solo, H. O mdulo da acelerao da gravidade local g. Na descida ela passa rente ao edifcio por um ponto localizado a uma altura H/2 acima do solo no instante t1 aps ter sido lanada. Determine: (a) o mdulo da velocidade de lanamento (em funo de H, g e t1); (b) a velocidade com que a bola atinge o solo (em funo de H, g e t1). Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo.
(a) Em 0,1 xtt
gvgHv
t
ggHvv
t
ggHvv
t
ggHvv
t
Htvgt
gttvH
gttvH
gttvHx
020
1
200
1
200
1
200
1
1021
2110
2110
20
2
02
2)2(42
2842
022
220210
21
(b) Em 1,0 vvx
gHvv
gHvv
Hgvv
Hxgvv
2
2
)0(2
)(2
201
20
21
20
21
20
2
(c) Da mesma forma que no item (b) a velocidade da bola em funo da posio x da mesma ser:
)(220
2 Hxgvv
Assim, ao chegar ao cho (x = 0) sua velocidade v2 tambm ser:
gHvv
gHvvHgvvHxgvv
2
2
)0(2
)(2
202
20
22
20
22
20
2
0
+ x
cho
H t = 0
Equaes do movimento: ga
vHx
?00
)()(
)(
)(
32
2
121
20
20
20
Hxgvv
gtvv
gttvHx
a) Em t = t1, x = H/2. Pela equao (1):
110
21
10
2110
2110
2110
20
21
21
21
2
21
2
21
2
21
tHgtv
Hgtt
v
gtHtv
gtHHtv
gttvHH
gttvHx
b) Para x = 0, v = ? Pela equao (3):
gHtHgtv
gHtHgtv
Hgvv
Hxgvv
221
221
02
2
2
11
2
11
2
20
2
20
2
)(
)(
-
17
8. Uma bola arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifcio cuja altura, acima do solo, H. O mdulo da acelerao da gravidade local g. Na descida ela passa rente ao edifcio por um ponto localizado a uma altura H/2 acima do solo no instante t1 aps ter sido lanada. Determine: (a) o mdulo da velocidade de lanamento (em funo de H, g e t1); (b) a velocidade com que a bola atinge o solo (em funo de H, g e t1). Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo.
9. A posio de uma partcula varia com o tempo de acordo com a equao abaixo:
242020 ttx , onde x medido em metros e t em segundos.
(a) Determine a velocidade mdia da partcula entre os instantes t = 0 e t = 2s.
m)4(-220202)(t
20m0)(t2 442
x
x
s/mvtxv
122
2044
(b) Determine a velocidade da partcula nos instantes t = 0 e t = 2s.
0
+ x
cho
H t = 0
Equaes do movimento:
gav
Hx
?00
)3()(2
)2(
)1(21
20
20
20
Hxgvv
gtvv
gttvHx
b) Em t = t1, x = H/2. Pela equao (1):
110
21
10
2110
2110
2110
20
21
21
21
2
21
2
21
2
21
tHgtv
Hgtt
v
gtHtv
gtHHtv
gttvHH
gttvHx
c) Para x = 0, v = ? Pela equao (3):
gHtHgtv
gHtHgtv
Hgvv
Hxgvv
221
221
)0(2
)(2
2
11
2
11
2
20
2
20
2
-
18
tv
ttdtd
dtdxv
820
42020 2
)(
(c) Determine a acelerao mdia da partcula entre os instantes t = 0 e t = 2s.
2
02
82204 s/ma
tvv
tva
(d) Faa um esboo dos grficos tx , tv e ta referentes ao movimento da partcula, do instante t = 0 at a partcula chegar origem de sua trajetria.
s/mtvs/mtv
428202200
)()(
+ a (m/s2)
t(s)
+ x (m)
t (s) t(s)
+ v (m/s)
20 20
-8
242020 ttx tv 820
28 sma /
-
19
10. O grfico abaixo representa aproximadamente a velocidade de um atleta em funo do tempo em uma competio olmpica. (a) Faa um esboo do grfico Posio x Tempo. Em t = 0, x0 = 0.
11. Em certo planeta Z, no qual se pode desprezar a resistncia do ar, um astronauta mede o tempo t1
que uma pedra leva para atingir o solo, aps ser arremessada verticalmente para cima da borda de um precipcio com velocidade cujo mdulo v0. Sabendo que o mdulo da velocidade da pedra ao atingir o solo o dobro da velocidade de lanamento determine: (a) o mdulo da acelerao da gravidade no planeta Z e (b) a altura do precipcio. (c) Faa um esboo do grfico da posio x tempo desde o instante do lanamento at o instante em que a pedra toca o solo. (Dados: t1 e v0).
0
+ x x
t
0v
(c)
02v
t = t1
t = 0
H
H
t1 0
(b) Em que intervalo de tempo o mdulo da acelerao tem o menor valor? Determine-o. O menor valor da acelerao ocorre no intervalo de tempo de 6 a 16 s. No h variao da velocidade, portanto, a acelerao nula.
(c) Em que intervalo de tempo o mdulo da acelerao mximo? Determine-o.
A maior variao de velocidade por unidade de tempo ocorre no intervalo de tempo de 0 a 6 s. 2/2
06012 sm
tva
(d) Qual o deslocamento do atleta durante os 18s?
mxxxreax 1782
2)1210(12102126""
(e) Qual a velocidade mdia do atleta durante a competio?
smsm
txv /89,9
18178
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10 12 14 16 20
Tempo (s)
Velo
cida
de (m
/s)
18
Pos
io
(m)
Tempo (s)
6 16 18
-
20
Equaes do movimento:
)3()(2
)2(21
)1(
20
2
20
0
Hxavv
tatvHx
tavv
Z
Z
Z
No instante t = t1 , v = 2v0. Pela Equao (1):
1
0
01
100
33
2
tva
vtatavv
Z
Z
Z
No instante t = t1 , x = 0. Pela equao (2):
10
1010
1010
21
1
010
2123
23
3210
tvH
tvtvH
tvtvH
ttv
tvH
12. (a) A afirmativa a seguir faz sentido? A velocidade mdia de um veculo s 9h da manh era de 60 km/h.. Explique.
NO. Quando se refere a velocidade mdia isso compreende um determinado intervalo de tempo e no um instante como na afirmativa acima.
(b) possvel um corpo possuir ao mesmo tempo velocidade nula e acelerao no nula?
Explique.
SIM. Como exemplo, um objeto em queda livre vertical, quando se encontra no ponto mais alto da trajetria possui velocidade nula e acelerao diferente de zero (a = -g).
(c) possvel um objeto reduzir a velocidade enquanto o mdulo de sua acelerao cresce?
Explique. SIM. Desde que a acelerao seja contrria velocidade. (d) possvel um carro ter uma velocidade orientada para o oeste e uma acelerao orientada
para o leste? Explique. SIM. Neste caso o carro estaria freando. (e) possvel ter deslocamento nulo e velocidade mdia diferente de zero? Explique. NO. A velocidade mdia definida como a razo entre o deslocamento e o intervalo de tempo
gasto para deslocar. Sendo o deslocamento nulo, a velocidade mdia tambm ser.
-
21
13. Considere o grfico da velocidade de um objeto, em movimento retilneo, mostrado na figura abaixo. Admitindo que em t = 0, x = 0.
(c) Determine a velocidade mdia no intervalo de 0 a 10 s.
0)0(
0400400)10(410.40)10(440
2
2
txstx
ttx
010
00010
010
xx
txvm
(d) Faa os grficos a x t e x x t para o intervalo de 0 a 10 s.
(a) Determine a acelerao do objeto.
2
0
/81080
10.4040
smaa
aatvv
(b) Escreva as equaes do movimento, x (t) e v(t).
2
00 /8,/40,0 smasmvx
2
200
44021
ttx
attvxx
tvatvv840
0
v (m/s)
t (s)
40
- 40
10 0
a (m/s2) x (m)
t (s) t (s)
-8
10 10 0 0
100
5
-
22
14. Para medir a acelerao da gravidade em um planeta W, uma pesquisadora atira uma pedra, da superfcie do planeta, de baixo para cima, com uma velocidade de 8 m/s. A pedra atinge uma altura mxima de 16 m. Desprezando a influncia da atmosfera do planeta sobre o movimento da pedra determine: (a) a acelerao da gravidade no planeta W; (b) o tempo que a pedra gasta para retornar superfcie e (c) a velocidade da pedra ao atingir a superfcie do planeta.
