ajuste de curvas (alterado)

Apresentação sobre:

Marcelo OliveiraMestrando em engenharia mecânica Universidade Federal de Pernambuco

Recife, Junho 2014.

Programa de Pós-Graduação em Engenharia MecânicaUniversidade Federal de PernambucoCentro de Tecnologia e Geociências – CTGDepartamento de Engenharia Mecânica - DEMEC

Ajuste de CurvasAjuste de CurvasMétodo dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados

Abordagem do trabalhoAbordagem do trabalho• Introdução• Definição• Objetivo• Motivação• Diagrama de dispersão• Tipos de curva• Regressão linear• Método dos mínimos quadrados • Linearização das funções• Ajustamento de curvas• Qualidade de ajuste• Exemplo

IntroduçãoIntrodução

• Freqüentemente é possível observar erros inerentes experimentais, conseqüentes dos métodos de medição utilizados.

• Funções aproximadas, que passem o mais próximo dos pontos.

É um método que utiliza um conjunto de técnicas matemáticas que servem para encontrar uma curva que se ajuste a uma série de pontos e que possivelmente cumpra uma série de parâmetros.

DefiniçãoDefinição

Linearizando

ObjetivoObjetivo

forma matemática, por meio dode uma equação que ligue as

.

Expressar a relação entre duas ou mais variáveis sob forma matemática, por meio do estabelecimento de uma equação que ligue as variáveis.

Neste caso, extrapola-se para o futuro as relações de causa-efeito, já observadas no passado, entre variáveis.

MotivaçãoMotivação• Qual é a curva mais adequada?

• Conhecendo os dados de consumo anual de carga elétrica de uma cidade, pode-se fazer projeções para o futuro e com isso, fazer-se um planejamento para que a cidade seja suprida de forma adequada nos anos subseqüentes. A idéia é ajustar uma curva que melhor se ajusta aos dados disponíveis. • O agricultor pode suspeitar que a quantidade de fertilizante aplicado tenha influenciado na safra.

Linearizando

DiagramaDiagrama de dispersão de dispersãoTêm-se uma coleção de dados que devem ser Têm-se uma coleção de dados que devem ser relacionados por meio de uma função y = f(x): relacionados por meio de uma função y = f(x):

DependenteDependente(Resposta)(Resposta)

Inde

pend

ente

(ex

plic

ativ

a)In

depe

nden

te (

expl

icat

iva)

Linearizando

Tipos de curvas

Linearizando

RegressãoRegressão é o processo matemático pelo qual derivamos os parâmetros “a” e “b” de uma função f (x).

Estes parâmetros determinam as características da função que relaciona “y” com “x”, que no caso do modelo linear se representa por uma reta chamada de reta de regressão.

O processo de regressão O processo de regressão significa, portanto, que os pontos plotados no gráfico são definidos, modelados ou regredidos, a uma curva que corresponde à menor distância possível entre cada ponto plotado e a curva.

Regressão linearRegressão linear

Linearizando

Regressão Linear Simples: Regressão Linear Simples: Relaciona uma única variável (y) dependente com uma única variável independente (x), aplicando-se aos dados a equação: y = a + bx

Regressão Linear Múltipla: Regressão Linear Múltipla: Relaciona uma única variável (y) dependente com mais de uma variável independente (x1, x2,... Xn), e aplica-se aos dados a seguinte fórmula:

y = a + b1x1+ b2x2 + b3x3 +b4x4+...+bnxn

Regressão linear- tiposRegressão linear- tipos

Temos a equação linear: y = ay = a00 + a + a11 x + e x + e

Os coeficientes a0 e a1 representam o ponto de interseção e a inclinação da função, respectivamente. O termo “e” representa o erro ou resíduo, entre o modelo desejado e os dados.

a0 e a1 são os parâmetros do modelo que serão estimados, e que definem a reta de regressão.

Regressão linear simplesRegressão linear simples

Temos a equação linear: y = a + by = a + b11xx11+ b+ b22xx22 + b + b33xx33 +b +b44xx44+...+b+...+bkkxxkk

O modelo de regressão linear múltiplo descreve uma relação entre as k variáveis independentes (ou regressores) “xj” , e a variável dependente “y”.

