alg aula04

Prof. Carlos Alexandre Barros de Mellocabm@cin.ufpe.br 1

Álgebra LinearEspaço Vetorial

Prof. Carlos Alexandre Mellocabm@cin.ufpe.br

Espaços Vetoriais

• Definição: Um espaço vetorial real é um

conjunto V, não vazio, com duas operações:

soma, V X V → V, e multiplicação por escalar,

R X V → V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈V

e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam

satisfeitas:

Espaços Vetoriais

• Propriedades:i) (u + v) + w = u + (v + w)ii) u + v = v + uiii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u

• 0 é o vetor nulo

iv) Existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0v) a(u + v) = au + av, a escalarvi) (a + b)v = av + bv, a, b escalaresvii) (ab)v = a(bv)viii) 1.u = u

Espaços Vetoriais

• Designamos por vetor um elemento do espaço vetorial

• Exemplo: V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes 2x2

V é um espaço vetorial• Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a

adição é entendida como a adição de matrizes

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - ProvaAxioma 1: (u + v) + w = u + (v + w)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )wvu

++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=++

22222121

12121111

222222212121

121212111111

222222212121

121212111111

22222121

12121111

wvwvwvwv

wvuwvuwvuwvu

vuvuvuvu

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - Prova

11 12 11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22 21 22

u u v v v v u uu u v v v v u u⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ = + = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u v v u

Operação vetorial genérica

Interpretação concreta

Axioma 2: u + v = v + u

Espaços Vetoriais

Axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulopara V, tal que u + 0 = u para todo u em V.

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=+∈∀

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≡

Então,.0000

Espaços Vetoriais

Axioma 4: Para todo u em V, há um objeto –u em V, chamado um oposto ou negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+−+−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−+∈∀

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

≡−

)()()()(

Então,. Seja

22222121

12121111

22222121

12121111

uuuuuuuu

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - ProvaAxioma 5: k (u + v) = k u + k v

( ) ( )( ) ( )

kkvkvkvkvk

ukukukuk

vkukvkukvkukvkuk

vukvukvukvuk

vuvuvuvu

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡++++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

22222121

12121111

22222121

12121111

22222121

12121111

Espaços Vetoriais

Axioma 6: (k + l ) u = k u + l u

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

lkulululul

ukukukuk

ulukulukulukuluk

ulkulkulkulk

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+

22222121

12121111

Espaços Vetoriais

• Exemplo: V = M(2, 2) - ProvaAxioma 7: k (l u) = (k l ) (u)

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )u

lkuuuu

ulkulkulkulk

ulululul

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

Espaços Vetoriais

Axioma 8: 1u = u

uu =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

11uuuu

Espaços Vetoriais

• Contra-Exemplo: Um conjunto que não é um espaço vetorial:

Seja u = (u1, v1) e v = (u2, v2)

Seja V = R2 e adição e multiplicação definidas como:• u + v = (u1 + u2, v1 + v2)

• k.u = (ku1, 0)

Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois:• 1u = 1(u1, u2) = (u1, 0) ≠ u

Logo V não é um espaço vetorial

Subespaços Vetoriais

• Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

i) Para quaisquer u, v ∈ W, tivermos u + v ∈ Wii) Para quaisquer a ∈ R, u ∈ W, tivermos au ∈ W

• Observações:1) Ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar) não obteremos um vetor fora de W

Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas

Assim, não precisamos verificar novamente as propriedades (i) a (viii) de espaço vetorial porque elas são válidas em V, que contém W

• Observações:2) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) da definição quando a = 0)

3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços (que são chamados de subespaços triviais):

• O conjunto formado apenas pelo vetor nulo

• O próprio espaço vetorial

• Exemplo 1: V = R3 e W ⊂ V, um plano passando pela origem

Observe que, se W não passasse pela origem, não seria um subespaço

Os únicos subespaços de R3 são a origem, as retas e planos que passam pela origem e o próprio R3

• Exemplo 2: V = R5 e W = {(0,x2,x3,x4,x5); xi∈R}Isso é, W é o conjunto de vetores de R5 com a primeira coordenada nula

Vamos verificar as condições (i) e (ii):

(i):u = (0, x2, x3, x4, x5), v = (0, y2, y3, y4, y5) ∈ W

Então: u+v=(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5) ∈ W

(ii) ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5) ∈ W

Portanto, W é subespaço vetorial de R5.