(a) v = 0 em x = 16 m v2 = 64 2gWx
0 = 64 2gW(16) 32gW = 64 gW = 64/32 = 2 m/s2
stt
ttv
482
28028
Tempo total de movimento tTotal = 2t tTotal = 2 x 4 tTotal = 8 s
smv
vtv
/88.28
28
Equaes do movimento: Wgasmvx ,/8,0 00
xgvtgv
tgtx
W
W
W
264
8218
2
2
+ x
0
0v
v = 0 Hmx
(b) Tempo para atingir a altura mxima
(c) Velocidade ao retornar superfcie do planeta
-
23
EXERCCIOS PROPOSTOS Quando necessrio use g = 10 m/s.
1. Um automvel se desloca com velocidade constante de 23 m/s. Suponha que o motorista
feche os olhos (ou que olhe para o lado) durante 2 s. Calcule o deslocamento do veculo do automvel neste intervalo de tempo.
2. No confunda velocidade mdia com a mdia de um conjunto de velocidades (mdia das
velocidades). Calcule a velocidade mdia de uma atleta nos seguintes casos: (a) A atleta anda 150 m com velocidade de 1,5 m/s e depois corre 100 m com velocidade de 4 m/s ao longo de uma pista retilnea. (b) A atleta anda 2 minutos com velocidade de 1,5 m/s e a seguir corre durante 3 minutos com velocidade de 4,5 m/s ao longo de um caminho em linha reta.
3. O limite de velocidade numa rodovia alterado de 100 km/h para 80 km/h. Se um
automvel levava um tempo t para deslocar uma distncia x com velocidade constante de 100 km/h, quanto tempo levar o automvel para deslocar a mesma distncia x com velocidade constante de 80 km/h?
4. Um trem se desloca com velocidade constante, de oeste para leste, sendo o mdulo do
vetor velocidade igual a 60 km/h durante 50 minutos. A seguir toma uma direo nordeste, com a velocidade de mesmo mdulo da anterior, durante 30 minutos. Finalmente, mantendo a velocidade constante em mdulo, segue para o oeste, durante 10 minutos. Determine o vetor velocidade mdia do trem durante todo o percurso.
5. Um automvel se desloca numa estrada retilnea e sua velocidade aumenta de 5 m/s at 15
m/s num intervalo de tempo de 20 s. A seguir sua velocidade passa de 15 m/s para 35 m/s num intervalo de tempo de 80 s. Calcule o mdulo da acelerao mdia: (a) na primeira etapa do percurso, (b) na segunda etapa do percurso. (c) Calcule a mdia aritmtica das aceleraes obtidas nos itens anteriores. (d) Calcule a acelerao mdia do percurso total, isto , desde o momento inicial (v0 = 5 m/s) at o instante final (v = 35 m/s).
6. As figuras (a) e (b) abaixo mostram grficos da posio x em funo do tempo t para uma
partcula em movimento retilneo. (a) Em que ponto ou pontos existe mudana brusca do valor da velocidade? (b) Indique, para cada intervalo, se a velocidade (+), () ou zero e se a acelerao (+), () ou zero.
7. A figura abaixo mostra o grfico da posio x em funo do tempo t para uma partcula em
movimento retilneo. Esboce os grficos da velocidade e da acelerao em funo do tempo.
-
24
8. Um veculo impulsionado por um foguete e desliza sobre um trilho retilneo. Este veculo usado para verificao experimental dos efeitos fisiolgicos das grandes aceleraes sobre seres vivos. Partindo do repouso, este veculo pode atingir uma velocidade de 1800 km/h em 2 segundos. (a) Admita que a acelerao seja constante e compare o valor nmero desta acelerao com o valor da acelerao da gravidade g. (b) Calcule o deslocamento do veculo neste intervalo de tempo.
9. Duas estaes de trem esto separadas por uma distncia de 3,6 km. Um trem, partindo do
repouso de uma das estaes, sofre uma acelerao constante de 1,0 m/s at atingir 2/3 do percurso entre as estaes. A seguir o trem desacelera at atingir a outra estao com velocidade nula. Determine: (a) a velocidade mxima do trem atingida na primeira etapa do percurso, (b) o mdulo da desacelerao durante a diminuio da velocidade na segunda etapa do percurso, (c) o tempo total gasto durante o percurso entre as duas estaes. (d) Faa os grficos da posio x tempo, velocidade x tempo e acelerao x tempo para o movimento do trem, do incio ao fim do percurso.
10. Suponha que um advogado contrate voc para opinar sobre um problema relacionado com
a fsica, surgido em um dos seus casos. A questo seria saber se um motorista excedeu ou no a velocidade limite de 60 km/h, antes de fazer uma parada de emergncia ao aplicar os freios do veculo. As marcas do pneu na estrada, produzidas pelo deslizamento das rodas, tinham um comprimento de 8,0 m. O inspetor fez o clculo da velocidade do automvel levando em considerao que a desacelerao produzida pelos freios no poderia exceder, em mdulo, o valor local da acelerao da gravidade g e deteve o motorista por excesso de velocidade. Refaa os clculos do inspetor e verifique se estes clculos estavam corretos ou no. Com base na hiptese de que a desacelerao era igual a g, qual seria a velocidade do automvel no momento da aplicao dos freios.
11. Um automvel faz uma ultrapassagem a 120 km/h. Entretanto, um outro automvel vem em
sentido contrrio a 100 km/h. Suponha que os dois motoristas acionem simultaneamente os freios e os dois automveis passem a sofrer uma desacelerao constante de mdulo igual a 6 m/s. Determine a distncia mnima entre os automveis no incio da freada para que no haja coliso entre os veculos.
12. Um trem parte do repouso e se desloca com acelerao constante. Num dado instante sua
velocidade era de 10 m/s e a 60 m adiante sua velocidade passa para 17 m/s. Determine: (a) a acelerao, (b) o tempo necessrio para deslocar os 60 m, (c) o tempo necessrio para atingir a velocidade de 10 m/s, (d) o deslocamento do trem desde o repouso at atingir a velocidade de 10 m/s.
13. No momento em que um sinal de trfego acende a luz verde, um automvel parte do
repouso com acelerao constante de 2 m/s. No mesmo instante um nibus, deslocando-se com velocidade constante de 54 km/h ultrapassa o automvel. (a) A que distncia do seu ponto de partida o automvel ultrapassar o nibus? (b) Calcule a velocidade do automvel neste instante. (c) Em um mesmo diagrama, faa os grficos posio x tempo e velocidade x tempo do automvel e do nibus desde o incio do movimento at o momento da ultrapassagem.
14. Um automvel viajando em linha reta a 120 km/h est a 60 m de uma barreira quando o
motorista aperta os freios. Trs segundos aps o carro colide com a barreira. (a) Determine o mdulo da desacelerao do carro. (b) Que velocidade desenvolvia o automvel no momento do impacto? (c) Qual deveria ser a desacelerao mnima do automvel para que no ocorresse a coliso?
15. Uma pessoa debruada sobre um muro de uma passarela deixa cair uma bola exatamente
quando a dianteira de um caminho passa bem abaixo do muro. Se o veculo est se movendo a 12 m/s e tem 10 m de comprimento, determine: (a) a altura da passarela em relao ao caminho para que a bola atinja a traseira do caminho, (b) a trajetria descrita
-
25
pela bola em relao a um observador situado na passarela, (c) a trajetria descrita pela bola em relao a um observador situado no caminho.
16. Um balo sobe com velocidade de 15 m/s e est a 100 m acima do solo quando dele se
deixa cair um saco de areia. Determine: (a) o tempo que o saco de areia demora para atingir o solo e (b) a velocidade com que o saco de areia atinge o solo. (c) Faa os grficos da posio x tempo, velocidade x tempo e acelerao x tempo para o movimento do saco de areia, desde o instante em que ele solto at atingir o solo.