Considerando a = β0 e b = βk, temos que:

yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + ... + βkxik + ε yi = β0 + Σβjxij + ε

Os parâmetros βj , j = 0, 1, k são os coeficientes de regressão (parciais) e ε é o erro aleatório.

O ajustamento deste modelo de regressão, é expresso utilizando notação matricial. devido às dificuldades de cálculo no manuseamento do elevado números de parâmetros.

Regressão linear múltiplaRegressão linear múltipla

O modelo apresentado na equação yi = β0 + Σβjxij + ε é um sistema de n equações que pode ser representado matricialmente por:

Analogamente à regressão linear simples, pretende-se, agora, encontrar o vetor de estimadores dos mínimos quadrados β que minimize a soma dos quadrados do erro.

Fazendo a derivada parcial da expressão acima em relação a β:

Regressão linear múltiplaRegressão linear múltipla

É o método matemático pelo qual se define a curva de regressão. Esse método É o método matemático pelo qual se define a curva de regressão. Esse método definirá a curva que minimizará a soma das distâncias ao quadrado entre os definirá a curva que minimizará a soma das distâncias ao quadrado entre os pontos plotados (x,y) e os pontos da curva (x’,y’). pontos plotados (x,y) e os pontos da curva (x’,y’).

Definição: De todas as curvas que se ajustam a um conjunto de pontos, a que tem a propriedade de apresentar o mínimo valor de: d1

2 + d22 + ... + dn

2

é a melhor curva de ajustamento. Se diz que uma curva que apresenta essa propriedade, ajusta os dados no sentido dos mínimos quadrados, e é denominada curva dos mínimos quadrados.

Método dos mínimos quadradosMétodo dos mínimos quadrados

O Método dos Quadrados Mínimos é aplicado quando se tem um conjunto de pontos e pretende-se definir a curva que melhor se ajusta a este. Estudando a relação entre duas variáveis, inicialmente o gráfico de dados (diagrama de dispersão) é plotado, o qual irá fornecer uma idéia de qual é a função aproximada determinada pelos pontos.

Método dos mínimos Método dos mínimos quadradosquadrados

Utilizando o método dos quadrados mínimos para ajustar uma curva aos dados da população brasileira entre os anos de 1872 e 1996; com isso podemos prever qual será a população em um ano posterior.

Considere a tabela abaixo da população brasileira (em milhões):

Vamos ajustar uma curva da forma de um polinômio de segundo grau y=a+bx+cx² onde y denota a população e x o ano.

De posse da tabela podemos construir um sistema AX=Y, onde:

- Exemplo:- Exemplo:


Logo, a solução X é obtida resolvendo o sistema AT AX=AT Y cuja solução é:

- Exemplo:- Exemplo:

Com os dados poderemos calcular a população no ano de 2000 (Previsão), calculando: y(2000)=167,9y(2000)=167,9, , cujo valor é comparado com os dados oficiais do IBGE dados oficiais do IBGE que informa que a população brasileira era de 169,8169,8 milhões de habitantes. Difere da real em 1,1%.

A partir desses dados poderemos prever a população brasileira no ano de 2010 calculando Y(2010)=197,6 Y(2010)=197,6 milhões de habitantes.

Método dos mínimos Método dos mínimos quadradosquadrados- Exemplo:- Exemplo: Logo a equação:

Y = 46044,8 – 48,7163x + 0,0129 xY = 46044,8 – 48,7163x + 0,0129 x22


- Exemplo:- Exemplo: Construindo gráfico representativo:

Na maioria das vezes, as funções que descrevem os fenômenos físicos não são lineares, ou seja, não são funções do tipo y = a + bx. Tais funções devem ser linearizadas antes de aplicarmos o Método dos Mínimos Quadrados, a fim de obtermos o sistema de equações normais lineares. O procedimento varia, dependendo do tipo de função.Vamos desenvolver o procedimento de linearização para as funções exponencial, logarítmica, potencial e hiperbólica:

EQUAÇÃO LINEARy = ao + a1x

LinearizandoLinearizando

Linearização de funçõesLinearização de funções

Ajuste FunçãoExponencial y = aebx

Logaritmico y = a + b lnxPotencial y = axb

Hiperbólico y = a + (b/x)

Linearizando

ln y = ln a + bx ln y = ln a + bx

Considerando: ln y = y’ ln a = ao

b = a1

Temos então a equação linearizada: y’ = ay’ = aoo + a + a11 x x

Observe que esta equação é idêntica à equação da regressão linear, exceto pelo fato de que a variável y' é calculada pelo logaritmo da variável y original.