• Teorema: Interseção de subespaçosDados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção W1 ∩ W2 ainda é um subespaço de V

• Observe que W1 ∩ W2 nunca é vazio já que eles sempre contêm, pelo menos, o vetor nulo

• Exemplo 1: V = R3, W1 ∩ W2 é a reta de interseção dos planos W1 e W2

• Embora a interseção gere um subespaço vetorial, isso necessariamente não acontece com a união

• Teorema: Soma de subespaçosSejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Então o conjunto

• W1 + W2 = {v∈V; v=w1 + w2, w1∈W1, w2∈W2}é subespaço de V

• Exemplo 1: Se W1 e W2 são duas retas, W = W1+W2 é o plano que contém as retas

• Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é

chamado soma direta de W1 com W2,

denotado por W1 ⊕ W2

Combinação Linear

• Sejam V um espaço vetorial real, v1, v2, ..., vn∈V e a1, a2, ...,an números reais

• Então o vetorv = a1v1 + a2v2 + .... anvn

• é um elemento de V ao qual chamamos de combinação linear de v1, v2, ..., vn

Uma vez fixados vetores v1, v2, ..., vn em V, o conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear desse é um subespaço vetorial

• W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn

• W = [v1, v2, ..., vn]

Combinação Linear

• Exemplo 1:V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)Logo, V = [v1, v2], pois dados v = (x, y)∈V, temos (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)

• Ou seja, v = x.v1 + y.v2

• Exemplo 2:

1 00 0

v1 = 0 10 0

Então [v1, v2] = : a, b ∈ Ra b0 0

Dependência e Independência Linear

• Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn ∈V. Dizemos que o conjunto {v1,v2, ...,vn} élinearmente independente (LI), ou que o vetores v1, v2, ..., vn são LI se a equação:

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0implica que a1 = a2 = .... = an = 0

{v1,v2, ...,vn} é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos outros.

• Se algum ai ≠ 0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} élinearmente dependente (LD) ou que os vetores v1,v2, ...,vn são LD

Dependência e Independência Linear

• Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1)• e1 e e2 são LI, pois

a1.e1 + a2.e2 = 0a1.(1, 0) + a2.(0, 1) = 0(a1, a2) = (0, 0)a1 = 0 e a2 = 0

• Exemplo 2: De modo análogo, para V =R3, e1= (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) são LI

• Exemplo 3: V = R2

{(1, -1), (1, 0), (1, 1)} é LD pois:½.(1, -1) -1.(1, 0) + ½.(1, 1) = (0, 0)

Base de um Espaço Vetorial

• Definição: Um conjunto {v1,v2, ...,vn} de

vetores de V será uma base de V se:

i) {v1,v2, ...,vn} é LI

ii) [v1,v2, ...,vn] é V

Esse conjunto gera todos os vetores de V.

• Exemplo 1: V = R2, e1=(1,0) e e2=(0,1)• {e1, e2} é base de V, conhecida como base

canônica de R2

• O conjunto {(1,1),(0,1)} também é uma base de V = R2

De fato, se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), então a = b = 0

• Assim, {(1, 1), (0, 1)} é LI

Ainda [(1, 1), (0, 1)] = V pois dado v = (x, y) ∈ V, temos: (x, y) = x(1, 1) + (y – x)(0, 1)Ou seja, todo vetor de R2 é uma combinação linear dos vetores (1,1) e (0,1)

• Exemplo 2: {(0,1), (0,2)} não é base de R2, pois é um conjunto LD

Se (0,0) = a(0,1) + b(0,2), então a = -2b e a e b não são zero necessariamente

• Exemplo 3: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base de R3

Base canônica de R3

i) {e1, e2, e3} é LIii) (x, y, z) = x.e1 + y.e2 + z.e3

• Exemplo 4: {(1,0,0), (0,1,0)} não é base de R3

É LI mas não gera todo R3

• Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então dentre esses vetores podemos extrair uma base de V.

Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI

• Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn.

• Então, qualquer conjunto com mais de nvetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores)

• Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V, e denotado por dim V

• Exemplo 1: V = R2: dim V = 2{(1,0), (0,1)} e {(1,1),(0,1)} são bases de V

• Exemplo 2: V = R3: dim V = 3• Exemplo 3: V = M(2, 2): dim V = 4

1 00 0

0 10 0

É umabase de V

0 01 0

0 00 1

• Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V

• Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V

• Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dim U ≤ dim V e dim W ≤ dim V. Além disso:

dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U ∩ W)

• Teorema: Dada uma base β = {v1,v2, ...,vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1, v2, ...,vn.