17. Uma pedra largada de uma ponte a 50 m acima do nvel da gua. Uma segunda pedra
arremessada verticalmente para baixo 1,5 s aps a primeira pedra ter sido largada. Ambas atingem a gua ao mesmo tempo. (a) Determine a velocidade de arremesso da segunda pedra. (b) Determine as velocidades com que as pedras atingem a gua. (c) Faa os grficos da posio x tempo e velocidade x tempo para cada pedra, considerando t = 0 o instante em que a primeira pedra foi largada.
18. Dois corpos so largados com um intervalo de tempo de 1,5 s, de uma mesma altura.
Quanto tempo depois do primeiro comear a cair estaro os dois corpos separados por 15 m.
19. Um moleque atira uma pedra para cima na direo vertical, com uma velocidade inicial de
12 m/s do telhado de um edifcio, 30 m acima do cho. (a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o cho. (b) Com que velocidade a pedra atinge o solo. (c) Em que (quais) instante(s) a pedra estar 5 m acima do ponto de lanamento e qual a sua velocidade nesse(s) instante(s)?
20. Um corpo cai da altura de 50m, partindo do repouso. Quanto ele percorre no ltimo
segundo da queda?
RESPOSTAS 1. .46mx
2. (a) ./2 smv (b) ./3,3 smv
3. tt .25,12 4.
.19:
/2,43
1,148,40
lestedonorteaOrientao
hkmvjiv
5. (a) ./5,01 sma (b) /25,02 sma
(c) ./375,02
21 smaa
(d) /3,0 sma
6. Figura (a): (a) Ponto C (b)
6. Figura (b): (a) Em nenhum ponto. (b)
7.
0A AB BC CD v + + 0 - a 0 - 0 +
0A AB BC CD v + 0 + + a - 0 + 0
t
v
t
a
-
26
8. (a) ga 5,25 (b) mx 500
9. (a) smv /3,69 (b) /2 sma (c) st 104
9. (d)
10.
hkmverradosClculos/45
.
0
11. md 9,156
12. (a) /575,1 sma (b) st 44,4 (c) st 35,6
(d) mx 75,31
13. (a) mxA 225 (b) smvA /30
13. c)
14. (a) /, sma 98 (b) hkmsmv //, 2476 (c) /, sma 39 15. (a) mh 43, (b) (c) 16. (a) st 26,
t (s)
x (m)
2400
69,3 104
3600
t (s)
v (m/s) 69,3
69,3 104
t (s)
a (m/s)
1,0
69,3 104 - 2,0
t (s)
x (m)
225
15
nibus
Automvel
t (s)
v (m/s)
30
15
nibus
Automvel
15
-
27
(b) smv /47 (c) 17. (a) smv /8,210 (b) smvesmv /4,38/6,31 21 (c)
18. st 7511 ,
19. (a) st 933, (b) smv /,327
(c) smvstsmvst
/,;,/,;,
6686166540
22
11
20. md 626,
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8
Tempo (s)
Pos
io
(m)
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0
Tempo (s)
Velo
cida
de (m
/s)
-10
00 2 4 6 8
Tempo (s)
Acel
era
o (m
/s)
-31,6
1,5 3,16 t (s) v (m/s)
0,0
-38,4
-21,8
50
1,5 3,16 t (s)
x (m)
0,0
-
28
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1. Uma partcula move-se no plano xy com acelerao constante ja , ( 0). No instante t = 0, passa pela origem do sistema de coordenadas com velocidade jiv 20
, ( 0). (a) Descreva os movimentos horizontal e vertical da partcula, faa um esboo de sua trajetria e represente no diagrama os dados iniciais do problema. Determine, em funo de , e dos vetores unitrios que se fizerem necessrios, (b) o vetor posio ( r ) no instante em que ocorre inverso no movimento vertical da partcula e (c) o vetor velocidade ( v ) no instante posterior no qual a partcula cruzar a coordenada y = 0.
x
y
(b) A inverso no movimento vertical ocorrer quando vy = 0.
Neste instante, a partcula estar localizada em:
O vetor posio no referido instante ser:
i
j ja
jiv
r
20
0
0
Mov. Horizontal
x
xx
vtxavx 00 00
Movimento Vertical
yv
tvtty
avy
y
yy
24
2212
20
22
2
00
(a) Uma vez que a acelerao horizontal da partcula nula, sua velocidade ser constante, e o movimento horizontal ser retilneo e uniforme. No movimento vertical a acelerao constante, positiva e a velocidade inicial negativa, de tal forma que, inicialmente, a partcula ir desacelerar at atingir uma velocidade vertical nula e a partir de ento ter um movimento
0v
a
(0,0)
220
2
t
ttvy
22
2.
x
x
tx
222
2
2
224
22122
212
y
y
tty
)(2222
jir
(c) A coordenada y ser nula em t = 0 em um instante posterior t igual a:
4212
212
2
2
t
tt
tty
As componentes do vetor velocidade neste instante sero:
2
42e
y
yx
v
vv
O vetor velocidade no referido instante ser:
jiv 2
e
CAPTULO 3- MOVIMENTO EM DUAS OU TRS DIMENSES
-
29
2. Um rifle est apontado horizontalmente para uma parede localizada a uma distncia D da sada do mesmo. O projtil atinge a parede a uma distncia d abaixo do ponto visado. A acelerao da gravidade local tem mdulo g. Determine em funo das grandezas D, d, g e dos vetores unitrios que se fizerem necessrios, (a) o tempo de percurso do projtil, (b) o vetor velocidade do projtil ao sair do rifle e (c) o vetor velocidade do projtil ao atingir a parede.
Equaes do movimento Movimento Horizontal x0 = 0 v0x = vo ax = 0
0
0
vvtvx
x
Movimento Vertical y0 = 0 v0y = 0 ay = -g
gyv
gtv
gty
y
y
2
21
2
2
(b) Sabendo que tvx 0
id
gDv
dgDv
gdvD
gdtemDx
2
2
2
2
0
0
0
(a) O tempo de percurso do projtil corresponde
ao instante em que o mesmo atinge a posio x = D e y = - d.
gdt
gtd
gtyquevezUma
221
21
2
2
(c) A componente x da velocidade com que o
projtil atinge a parede : dgDvvv xx 200
A componente y da velocidade com que o projtil atinge a parede pode ser determinada por:
gdv
dyPara
gyv
y
y
2
22
jgdidgDv
22
i
j
(0,0)
?v
?0 v
-
30
3. Um projtil lanado a partir da origem de um sistema de coordenadas com velocidade inicial de mdulo vo, fazendo um ngulo acima da horizontal. A origem do sistema de coordenadas est localizada na base de uma rampa cuja inclinao (veja figura abaixo). Considerando o mdulo da acelerao da gravidade local igual a g, determine o instante que o projtil atinge a rampa. Expresse sua resposta em funo de vo, g, e .
0v
y
x
t = ?
x(t)
y(t)
A posio do projtil num instante t, a partir do lanamento dada por: Posio horizontal
tvtxtatvxtx xx
.cos)()(
0
22
100
Posio vertical
22
10
22
100
.)(
)(
gttsenvty
tatvyty yy
0,0
Movimento horizontal (x)
0cos
0
00
0
x
x
avv
x
Movimento vertical (y)
gasenvv
y
x
y
000 0
No instante t considerado, )()(tan
txty
.
Assim:
)tan.cos(2
)tan.cos(2tan.cos
tan.coscos
tan
.cos.
tan
0
0
0021
21
00
0
21
0
0
22
10
sengvt
senvgtvsenvgt
gtsenvvv
gtsenvtvgttsenv
-
31
4. De um avio, mergulhando em um ngulo 0 com a vertical e a uma altura H, abandonada uma bomba que bate no solo aps um intervalo de tempo t. Determine, para o projtil, os vetores velocidade (a) ao deixar o avio, (b) ao atingir o solo e (c) o vetor deslocamento total. Escreva suas respostas em termos das variveis 0, H, t e g, e dos vetores unitrios do sistema de coordenadas abaixo, que se fizerem necessrios.
Represente no grfico os dados pertinentes (vetores, trajetria, ngulo etc.). Suponha o referencial do observador imediatamente abaixo do ponto de lanamento. Utilize g para a acelerao da gravidade.