Um ajuste exponencial ajuste exponencial geralmente emprega uma função do tipo: y = a.ebx

Relações de

transformação


Linearizando

Considerando: a = ao

b = a1

lnx = x’

Temos então a equação linearizada: y = ay = aoo + a + a11 x’ x’

Um ajuste logarítmico ajuste logarítmico geralmente emprega uma função do tipo: y = a + b lnx

Relações de

transformação


Linearizando

Considerando: ln y = y’ ln a = ao

b = a1

lnx = x’

Temos então a equação linearizada: y’ = ao + a1 x’

Um ajuste potencial ajuste potencial geralmente emprega uma função do tipo: y = axb

ln y = ln a + b lnx

Relações de

transformação


Linearizando

Considerando: y = y’ a = ao

b = a1

x = 1/x’

Temos então a equação linearizada: y’ = ao + a1 x

Um ajuste hiperbólico ajuste hiperbólico geralmente emprega uma função do tipo: y = a + (b/x)

Relações de

transformação


A tabela abaixo descreve uma relação entre x e y.

Vamos ajustar aos pontos tabelados as seguintes funções:

Vamos também determinar, através do através do coeficiente de correlação de Pearsoncoeficiente de correlação de Pearson, qual destas funções representa o melhor ajuste e comparar graficamente os ajustes realizados.

ExemploExemplo

X 69,7 71,6 76,3 79,6 82,6 84,3 88,6 93,3

Y 882 960 864 900 1032 1104 1200 1188

Exemplo – Ajuste LinearExemplo – Ajuste Linear

y = a.ey = a.ebxbx y’ = a y’ = aoo + a + a11x x

Exemplo – ajuste exponencialExemplo – ajuste exponencial

y = a + b ln x y = ay = a + b ln x y = aoo + a + a11x’ x’

Exemplo – ajuste logarítmicoExemplo – ajuste logarítmico

y = axy = axbb y’ = a y’ = aoo + a + a11x’ x’

Exemplo – ajuste potencialExemplo – ajuste potencial

y = a + (b/x) y = ay = a + (b/x) y = aoo + a + a11x’ x’

Exemplo – ajuste hiperbólicoExemplo – ajuste hiperbólico

Gráfico comparando ajustesGráfico comparando ajustes

Coeficiente de correlação de Pearson (r)Coeficiente de correlação de Pearson (r)

O coeficiente de correlação (r): coeficiente de correlação (r): é uma medida da força e direção de uma relação linear entre duas variáveis, obtida pela equação:

A amplitude do coeficiente de correlação é: -1 ≤ r ≤ +1-1 ≤ r ≤ +1, Onde:

- Se x e y tem uma correlação linear positiva forte, r está próximo de 1. -Se x e y tem uma correlação linear negativa forte, r está próximo de -1. - Se não há correlação linear ou correlação linear fraca, r está próximo a zero.

Qualidade do ajusteQualidade do ajuste

Se r está próximo a 0, isso não significa que não há relação entre x e y. Significa somente Se r está próximo a 0, isso não significa que não há relação entre x e y. Significa somente que não há relação linear.que não há relação linear.


Coeficiente de Determinação (rCoeficiente de Determinação (r22))O Coeficiente de Determinação pode ser definido como o grau de ajuste da reta O Coeficiente de Determinação pode ser definido como o grau de ajuste da reta

estimada ao conjunto de dados, ou seja, quão bem o modelo se ajusta ao conjunto de estimada ao conjunto de dados, ou seja, quão bem o modelo se ajusta ao conjunto de dados. dados.

Poder de Explicação de r2

yi

xi

y

Variação Totalý

i Variação Explicada

Variação não Explicada

ý = a + bx

• Variação Total: é a distância entre o valor médio de y e o valor observado de cada y.

• Variação não-explicada: é a distância entre os valores estimados pela reta e os valores observados de y

• Variação explicada: é a distância entre o valor médio de y e os valores estimados pelo modelo para cada y

• Conclui-se, então que [Variação total = variação explicada + variação não-explicada].