• Definição: Sejam β = {v1,v2, ...,vn} base de V e v ∈ V onde v = a1v1 +...+ anvn. Chamamos esses números ai de coordenadas de v em relação à base β e denotamos por:

[v]β = a1...an

• β = {(1, 0), (0, 1)}• (4, 3) = 4.(1, 0) + 3.(0, 1)• Logo:

[(4, 3)]β = 4

Observe que os coeficientes são representados como elementos de uma matriz coluna.

• β = {(1, 1), (0, 1)}• (4, 3) = x.(1, 1) + y.(0, 1) ⇒ x=4 e y=-1• Logo:

[(4, 3)]β = 4

• Exemplo 3: Observe que a ordem dos elementos de uma base influi na matriz das coordenadas de um vetor em relação à esta base

• V = R2

• β1 = {(1, 0), (0, 1)} e β2 = {(0, 1), (1, 0)}

[(4, 3)]β1 = 4

3[(4, 3)]β2 =

Prof. Carlos Alexandre Barros de Mellocabm@cin.ufpe.br

• Exemplo 4: Considere:V = {(x, y, z): x + y – z = 0}W = {(x, y, z): x = y}Determine V + WV: x + y – z = 0 ⇒ z = x + y

• Base: (x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1)• Logo: Base = [(1, 0 , 1),(0, 1, 1)]

W: x = y• Base: (y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1)• Logo: Base = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]

cont…

• Exemplo 4: (cont..)Como:V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)]W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]Então V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)]Mas espera-se que o resultado esteja no R3, logo essa base deve ter algum elemento LD

cont…

• Exemplo 4: (cont..)(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)+d(0,0,1)

• x = a + c• y = b + c• z = a + b + d

cont…

1 0 1 0 x0 1 1 0 y1 1 0 1 z

Sistema:

• Exemplo 4: (cont..)Solução:

• 2a + d = x – y + z• 2b + d = y – x + z• 2c – d = x + y – z• Se c = 0:

d = z – x – yb = ya = x

cont…

Claro, não é solução única jáque 4 vetores no R3 implica emalgum ser LD...

• Exemplo 4: (cont..)(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)+d(0,0,1)Logo, V + W = R3

dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W)V∩W = ??

cont…

• Exemplo 4: (cont..)V∩W = {(x,y,z); x + y – z = 0 e x = y}

= {(x,y,z); x = y = z/2}= [(1, 1, 2)]

dim (V∩W) = 1dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W)dim R3 = 2 + 2 – 1 = 3

• Como esperado....

Mudança de Base

• Sejam β={u1,...,un} e β’= {w1,...,wn} duas bases

ordenadas de um mesmo espaço vetorial V

• Dado o vetor v ∈V, podemos escrevê-lo como:

v = x1u1 + ... + xnun

v = y1w1 + ... + ynwn

Mudança de Base

• Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação à base β

• com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base β’

[v]β = x1…xn

[v]β’ = y1…yn

Mudança de Base

• Já que {u1,...,un} é base de V, podemos escrever os vetores v e w como combinação linear dos uj, isto é:

w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un

w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un

......wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun

• Substituindo (2) em (1):v=y1w1+...+ynwn=y1(a11u1+...+an1un)+..+yn(a1nu1+...+annun)

= u1(a11y1+...+an1yn)+..+un(a1ny1+...+annyn)

Mudança de Base

• Mas v = x1u1 + ... + xnun, e como as coordenadas em relação a uma base são únicas temos:x1 = a11y1 + ... + an1yn

.....xn = a1ny1 + ... + annyn

• Ou, em forma matricial

x1…xn

=a11 ... a1n… … …an1 … ann

Observe que as linhasviraram colunas!

Mudança de Base

• Isso é denotado por:

• Temos:

=a11 ... a1n… … …an1 … ann

[ I ]ββ’

[v]β = [ I ] [v]β’ββ’

[ I ] ⇒ Matriz de mudança da base β’ para a base βββ’

Mudança de Base

• Observe que, encontrando , podemos

encontrar as coordenadas de qualquer vetor v

em relação à base β, multiplicando a matriz

pelas coordenadas de v na base β’

[ I ]ββ’

Mudança de Base

• Exemplo: Sejam β={(2,-1), (3,4)} e β’={(1,0),(0,1)} bases de R2:

w1 = (1,0) = a11(2,-1) + a21(3,4) = (2a11+ 3a21, -a11+ 4a21)⇒ 2a11+3a21 = 1 e -a11+4a21 = 0⇒ a11 = 4a21 ⇒ a21 = 1/11 e a11 = 4/11w2 = (0,1) = a12(2,-1) + a22(3,4) = (2a12+ 3a22, -a12+ 4a22)⇒ 2a12+3a22 = 0 e -a12+4a22 = 1⇒ a22 = 2/11 e a12 = -3/11

[ I ] = ?ββ’

Mudança de Base

• Exemplo: (cont.)– Assim:

• w1 = (1,0) = (4/11)(2,-1) + (1/11)(3,4)• w2 = (0,1) = (-3/11)(2,-1) + (2/11)(3,4)

=4/11 -3/11

1/11 2/11[ I ]β

Linhas tornam-secolunas!!!

