análise de sistemas lti no domínio da transformada
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1
Análise de Sistemas LTI no Domínio da Transformada
1. Introdução.
2. Resposta em Frequência de Sistemas LTI.
3. Equação Diferença de Sistemas LTI.
4. Análise da Função Sistemas no Domínio da Frequência.
5. Relação entre Módulo e Fase.
6. Sistema Passa-tudo (all-pass).
7. Sistemas de Fase Mínima.
8. Representação da Equação Diferença por Diagrama de Blocos
9. Estruturas Básicas para Sistemas IIR e FIR.
2
Introdução
Um sistema LTI pode ser completamente caracterizado no domínio do tempo pela sua resposta ao impulso h[n]. A saída y[n] devido a uma dada entrada x[n] é especificada através da convolução soma
Usando a propriedade da convolução pode-se representar transformada Z da resposta ao impulso por: Y(z) = H(z)X(z)com uma ROC apropriada.A resposta em frequência de um sistema LTI é definida como a transformada de Fourier da resposta ao impulso h[n]. A transformada de Fourier da entrada e da saída do sistema é estão relacionadas por:
k
knhkxnhnxny ][][][][][
)H(e jω
))X(eH(e)Y(e jωjωjω módulo)X(e)H(e)Y(e jωjωjω ||||
][][][ )X(efase)H(efase)Y(efase jωjωjω
3
Filtros IdeaisFiltro passa-baixaResposta em frequência Resposta ao impulso
Filtro passa-altaResposta em frequência Resposta ao impulso
Um filtro passa baixa ideal é não causal e sua resposta se estende de - a +. Portanto não é possível computar a saída de um filtro passa baixa ideal recursivamente ou não recursivamente, isto é, não é computacionalmente realizável.A resposta em fase de um filtro passa baixa ideal é zero.
nn
nnheH c
lpc
cjlp ,
)sen(][
||,0
||,1)(
n
nsennnhnnheH c
lplpc
cjap
)(][][][][
||,1
||,0)(
4
Fase e Retardo de Grupo
Para entender os efeitos da fase de um sistema linear, considere um sistema com retardo ideal e a sua resposta em frequência.
com periodicidade 2 e nd inteiro.Exemplo: filtro passa-baixa ideal
retardo de grupo indica o grau de (não) linearidade da fase
];[][ did nnnh ;dnjjωid e)(eH
;1|| )(eH jωid ||,][ d
jωid ωn)(eHfase
nnn
nnnh
eeH
d
dclp
c
cnj
jlp
d
,)(
)(sen(][
||,0
||,)(
)]}({arg[)]([)(
jj eH
d
deHgrd
5
Retardo de Grupo
)](arg[)]([)(
jj eH
d
deHgrd
•Se () é constante, então fase é linear ou zero.
•O desvio do valor constante indica não linearidade.
Espectro de fase Retardo de grupo
6
Resposta para Sistemas Caracterizado por Equações Diferenças com Coeficientes Constantes
Considere a classe de sistemas cuja relação entre a entrada e a saída satisfazem a equação:
Aplicando a transformada Z em ambos os lados, tem-se:
Explicitando as raízes
N
kk
M
kk
zd
zc
a
bzH
1
1
1
1
0
0
)1(
)1()(
knxbknyaM
okk
N
oKk
zXzbzYza kM
okk
N
ok
kk
)(
N
ok
kk
kM
okk
za
zb
zX
zYzH
.,...,,: 21 Mccczeros
.,...,,:' 21 Ndddolosp
7
Exemplo 1: Dado H(z) para um sistema determine a sua equação diferença.