Dados: 0 , H, t, e g Representao grfica:
Em ti = t0 = 0, x0 = 0 (1), y0 = H (2) e
000 sen vv x (3) e 000 cos vv y (4)
(a) Clculo do mdulo da velocidade inicial:
Na vertical, temos:
200 2
1 tgtvyy y (5)
Como ao atingir o solo y = 0 , substituindo (2) e (4) em (5), obtm-se
cos1
20
tgtHv . (6)
Finalmente, valendo-se de (3), (4) e (6), o vetor velocidade inicial pode ser escrito nas formas:
jvivvvv yxyx 00000
,
ou, )cos( jisenvv 0000 ,
ou ainda
)(tan jitgtHv
00 2
. (7)
(b) Clculo do vetor velocidade do projtil ao
atingir o solo:
jvivvvv yxyx
(8)
Na horizontal (M.U. vx = cte. e ax = 0). Assim,
tan2
sen0tg
tHvv xx , (9)
j obtido em (a) (vide equao 7).
Na vertical [MUV )( jgga y
].
tgvv yy 0
2tg
tHv y (10)
Substituindo (9) e (10) em (8), obtm-se:
jtgtHitg
tHv
2tan
2 0
(11)
(d) Clculo do vetor deslocamento total , r . yxr (12)
ou )()( jyixr (13)ou ainda )()( jyixr (14)
HHyyy 00 (15)tvxxxx x00 0 (16)
De (14), (9), (16) e (15), tem-se:
jHitgHr tan
221 (17)
o g
0v
v
Hy 0
x
r
y
0,0
-
32
5. No instante em que um foguete atinge o ponto mais alto da trajetria explode e lana verticalmente, em sentidos opostos, duas partculas com velocidades iniciais numericamente iguais a v0 (= 15 m/s). Sendo g (= 10 m/s2) a acelerao da gravidade, determine o intervalo de tempo decorrido entre os instantes em que as duas partculas chegam ao solo. Despreze o atrito com o ar. (Resposta numrica: 3 s).
Dados: v1 = v2 = v0, e g. Ilustrao: Grfico de espao versus tempo.
Ao chegar ao solo as equaes das posies das partculas sero:
211111 2
1ffif tgtvyy (1)
222222 2
1ffif tgtvyy (2)
Como, para ambas, o mdulo das velocidades iniciais so iguais (v1 = v2 = v0) e as posies iniciais e finais tambm, igualando (1) e (2), tem-se
2220
2110 2
121
ffff tgtvtgtv
)(21)( 22
21210 ffff ttgttv
))(()(2
2121210
ffffff ttttttgv
gv
ttt ff0
212
)( (3)
Outra soluo mais simples seria:
A partcula 1 ir subir, atingindo o ponto de altura mxima com velocidade nula. Em seguida retornar ao ponto de partida com velocidade idntica em mdulo, direo e sentido que a partcula 2. Desse modo, fica bvio que ambas levam o mesmo tempo deste ponto at o solo. Portanto, o intervalo de tempo decorrido entre os instantes em que as duas partculas chegam ao solo ser o tempo que a partcula 1 levar para retornar ao ponto de partida. Ou seja,
2'''1
'1
'1 )(2
1 tgtvyy fif
2''011 )(2
10 tgtvyy ii
gvtt 02 '
+y
1v
2v
g
ti = 0 t = 2v0/g
t
tempo (t)
t1f t2f
-
33
6. Um projtil disparado do alto de um barranco que est a uma altura H acima do nvel de um vale, com velocidade inicial de mdulo v0 inclinada de um ngulo acima da horizontal. Desprezando a resistncia do ar e considerando a acelerao da gravidade local igual a g, determine: (a) a altura mxima acima do barranco atingida pelo projtil; (b) o vetor velocidade e o vetor acelerao do projtil no ponto mais alto; (c) o deslocamento do projtil desde o lanamento at atingir o solo; (d) o vetor velocidade com que a o projtil atinge o solo v . Expresse suas respostas em termos das grandezas H, v0, e g que se fizerem necessrias e dos vetores unitrios mostrados abaixo.
i
j
g
+ y
+ x (0,0)
0v
H
Hmx Movimento Horizontal
cos.cos
0
0
vvtvx
x
Movimento Vertical
gtvv
gttvHy
y
-sen21-.sen
0
20
(a)
sen2
2-sen 0
2-sen
220
mx22
0
220
2
gvH
gHv
ygvv
mx
y
(b)
jga
givv
vvv yx
a0a
cos
0cos
yx
0
0
(c)
ggHvv
t
ggHvv
t
ggHvv
t
Htvgt
gttH
tvxHy
o
o
o
2sensen
02sensen
28sen4sen2
02-.sen221-.senv-
.cos.
220
220
220
02
20
0
jHi
ggHvv
vr
jyixr
o 2sensencos
220
0
(d)
jgHvvv
gHvv
gHvv
Hgvvvv
y
y
y
x
2senicos
2sen
2sen
)(-2-sen
cos
2200
220
220
2
220
20
r
v
-
34
7. Um estudante atira uma bolinha de papel em uma lixeira cilndrica (dimetro D e altura 2D). A parte inferior da lixeira est no mesmo nvel do ponto em que a bolinha foi arremessada e a uma distncia horizontal 6D do ponto de lanamento. A bolinha arremessada com um ngulo de 45 acima da horizontal (veja figura abaixo). Determine o valor mximo e o valor mnimo da velocidade de lanamento ( 0v ) para que a bolinha entre pela parte superior da lixeira. Despreze a resistncia do ar e expresse suas respostas em termos de g e D.
x
224545 oosen cos
6D
2D
D
y
?0 v
45 (0,0)
Movimento Horizontal
oxx
ox
ox
cosvvvtcosvx
acosvvx
45
45
0,45,0
00
0
000
Movimento Vertical
ygsenvvegtsenvv
gttsenvy
gasenvvy
oy
oy
o
yo
y
245452145
,45,0
220
20
20
000
Equao da trajetria:
yxgxve
yxgxvqueformatalde
vgxx
v
xgxysejaou
cosvxg
cosvxsenvy
cosvxtteinsNo
gttsenvyetcosvx
ooo
o
oo
2
0
220
20
2
2
20
2
220
2
00
0
200
:
,
222
1:
4521
4545
45tan
214545
O valor mnimo de v0 aquele que permitir que a bolinha atinja a lixeira em x = 6D e y = 2D.
gDvDDgv
DDDgv
3436
266
0
2
0
2
0
O valor mximo de v0 aquele que permitir que a bolinha atinja a lixeira em x = 7D e y = 2D.
57
549
277
0
2
0
2
0
gDv
DDgv
DDDgv
-
35
8. Uma pedra arremessada para cima, do alto de um edifcio de altura H, com velocidade de mdulo 0v , inclinada de um ngulo acima da horizontal. A acelerao da gravidade local vale g.
(Dados: H, v0, e g).
a) Determine o instante aps o arremesso que a pedra atinge o solo, em funo de v0, , g e H.
b) Determine o mdulo da velocidade com que a pedra
atinge o cho, em funo de v0, g e H.
9. Um jogador de basquete arremessa uma bola com um ngulo 45. A bola sai das mos do jogador de uma altura h acima do solo. A cesta encontra-se a uma distncia horizontal D das mos do jogador e a uma altura H acima do solo. A acelerao da gravidade local vale g. Determine (a) o mdulo da velocidade de arremesso para que ele consiga acertar a cesta e (b) o mdulo da velocidade da bola ao atingir a cesta. Dados: g, h, H e D.
0
H
0v
g
+y
+x
Hyx
gaasenvv
vv
yx
y
x
00
00
00
0
0
cos
ggHsenvsenv
t
ggHsenvsenv
t
ggHsenvsenv
t
ggHsenvsenv
t
Htsenvgt
gttsenvH
gttsenvHy
2
02
2)2(42
2842
022
0
2200
2200
2200
2200
02
22
10
22
10
Por conservao da energia mecnica, considerando o nvel de referncia no solo, temos:
gHvv
vvgH
mvmvmgH
2
221
21
20
220
220
sen 45 = cos 45 = 22
Equaes do movimento:
)hy(gsenvv
gtsenvvcosvv
gtt.senvhy
t.cosvx
y
y
x
2
21
220
2
0
0
20
0
h
D
H
45
x
y
(0,0)
-
36
10. Uma bola arremessada de cima para baixo com uma velocidade de mdulo 0v , inclinada de um
ngulo 0 em relao horizontal, do alto de um edifcio cuja altura, acima do solo H, conforme figura abaixo. O mdulo da acelerao da gravidade local g. Determine: (a) o instante aps o arremesso que a bola atinge o solo e (b) as componentes horizontal e vertical da velocidade com que a bola atinge o solo. D suas respostas em termos das grandezas H, g, 0 e 0v que se fizerem necessrias. Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo.