A percentagem de variação explicada, rA percentagem de variação explicada, r22, é = Razão da variação explicada / variação total., é = Razão da variação explicada / variação total.

2

2

2

2

2

2

2

variação explicada

variação total

variação total - variação não explicada

variação total

variação não explicada1 1

variação explicada

c

i

i c

c

y yr

y y

r

y yr

y y

O coeficiente de determinação r2 indica a proporção da variação total na variável dependente “y” que é explicada pela variação da variável independente “x”.

Se r2 é próximo de 1, isso significa que a variação explicada responde por uma grande percentagem da variação total. Ex: r2 = 0,93. Indica que aproximadamente 93% da variação em y está relacionada com a variação de x e que 7% não é explicado por x.

A amplitude do coeficiente de correlação é: 0 ≤ r2 ≤ +1

Qualidade do ajusteQualidade do ajusteCoeficiente de Determinação (rCoeficiente de Determinação (r22))

Coeficiente de Determinação (rCoeficiente de Determinação (r22)): indica o quanto a reta de regressão explica o ajuste da reta.

Portanto,

Coeficiente de Correlação (r)Coeficiente de Correlação (r): deve ser usado como uma medida de força e direção da relação entre as variáveis.


Vamos determinar, através dos coeficientes de correlação e de determinação, qual das funções representa o melhor ajuste e comparar graficamente os ajustes realizados.

y = a0 + a1x

coef. de correlação (r) = 0,87

coef. de determinação (r2) = 0,76

Considerando que um bom ajuste é representado por valores de r2 > 0,99

Este coeficiente indica que a função de ajuste linear Este coeficiente indica que a função de ajuste linear NÃO REPRESENTA NÃO REPRESENTA um bom um bom ajuste para os dados desse problema.ajuste para os dados desse problema.

Qualidade do ajuste do exemploQualidade do ajuste do exemplo

Ajuste linearAjuste linear

y = a.ebx

Este coeficiente indica que a função de ajuste exponencial Este coeficiente indica que a função de ajuste exponencial NÃO REPRESENTA NÃO REPRESENTA um bom ajuste para os dados desse problema.um bom ajuste para os dados desse problema.

coef. de correlação (r) = 0,870,87

coef. de determinação (r2) = 0,750,75

Qualidade do ajuste exponencialQualidade do ajuste exponencial

y = a + b ln x y = a + b ln x

Este coeficiente indica que a função de ajuste logaritmico Este coeficiente indica que a função de ajuste logaritmico NÃO REPRESENTA NÃO REPRESENTA um um bom ajuste para os dados desse problema.bom ajuste para os dados desse problema.



Qualidade do ajuste logarítmicoQualidade do ajuste logarítmico

y = axy = axbb

Este coeficiente indica que a função de ajuste potencial Este coeficiente indica que a função de ajuste potencial REPRESENTAREPRESENTA um bom um bom ajuste para os dados desse problema.ajuste para os dados desse problema.



Qualidade do ajuste potencialQualidade do ajuste potencial

y = a + (b/x) y = a + (b/x)

Este coeficiente indica que a função de ajuste hiperbólico Este coeficiente indica que a função de ajuste hiperbólico NÃO REPRESENTA NÃO REPRESENTA um bom ajuste para os dados desse problema.um bom ajuste para os dados desse problema.

coef. de correlação (r) = -0,85-0,85


Qualidade do ajuste hiperbólicoQualidade do ajuste hiperbólico

Etapas a seguirEtapas a seguir

1. Fazer diagrama de dispersão2. Definir visualmente tipo de curva que melhor

representa os pontos (Pegar ponto inicial e final)

3. Determinar a e b4. Descrever a equação5. Verificar a correlação – 6. Verificar o coeficiente de determinação – Q. Ajust.7. Plotar gráfico

ExemploExemplo

AJUSTE DE CURVA – AVALIAÇÃO DE ABSORÇÃO AJUSTE DE CURVA – AVALIAÇÃO DE ABSORÇÃO DE SOLVENTES EM NANOCOMPÓSITOS DE SOLVENTES EM NANOCOMPÓSITOS

PRODUZIDO A PARTIR DA POLIAMIDA 12 PRODUZIDO A PARTIR DA POLIAMIDA 12 RECICLADARECICLADA

Trabalho de conclusão de cursoUniversidade Federal de SergipeMarcelo dos Anjos Oliveira

IntroduçãoIntrodução

A indústria e desenvolvimento de novos produtos.