)43
1)(21
1(
)1()(
11
21
zz
zzH
A equação diferença é portanto:
]3[576,0]2[64,0]1[9,0][][
576,064,09,01)(
)()(
)9,01)(8,01)(8,01()(
321
111
nxnxnxnxny
zzzzX
zYzH
zzjzjzH
Exemplo 2:
2121 z)z(Xz)z(X2)z(Xz)z(Y8
3z)z(Y
4
1)z(Y
]2[]1[2][]2[8
3]1[
4
1][ nxnxnxnynyny
21
21
z8
3z
4
11
zz21
)z(X
)z(Y)z(H
8
Causalidade e EstabilidadeUm sistema é estável se a sua resposta ao impulso é absolutamente somável, isto é:
que é equivalente à condição de que a ROC inclui o círculo unitário.Exemplo 3:
n
n
n
znhounh |][||][|
)21)(21
1(
1
25
1
1
)(
)()(
)(2
51)(
)()()(2
5)(
][]2[]1[2
5][
2121
21
21
zzzzzX
zYzH
zXzzzY
zXzzYzzYzY
nxnynyny
ROC: 1. |z|>2; 2. 0,5<|z|<2; 3. |z|<0,5;
Causal: |z|>2Estável: 0,5<|z|<2
9
Sistema Inverso: Hi(z)
G(z) = H(z)Hi(z) = 1, portanto, )(
1)(
zHzH i
][][][][ nnhnhng i No domínio do tempo:
No domínio da frequência:
Representando por uma função racional
)(
1)(
j
ji eH
eH
N
kk
M
kk
zd
zc
a
bzH
1
1
1
1
0
0
)1(
)1()(
M
kk
N
kk
i
zc
zd
b
azH
1
1
1
1
0
0
)1(
)1()(
Exemplo 4:
1
1
1
1
5,01
9,01)(
9,01
5,01)(
z
zzH
z
zzH
i
Se a ROC é |z|>0,5, H(z) é causal e estável e Hi(z) é ainda causal e estável. Os pólos e zeros estão dentro do círculo unitário
]1n[u)5,0(9,0]n[u)5,0(]n[h 1nni
10
1
1
i1
1
z5,01
z9,01)z(H9,0z,
z9,01
z5,01)z(H
H(z) é estável. Se a ROC de Hi(z) é |z|>0,5, então Hi(z) é causal e estável.Observe que os pólos e zeros estão dentro do círculo unitário
]1n[u)5,0(9,0]n[u)5,0(]n[h 1nni
Exemplo 4:
1
1
1
1
i
1
1
z21
z8,12
5,0z
z9,01)z(H
9,0z,z9,01
5,0z)z(H
Exemplo 5:
Se a ROC é |z|>2, Hi(z) é causal e instável.
]n[u)2(8,1]1n[u)2(2]n[h 1nni
Se a ROC é |z|<2, Hi(z) é estável e não causal
]1n[u)2(8,1]n[u)2(2]n[h 1nni
11
Resposta Impulso de Funções Sistemas Racionais
• Considere a representação de expansão em frações parciais:
onde há somente pólos de primeira ordem.
• Cada pólo (segundo termo) contribui com uma exponencial para h[n], tal que:
• Supondo que H(z) é causal, e que todos os pólos estão dentro do círculo unitário.
– Se existem somente termos como os da primeira parcela, então o sistema é chamado de FIR ( Finite Impulse Response)
– Se existem somente termos como os da segunda parcela, então o sistema é chamado de IIR (Infinite Impulse Response)
N
k k
krNM
rr zd
AzBzH
11
0 1
nudArnBnh nk
N
kk
NM
orr
1
12
Exemplo de Filtros FIR
654321 9,07,05,09,01)( zzzzzzzH
]6[]5[]4[9,0]3[7,0]2[5,0]1[9,0][][ nnnnnnnnh
valoresoutros
Nnanh
n
,0
0][
N
n
NNnn
az
zazazH
01
11
1
1)(
Exemplo de Filtro IIR
1||)1)(
21
1(
21
21
23
1
21)(
11
21
21
21
zzz
zz
zz
zzzH
][8][2
19][2][ nununnh
n
13
• Se um sistema LTI e estável, a sua ROC inclui o circulo unitário e conseqüentemente ele possui transformada de Fourier. Portanto a função sistema pode ser escrita na forma.