(b) Em 0,1 ytt
gsenvgHsenv
t
ggHsenvsenv
t
ggHsenvsenv
t
ggHsenvsenv
t
Htsenvgt
gttsenvH
gttsenvH
gttsenvHy
00022
01
022
0001
022
0001
022
0001
10021
21100
21100
200
2
02
2242
2842
022
220210
21
)(
0,0
+ y
H
0v
+ x
0
)( Hygsenvv
gtsenvv
gttsenvHy
y
y
2
21
022
02
00
200
00
00
coscos
vvtvx
x
Equaes do movimento
(c) Clculo da componente vertical:
Em yy vvy 1,0
gHsenvv
gHsenvv
Hgsenvv
Hygsenvv
y
y
y
y
2
2
02
2
022
01
022
021
022
021
022
02
)(
)(
Clculo da componente horizontal:
001 cosvvv xx
t1 xv1
yv1
(a) Em x = D, y = H
cosvDt
t.cosvx
0
0
HhDgDv
HhDv
gD
vgDDhH
vDg
vDsenvhH
2
0
20
2
20
2
220
2
00 2
1
coscos
(b) Por conservao da energia mecnica, tomando o solo como nvel de referncia:
)(
)(
).().(
hHgHhD
gDv
hHgvv
gHvghv
vgHvgh
mvmgHmvmgh
EE fMeciMec
2
2
22
2221
21
2
20
2
20
2
220
220
-
37
11. Uma pedra presa a um cordo de comprimento L girada por um menino, fazendo um crculo horizontal a uma altura H acima do solo. A pedra d N voltas em um intervalo de tempo t e, durante o movimento, o mdulo da velocidade permanece constante. Ao passar pelo ponto A o cordo arrebenta e a pedra arremessada ao solo. Determine: (a) o mdulo da acelerao centrpeta da pedra durante o movimento circular; (b) o vetor velocidade da pedra ao atingir o solo e (c) o vetor deslocamento da pedra desde o instante em que ela arremessada at o instante em que atinge o solo Expresse suas respostas em termos das grandezas L, N, t , H, g e dos vetores unitrios que se fizerem necessrios.
i
j
H
L
(a) A acelerao centrpeta da pedra em MCU
dada por: Rva
20 . O raio da trajetria L e,
uma vez que a pedra executa N rotaes em um intervalo de tempo t a velocidade de
rotao ser: t
LNv
2.
0 .
Assim: 2222222
)(4)/(4
tLN
LtLNa
(b) No momento em que o cordo arrebentar a pedra ser arremessada horizontalmente, em queda livre, com velocidade de mdulo v0 (calculado no item a).
gaevHyaevvx
yy
xx
0,0,0
00
000
Para o movimento de queda livre da pedra temos:
Hygvegtvevv
gtHyetvx
yyx
221
20
20
Quando a pedra atinge o solo sua velocidade ser:
gHvsejaou
gHHgvet
LNvv
y
yx
2:
2022. 20
Assim, jgHitNLv 22
0v
0
+ y
(c) O vetor deslocamento da pedra desde o instante em que arremessada at atingir o solo ser:
yxr Clculo do tempo de queda:
gHtHgt
gtH
gtHy
221
210
21
2
2
2
jHigH
tNLrAssim
HHy
egH
tNLtvx
22:
0
220
-
38
12. Uma carabina apontada na horizontal para um alvo localizado a uma distncia D. A bala acerta o alvo em um ponto localizado a uma altura h abaixo do ponto visado. A acelerao da gravidade local vale g. Determine (a) o tempo de vo da bala e (b) o mdulo da velocidade da bala ao sair da carabina. Expresse suas respostas em funo de D, h e g.
tvxavvx
tatvxx
xx
xx
0
000
200
0021
,,
(a)
ght
gth
gth
gty
gavy
tatvyy
yy
yy
2
221
21
0021
2
2
2
00
200
,,
(b)
hgDv
ghvDtvD
2
2
0
00
?0 v
h
D
x
y
-
39
EXERCCIOS PROPOSTOS Quando necessrio use g = 10 m/s.
1. (a) Em uma competio de salto distncia tem alguma importncia quo alto o salto?
Quais os fatores que determinam o alcance do salto? Explique. (b) Em que ponto de sua trajetria um projtil alcana a sua velocidade mnima? E a mxima? (c) No mesmo instante em que a bala sai horizontalmente do cano de uma arma, voc larga um corpo da mesma altura do cano. Desprezando a resistncia do ar, qual dos dois chegar primeiro ao solo? Explique. (d) Um projtil disparado de baixo para cima, a um ngulo acima da horizontal com velocidade inicial v0, num local a gravidade g. Na sua altura mxima, determine o seu vetor velocidade e seu vetor acelerao. 2. A partcula A se move ao longo da reta y = 30 m com velocidade
constante v de mdulo igual a 3,0 m/s na direo paralela ao eixo x positivo. Uma partcula B parte da origem com velocidade nula e acelerao constante a de mdulo igual a 0,40 m/s, no mesmo instante em que a partcula A passa pelo eixo y. Que ngulo entre a e o eixo y positivo resultaria em um choque entre as duas partculas.
3. Uma partcula parte da origem com uma velocidade inicial smiv /)00,3( e uma acelerao constante 2/)500,000,1( smjia . Quando a partcula atinge a sua coordenada x mxima, quais so (a) a sua velocidade e (b) o seu vetor posio.
4. Uma arma localizada a 40 m acima de uma plancie horizontal, dispara horizontalmente um
projtil com uma velocidade inicial de 300 m/s. (a) Quanto tempo o projtil permanece no ar? (b) A que distncia horizontal ele atinge o solo? (c) Qual o o vetor velocidade do projtil quando ele atinge o solo?
5. Um rifle tem velocidade de disparo de 460 m/s e atira uma bala num alvo situado a 46 m.
A que altura acima do alvo o rifle deve apontar para que a bala acerte nele? 6. Uma bola rola para fora de uma mesa de 1,0 m de altura. A bola atinge o solo em um ponto
1,2 m horizontalmente distante da borda da mesa. Determine: (a) a velocidade da bola no instante em que saiu da mesa; (b) a velocidade da bola no instante em que toca o solo.
7. Uma bola atirada do cho para o ar. Quando ela atinge uma altura de 9,0 m, a velocidade
dada por: jiv 36 , em m/s. (a) At que altura a bola subir? (b) Qual ser a distncia horizontal total percorrida pela bola. (c) Qual a velocidade da bola no instante em que ela toca o cho?
8. Uma bola de futebol chutada com velocidade inicial 0v
e com um ngulo de inclinao de 45 acima da horizontal. Qual deve ser o valor de 0v
para que a bola atinja a linha de gol,
situada a 80 m do local do chute? 9. De um bombardeiro, mergulhando em um ngulo de 60 com a vertical, solta-se uma bomba
a uma altitude de 700 m. A bomba atinge o solo 5,0 s aps ser solta. (a) Qual a velocidade do bombardeiro? (b) Qual a distncia que a bomba percorre horizontalmente durante o seu trajeto? (c) Qual o vetor velocidade da bomba no instante em que atinge o solo?
10. A velocidade de lanamento de um certo projtil cinco vezes a velocidade que ele possui na sua altura mxima. Calcule o ngulo de lanamento.
x
y
A
B
v
a
-
40
11. Dois segundos aps ser projetado do nvel do cho, um projtil se deslocou 40 m na horizontal e 53 m na vertical acima do seu ponto de lanamento. (a) Quais so as componentes horizontal e vertical da velocidade de lanamento do projtil? (b) No instante em que o projtil alcana a sua altura mxima acima do nvel do solo, qual a distncia percorrida na horizontal a partir do ponto de lanamento?
