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Aplicaciones de la Geometrıa Algebraica
Abraham Martın del Campo
CONACYT – CIMAT
20 de febrero de 2018
Abraham Martın del Campo (CIMAT) Aplicaciones de la Geometrıa Algebraica 2
Abraham Martın del Campo (CIMAT) Aplicaciones de la Geometrıa Algebraica 2
Abraham Martın del Campo (CIMAT) Aplicaciones de la Geometrıa Algebraica 2
Sea M = V(x4 + y4 − 1) y u = (0.2,0.7)
who is the point p ∈ M closest to u?
Abraham Martın del Campo (CIMAT) Aplicaciones de la Geometrıa Algebraica 2
Sea M = V(x4 + y4 − 1) y u = (0.2,0.7)
who is the point p ∈ M closest to u?
Encontramos los puntos crıticos:(.20249, .999579), (.21752, -.99944), (.600555, -.965761), (-.761301, -.902727)
Abraham Martın del Campo (CIMAT) Aplicaciones de la Geometrıa Algebraica 2
Sea M = V(x4 + y4 − 1) y u = (0.2,0.7)
who is the point p ∈ M closest to u?
Seleccionamos el que este a menor distancia:(.20249, .999579), (.21752, -.99944), (.600555, -.965761), (-.761301, -.902727)
Abraham Martın del Campo (CIMAT) Aplicaciones de la Geometrıa Algebraica 3
DefinicionDado un u ∈ Rn, un punto crıtico de du(x) es un punto p ∈ Rn tal que
p ∈ Mreg and ∇du(p) ⊥ TpM
Nuestro algoritmo
1. Encontrar un punto crıtico.
2. Utilizar lazos aleatorios para explorar la fibra.
3. El test de la traza para saber cuando detenerse.
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3. Test de la Traza
Despues de r lazos aleatorios (paso 2), obtenemos un conjuntoSr = {p∗1, . . . ,p∗r } de puntos crıticos (no necesariamente diferentes).
Pregunta
Se tiene en general que Sr−1 ⊆ Sr ⊆ S,
¿Pero cuando se tiene Sr = S?
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3. Test de la Traza
Teorema (Sommese-Verschelde-Wampler ’03)
La traza de M con respecto a Lt es una funcion lineal en t. Aun mas,la suma de coordenadas de cualquier subconjunto propio de Lt ∩Mno es lineal en t.
Sea M una variedad irreducible de codimension k y de grado D. Lainterseccion de un plano k -dimensional L generico con M consta de Dpuntos:
M ∩ L = {q1, . . . ,qD}.
La traza de estos puntos es la suma coordenada a coordenada.
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3. Test de la Traza
Teorema (Sommese-Verschelde-Wampler ’03)
La traza de M con respecto a Lt es una funcion lineal en t. Aun mas,la suma de coordenadas de cualquier subconjunto propio de Lt ∩Mno es lineal en t.
Sea M = V(y − x2) y Lt = 2x − 4y + t .Cuando t = −1, se tiene que
M ∩ Lt = {(0.309,0.0954), (−0.809,0.6546)}
y la traza
tr(M ∩ Lt) = (−0.5,0.75).
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3. Test de la Traza
Teorema (Sommese-Verschelde-Wampler ’03)
La traza de M con respecto a Lt es una funcion lineal en t. Aun mas,la suma de coordenadas de cualquier subconjunto propio de Lt ∩Mno es lineal en t.
Sea M = V(y − x2) y Lt = 2x − 4y + t .Cuando t = −3, se tiene que
M ∩ Lt = {(0.651,0.4243), (−1.151,1.3257)}
y la traza
tr(M ∩ Lt) = (−0.5,1.75).
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3. Test de la Traza
Teorema (Sommese-Verschelde-Wampler ’03)
La traza de M con respecto a Lt es una funcion lineal en t. Aun mas,la suma de coordenadas de cualquier subconjunto propio de Lt ∩Mno es lineal en t.
Sea M = V(y − x2) y Lt = 2x − 4y + t .En general,
M ∩ Lt ={(−1±
√1−4t
4 , 1−2t±√
1−4t8
)}y la traza
tr(X ∩ Lt) =(−1
2 ,1−2t
4
).
Abraham Martın del Campo (CIMAT) Aplicaciones de la Geometrıa Algebraica 5
¿Cuantos puntos crıticos son reales?
Una vez que hemos encontrado todos los puntos crıticos (sobre Cn)para un u, podemos encontrar todos los puntos crıticos para otro u′
usando homotopıas de parametros.
Para u ⇒ generico, hay 16 puntoscrıticos sobre C
Para (0.2,0.7)⇒ 4 realesPara (0.4,0.2)⇒ 6 realesTambien se tienen 8 y 2 reales
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¿Cuantos puntos crıticos son reales?
Una vez que hemos encontrado todos los puntos crıticos (sobre Cn)para un u, podemos encontrar todos los puntos crıticos para otro u′
usando homotopıas de parametros.
Para u ⇒ generico, hay 16 puntoscrıticos sobre C
Para (0.2,0.7)⇒ 4 reales
Para (0.4,0.2)⇒ 6 realesTambien se tienen 8 y 2 reales
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¿Cuantos puntos crıticos son reales?
Una vez que hemos encontrado todos los puntos crıticos (sobre Cn)para un u, podemos encontrar todos los puntos crıticos para otro u′
usando homotopıas de parametros.
Para u ⇒ generico, hay 16 puntoscrıticos sobre C
Para (0.2,0.7)⇒ 4 realesPara (0.4,0.2)⇒ 6 reales
Tambien se tienen 8 y 2 reales
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¿Cuantos puntos crıticos son reales?
Una vez que hemos encontrado todos los puntos crıticos (sobre Cn)para un u, podemos encontrar todos los puntos crıticos para otro u′
usando homotopıas de parametros.
Para u ⇒ generico, hay 16 puntoscrıticos sobre C
Para (0.2,0.7)⇒ 4 realesPara (0.4,0.2)⇒ 6 realesTambien se tienen 8 y 2 reales
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