Resposta em Freqüência para Sistemas Racionais
N
k
kjk
M
k
kjk
ez
j
ea
ebzHeH j
0
0
N
k
jk
M
k
jk
ed
ec
a
b
1
1
0
0
1
1
N
k
jk
M
k
jk
j
ed
ec
a
beH
1
1
0
0
1
1
N
k
jk
jk
M
k
jk
jk
jjj
eded
ecec
a
beHeHeH
1
*
1
*2
0
02
)1)(1(
)1)(1(
]eH[jARGexp(eHeH jjj
14
Resposta em Freqüência
• Expressando em decibeis(dB):
• Relação entre entrada e saída
N
1k
jk10
M
1K
jk10
0
010
j10 ed1log20ec1log20
a
blog20eHlog20
2jeH
1)e(H dB 0
dB em ganho unidadej
jjj eHeXeY
jjj eHeXeY 101010 log20log20log20
N
k
jk
M
k
jk
j edeca
beH
110
0 11
•Zero – adição de fase
• Pólos – subtração de fase
j10
2j10 eHlog20eHlog10
N
k
jk
jk
M
k
jk
jk
jjj
eded
ecec
a
beHeHeH
1
*
1
*2
0
02
)1)(1(
)1)(1(
15
Retardo de Grupo para um Sistema Racional
]1arg[]1arg[11
j
k
M
k
jk
N
k
j ecd
ded
d
deHgrd
Valor Principal Fase – Devido a periodicidade da fase, considera-se para análise, os valores compreendidos entre
reHARGeH jj 2 jeHARG
)w(r2ed1ARGec1ARGa
bARGeHARG
N
1k
jk
M
1k
jk
0
0j
)]e(H[ARGd
d)e(Hgrd jj
.e
16
)2/sen(
)2/5sen(e)e(H
ee
ee
e
e
e1
e1e)e(H
2jj
2/j2/j
2/5j2/5j
2/j
2/5j4
0nj
5jnjj
Exemplo 1: Resposta em Frequência de filtros FIR
fora,0
4n0,1]n[h
-1 0 1 2 3 4 5 n
1h[n]
Resposta em frequência: a) Amplitude; b) Fase; c) Retardo de grupo
17
Exemplo 2: Resposta em Frequência de filtros FIR
fora,0
5n0,1]n[h
)2/sen(
)3sen(e)e(H
ee
ee
e
e
e1
e1e)e(H
2/5jj
2/j2/j
3j3j
2/j
3j5
0nj
6jnjj
-1 0 1 2 3 4 5 6 n
1h[n]
Resposta em frequência: a) Amplitude; b) Fase; c) Retardo de grupo
18
Resposta em Freqüência de Pólo e Zero Simples
• Da equação que ralaciona pólos e zeros
)cos(r2r1)e(H
)ere1)(ere1(ere1)e(H
22j
jjjj2jj2j
N
k
jk
M
k
jk
j
ed
ec
a
beH
1
1
0
0
1
1
1cz1)z(H erec j jez 1
jjj ere1)e(H
Considerando um único pólo forma
substituindo
)]cos(r2r1[log10|)e(H| 210dB
j
Calculando em dB)e(H j
)cos(r1
)(rsintan|)e(H|ARG 1j
Fase:
19
)cos(r2r1)e(H 22j
quando r2r1 2
0 quando r2r1 2
Resposta em Freqüência de Pólo Simples
Valor máximo:
Valor mínimo:
)]cos(r2r1[log10 210
)e(H j em dB
20
Resposta em frequência para um zero simples, r = 1; 0,9; 0,7 e 0,5.
21
Resposta em frequência para um zero simples, real e fora do círculo unitário.r = 1,09; 1,25 e 2,0.
22
• Um passa tudo é um sistema da forma (ou cascata destes)
• Forma Geral - com pólos reais e complexos
• Sistema passa tudo tem resposta em fase não positiva para 0<<.
• Sistema passa tudo tem sempre retardo de grupo positivo..