12. Um astronauta colocado para girar em uma centrfuga horizontal em um raio de 5,0 m.
(a) Qual o mdulo de sua velocidade linear se a acelerao centrpeta possui um mdulo de 7,0g. (b) Quantas rotaes por minuto so necessrias para produzir esta acelerao? (c) Qual o perodo do movimento?
13. As ps de um ventilador completam 1200 voltas por minuto. Considere a ponta de uma p,
que est em uma raio de 0,15 m. (a) Que distncia a ponta da p percorre em uma volta? Quais so os mdulos (b) da velocidade e (c) da acelerao da ponta? (d) Qual o perodo do movimento?
RESPOSTAS
1. .............................................. 8. smv /,3280
2. = 60 9. a) smv /2300 b) mx 996 c) smjiv /)( 165199
3. a) smjv /),( 51 b) mjir ),,( 25254
10. ,578
4. a) st 832, b) md 5848, c) smjiv /),( 328300
11. a) smv
smv
y
x
/,;/
53620
0
0
b) mx 73
5. mh 50, 12. a) smv /,718 b) rpmf 36 c) sT 671,
6. a) smiv /),( 720
b) smjiv /),,( 5472
13. a) ms 9420, b) smv /,8418 c) / smac 2366 d) sT 050,
7. a) mH 459, b) mx 516, c) smjiv /),( 8136
-
41
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1. Uma caixa de peso P arrastada para cima, em um plano inclinado de graus com a horizontal, por uma fora horizontal constante de mdulo F, conforme ilustrado abaixo. O coeficiente de atrito entre a caixa e o plano vale c. Em funo das grandezas fornecidas obtenha, em termos de c, P e , uma expresso para o mdulo da fora F que far com que a caixa suba o plano com velocidade constante.
CAPTULO 4- LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO
CAPTULO 5- APLICAES DAS LEIS DE NEWTON
F
Uma vez que a caixa arrastada plano acima com velocidade constante, podemos concluir que: 00 yx FeF
FsenPcosN
FPNF yyy
0 A fora de atrito cintico dada por:
)(. FsenPcosNf ccc
P
y
cf
N
xP
yP
F
x
yF
xF
cosPPePsenP yx
FsenFeFF yx cos
sencosPcosPsen
F
PcosPsensencosFPcosPsenFsenFcos
FsenPcosPsenFcos
fPFF
c
c
cc
cc
c
cxxy
)(
0)(
0
-
42
2. Dado o sistema em equilbrio ilustrado abaixo, determine a tenso em cada uma das cordas T1, T2 e T3.
3. Imagine que voc esteja sustentando um livro de 4 N em repouso sobre a palma da sua mo. Complete as seguintes sentenas: a) Uma fora de cima para baixo de mdulo igual a 4 N exercida sobre o livro pela Terra. b) Uma fora de baixo para cima de mdulo 4 N exercida sobre o livro pela palma da sua mo. c) a fora de baixo para cima do item (b) a reao da fora de cima para baixo do item (a)? No.
sen 37 = cos 53 = 0,6 sen 53 = cos 37 = 0,8
37 53
P=500N
T2 T3 T1 37 53
y
P
3T
1T
2T
'1T
x
xT3
yT3
xT2
yT2
Uma vez que o sistema se encontra em equilbrio, temos, para o objeto suspenso:
500NTT '11
NPT
PTFy500
0'
1
'1
2323
23
2323
34
6080
3753
0
TTTT
cosTcosT
TTTTF xxxxx
,,
400NT
300NT
3
2
30034
34
1500050150001832
50006348
50006850060803753
0
23
2
22
22
23
23
123
123
TT
TTT
TT
TTTT
TsenTsenT
TTTF yyy
,,
-
43
d) A reao da fora do item (a) a fora de mdulo 4 N exercida sobre a Terra pelo livro. Seu sentido para cima. e) A reao da fora do item (b) a fora de mdulo 4 N exercida sobre a mo pelo livro. f) As foras dos itens (a) e (b) so iguais e opostas em virtude da Primeira Lei de Newton. g) As foras dos itens (b) e (e) so iguais e opostas em virtude da Terceira Lei de Newton.
Suponha agora que voc exera sobre o livro uma fora de baixo para cima de mdulo igual a 5 N.
h) O livro permanece em equilbrio? No. i) a fora exercida pela sua mo igual e oposta fora exercida sobre o livro pela Terra? No. j) a fora exercida sobre o livro pela Terra igual e oposta fora exercida sobre a Terra pelo livro? Sim. k) a fora exercida sobre o livro pela sua mo igual e oposta fora exercida sobre sua mo pelo livro? Sim.
Finalmente, suponha que voc retire subitamente sua mo enquanto o livro se move para cima?
l) Quantas foras atuam agora sobre o livro? Uma (a fora gravitacional).
m) O livro est em equilbrio? No.
4. Um bloco A, de massa igual a 3m, desliza sobre um plano, inclinado de um ngulo em relao horizontal, com velocidade constante, enquanto a prancha B, de massa m, permanece em repouso sobre A. A prancha est ligada por um fio ao topo do plano. a) Faa um diagrama de todas as foras que atuam sobre
o bloco A e sobre a prancha B, identificando-as. b) Determine o coeficiente de atrito esttico entre A e B e entre A e a superfcie do plano
inclinado, sabendo que ambos so iguais.
A )(SAcf
SN
BAN
)(BAcf
AP
B ABN
)( ABcf
BP
T
AdePeso:
AblocooeplanoentreoatritodeFora:
AblocooeBpranchaaentreatritodeFora:
AblocoosobreBpranchadanormalReao:
AblocoosobreplanodonormalReao:
)(
)(
A
BAS
BAc
BA
S
P
f
f
N
N
BdePeso:
fionoTrao:
AblocooeBpranchaaentreatritodeFora:
BpranchaasobreAblocodonormalReao:
)(
A
ABc
AB
P
T
f
N
B ABN
)( ABcf
BP
T
xBP
yBP
A )(SAcf
SN
BAN
)(BAcf
AP
xAP
yAP
Uma vez que, o bloco A desce o plano inclinado com velocidade constante e a prancha B permanece em repouso, pela 1 Lei de Newton, para ambos os corpos, o
.0F
Temos ainda que:
)()(
3
BAcABc
ABBA
BA
ffNN
mgPemgP
A
B
-
44
5. Os blocos A, B e C so dispostos como
indicado na figura ao lado e ligados por cordas de massas desprezveis. As massas de A e B so iguais a M e o coeficiente de atrito cintico entre cada bloco e a superfcie c. O bloco C desce com velocidade constante. Determine a massa do bloco C (em termos de c, e M).
Corpo A 0 yF
mgcosNmgcosmgcosN
mgcosNNPNNF
S
S
BAS
yABASy
43
3
0
mgcosfNf
cSAc
ScSAc
4)(
)(
Corpo A 0 xF
tan5353
53043
0)()(
c
c
c
cc
SAcBAcxAx
mgcosmgsen
mgcosmgsenmgcosmgcosmgsen
ffPF
Corpo B
mgcosPNPNF
yBAB
yBABy
0
mgcosfNf
cABc
ABcABc
)(
)(
A
B C
CT
CP
C
A AT
P)( Acf
AN
CT
AT
P
B
)( Bcf
BN
MgPNF
MgfTF
Ay
cACAx
0
0 )(
sen
cos
cos
)(
)(
Mgf
MgNF
MgfTTF
cBc
By
BcACx
0
0
gmPTF CCCy 0 cos1sen)cossen(
cossen.
sen.
sen.
e
)()(
)(
MmMm
MgMgMggmfMgfgm
fMgTTgm
C
ccC
ccC
BcAcC
BcACC
-
45
6. Uma caixa de massa M arrastada sobre uma superfcie horizontal atravs de uma corda inclinada de um ngulo acima da horizontal. O coeficiente de atrito cintico entre a caixa e a superfcie c e o mdulo da acelerao da gravidade local g. Determine o mdulo da fora exercida pela corda sobre a caixa de tal forma que a mesma desloque com velocidade constante, em funo de M, g, c e .
7. O bloco A da figura abaixo possui peso P. O coeficiente de atrito esttico entre o bloco e a superfcie na qual ele repousa vale 1/3. Determine o mximo valor do peso do bloco B (em funo de P) para o qual o sistema permanece em repouso.