Mudança de Base

• Exemplo: (cont.) Podemos usar essa matriz para encontrar, por exemplo, [v]β para v = (5, -8)

[(5, -8)]β = [(5, -8)]β’

[ I ]ββ’

4/11 -3/11

1/11 2/11

Isto é: (5, -8) = 4.(2, -1) + (-1).(3, 4)

A Inversa da Matriz Mudança de Base

• Temos [v]β = [v]β

• Um fato importante é que e são

matrizes inversíveis:

( )-1 =

[ I ]ββ’

[ I ]β’β [ I ]β

[ I ]ββ’ [ I ]β’

A Inversa da Matriz Mudança de Base

• Exemplo:

Do exemplo anterior, vamos calcular a partir

de . Note que é fácil de ser

calculada pois β’ é a base canônica:• (2, -1) = 2.(1, 0) + (-1).(0, 1)

• (3, 4) = 3.(1, 0) + 4.(0, 1)

Assim: =

Então: = -1 =

[ I ]ββ’

[ I ]β’β

[ I ]ββ’

[ I ]β’β

2 3-1 4

4/11 -3/11

1/11 2/11

Espaço Vetorial

• Exercício 18: Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0)

a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão?c) [v1,v2,v3,v4] = R4?

Espaço Vetorial

• Exercício 18:– a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?– Ou seja, existem a, b, c, d, tal que:

(2, -3, 2, 2) = a.(1,-1,0,0) + b.(0,0,1,1) +c.(-2,2,1,1) + d.(1,0,0,0)

a – 2c + d = 2-a + 2c = -3b + c = 2b + c = 2

1 0 -2 1 2-1 0 2 0 -30 1 1 0 2

Espaço Vetorial

• Exercício 18:– a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]?Solução: a = 3, b = 2, c = 0, d = -1Logo, como existe solução, o vetor pertence a

[v1,v2,v3,v4]

Espaço Vetorial

• Exercício 18:b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão?

1 -1 0 00 0 1 1-2 2 1 11 0 0 0

1 0 0 00 1 0 00 0 1 10 0 0 0

Com isso, descobrimos que v4 é combinação linear dos outros vetores. Logo, a base é formada por [v1,v2,v3].

Espaço Vetorial

• Exercício 18:b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão?

Base = [v1,v2,v3] ⇒ dim = 3c) [v1,v2,v3,v4] = R4?

Como dim Base = 3 e dim R4 = 4, então [v1,v2,v3,v4] ≠ R4

Espaço Vetorial

• Exercício 19: Considere o subespaço de R3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1).

• [v1,v2,v3]=R3?

Espaço Vetorial

• Exercício 19: Solução 1:Existem a, b, c tal que:

(x, y, z) = a.(1,1,0) + b.(0,-1,1) + c.(1,1,1)

a + c = xa - b = yb + c = z

a = 2x – y - zb = x - yc = -x + y + z

Ou seja, há valores para a, b e c que podem gerar qualquer vetor no R3.

Espaço Vetorial

• Exercício 19: Solução 2:Vamos tentar escalonar:

1 1 00 -1 11 1 1

1 0 00 1 00 0 1

O que isso significa?Significa que, com esses vetores e operações lineares, conseguimos gerar a base canônica. Logo, podemos gerar todo o R3.

Exercícios Sugeridos

• 2• 4• 6• 7• 8• 9• 11• 15• 25• 29

A Seguir...

• Transformações Lineares

alg aula04

Documents

visu alg ref

aula04 geo pg

javascript - aula04

cco aula04 custos

aula04 tipografia legibilidade_dgrafico

exercícios: alg gulosos

notas de aula alg

alg físicas

aula04 tipografia legibilidade_designgrafico

exercicios alg 1.doc

aula04 erp

aula04 criacaomoda

aula04: algoritmosimplex

aula04 props

aula04 contornos-sombras

aula04 - visaogerallanswans

aula04 cpg imagem

topografia aula04

aula04 penal

aula04 midia digital