Sistemas Passa Tudo (All Pass)
1
1
1
az
azZH Ap
j
jj
j
jj
Ap ae
eae
ae
aeeH
1
*1
1
cr M
k kk
kkM
k k
kAp zeze
ezez
zd
dzzH
11*1
1*1
11
1
)1)(1(
))((
1
Causal/estavel:
1, kk de
1e*a1
ae1e
ae1
e*a1eeH
j
jj
j
jj2j
Ap
23
Sistema Passa Tudo
0.8
0.5
Plano ZCírculo unitário
4
3
3
4 2
Re
Im1M e 2M cr
j1j er :zerore:pólo
Exemplo: Passa tudo com M = N = 2Mc + Mr = 4 pólos e zeros
)ze8,01)(ze8,01(
)e8,0z)(e8,0z(
)z4
31)(z
2
11(
)5,04
3z)(
2
1z(
zH14
j14
j
4j
14j
1
11
11
Ap
24
Sistema de Fase Mínima
• Um sistema com todos os seus pólos e zeros dentro do círculo
unitário (causal e estável) é chamado de fase mínima. E seu
inverso é ainda causal e estável.
• Conhecendo-se H(z), sem especificar a ROC, a determinação de
h[n] não é única. No entanto, se é conhecido que o sistema é de
fase mínima, determina-se a representação única de h[n] sem a
necessidade de especificar a ROC, devido aos requisitos de seus
pólos e zeros.
jwez
jw zHeH
)()( )e(H)e(H)e(H j*j2j
)(H)z(H)z(H *z1*2
j*
ezz1*2j )(H)z(H)e(H
25
Decomposição em um Passa Tudo e um Fase Mínima
• Qualquer sistema racional com função sistema H(z) pode ser
escrita como:
• Hmin(z) contém todos os pólos e zeros dentro do círculo unitário, em
cascata com um passa tudo HAp(z), com zeros rebatidos para fora do
círculo unitário.
• Propriedades do sistema de fase mínima Hmin(z) :
• Tem fase mínima.
• Tem retardo de grupo mínimo
• Tem energia mínima.
)()()( min zHzHzH Ap
26
Exemplo1: Para ilustrar a decomposição considere o sistema
2
1z:pólo;3z:zero
z2
11
z31)z(H
1
1
1
1
1
1
z2
11
)3
1z(3
z2
11
)z3
1(3
)z(H
Rescrevendo H(z)
Multiplicando e dividindo H(z) por para completar opassa tudo, tem-se:
)z3
11( 1
1
1
1
1
11
11
z3
11
3
1z
z2
11
)z3
11(3
)z3
11)(z
2
11(
)z3
11)(
3
1z(3
)z(H
Hmin(z) Hap(z)
27
Exemplo 2
3
1z:pólo;e
2
3z:zeros;
z3
11
)ze2
31)(ze
2
31(
)z(H 4j
1
14j
14j
Neste caso tem-se dois zeros fora do círculo unitário. Fatorando-se:
1
4j
14j
1
1
14j
14j
z3
11
)e3
2z)(e
3
2z(
4
9
z3
11
)ze3
2)(ze
3
2(
4
9
)z(H
Agora, multiplicando e dividindo H(z) por )ze3
21( 14
j
)ze3
21)(ze
3
21
)e3
2z)(e
3
2z(
z3
11
)ze3
21)(ze
3
21(
4
9)z(H
14j
14j
4j
14j
1
1
14j
14j
28
Aplicação: Compensação da Resposta em Freqüência
)()()( min zHzHzH Apdd
Sistema comdistorção
Sistemacompensação
)(zHd )(zHc
)(
1)(
min zHzH
dc
)(zG
][ns ][nsc
Após a compensação:• G(z) corresponde a um sistema passa tudo.• O módulo da resposta em freqüência é exatamente compensada.• A resposta em fase é modificada por um fator: ).( j
Ap eH
29
• Considere a equação diferença de um sistema linear invariante,
com coeficientes constantes:
Função de Transferência de um filtro
N
k
N
kkk
N
k
N
kkk knxbknyanyknxbknyany
1 11 1
][][][][][][
Calculando a transformada Z de ambos os lados
N
k
kk
N
k
kkN
k
N
k
kk
kk
za
zb
zX
zYzHzbzXzazYzY
1
1
1 1 1)(
)()()()()(
Reescrevendo H(z) como produto de duas funções
N
k
kkN
k
kk
zbza
zX
zYzH
1
1
1
1
)(
)()(
30
Representação da Equação Diferença por Digrama de Blocos - Realização Direta I