A
B
Dados: sen = 3/5 cos = 4/5
B
A
AP
AT
AT
BT
BT
CT
CxT
CyT
BP
N
ef
Para que o sistema permanea em repouso:
PTNT
fT
eA
eA
mxeA
.)(
senPT
senTPTT
BC
CBBB
tanPT
cossen
PT
cosTT
BA
BA
CA
PP
PP
PP
PtanP
Ptan
PTT
mximoB
B
B
cB
eB
AA
41
41
43
31
)(
43
45
53
tan
tan
N
F
P
cf
xF
yF
x
y
FsenFFcosF
MgP
y
x
FsenMgfNf
FsenMgNMgFsenN
PFNF
cc
cc
yy
0
0
sencosMg
F
Mg)sencos(FFsenMgFcos
)FsenMg(Fcos
fFF
c
c
cc
cc
c
cxx
00
0
-
46
8. Duas cordas A e B suportam um corpo de peso P conforme mostrado na figura abaixo. A corda B passa por uma polia de inrcia desprezvel e sem atrito. Os pontos extremos da corda B esto unidos corda A e corda que suporta o corpo no ponto O. Determine as tenses nas cordas A e B, sabendo que o sistema est em repouso. Respostas em funo do peso P.
A B B
O 54cos
53cos
sen
sen
BT
O
yBT
AT
P
yAT
xBT
BT
xAT
yBT
BB
ByBBxB
ByBBxB
AyAAxA
TTsenTTcosTTsenTTcosTTsenTTcosTT
Aplicando a 1 condio de equilbrio:
147
44354
54
53
0
00
BA
ABB
ABB
ABB
xAxBxB
x
TT
TTT
TTT
cosTcosTcosTTTT
F
xBT
PT
PTPTTT
PTTT
TTdoSubstituin
PTTT
PTTT
PsenTsenTsenTPTTT
F
B
B
BBB
BBB
BA
ABB
ABB
ABB
yAyByB
y
4920
204920211216
4547334
47:
5334
553
53
54
0
0
PT
PT
TT
A
A
BA
4935
4920
4747
-
47
9. Um corpo A, de peso 4P, est sobre um plano inclinado de um ngulo e preso por um fio que passa por uma pequena roldana sem atrito no qual se encontra suspenso um outro corpo (B) de peso varivel, conforme a figura abaixo. O coeficiente de atrito esttico entre o corpo A e o plano
41 . Determine (a) o maior valor do peso de B e (b) o menor valor do peso de B para que o
sistema permanea em repouso.
A
B
53
54cos
sen
BP
P
4
yP
4
xP
4
N
T
T
)(mxef
Para o bloco A:
PPf
PcosfNf
PcosNF
mxe
emxe
emxe
y
54
544
41
4
4
0
)(
)(
)(
BP
P
4
yP
4
xP
4
N
T
T
)(mxef
Se: PB 4Px PB(mximo)
PPPP
PPP
fPsenTF
B
B
mxe
x
516
54
534
54
534
40
)(
Se: PB 4Px PB(mnimo)
PPPP
PPP
PsenfTF
B
B
mxe
x
58
54
534
534
54
40
)(
Para o bloco B, qualquer que seja a situao:
BPTF
0
-
48
10. A massa do bloco A na figura ao lado M e a massa do bloco B 2M. O coeficiente de atrito cintico entre o bloco A e a mesa 0,50. Os blocos so ligados por um fio de massa desprezvel e os atritos na roldana e entre o bloco B e o plano inclinado podem ser desprezados. A acelerao da gravidade local tem mdulo g. Determine (a) a tenso no fio e (b) a acelerao dos blocos.
Aplicando as Leis de Newton aos movimentos dos blocos A e B temos:
Bloco A
MgMaTMafT
MaFMgNf
MgPNF
c
x
Acc
AAy
50,0
50,0.
0
Bloco B
MaTPMaF
MgPNF
xB
x
yBBy
22
30cos0
(b)
ga
MaMgMaMgMaMg
MaTP xB
61
350,0250,0
2
(a)
MgT
MggMT
MgMaT
32
21
61
50,0
A
B
30
866,030cos50,030sen oo e
aaaTT
MgPMgMgP
AB
yB
xB
30cos2
30sen2
A
B
30
AP
BP
yBP
xBP
BN
AN
cf
T
T
Aa
Ba
-
49
11. Uma caixa de massa m desliza para baixo, apoiada em uma superfcie inclinada de um ngulo com a horizontal, empurrada por uma fora horizontal cujo mdulo F. O coeficiente de atrito cintico entre a caixa e a superfcie c e o mdulo da acelerao da gravidade local g. (a) Faa um diagrama de corpo isolado para a caixa. Determine (b) a fora de atrito cintico sobre a caixa; (c) a acelerao da caixa e (d) o mdulo da fora F
para que a caixa deslize para baixo com
velocidade constante.
(b) 0 NPFF yyy
cosmgFsenNPFN yy
)cos( mgFsenNf ccc
(c) xx maF
)cos()(cos
)cos()(cos)cos(cos
cc
cc
c
cxx
sengsenmFa
masenmgsenFmamgFsenmgsenF
mafPF
(d) Para que a caixa deslize com velocidade constante, a acelerao dever ser igual a zero.
)cos()cos(
)cos()(cos
)cos()(cos
0)cos()(cos
0)cos()(cos
sensen
mgF
sengsenmF
sengsenmF
sengsenmF
sengsenmFa
c
c
cc
cc
cc
cc
(a)
xP
F
N
P
cf
xF
yF
yP
cos
cos
mgPmgsenPFsenFFF
yx
yx
y x
0 yx aaa
F
-
50
12. Um tren cheio de estudantes em frias (massa total M) escorrega para baixo numa encosta de montanha cujo ngulo de inclinao . Determine, em funo dos vetores unitrios que se fizerem necessrios, o vetor acelerao do tren quando:
Faa uso de ilustraes, eixos cartesianos de referncia, e represente os dados pertinentes. Faa o diagrama do corpo isolado para cada situao. Utilize g para a acelerao da gravidade.
(a) a montanha est coberta de gelo (supor c = 0);
Dados: M, e c = 0 (fc = 0) Representao grfica:
mgP (1) cosmgPy (2)
senmgPx (3)
Como no h atrito ao longo do declive, 0 Nf cc , a anlise a seguir, da resultante
das foras ao longo do eixo y, que fornecer o valor da normal (N), torna-se dispensvel.
Em y: 0 yy PNF (4)
cosmgN (5)
Em x: xxx maPF (6)
xmamg sen (7)
sengax
ou )(sen iga
(8)
(b) a montanha est coberta de neve (c > 0).
Dados: M, e c > 0 (fc > 0) Representao grfica: vide figura acima.
De modo similar ao item (a), tem-se:
mgP (1) cosmgPy (2)
senmgPx (3)
Nf cc (4)
Em y: 0 yy PNF (5)
cosmgN (6)
Em x: xcxx mafPF (7)
Usando (3), (4) e (6) em (7), obtm-se
xe mamg )cos(sen (8)
)cos(sen ex ga
ou )()cos(sen iga e
(8)
x
y
g
P
N
yP
cf
xP
sentido do movimento
-
51
+y
+x ef
31 PP
)( 31 PPN
1T
1
+y
+x
cf
1P
1PN
1T
1
1a
+y
2P
22 PT
2
+y
2P
2T
2 2a
13. Os blocos 1 e 2 da figura ao lado tm massas m1 e m2, respectivamente. Considere que o fio seja inextensvel, que no haja atrito na polia e que as massas do fio e da polia sejam desprezveis. Sejam e e c os coeficientes de atrito esttico e cintico entre o bloco 1 e a mesa, respectivamente.
a) Determine a massa mnima do bloco 3 (m3) para impedir que o bloco 1 deslize.
b) Determine a acelerao do bloco 2, quando o bloco 3 removido subitamente de cima do bloco 1.
Resoluo:
Dados: m1 , m2 , e , c e g Ilustrao: Diagrama do corpo livre.
