ajuste de curvas - @professorenan

Ajuste de Curvas

Método dos Mínimos Quadrados

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

• Ajuste de Curvas

• Exemplos.

• Método dos Mínimos Quadrados

Tópicos da Aula

• Definições;

• Objetivos;

• Aplicações.

• Definições;

• Tipos;

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Ajuste de Curvas

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Nas aulas anteriores estudamos uma forma de lidar com

funções matemáticas definidas por tabelas de valores.

Ajuste de Curvas

Introdução

Frequentemente, estas tabelas são obtidas com base em

dados experimentais, contendo erros inerentes aos métodos de

medição utilizado.

Como os valores não são exatos, muitas vezes não é

razoável recorrer à interpolação polinomial, ou seja, exigir que a

função aproximada satisfaça exatamente os dados disponíveis.

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Ajuste de Curvas

Definição

Estes valores podem ser representados por um gráfico

cartesiano formando um diagrama de dispersão.

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Ajuste de Curvas

Tipos de Ajuste de Curvas

Existem vários tipos de ajustes de curvas, onde cada um dos

métodos vai depender do tipo de função a se trabalhar. Eis alguns

dos tipos de ajustes de curvas:

• Ajuste a uma Reta;

• Ajuste a uma Exponencial;

• Ajuste a uma Hipérbole;

• Ajuste a uma Curva Exponencial;

• Ajuste a uma Curva Geométrica.

• Ajuste a um Polinômio;

Nesta aula vamos focar o ajuste a uma reta!

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Ajuste de Curvas

Definição

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Ajuste de Curvas

Definição

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Ajuste de Curvas

Exemplos de Ajuste de Curvas

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Ajuste de Curvas

Exemplos de Ajuste de Curvas

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

• Método dos Mínimos Quadrados

Ajuste de Curvas

Objetivo

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

O objetivo é apresentar o método dos mínimos quadrados

(MMQ) como outra forma de aproximação de funções. Ao contrário

do polinômio interpolador visto nas aulas anteriores, agora não é

necessário que o ajuste passe exatamente por cima dos pontos

ajustados.

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Em muitos ramos da ciência, dados experimentais são

utilizados para deduzir uma relação matemática entre as variáveis

que estão sendo medidas.

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

O Método dos Quadrados Mínimos é aplicado quando se

tem um conjunto de pontos e pretende-se definir a curva que

melhor se ajusta a este. Estudando a relação entre duas variáveis,

deve-se inicialmente fazer um gráfico de dados, conhecido como

diagrama de dispersão, o qual irá fornecer uma ideia de qual é a

função aproximada determinada pelos pontos.

Introdução

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

Como “os valores que uma variável pode assumir estão

associados, além dos erros experimentais, a outras variáveis cujos

valores se alteram durante o experimento” (BARROSO, 1987, p. 323),

é que o Método dos Quadrados Mínimos tem grande aplicação,

pois ajusta estas funções já tabeladas a uma função que represente

uma boa aproximação para os valores já conhecidos.

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Se um certo número de medidas é realizado de uma

mesma quantidade física e se estas medidas estão sujeitas a erros

aleatórios apenas, então a teoria dos mínimos quadrados

estabelece que o valor mais provável da quantidade medida é

aquele que faz a soma dos quadrados dos erros um mínimo.

Definição.

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

Este teorema pode ser aplicado ao caso particular em que

se pretende ajustar uma linha reta a um conjunto de pares

experimentais.

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Através deste método obtém-se valores otimizados dos

parâmetros de uma reta que passa pelos dados plotados em

gráficos no papel milimetrado. O método funciona assim:

Definição.

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

A equação acima representa o valor esperado (ou valor

mais provável) para a variável y. Ver figura a seguir:

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Representação gráfica.

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

As estimativas de mínimos quadrados das constantes a e b

são então aqueles valores de a e b que tornam mínima a expressão.

Logo:

Definição.

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

(I)

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Os melhores valores para as constantes a e b podem então

ser encontrados diferenciando-se a equação anterior com respeito

a a e b, respectivamente, e igualando-se os resultados a zero

(condição de mínimo). Assim, temos:

Definição.

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

(II)

(III)

Conhecidas também por equações normais adaptadas!

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Definição.

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

(IV)

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de

oito pontos experimentais:

Solução:

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

X 10 20 30 40 50 60 70 80

y 2 5 6 7 10 13 14 15

De (I), temos:

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de

oito pontos experimentais:

Solução:

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

n = 8

----- 10 2 20 100 4

----- 20 5 100 400 25

----- 30 6 180 900 36

----- 40 7 280 1600 49

----- 50 10 500 2500 100

----- 60 13 780 3600 169

----- 70 14 980 4900 196

----- 80 15 1200 6400 225

360 72 4040 20400 804

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de

oito pontos experimentais:

Solução:

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

X 10 20 30 40 50 60 70 80

y 2 5 6 7 10 13 14 15

Resolvendo o sistema de equações de (II) e (III), obtemos para a e

b:a = 0,191 e b = 0,428

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exemplo 1: Vamos ajustar um segmento retilíneo a um conjunto de

oito pontos experimentais:

Gráfico:

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

No Excel ® é possível realizar essa plotagem com facilidade!

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

• Exemplos

Ajuste de Curvas

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exemplo 2: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos

experimentais:

Solução:

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

X 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0

y 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8

Quadro!

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exemplo 3: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos

experimentais:

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

X 2 3 5 7 9 12 14

y 2,6 2,0 4,30 3,25 5,0 4,32 5,10Solução:

Quadro!

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

• Exercícios

Ajuste de Curvas

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Exercício 1: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos

experimentais:

Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

X -1,0 -0,1 0,2 1,0

y 1,0 1,099 0,808 1,0

Exercício 2: Encontrar a reta que ajusta o seguinte conjunto pontos

experimentais:

X 50 60 70 80

y 10 13 14 15

Assuntos da 2ª V.C

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

• Interpolação Linear;

• Interpolação pelo método de Lagrange;

• Integração numérica: Regra dos Trapézios e Simpson (1/3 e 3/8);

• Quadratura Gaussiana;

• Ajuste de curvas: Método dos Mínimos Quadrados.

Referências Bibliográficas

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com

apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007.

BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo

Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987.

CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed..

Mc. Graw-Hill. 1990.

CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª

Ed.. São Paulo: Atlas. 2001.

SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária

da UFPE, 2006.