N
kk nvknyany
1
][][][
N
k
N
kkk knxbknyany
1 1
][][][
N
k
kkN
k
kk
zbza
zX
zYzH
1
1
1
1
)(
)()(
N
kk knxbnv
1
][][
)()()()(1
1 zXzbzXzHzVN
k
kk
)(1
1)()()(
1
2 zVza
zVzHzY N
k
kk
)()()()( 12 zXzHzHzY
31
Diagrama de Blocos: Realização na Forma Direta II
N
kk knwbny
0
][][
Substituindo W(z)
N
kk nxknwanw
1
][][][
)()()()(1
1 zWzbzWzHzYN
k
kk
)(1
1)()()(
1
2 zXza
zXzHzW N
k
kk
)(1
1)()()()(
1
121 zX
zazbzXzHzHzY N
k
kk
N
k
kk
32
Exemplo: Implementação de um sistema LTI
Considere o sistema LTI com função de transferência
Implementação na forma direta I e direta II
9,0;5,1;2;1,9,05,11
21)( 211021
1
aabbzz
zzH
33
• Dada a equação diferença
Implementação usando Signal Flow Graph: Formas Diretas
Forma Direta I Forma Direta II
N
k
N
kkk
N
k
N
kkk knxbknyanyknxbknyany
1 11 1
][][][][][][
34
• Fatorando-se o numerador e o denominador de H(z), pode-se
escrever
Que pode ser disponibilizado como cascata de seções menores
• Vantagem: Seções menores.
• Desvantagem: Propagação de erro de seção para seção.
Estrutura de Sistemas IIR: Forma Cascata
I
ii zHzH
1
)()(
)(1 zH )(2 zH )(zH I
)(zH
35
Realização Paralela
• Fatorando-se o numerador e o denominador de H(z), pode-
se escrever
Que pode ser disponibilizado como cascata de seções
menores
I
ii zHzH
0
)()(
)(1 zH
)(1 zH
)(1 zH
:
)(zH
36
Estrutura de IIR: Exemplo (Cascata)
Dado o sistema de segunda
• Estrutura em cascata (não única)
21
21
125.075.01
21)(
zz
zzzH
1
1
1
1
25.01
1
5.01
1)(
z
z
z
zzH
37
Estrutura de IIR: Exemplo (Paralela)
Dado o sistema de segunda
• Parallel Structure (Not unique)21
21
125.075.01
21)(
zz
zzzH
1121
1
25.01
25
5.01
188
125.075.01
878)(
zzzz
zzH
Forma paralela, usandosistemas de segunda ordem
Forma paralela, usandosistemas de primeira ordem
38
FILTROS FIR: Realização na Forma Direta
FILTROS FIR: Realização na Forma Transposta
39
FILTROS FIR: Realização na Forma Direta
Realização de um sistema FIR com fase linear com M Par
40
Realização de um sistema FIR com fase linear com M Ímpar
Simetria dos Zeros de um sistema FIR com fase Linear
41
• Dado um conjunto de especificações ou algumas restrições com relação à:
- Resposta em amplitude
- Resposta em fase
• Encontrar tal que.
ou
Projeto de Filtros Digitais
)( jeH
}b{ e }a{ km
K
1k
kk
M
0m
mm
zb1
za)z(H
)( jeH
K
1k
kjk
M
0m
mjm
j
eb1
ea)e(H
42
As restrições podem incluir:• Fase zero (ou próximo) ou linear.• Banda passante e frequência de corte.• A intensidade do ripple na banda passante.• A intensidade do ripple na banda de rejeição.• A forma da transição entre as bandas passante e de rejeição.• A ordem do filtro K, M.
Projeto de Filtros Digitais
43
• No caso de filtros FIR: bo=1 e
Então
• A resposta ao impulso unitário é:
• Problema: Dada as especificações sobre e ,
encontrar
0321 Kbbbb
Projetos de Filtros FIR
M
m
mmzazH
0
)(
else;0
0;)(
Mnanh n
)( jeH )( jeH},...,1;{ Mnan
• Vantagens:– São sempre estáveis.
– Podem ter fase linear exatas .
– Fáceis de projetar.