Compósitos

• Principio da ação combinada• Sinergia entre propriedades

• Fase: Matriz e reforço

Tubos de Poliamida 12

MetodologiaMetodologiaABSORÇÃO DE SOLVENTES

Referência: Y. Zhang et al.Procedimento:-Massa inicial (peso)-Triplicatas para cada formulação-Mergulhadas em gasolina e álcool- Alteração da massa em função do tempo- tempo final: 132 horas- Coeficiente de difusão

FLUXOGRAMAFLUXOGRAMA

FORMULAÇÕESFORMULAÇÕES

Resultados e discussõesResultados e discussões

Curva de dispersãoCurva de dispersão

T (hs) – ExplicativaGanho em peso relativo (%) -

ObjetivoObjetivo

• Com os valores experimentais em mãos utilizou o software Minitab, a fim de definir o melhor ajuste de curva para cada composição e para cada tipo de solvente.

Melhor ajuste de curvaMelhor ajuste de curvaÁlcoolÁlcool

Melhor ajuste de curvaMelhor ajuste de curvaGasolinaGasolina


Tabela 3 – Valores obtidos no Minitab de S (Erro padrão), R-Sq (Correção) e R-Sq (Determinação), para ajuste simples e poligonal (quadrático ‘2º ordem’ e cúbico ‘3º ordem’).

Equações obtidasEquações obtidas

O software apresentou como polígono de 3º ordem, porém o valor era tão pequeno que ele considerava como sendo 0,00000 x3

ConclusõesConclusões• Foi possível ajustar as curvas de modo a obter uma

ótima relação entre a variável explicativa e a variável resposta, a fim de obter o melhor ajuste e a equação que melhor descreva as equações do sistema.

• Avaliando o ajuste linear e o poligonal, foi possível chegar a conclusão de que o poligonal de terceira ordem apresenta melhor relação entre as variáveis explicativa e resposta, portanto, satisfaz e sistema e dessa forma foi possível descrever as melhores equações possíveis.

ConclusõesConclusões

• Observou-se que o melhor ajuste seria o poligonal de terceira ordem para todos os casos e comparando entre o solvente utilizado a tendência de melhor ajuste se deu na imersão dos corpos de prova em álcool com a qualidade de ajuste média de 98,93% enquanto para a gasolina 97,68%.

ConclusõesConclusões• É possível verificar que o comportamento da curva de absorção não segue

uma linearidade em relação a quantidade de argila incorporada no polímero, pois, observando na curva de dispersão para a gasolina há um aumento de absorção em relação ao polímero puro seguidamente do aumento para 5% de argila, porém não se observa um aumento significativo entre as concentrações de 5% para 7%, Oliveira M et al descreve o comportamento analisando alguns experimentos descritos na literatura em que 5% seria quantidade máxima de mistura excelente para a argila em polímero. Já para o álcool a concentração de 5% da argila 1 apresenta bons resultados em relação ao polímero puro e ao polímero contendo 7% de argila. Em ambos experimentos foi possível observar que 5% da argila 2 apresentou os melhores resultados em relação a argila 1 em todas as situações.

Referências Referências • Callister Jr., W.D. Ciência e Engenharia de Materiais: Uma

introdução. 5° ed., Rio de Janeiro: LTC Editora, 2002.• Oliveira, M. A. Monografia: Propriedades mecânicas e de absorção

de solventes de nanocompósitos produzido a partir da poliamida 12 reciclada. Universidade Federal de Sergipe – UFS, 2012.

• KUME, Hitoshi, Métodos Estatísticos para a Melhoria da Qualidade. São Paulo:Gente,1993.

• BUSSAB, Wilton O e MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. São Paulo: Saraiva,2002.

• KAZMIER, L.B. Estatística aplicada à Economia e à Administração. São Paulo: McGraw-Hill, 1982.

• MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. Tradução: Ana Maria Lima de Farias. 4ºEdição. Rio de Janeiro:LTC, 2004.

ajuste de curvas (alterado)

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