(a) Bloco 1:
P = mg (1)
Em y: 0 yF
0)( 31 PPN
31 PPN (2)
Como Nf ee
)( 31max PPNf eee (3)
Em x: 0 xF 01 efT
)( 311 PPfT ee (4)
Bloco 2:
Em y: 0 yF
022 PT
22 PT (5)
Mas 21 TT , ento, de (4) e (5), obtm-se
12
3 PPP
e
1
23 m
mme
(6)
(b) Bloco 1:
Em y: 0 yF
01 PN gmPN 11 (7)
Ento gmNf ccc 1 (8)
Em x: 11amFx
111 amfT c
)( 111 agmT c (9)
Bloco 2:
Em y: 22amFy
2222 amPT )( 222 agmT (10)
Mas 21 TT e 21 aa , ento, de (4) e (5), tem-se
gmm
mma e
21
12 (11)
m1
m2
m3
-
52
14. Os blocos A e B so dispostos sobre superfcies sem atrito, como indicado na figura ao lado e ligados por cordas de massas desprezveis. As massas de A e B so iguais a M. Determine a acelerao dos blocos e a tenso na corda que os une. Expresse suas respostas em termos das grandezas M, g e que se fizerem necessrias.
15. Uma pilha de 3 blocos iguais, de mesma massa m, encontra-se apoiada
sobre o piso de um elevador, como representado na figura ao lado. O elevador est subindo em movimento uniformemente retardado com uma acelerao de mdulo a. Determine o mdulo da fora que o bloco 1 exerce sobre o bloco 2. Considere g o mdulo da acelerao da gravidade local.
Diagrama de corpo livre dos blocos 1, 2 e 3:
Bloco B
cos0 MgNF By
Ma-sensen
MgTMaTMgmaF xx
Bloco A MaTmaF xx
sen21
sen2-sen
ga
MgMaMaMaMg
sen
21sen
21 MggMTMaT
A
B
TTT AB
A AT
P
AN
BT
P
B BN
a
321
a
Aplicando a 2 Lei de Newton ao movimento dos blocos temos:
Bloco 3
mamgNmaNP
3
3
Bloco 2
)(222
2
2
2
32
23
agmNmamgN
mamamgmgNmaNmgN
maNNP
3
2
1
P
P
P
1N
2N
2N
3N
3N
(+)
a
Pela 3 Lei de Newton: 3322 NNeNN
-
53
16. Um bloco A, de massa igual a M colocado sobre um bloco B, de massa igual a 2M. Este, por sua vez colocado sobre o bloco C, de massa igual a 3M, que se encontra apoiado sobre o piso de um elevador (figura abaixo). Sabendo que o mdulo da acelerao da gravidade local vale g e que o elevador est subindo com acelerao igual a 0,5g, calcule o mdulo da fora que o piso do elevador exerce sobre o bloco C. (Dados: M e g).
17. Um bloco A de massa 2M est apoiado em um plano, inclinado de 30 com a horizontal. Um
segundo bloco (B) de massa 4M est ligado ao primeiro por uma corda que passa por uma polia. O
coeficiente de atrito cintico entre o bloco e o plano inclinado vale 33 . A corda leve e o atrito
com a polia desprezvel. A acelerao da gravidade g. a) Indique na figura o sentido da acelerao de cada bloco. Explique.
b) Determine a acelerao dos blocos em funo de g.
aA
B
C
30
2M 4M
A B
2330
2130 cossen
N
AP
BP
CP
a
Considerando o sistema constitudo pelos trs blocos:
MggMN
ggMN
gaMNMaMgN
ammmPPPNamF
CBACBA
sistsist
9236
)21(6
)(666
)()(..
30
BP
BT
AT
AP
yAP
xAP
N
cf
Para o bloco A:
MgMgN
MgcosNFy
3232
0302
Assim:
MgMgNf cc 3.33
MgMgsenP xA 302
y
Uma vez que: cxAB fPP , o bloco A mover para cima e o bloco B para baixo, com acelerao de mdulo a.
x
a
a
-
54
c) Determine a trao na corda em funo de M e g.
Pela equao (1) ou (2) podemos calcular o valor da trao na corda:
18. No sistema ilustrado abaixo, trs blocos so ligados por cordas leves. As massas de A, B e C so,
respectivamente, 2M, 3M e 5M. Os blocos descem em movimento acelerado, com uma acelerao cujo mdulo 0,1g, onde g o mdulo da acelerao da gravidade local. Determine: (a) o mdulo da fora F
aplicada sobre o bloco A e (b) as tenses nas cordas que unem os blocos A e B e os
blocos B e C. Apresente suas respostas em funo das grandezas M e g.
Aplicando a 2 Lei de Newton para os movimentos dos blocos A e B temos:Bloco A:
)1(222
MaMgTMaMgMgT
amPfTF
A
A
AAxAcAx
Bloco B:
)2(4444
MaMgTMaTMg
amTPF
B
B
BBBBB
Uma vez que TB = TA, igualando as equaes (1) e (2):
ga
MgMaMaMgMaMg
31
264422
MgT
MgMgT
gMMgT
MaMgTEq
A
A
A
A
38
322
3122
22:)1.(
Ou:
MgT
MgMgT
gMMgT
MaMgTEq
B
B
B
B
38
344
3144
24:)2.(
F
C
A
B
C
F
A
B
BCT
ABT
BAT
CBT
BP
AP
CP
ga 1,0
ga 1,0
ga 1,0
Para o bloco A:
)1(8,1)1,0(22
22)(
1
1
1
1
MgTFgMTMgF
MaTMgFamTPF
amF
AA
A
Para o bloco B:
)2(7,2)1,0(33
33)(
21
21
21
21
MgTTgMTMgT
MaTMgTamTPT
amF
BB
B
Para o bloco C:
)3(5,4)1,0(55
55)(
2
2
2
2
MgTgMMgT
MaMgTamPT
amF
CC
C
1TTT BAAB
2TTT CBBC
-
55
19. Dois corpos A e B, ligados por uma corda que passa por uma pequena roldana sem atrito, esto sobre superfcies inclinadas, sem atrito, conforme ilustrado abaixo. As massas de A e B so, respectivamente, M e 2M e o mdulo da acelerao da gravidade local g. (a) Em que sentido o sistema se move? Explique. (b) Determine a acelerao dos corpos e (c) a tenso na corda que os une. D suas respostas em funo das grandezas M e g que se fizerem necessrias.
AB
30 53
Use, se necessrio: cos30 = 0,87 e sen30 = 0,50 cos53 = 0,60 e sen53 = 0,80
Pela equao (3): MgTTT CBBC 5,42
Pela equao (2):
MgTTTMgT
MgMgTMgTT
BAAB 2,72,7
7,25,47,2
1
1
1
21
Pela equao (1):
MgFMgMgF
MgTF
0,98,12,7
2,21
BN
AB
30
53 30 AP
BP
53 BxP
ByP
AyP
AxP
AN
BT
AT
a a
MgMgsenPPMgsenPP
TTT
BBx
AAx
BA
0,150,0.23080,0.53
(a) Uma vez que PBx PAx os corps A e B se movero para a esquerda com acelerao constante de mdulo igual a a. (Veja no diagrama de foras).
Para o corpo A:
)1(80,080,0
MgMaTMaMgT
amPTF AAxx
Para o corpo B:
)2(20,120,1
MaMgTMaTMg
amTPF BBxx
(a) Igualando as equaes (1 e (2):
ggga
MgMaMaMgMgMa
067,0151
320,0
20,0320,180,0
(b) Substituindo o valor de a em (1):
MgMgMgT
MggMT
MgMaT
867,01513
36,2
80,0320,0
80,0
-
56
20. Um pequeno bloco solto do repouso em um plano inclinado de um ngulo com a horizontal. Aps descer uma distncia L ao longo do plano, com acelerao constante, o mdulo de sua
velocidade Lg54 , onde g o mdulo da acelerao da gravidade local. Determine (a) o
mdulo da acelerao do bloco (em funo de g) e (b) o valor do coeficiente de atrito cintico entre o bloco e a superfcie do plano.
43
45
53
tan
tan
L
Dados: sen = 3/5 cos = 4/5
yP
P
xP
cf
N
+x
+y
a) Clculo da acelerao do bloco.
ga
aLLg
aLLg
xavv
52
254
254
22
20
2
b) Clculo do coeficiente de atrito cintico.
41
42
43
54
52
43
0
c
c
c
c
c
cx
x
ccc
y
y
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