Álgebra - polinÓmios. divisão euclidiana (inteira) de polinómios

ÁLGEBRA - POLINÓMIOS

Divisão euclidiana (inteira) de polinómios

Sejam A(x)= -3x+2x2+4 e B(x)=x-2

Determinemos o quociente e o resto da divisão inteira de A(x) por B(x)

Começa-se por dispor o dividendo e o divisor na estrutura do algoritmo, ordenados segundo as potências decrescentes de x .

Observando os termos de maior grau, determina-se o monómio cujo produto pelo termo de maior grau do divisor é igual ao termo de maior grau do dividendo. Neste caso, 2x .

Multiplica-se esse monómio pelo divisor e coloca-se o simétrico do produto obtido sob o dividendo, calculando-se de seguida a soma dos dois polinómios.

Como o grau do polinómio que se obteve, x + 4 , é superior ou igual ao grau do divisor, a divisão inteira prossegue. Repete-se novamente o processo, encarando agora o polinómio x + 4 como novo dividendo.

Aqui a divisão inteira termina, pois o polinómio obtido depois de efetuada a última operação tem grau inferior ao grau do divisor.

Obtém-se, portanto, como quociente o polinómio Q (x) = 2x + 1 e como resto o polinómio R (x) = 6 .

Neste contexto, designa-se:

A (x) por polinómio dividendo, B (x) por polinómio divisor, Q (x) por polinómio quociente e R (x) por polinómio resto da divisão inteira de A (x) por B (x) .

Exercícios Resolvidos

Determina as formas reduzidas dos polinómios quociente e resto da divisão inteira de

Regra de Ruffini

A regra de Ruffini é um algoritmo que permite determinar o polinómio quociente e o polinómio resto da divisão inteira de polinómios, quando o polinómio dividendo tem grau superior ou igual a um e o polinómio divisor é um polinómio da forma

Como «funciona» a regra de Ruffini?

A regra de Ruffini pode realizar-se apoiada em dois traços perpendiculares como acima se mostra. O valor de a , no caso considerado, a = 2 , é colocado acima do traço horizontal e à esquerda do vertical. Os coeficientes do polinómio dividendo são colocados acima do traço horizontal a um nível superior, por ordem decrescente dos graus dos respetivos termos, não esquecendo os coeficientes nulos.

Esta fase da regra equivale à colocação do dividendo e do divisor lado a lado no algoritmo da divisão euclidiana.

Baixa-se o coeficiente do termo de maior grau do polinómio dividendo, escrevendo-o abaixo da linha horizontal.

Multiplica-se a = 2 pelo número colocado abaixo da linhahorizontal, colocando o produto acima dessa linha uma posiçãoà direita. A soma deste produto com o coeficiente que estáacima dele é colocada abaixo da linha horizontal. Procede-se deforma idêntica para as restantes colunas de valores.

O quociente e o resto apresentam-se abaixo da linha horizontal. O número mais à direita isola-se e corresponde ao polinómio resto. Os restantes números são os coeficientes dos termos do polinómio quociente, ordenados por ordem decrescente do respetivo grau.

Obtém-se, portanto,