• Desvantagem:– Em geral tem ordens altas, para satisfazerem as restrições.
44
Projetos de Filtros FIR• Projetar um filtro digital FIR com M+1 coeficientes
que se aproxime da resposta em frequência desejada
com
• Geralmente d(n) não pode ser realizado por algumas razões:
– d(n) tem duração infinita contém descontinuidades;
– se d(n) é não causal;
– outras;
• O método da janela é o mais simples para se projetar um filtro FIR. Consiste em se multiplicar a resposta ao impulso desejada, por uma janela, w[n] para limitar o tamanho de
)()()( jeDjjj eeDeD
deeDnd njj )(2
1)(
)()( jeHnh
)( jeD
).n(d)n(w)n(h
45
Projetos de Filtros FIR usando Janela
• Definindo
onde
• Então o filtro deve ter resposta em frequência
)()()( ndnwnh
},...,1,0{for 0)( Mnnw
njM
n
j endnweH
0
)()()(
).e(W)n(w onde j)e(D*)e(W)e(H jjj
Exemplo: Janela Retangular
fora;0
Mn0;1)n(w
)e(W*)e(De)n(w)n(d)e(H jjM
0n
njj
2/
2/
]2/)1(sin[)( Mjj e
MeW
46
47
Outras Janelas
– Hamming :
– Hanning:
– Blackman:
else
MnMnnw
;0
0);/2cos(46.054.0)(
else
MnMnnw
;0
0);/2cos(5.05.0)(
else
MnMnMnnw
;0
0);/4cos(08.0)/2cos(5.042.0)(
48
Usando o Matlab: Tipos de Janelas
w = bartlett(n)w = bartlett(n)w = chebwin(n,r); r:Estabelece que riple do lóbulo lateral deve estar a r dB abaixo do lóbulo principal.w = hamming(n) ; n = tamanho da janelaw = hanning(n)
w = kaiser(n,beta) ; beta parâmetro que afeta a atenuação do
lóbulo lateral da transformada de Fourier. Parâmetro de um
função de Bessel modificada.
w = triang(n)
w = triang(n)
49
Projeto Filtros Digitais FIR Usando Matlab
SINTAX
h = fir1(n,Wn): defaut: Janela de Hamming;
Wn=frequência de corte de um filtro passa-baixa. Para filtro passa faixa Wn=[wc1 wc2].
Exemplo: h = fir1(48,0.25); h = fir1(48,[0.35 0.65]);
h = fir1(n,Wn,'ftype'):ftype especifica:
high para filtro passa alta com frequência de corte Wn.
stop para filtro rejeita faixa com frequência de corte Wn = [w1 w2]
k = fir1(48,0.25,’high’);
50
Projeto Filtros Digitais FIR Usando Matlab
h = fir1(n,Wn,window)
Window especifica a janela
h = fir1(n,Wn,'ftype',window)Window especifica a janela
ftype especifica:
high para FPA com frequência de corte Wn.
stop para filtro rejeita faixa com frequência
de corte Wn = [w1 w2]
Exemplo:
h = fir1(34,0.48,'high',chebwin(35,30));
51
Remez : Algoritmo de Parks-McClellan projeto
de filtros FIR (otimizado).
Sintaxb = remez(n,f,a)b = remez(n,f,a,w)b = remez(n,f,a,'ftype')b = remez(n,f,a,w,'ftype')b = remez(...,{lgrid})b = remez(n,f,'fresp',w)b = remez(n,f,'fresp',w,'ftype')b = remez(n,f,{'fresp',p1,p2,...},w)b = remez(n,f,{'fresp',p1,p2,...},w,'ftype')[b,delta] = remez(...)[b,delta,opt] = remez(...)
Projeto Filtros Digitais FIR
520 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Frequencia
Am
plitu
de
Exemplo:f = [0 0.3 0.4 0.6 0.7 1]; a = [0 0 1 1 0 0];
h = remez(17,f,a);
[h,w] = freqz(h,1,512);
plot(f,a,w/pi,abs(h)), xlabel ('Frequencia'), ylabel('Amplitude') ,xlabel('Frequencia'), ylabel('Amplitude')
Projeto Filtros Digitais FIR
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