análise de sistemas dinâmicos método do lugar das raízes

Análise de Sistemas Dinâmicos

Método do Lugar das

Raízes

Lugar das Raízes • Definições

Plano s jw

R

SPE SPD

1

21

2

Raízes de s(s+10) são 0 e -10

Fazendo K=0 no denominador teremos s(s+10) cujas raízes serão 0 e -10.

A localização de um pólo no plano s é representada simbolicamente por um (x) e a locali-zação de um zero por um ( o) .

As raízes da função do numerador são os zeros da função e as raízes do denominador São os pólos da função .

Lugar das Raízes• Exemplo • Dada a função :

2

3 2

2 2 4 2( 2)( 1)( )5 8 6 ( 3)( 1 )( 1 )

os zeros são : 2 e -1os polos são : -3, -1+j e -1-j

s s s sF ss s s s s j s j

então

x-3

x

x

-1+j

-1-j

o2

o-1

j

R

Lugar das Raízes Estabilidade e pólos • Se todos os pólos estão no SPE do diagrama de pólos

e zeros ,o sistema é estável

• Se apenas um pólo está no SPD, o sistema é instável.

• Se um ou mais pólos estiverem no eixo vertical do diagrama de pólos e zeros ,isto é tem valor real igual a zero e nenhum pólo no SPD,o sistema é dito criticamente estável.

• Somente os pólos da FT são importantes quando se esta considerando o problema da estabilidade ,os valores dos zeros são irrelevantes.

Lugar das Raízes O lugar das raízes é uma representação gráfica no

Plano S da posição e movimentação dos pólos em malha fechada do sistema, a medida que um parâmetro do sistema é variado.

Conhecendo a posição dos pólos em malha fechada, pode-se avaliar qual será o desempenho do sistema de controle.

É um método eficaz para análise e projeto de sistemas de controle de primeira, segunda e ordem superior.

Normalmente o gráfico do lugar das raízes é construído considerando-se a variação do ganho do sistema desde zero até infinito.

Porém também pode-se avaliar a influência da variação de outro parâmetro na resposta do sistema.

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

• Portanto, embora o Lugar das Raízes represente todas as possíveis posições dos pólos em malha fechada, o Lugar das Raízes é construído a partir da FTMA.

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

Propriedades

Propriedades

Propriedades

Propriedades

Propriedades

Propriedades

Propriedades

Propriedades

Seqüência de construção

1. Marcar os pólos e os zeros de G(s).2. Marcar o lugar das raízes no eixo real.3. Em cada seção do lugar das raízes no eixo

real,marcar o sentido de deslocamento dos pólos,quando K aumenta.

4. Traçar as assíntotas .5. Traçar as seções dos ramos fora do eixo

real e,em cada um o sentido do deslocamento dos pólos,

6. Se necessário marcar os pontos de convergência e divergência dos ramos no eixo real.

Efeito da introdução de pólos e zeros no lugar das raízes

Efeito da introdução de pólos e zeros no lugar das raízes